九年级上册青岛版数学课件1-3相似三角形的性质

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九年级上册青岛版数学课件1-3相似三角形的性质

1.3相似三角形的性质 1.明确相似三角形中对应线段与相似比的关系. (重点) 2.能熟练运用相似三角形的性质解决实际问题.(难点) 3.理解并初步掌握相似三角形周长的比等于相似比,面积 的比等于相似比的平方.(重点) 4.掌握相似三角形的周长比、面积比在实际中的应用.(难 点) 学习目标 A C B A1 C1 B1 问题: △ABC与△A1B1C1相似吗? 导入新课 A C B A1 C1 B1 相似三角形对应角相等、对应边成比例. △ABC∽ △A1B1C1 思考:三角形中,除了角度和边长外,还有哪些 几何量? 高、角平分线、中线的长度,周长、面积等 高 角平分线 中线 量一量,猜一猜 D1A1 C1 B1 ∟A C BD ∟ ΔABC ∽ ΔA1B1C1, ,CD和C1D1分别是它们 的高, 你知道 等于多少吗? 1 1 1 2 BC B C  1 1 CD C D 如图,△ABC ∽△A′B′C′,相似比为k,它们 对应高的比各是多少? A B C A' B' C' 合作探究 相似三角形对应高的比等于相似比知识点 讲授新课 ∵△ABC ∽△A′B′C′, ∴∠B=∠B' , 解:如图,分别作出 △ABC 和 △A' B' C' 的高 AD 和 A' D' . 则∠ADB =∠A' D' B'=90°. ∴△ABD ∽△A' B' D' . A B C A' B' C'D' D     A D A B k.AD AB  由此得到: 相似三角形对应高的比等于相似比.   类似的,我们可以得到其余两组对应边上的 高的比也等于相似比. 归纳总结 1. ΔABC∽ ΔA1B1C1 ,BD和B1D1是它们的中线, 已知 ,B1D1 =4cm,则BD= cm.6 2.ΔABC∽ ΔA1B1C1, AD和A1D1是对应角平分 线,已知AD=8cm, A1D1=3cm ,则 ΔABC与 ΔA1B1C1的对应高之比为 .8:3 练一练 1 1 3 2 AC AC  3.如图,电灯P在横杆AB的正上方,AB在灯光下的影 子为CD,AB∥CD,AB=2 m,CD=4 m,点P到CD的 距离是3 m,则P到AB的距离是 m. P A D B C 2 4 1.5 例:如图,AD是ΔABC的高,点P,Q在BC边上, 点R在AC边上,点S在AB边上,BC=60 cm,AD= 40 cm,四边形PQRS是正方形. (1)AE是Δ ASR的高吗?为什么? (2) ΔASR与ΔABC相似吗?为什么? (3)求正方形PQRS的边长. S R QP E D CB A 典例精析 (1)AE是ΔASR的高吗?为什么? 解: AE是ΔASR的高. 理由: ∵AD是ΔABC的高, ∴ ∠ADC=90°. ∵四边形PQRS是正方形, ∴SR∥BC. ∴∠AER=∠ADC=90°. ∴ AE是ΔASR的高. S R QP E D CB A (2) ΔASR与ΔABC相似吗?为什么? 解: ΔASR与ΔABC相似. 理由: ∵ SR∥BC, ∴ ∠ASR=∠B, ∠ARS=∠C. ∴ ΔASR与ΔABC相似. S R QP E D CB A (3)求正方形PQRS的边长. 是方程思 想哦! 解:∵ ΔASR ∽ ΔABC, AE,AD分别是ΔASR 和ΔABC 对应边上的高, ∴ . 设正方形PQRS的边长为 x cm, 则SR=DE=x cm,AE=(40-x)cm. ∴ 解得x=24. ∴正方形PQRS的边长为24 cm. BC SR AD AE  6040 40 xx   S R QP E D CB A 变式: 如图,AD是ΔABC的高,点P,Q在BC边上,点R在 AC边上,点S在AB边上,BC=5cm,AD=10cm,若 矩形PQRS的长是宽的2倍,你能求出这个矩形的面 积吗? S R QP E D CB A 如图,AD是ΔABC的高,BC=5cm,AD=10cm. 设SP=x cm,则SR=2x cm. 得到: 所以 x=2, 2x=4. S矩形PQRS= 2×4=8 cm2 .   10 x 2x 10 5 S R QP E D CB A分析: 情况一:SR=2SP. 设SR=x cm,则SP=2x cm. 得到: . 所以 x=2.5, 2x=5. S矩形PQRS=2.5×5=12.5 cm2 .   10 2x x 10 5 原来是分类 思想呀! S R QP E D CB A 分析: 情况二:SP=2SR. 如图,AD是ΔABC的高,BC=5 cm,AD=10 cm. 相似三角形对应角平分线的比、对应中线的比都等 于相似比 问题:把上图中的高改为中线、角平分线,那么它们 对应中线的比,对应角平分线的比等于多少? 图中△ABC和△A′B′C′相似,AD,A′D′分别为 对应边上的中线,BE,B′E′分别为对应角的角平分 线,那么它们之间有什么关系呢? A B CD E A' B' D' C' E' 知识点 已知:△ABC∽△A′B′C′,相似比为k, 求证: 证明:∵ △ABC∽△A′B′C′. ∴ ∠B′= ∠B, . 又AD,AD′分别为对应边的中线, ∴ △ABD∽△A′B′D′. ' ' ' ' ' ' .AB BC CA k A B B C C A    .AD k A'D'  .k A'D' AD  ' ' ' ' AB BC A B B C  ' ' ' ' AB BD A B B D ∴ , A' B' D' C' E' A B CD E 验证猜想1 由此得到: 相似三角形对应的中线的比也等于相 似比. 同学们可以试着自己用同样的方 法求证三角形对应边上的角平分 中线的比等于相似比. 归纳总结 已知:△ABC∽△A′B′C′,相似比为k,即 求证: 证明:∵ △ABC∽△A′B′C′, ∴ ∠B′= ∠B, ∠B′A′C′= ∠BAC. 又AD,AD′分别为对应角的平分线, ∴ △ABD∽△A′B′D′. ' ' ' ' ' ' .AB BC CA k A B B C C A    A' B' D' C' E' A B CD E 验证猜想2 相似三角形对应高的比、对应角平分线的比、 对应中线的比都等于相似比,即相似三角形 对应线段的比等于相似比. 归纳总结 例:两个相似三角形的两条对应边的长分别是6cm 和8cm,如果它们对应的两条角平分线的和为42cm, 那么这两条角平分线的长分别是多少? 解:设较短的角平分线长为xcm, 则由相似性质有 . 解得x=18. 较长的角平分线长为24cm. 故这两条角平分线的长分别为18cm,24cm. 6 , 42 14 x  问题:我们知道,如果两个三角形相似,它们对应 高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于 相似比.那么它们周长的比之间有什么关系?也等于 相似比吗?面积之比呢? A B C A1 B1 C1 问题:图中(1)(2)(3)分别是边长为1,2,3的等边 三角形,它们都相似吗? (1) (2) (3) 1 2 3 (1)与(2)的相似比=______, (1)与(2)的周长比=______, (1)与(3)的相似比=______, (1)与(3)的周长比=______. 1∶ 2 结论: 相似三角形的 周长比等于______.相似比 (都相似) 1∶ 3 1∶ 2 1∶ 3 有什么规律 吗? 相似三角形周长比等于相似比知识点 讲授新课 证明:设△ABC∽△A1B1C1,相似比为k, ,k AC CA CB BC BA AB  111111 1 1 1 1 1 1, , ,AB kA B BC kB C CA kC A    .k ACCBBA AkCCkBBkA ACCBBA CABCAB       111111 111111 111111 有 求证:相似三角形的周长比等于相似比. A B C A1 B1 C1 想一想:怎么证明这一结论呢? 相似三角形周长的比等于相似比. 归纳总结 (1)与(2)的相似比=______, (1)与(2)的面积比=______ (1)与(3)的相似比=______, (1)与(3)的面积比=______ 1 2 3 1∶ 2 (1) (2) (3) 1∶ 4 1∶ 3 1∶ 9 问题:图中(1)(2)(3)分别是边长为1,2,3的等边 三角形,回答以下问题: 结论: 相似三角形的面 积比等于____________.相似比的平方 相似三角形面积的比等于相似比的平方知识点 证明:设△ABC∽△A′B′C′,相似比为k, 如图,分别作出△ABC和 △A′B′C′的高AD和A′D′. ∵△ABC和△A′B′C′都是直角三角 形,并且∠B=∠B′, ∴△ABD∽△A′B′D′. .     BA AB DA AD A B C A′ B′ C′ D D′ 想一想:怎么证明这一结论呢? ∵△ABC∽△A′B′C′. .AD k A D     2 1 2 .1 2 ABC A B C BC ADS BC AD k k k S B C A DB C A D △ △                    .AB BC A B B C       相似三角形面积的比等于相似比的平方. 归纳总结 1.已知ΔABC与ΔA′B′C′的相似比为2:3,则对 应边上中线之比 ,面积之比为 . 2. 如果两个相似三角形的面积之比为1:9, 周长的比为______ . 1:3 2:3 4:9 练一练 解:根据题意,可知EG∥AB. ∴∠GEC=∠B,∠EGC=∠A. ∴△GEC∽△ABC. 2 2 2 GEC ABC S EC EC S BC BC △ △        2 2 1 2 2 EC   2 2. 2.EC EC    2 2.BE BC EC     2 2. 解:在 △ABC 和 △DEF 中, ∵ AB=2DE,AC=2DF, 又 ∵∠D=∠A, ∴ △DEF ∽ △ABC ,相似比为 1 : 2. A B C D E F 1 . 2 DE DF AB AC  ∴ 例 如图,在 △ABC 和 △DEF 中,AB = 2 DE ,AC = 2 DF,∠A = ∠D. 若 △ABC 的边 BC 上的高为 6, 面积为 ,求 △DEF 的边 EF 上的高和面积.12 5 A B C D E F ∵△ABC 的边 BC 上的高为 6,面积为 ,12 5 ∴△DEF 的边 EF 上的高为 ×6 = 3, 1 2 面积为 21 12 5 3 5. 2        如果两个相似三角形的面积之比为 2 : 7,较 大三角形一边上的高为 7,则较小三角形对应边上 的高为______. 14 练一练 5 3  AB AD AC AE ∴ △ADE ∽△ABC. ∵ 它们的相似比为 3 : 5, ∴ 面积比为 9 : 25. B C A D E 解:∵ ∠BAC = ∠DAE,且 3 5 AE AD AC AB   , 又∵ △ABC 的面积为 100 cm2, ∴ △ADE 的面积为 36 cm2 . ∴ 四边形 BCDE 的面积为100-36 = 64 (cm2). B C A D E 如图,△ABC 中,点 D、E、F 分别在 AB,AC, BC 上,且 DE∥BC,EF∥AB. 当 D 点为 AB 中点时, 求 S四边形BFED : S△ABC 的值. A B C D F E 练一练 解:∵ DE∥BC,D 为 AB 中点, ∴ △ADE ∽ △ABC , 相似比为 1 : 2, 面积比为 1 : 4. 1 2 AE AD . AC AB  ∴ A B C D F E 又∵ EF∥AB, ∴ △EFC ∽ △ABC ,相似比为 1 : 2, 面积比为 1 : 4. 设 S△ABC = 4,则 S△ADE = 1,S△EFC = 1, S四边形BFED = S△ABC-S△ADE-S△EFC = 4-1-1 = 2, ∴ S四边形BFED : S△ABC = 2 : 4 = 1 . 2 3.两个相似三角形对应中线的比为 , 则对应高的比为______ . 2.相似三角形对应边的比为2∶ 3,那么对应角的 角平分线的比为______.2∶ 3 1.两个相似三角形的相似比为 , 则对应高 的比为_________, 则对应中线的比为_________. 1 2 2 1 2 1 4 1 4 1 随堂练习 解:∵ △ABC∽△DEF,   解得,EH=3.2(cm). 答:EH的长为3.2cm. A G B C D E F H 4.已知△ABC∽△DEF,BG,EH分△ABC和△DEF 的角平分线,BC=6cm,EF=4cm,BG=4.8cm.求EH的长. BG BC EH EF   4.8 6 , 4EH   5.如图,AD是△ABC的高,AD=h, 点R在AC边上, 点S在AB边上,SR⊥AD,垂足为E.当 时, 求DE的长.如果 呢?   ∴△ASR∽△ABC (两角分别相等的两个三角形相似). 解:∵SR⊥AD,BC⊥AD, B A E R C 1 = 2 SR BC 1 = 3 SR BC D S ∴SR∥BC. ∴∠ASR=∠B,∠ARS=∠C. AE SR AD BC   (相似三角形对应高的比等于相似比), 当 时,得 解得 B A E R CD S .AD DE SR AD BC    当 时,得 解得 1 = 2 SR BC 1 . 2 h DE AD   1 . 2 DE h 1 = 3 SR BC 1 . 3 h DE AD   2 . 3 DE h 选做题: 6. 一块直角三角形木板的一条直角边AB长为1.5m, 面积为1.5m2,要把它加工成一个面积尽可能大的正方形 桌面,甲乙两位同学的加工方法如图(1)、(2)所示, 请你用学过的知识说明哪位同学的加工方法更好.(加 工损耗忽略不计,计算结果中的分数可保留) F AB C D E (1) FG B A C ED (2) 相信自己是最 棒的! S R QP E D CB A 7.AD是ΔABC的高,BC=60cm,AD=40cm,求图中 小正方形的边长. A CB D (6) A CB D (5) D CB A (4) A CB D (3) D CB A (1) A CB D (2) 8. 判断: (1) 一个三角形的各边长扩大为原来的 5 倍,这个 三角形的周长也扩大为原来的 5 倍 ( ) (2) 一个四边形的各边长扩大为原来的 9 倍,这个 四边形的面积也扩大为原来的 9 倍 ( ) √ × 10. 连接三角形两边中点的线段把三角形截成的一 个小三角形与原三角形的周长比等于______,面积 比等于_____. 1 : 2 1 : 4 9. 在 △ABC 和 △DEF 中,AB=2 DE,AC=2 DF, ∠A=∠D,AP,DQ 是中线,若 AP=2,则 DQ 的值为 ( ) A.2 B.4 C.1 D. C 2 1 11. 两个相似三角形对应的中线长分别是 6 cm 和 18 cm, 若较大三角形的周长是 42 cm,面积是 12 cm2,则较小 三角形的周长____cm,面积为____cm2.14 4 3 12. 如图,这是圆桌正上方的灯泡 (点A) 发出的光线 照 射桌面形成阴影的示意图,已知桌面的直径为 1.2 米,桌面距离地面为 1 米,若灯泡距离地面 3 米, 则地面上阴影部分的面积约为多少 (结果保留两位 小数)? A DE F CB H 解:∵ FH = 1 米,AH = 3 米, 桌面的直径为 1.2 米, ∴ AF = AH-FH = 2 (米), DF = 1.2÷2 = 0.6 (米). ∵DF∥CH, ∴△ADF ∽△ACH, A DE F CB H DF AF CH AH  ,∴ 即 0 6 2 3 . CH  , 解得 CH = 0.9米. ∴ 阴影部分的面积为: 2 20.9 2.54CH    (平方米). 答:地面上阴影部分的面积为 2.54 平方米. 13. △ABC 中,DE∥BC,EF∥AB,已知 △ADE 和 △EFC 的面积分别为 4 和 9,求 △ABC 的面积.A B C D F E 解:∵ DE∥BC,EF∥AB, ∴ △ADE ∽△ABC, ∠ADE =∠EFC,∠A =∠CEF, ∴△ADE ∽△EFC. 又∵S△ADE : S△EFC = 4 : 9, ∴ AE : EC=2:3, 则 AE : AC =2 : 5, ∴ S△ADE : S△ABC = 4 : 25,∴ S△ABC = 25. 14. 如图,△ABC 中,DE∥BC,DE 分别交 AB,AC 于 点 D,E,S△ADE=2 S△DCE,求 S△ADE ∶ S△ABC. 解:过点 D 作 AC 的垂线,交点为 F,则 1 2 21 2 ADE DCE AE DFS AE S ECEC DF        △ △ , 2 3 AE . AC ∴ 又∵ DE∥BC, ∴ △ADE ∽△ABC. A B C D E 2 22 4 3 9 ADE ABC S AE S AC              △ △ ,∴ 即 S△ADE : S△ABC =4 : 9. A B C D E 相似三 角形的 性质 相似三角形对应高的 比等于相似比 相似三角形对应角平 分线的比等于相似比 相似三角形对应中线 的比等于相似比 课堂小结 相似三角形 的性质 相似三角形周长之比 等于相似比 相似三角形面积之比 等于相似比的平方
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