直线与圆的位置关系1
27.2．2 与圆有关的位置关系(第1课时)
教学内容
1．直线和圆相交、割线；直线和圆相切、圆的切线、切点；直线和圆没有公共点、直线和圆相离等概念．
2．设⊙O的半径为r，直线L到圆心O的距离为d
直线L和⊙O相交d
r．
3．切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
4．切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径．
5．应用以上的内容解答题目．
教学目标
（1）了解直线和圆的位置关系的有关概念．
（2）理解设⊙O的半径为r，直线L到圆心O的距离为d，则有：
直线L和⊙O相交dr．
（3）理解切线的判定定理：理解切线的性质定理并熟练掌握以上内容解决一些实际问题．
复习点和圆的位置关系，引入直线和圆的位置关系，以直线和圆的位置关系中的d=r直线和圆相切，讲授切线的判定定理和性质定理．
重难点、关键
1．重点：切线的判定定理；切线的性质定理及其运用它们解决一些具体的题目．
2．难点与关键：由上节课点和圆的位置关系迁移并运动直线导出直线和圆的位置关系的三个对应等价．
教学过程
一、复习引入
（老师口答，学生口答，老师并在黑板上板书）同学们，我们前一节课已经学到点和圆的位置关系．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，
则有：点P在圆外d>r，如图（a）所示；
点P在圆上d=r，如图（b）所示；
点P在圆内dr，如图（c）所示．
因为d=r直线L和⊙O相切，这里的d是圆心O到直线L的距离，即垂直，并由d=r就可得到L经过半径r的外端，即半径OA的A点，因此，很明显的，我们可以得到切线的判定定理：
经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
（学生分组讨论）：根据上面的判定定理，如果你要证明一条直线是⊙O的切线，你应该如何证明？
（老师点评）：应分为两步：（1）说明这个点是圆上的点，（2）过这点的半径垂直于直线．
例1．如图，已知Rt△ABC的斜边AB=8cm，AC=4cm．
（1）以点C为圆心作圆，当半径为多长时，直线AB与⊙C相切？为什么？
（2）以点C为圆心，分别以2cm和4cm为半径作两个圆，这两个圆与直线AB分别有怎样的位置关系？
分析：（1）根据切线的判定定理可知，要使直线AB与⊙C相切，那么这条半径应垂直于直线AB，并且C点到垂足的长就是半径，所以只要求出如图所示的CD即可．
（2）用d和r的关系进行判定，或借助图形进行判定．
解：（1）如图24-54：过C作CD⊥AB，垂足为D．
在Rt△ABC中
BC==
12
∴CD==2
因此，当半径为2cm时，AB与⊙C相切．
理由是：直线AB为⊙C的半径CD的外端并且CD⊥AB，所以AB是⊙C的切线．
（2）由（1）可知，圆心C到直线AB的距离d=2cm，所以
当r=2时，d>r，⊙C与直线AB相离；
当r=4时，dr
3．切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
4．切线的性质定理，圆的切线垂直于过切点的半径．
5．应用上面的知识解决实际问题．
六、布置作业
1．教材P110 复习巩固4、5．
2．选用课时作业设计．
第1课时作业设计
一、选择题．
1．如图，AB与⊙O切于点C，OA=OB，若⊙O的直径为8cm，AB=10cm，那么OA的长是（ ）
A． B．
2．下列说法正确的是（ ）
A．与圆有公共点的直线是圆的切线．
B．和圆心距离等于圆的半径的直线是圆的切线;
C．垂直于圆的半径的直线是圆的切线;
D．过圆的半径的外端的直线是圆的切线
3．已知⊙O分别与△ABC的BC边，AB的延长线，AC的延长线相切，则∠BOC等于（ ）
A．（∠B+∠C） B．90°+∠A
C．90°-∠A D．180°-∠A
二、填空题
1．如图，AB为⊙O直径，BD切⊙O于B点，弦AC的延长线与BD交于D点，若AB=10，AC=8，则DC长为________．
2．如图，P为⊙O外一点，PA、PB为⊙O的切线，A、B为切点，弦AB与PO交于C，⊙O半径为1，PO=2，则PA_______，PB=________，PC=_______AC=______，BC=______∠AOB=________．
12
3．设I是△ABC的内心，O是△ABC的外心，∠A=80°，则∠BIC=________，∠BOC=________．
三、综合提高题
1．如图，P为⊙O外一点，PA切⊙O于点A，过点P的任一直线交⊙O于B、C，连结AB、AC，连PO交⊙O于D、E．
（1）求证：∠PAB=∠C．
（2）如果PA2=PD·PE，那么当PA=2，PD=1时，求⊙O的半径．
2．设a、b、c分别为△ABC中∠A、∠B、∠C的对边，面积为S，则内切圆半径r=， 其中P=（a+b+c）；（2）Rt△ABC中，∠C=90°，则r=（a+b-c）
3．如图1，平面直角坐标系中，⊙O1与x轴相切于点A（-2，0），与y轴交于B、C两点，O1B的延长线交x轴于点D（，0），连结AB．
（1）求证：∠ABO=∠ABO；
（2）设E为优弧的中点，连结AC、BE交于点F，请你探求BE·BF的值．
（3）如图2，过A、B两点作⊙O2与y轴的正半轴交于点M，与BD的延长线交于点N，当⊙O2的大小变化时，给出下列两个结论．
①BM-BN的值不变；②BM+BN的值不变，其中有且只有一个结论是正确的，请你判断哪一个结论正确，证明正确的结论并求出其值．
（友情提示：如图3，如果DE∥BC，那么）
(1) (2) (3)
答案:
一、1．A 2．B 3．C
二、1．4 2． 120° 3．130° 160°
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三、1．（1）提示：作直径AF，连BF，如右图所示．
（2）由已知PA2=PD·PE，可得⊙O的半径为．
2．（1）设I为△ABC内心，内切圆半径为r，
则S△ABC=AB·r+BC·r+AC·r，则r=；
（2）设内切圆与各边切于D、E、F，连结ID、IE，
如图，则ID⊥AC，IE⊥BC，又∠C=90°，ID=IE，
∴DIEC为正方形，∴CE=CD=r，
∴AD=AF=b-r，BE=BF=a-r，∴b-r+a-r=c，∴r=（a+b-c）．
3．（1）证明：连结O1A，则O1A⊥OA，∴O1A∥OB，∴∠O1AB=∠ABO，
又∵O1A=O1B，∴∠O1AB=∠O1BA，∴∠ABO1=∠ABO
（2）连结CE，∵O1A∥OB，∴，
设DB=2x，则O1D=5x，∴O1A=O1B=5x-2x=3x，
在Rt△DAO1中，（3x）2+（）2=（5x）2，∴x=，
∴O1A=O1B=，OB=1，
∵OA是⊙O1的切线，∴OA2=OB·OC，∴OC=4，BC=3，AB=，
∵E为优弧AC的中点，∴∠ABF=∠EBC，
∵∠BAF=∠E，∴△ABF≌△EBC，∴，
∴BE·BF=AB·BC=3．
（3）解：①BM-BN的值不变．
证明：在MB上取一点G，使MG=BN，连结AM、AN、AG、MN，
∵∠ABO=∠ABO，∠ABO=∠AMN，∠ABO=∠ANM，
∴∠AMN=∠ANM，∴AM=AN，
∵∠AMG=∠ANB，MG=BN，
∴△AMG≌△ANB，∴AG=AB，
∵AD⊥BG，∴BG=2BO=2，
12
∴BM-BN=BG=2其值不变．
24.2 与圆有关的位置关系(第2课时)
教学内容
1．切线长的概念．
2．切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角．
3．三角形的内切圆及三角形内心的概念．
教学目标
了解切线长的概念．
理解切线长定理，了解三角形的内切圆和三角形的内心的概念，熟练掌握它的应用．
复习圆与直线的位置关系和切线的判定定理、性质定理知识迁移到切长线的概念和切线长定理，然后根据所学三角形角平分线的性质给出三角形的内切圆和三角形的内心概念，最后应用它们解决一些实际问题．
重难点、关键
1．重点：切线长定理及其运用．
2．难点与关键：切线长定理的导出及其证明和运用切线长定理解决一些实际问题．
教学过程
一、复习引入
1．已知△ABC，作三个内角平分线，说说它具有什么性质？
2．点和圆有几种位置关系？你能说说在这一节中应掌握几个方面的知识？
3．直线和圆有什么位置关系？切线的判定定理和性质定理，它们如何？
老师点评：（1）在黑板上作出△ABC的三条角平分线，并口述其性质：①三条角平分线相交于一点；②交点到三条边的距离相等．
（2）（口述）点和圆的位置关系有三种，点在圆内dr；不在同一直线上的三个点确定一个圆；反证法的思想．
（3）（口述）直线和圆的位置关系同样有三种：直线L和⊙O相交dr；切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于半径的直线是圆的切线；切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径．
二、探索新知
从上面的复习，我们可以知道，过⊙O上任一点A都可以作一条切线，并且只有一条，根据下面提出的问题操作思考并解决这个问题．
问题：在你手中的纸上画出⊙O，并画出过A点的唯一切线PA，连结PO，沿着直线PO将纸对折，设圆上与点A重合的点为B，这时，OB是⊙O的一条半径吗？PB是⊙O的切线吗？利用图形的轴对称性，说明圆中的PA与PB，∠APO与∠BPO有什么关系？
学生分组讨论，老师抽取3～4位同学回答这个问题．
老师点评：OB与OA重叠，OA是半径，OB也就是半径了．又因为OB是半径，PB为OB的外端，又根据折叠后的角不变，所以PB是⊙O的又一条切线，根据轴对称性质，我们很容易得到PA=PB，∠APO=∠BPO．
我们把PA或PB的长，即经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长．
从上面的操作几何我们可以得到：
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从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角．
[来源:学*科*网]
下面，我们给予逻辑证明．
例1．如图，已知PA、PB是⊙O的两条切线．
求证：PA=PB，∠OPA=∠OPB．
证明：∵PA、PB是⊙O的两条切线．
∴OA⊥AP，OB⊥BP
又OA=OB，OP=OP，
∴Rt△AOP≌Rt△BOP
∴PA=PB，∠OPA=∠OPB
因此，我们得到切线长定理：
从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角．
我们刚才已经复习，三角形的三条角平分线于一点，并且这个点到三条边的距离相等．
（同刚才画的图）设交点为I，那么I到AB、AC、BC的距离相等，如图所示，因此以点I为圆心，点I到BC的距离ID为半径作圆，则⊙I与△ABC的三条边都相切．
与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心．
例2．如图，已知⊙O是△ABC的内切圆，切点为D、E、F，如果AE=1，CD=2，BF=3，且△ABC的面积为6．求内切圆的半径r．
分析：直接求内切圆的半径有困难，由于面积是已知的，因此要转化为面积法来求．就需添加辅助线，如果连结AO、BO、CO，就可把三角形ABC分为三块，那么就可解决．
解：连结AO、BO、CO
∵⊙O是△ABC的内切圆且D、E、F是切点．
∴AF=AE=1，BD=BF=3，CE=CD=2
∴AB=4，BC=5，AC=3
又∵S△ABC=6[来源:学。科。网Z。X。X。K]
∴（4+5+3）r=6
∴r=1
答：所求的内切圆的半径为1．
三、巩固练习
教材P106 练习．
四、应用拓展
例3．如图，⊙O的直径AB=12cm，AM、BN是两条切线，DC切⊙O于E，交AM于D，交BN于C，设AD=x，BC=y．[来源:Zxxk.Com]
（1）求y与x的函数关系式，并说明是什么函数？
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（2）若x、y是方程2t2-30t+m=0的两根，求x，y的值．[来源:学科网ZXXK]
（3）求△COD的面积．
分析：（1）要求y与x的函数关系，就是求BC与AD的关系，
根据切线长定理：DE=AD=x，CE=CB=y，即DC=x+y，
又因为AB=12，所以只要作DF⊥BC垂足为F，
根据勾股定理，便可求得．
（2）∵x，y是2t2-30t+m=0的两根，
那么x1+x2=，x1x2=，便可求得x、y的值．
（3）连结OE，便可求得．
解：（1）过点D作DF⊥BC，垂足为F，则四边形ABFD为矩形．
∵⊙O切AM、BN、CD于A、B、E
∴DE=AD，CE=CB
∵AD=x，CB=y
∴CF=y-x，CD=x+y
在Rt△DCF中，DC2=DF2+CF2
即（x+y）2=（x-y）2+122
∴xy=36
∴y=为反比例函数；
（2）由x、y是方程2t-30t+m=0的两根，可得：
x+y==15
同理可得：xy=36
∴x=3，y=12或x=12，y=3．
（3）连结OE，则OE⊥CD
∴S△COD=CD·OE=×（AD+BC）·AB
=×15××12
=45cm2
五、归纳小结（学生归纳，老师点评）
本节课应掌握：
1．圆的切线长概念；
2．切线长定理；[来源:Z|xx|k.Com]
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3．三角形的内切圆及内心的概念．
六、布置作业
1．教材P117 综合运用5、6、7、8．
2．选用课时作业设计．
第2课时作业设计
一、选择题．
1．如图1，PA、PB分别切圆O于A、B两点，C为劣弧AB上一点，∠APB=30°，则∠ACB=（ ）．
A．60° B．75° C．105° D．120°
(1) (2) (3) (4)
2．从圆外一点向半径为9的圆作切线，已知切线长为18，从这点到圆的最短距离为（ ）．
A．9 B．9（-1） C．9（-1） D．9
3．圆外一点P，PA、PB分别切⊙O于A、B，C为优弧AB上一点，若∠ACB=a，则∠APB=（ ）
A．180°-a B．90°-a C．90°+a D．180°-2a
二、填空题
1．如图2，PA、PB分别切圆O于A、B，并与圆O的切线，分别相交于C、D，已知PA=7cm，则△PCD的周长等于_________．
2．如图3，边长为a的正三角形的内切圆半径是_________．
3．如图4，圆O内切Rt△ABC，切点分别是D、E、F，则四边形OECF是_______．
三、综合提高题
1．如图所示，EB、EC是⊙O的两条切线，B、C是切点，A、D是⊙O上两点， 如果∠E=46°，∠DCF=32°，求∠A的度数．
2．如图所示，PA、PB是⊙O的两条切线，A、B为切点，
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求证∠ABO=∠APB.
3．如图所示，已知在△ABC中，∠B=90°，O是AB上一点，以O为圆心，OB为半径的圆与AB交于点E，与AC切于点D．
（1）求证：DE∥OC；
（2）若AD=2，DC=3，且AD2=AE·AB，求的值．
答案:
一、1．C 2．C 3．D
二、1．14cm 2．a 3．正方形
三、1．解：∵EB、EC是⊙O的两条切线，
∴EB=EC，∴∠ECB=∠EBC，
又∠E=46°，而∠E+∠EBC+∠ECB=180°，∠ECB=67°，
又∠DCF+∠ECB+∠DCB=180°，
∴∠BCD=180°-67°-32°=81°，
又∠A+∠BCD=180°，
∴∠A=180°-81°=99°
2．证明：连结OP、OA，OP交AB于C，
∵B是切点，∴∠OBP=90°，∠OAP=90°，
∴∠BOP=∠APO，
∵OA=OB，∴∠BOP=∠AOC，∴∠OCB=90°，
∵∠OBA=∠OPB，∴∠OBA=∠APB．
3．（1）证明：连结OD，
则∠ODC=Rt∠，∠ODE=∠OED，
由切线长定理得：CD=CB，
∴Rt△ODC≌Rt△OBC，∴∠COB=∠COD，
∵∠DOE+2∠OED=180°，
又∠DOE+2∠COB=180°，∴∠OED=∠COB，∴DE∥OC
（2）由AD=2，DC=3得：BC=3，AB=4，
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又∵AD2=AE·AB，∴AE=1，
∴BE=3，OB=BE=，∴=．
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