2020_2021学年新教材高中数学第三章函数概念与性质3

2020_2021学年新教材高中数学第三章函数概念与性质3

第 2 课时　函数的最大值、最小值 必备知识 · 自主学习 　函数的最大值和最小值 (1) 定义： 前 提 设函数 y=f(x) 的定义域为 I ，如果存在实数 M(m) 条 件 ①∀x∈I ，都有 ________ ②∃x 0 ∈I ，使得 _______ ①∀x∈I ，都有 ________ ②∃x 0 ∈I ，使得 _______ 结 论 称 M 是函数 y=f(x) 的最大值 称 m 是函数 y=f(x) 的最小值 f(x)≤M f(x)≥m f(x 0 )=M f(x 0 )=m (2) 本质：函数图象上最高点的纵坐标即为最大值；最低点的纵坐标即为最小值 . (3) 应用：求函数的值域，参数的范围，解决实际问题 . 【 思考 】 函数 f(x)=-x 2 的定义域为 R ，存在实数 1 ，∀ x∈R ，都有 f(x)≤1. 那么 1 是函数 f(x)=-x 2 的最大值吗？为什么？ 提示： 不是 . 因为不存在 x 0 ∈R ，使得 f(x 0 )= =1. 【 基础小测 】 1. 辨析记忆 ( 对的打“√”，错的打“ ×”) (1) 任何函数都有最大值、最小值 . ( 　　 ) (2) 如果一个函数有最大值，那么最大值是唯一的 . ( 　　 ) (3) 如果一个函数 f(x) 在区间 [a ， b] 上单调递减，那么函数的最大值是 f(b). ( 　　 ) 提示： (1)×. 如函数 y= 既没有最大值，也没有最小值 . (2)√. 函数的最大值是唯一的 . (3)×. 最大值为 f(a). 2. 函数 f(x)=x 2 -3x(|x|<1) ( 　　 ) A. 有最大值，但无最小值 B. 有最大值，也有最小值 C. 无最大值，但有最小值 D. 既无最大值，也无最小值 【 解析 】 选 D.f(x)=x 2 -3x 是开口向上的抛物线，其对称轴方程为 x= ， 则函数 f(x) 在 (-1 ， 1) 上单调递减，所以函数 f(x)=x 2 -3x(|x|<1) 既无最大值， 也无最小值 . 3.( 教材二次开发：练习改编 ) 函数 y= 在区间 [2 ， 6] 上的最大值、最小值分 别是 ( 　　 ) 【 解析 】 选 A. 因为 y= 在 [2 ， 6] 上单调递减， 所以当 x=2 时取最大值 y=1 ； 当 x=6 时取最小值 y= . 关键能力 · 合作学习 类型一　利用函数的图象求函数的最值 ( 直观想象 ) 【 题组训练 】 1. 函数 f(x) 在区间 [-2 ， 5] 上的图象如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是 ( 　　 ) A.-2 ， f(2) B.2 ， f(2) C.-2 ， f(5) D.2 ， f(5) 2. 已知函数 f(x)= 则 f(x) 的最大值、最小值分别为 _______ ， _______.  3.(2020· 汉中高一检测 ) 已知函数 f(x)= (1) 在如图所示给定的直角坐标系内画出 f(x) 的图象 . (2) 由图象指出当 x 取什么值时 f(x) 有最值 . 【 解析 】 1. 选 C. 由函数的图象可知，最小值为 -2 ，最大值为 f(5). 2. 作出函数 f(x) 的图象 ( 如图 ). 由图象可知，当 x=±1 时， f(x) 取最大值为 f(±1)=1 ； 当 x=0 时， f(x) 取最小值 f(0)=0 ， 故 f(x) 的最大值为 1 ，最小值为 0. 答案： 1 　 0 3.(1) 由题意知，当 x∈[-1 ， 2] 时， f(x)=-x 2 +3 ，为二次函数的一部分； 当 x∈(2 ， 5] 时， f(x)=x-3 ，为一次函数的一部分； 所以，函数 f(x) 的图象如图所示： (2) 由图象可知，当 x=0 时 f(x) 有最大值 3 ； 当 x=2 时， f(x) min =-1. 【 解题策略 】 图象法求最值的步骤 【 补偿训练 】 已知函数 f(x)= 求函数 f(x) 的最大值、最小值 . 【 解析 】 作出 f(x) 的图象如图：由图象可知， 当 x=2 时， f(x) 取最大值为 2 ； 当 x= 时， f(x) 取最小值为 . 所以 f(x) 的最大值为 2 ，最小值为 . 类型二　利用单调性求函数的最值 ( 数学运算 ) 【 典例 】 (2020· 石嘴山高一检测 ) 已知函数 f(x)= . (1) 用定义证明 f(x) 在区间 [3 ， +∞) 上单调递增 . (2) 求该函数在区间 [3 ， 5] 上的最大值与最小值 . 四步 内容 理解 题意 条件： f(x)= . 结论： (1) 判断并证明单调性； (2) 求区间 [3 ， 5] 上的最值 . 思路 探求 利用定义证明函数的单调性，利用单调性求最值 . 【 解题策略 】 1. 利用单调性求函数的最大 ( 小 ) 值的一般步骤 (1) 判断函数的单调性 . (2) 利用单调性求出最大 ( 小 ) 值 . 2. 函数的最大 ( 小 ) 值与单调性的关系 (1) 若函数 f(x) 在区间 [a ， b] 上单调递增 ( 减 ) ，则 f(x) 在区间 [a ， b] 上的最小 ( 大 ) 值是 f(a) ，最大 ( 小 ) 值是 f(b). (2) 若函数 f(x) 在区间 [a ， b] 上单调递增 ( 减 ) ，在区间 [b ， c] 上单调递减 ( 增 ) ，则 f(x) 在区间 [a ， c] 上的最大 ( 小 ) 值是 f(b) ，最小 ( 大 ) 值是 f(a) 与 f(c) 中较小 ( 大 ) 的一个 . 【 跟踪训练 】 设函数 f(x)= . (1) 判断函数 f(x) 在 (0 ， +∞) 上的单调性并用定义加以证明 . (2) 求函数 f(x) 在区间 [2 ， 5] 上的最大值与最小值 . 【 解析 】 (1) 函数 f(x) 在 (0 ， +∞) 上单调递增，证明如下： ∀ x 1 ， x 2 ∈(0 ， +∞) ，且 x 1 0 ， 所以 f(x 1 )-f(x 2 )<0 ，即 f(x 1 )1 时， f(x) max =f(0)=1 ， 所以 f(x) max = 　角度 4 　实际应用问题  【 典例 】 (2020· 丰台高一检测 ) 由历年市场行情知，从 11 月 1 日起的 30 天内， 某商品每件的销售价格 P( 元 ) 与时间 t( 天 ) 的函数关系是 P= 日销售量 Q( 件 ) 与时间 t( 天 ) 的函数关系是 Q=-t+40(t≤30 ， t∈N * ). (1) 设该商品的日销售额为 y 元，请写出 y 与 t 的函数关系式 . (2) 求该商品的日销售额的最大值，并指出哪一天的销售额最大？ 【 思路导引 】 (1) 根据商品的日销售额 = 该商品每件的销售价格 × 日销售量列出关系式 . (2) 利用函数的最值解题 . 【 解析 】 (1) 当 t<25 ， t∈N * 时， y=(t+20)(-t+40)=-t 2 +20t+800 ， 当 25≤t≤30 ， t∈N * 时， y=45(-t+40)=-45t+1 800. 所以 y= (2) 当 01) 上的最小值是 ，则 b=_____.  【 解析 】 因为 f(x) 在 [1 ， b] 上单调递减， 所以 f(x) 在 [1 ， b] 上的最小值为 f(b)= 所以 b=4. 答案： 4