高中数学 必修4平面向量2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义(二)

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高中数学 必修4平面向量2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义(二)

1 2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义(二) 学习目标 1.掌握平面向量数量积的运算律及常用的公式.2.会利用向量数量积的有关运算 律进行计算或证明. 知识点一 平面向量数量积的运算律 类比实数的运算律,判断下表中的平面向量数量积的运算律是否正确. 运算律 实数乘法 向量数量积 判断正误 交换律 ab=ba a·b=b·a 正确 结合律 (ab)c=a(bc) (a·b)c=a(b·c) 错误 分配律 (a+b)c=ac+bc (a+b)·c=a·c+b·c 正确 消去律 ab=bc(b≠0)⇒a=c a·b=b·c(b≠0)⇒a= c 错误 知识点二 平面向量数量积的运算性质 类比多项式乘法的乘法公式,写出下表中的平面向量数量积的运算性质. 多项式乘法 向量数量积 (a+b)2=a2+2ab+b2 (a+b)2=a2+2a·b+b2 (a-b)2=a2-2ab+b2 (a-b)2=a2-2a·b+b2 (a+b)(a-b)=a2-b2 (a+b)·(a-b)=a2-b2 (a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca (a+b+c)2=a2+b2+c2+2a·b+2b·c+ 2c·a 1.向量的数量积运算满足(a·b)·c=a·(b·c).( × ) 2.已知 a≠0,且 a·c=a·b,则 b=c.( × ) 3.λ(a·b)=λa·b.( √ ) 2 类型一 向量数量积的运算性质 例 1 设 a,b,c 是任意的非零向量,且它们相互不共线,给出下列结论: ①a·c-b·c=(a-b)·c; ②(b·c)·a-(c·a)·b 不与 c 垂直; ③|a|-|b|<|a-b|; ④(3a+2b)·(3a-2b)=9|a|2-4|b|2. 其中正确结论的序号是________. 考点 平面向量数量积的运算性质和法则 题点 向量的运算性质与法则 答案 ①③④ 解析 根据向量积的分配律知①正确; 因为[(b·c)·a-(c·a)·b]·c =(b·c)·(a·c)-(c·a)·(b·c)=0, ∴(b·c)·a-(c·a)·b 与 c 垂直,②错误; 因为 a,b 不共线,所以|a|,|b|,|a-b|组成三角形三边, ∴|a|-|b|<|a-b|成立,③正确; ④正确.故正确结论的序号是①③④. 反思与感悟 向量的数量积 a·b 与实数 a,b 的乘积 a·b 有联系,同时有许多不同之处.例 如,由 a·b=0 并不能得出 a=0 或 b=0.特别是向量的数量积不满足结合律. 跟踪训练 1 对于任意向量 a,b,c,下列说法中正确的是( ) A.|a·b|=|a||b| B.|a+b|=|a|+|b| C.(a·b)c=a(b·c) D.|a|= a2 考点 平面向量数量积的运算性质和法则 题点 向量的运算性质与法则 答案 D 解析 因为 a·b=|a||b|cos〈a,b〉, 所以|a·b|≤|a||b|,所以 A 错误; 根据向量加法的平行四边形法则, |a+b|≤|a|+|b|,只有当 a,b 同向时取“=”, 所以 B 错误;因为(a·b)c 是向量,其方向与向量 c 相同,a(b·c)是向量,其方向与向量 a 的方向相同,所以 C 错误; 因为 a·a=|a||a|cos0=|a|2, 所以|a|= a2,所以 D 正确. 3 类型二 平面向量数量积有关的参数问题 命题角度 1 利用向量数量积处理垂直问题 例 2 已知|a|=3,|b|=2,向量 a,b 的夹角为 60°,c=3a+5b,d=ma-3b,求当 m 为 何值时,c 与 d 垂直. 考点 平面向量数量积的应用 题点 已知向量夹角求参数 解 由已知得 a·b=3×2×cos60°=3. 若 c⊥d,则 c·d=0, ∴c·d=(3a+5b)·(ma-3b)=3ma2+(5m-9)a·b-15b2=27m+3(5m-9)-60=42m-87 =0, ∴m=29 14 ,即当 m=29 14 时,c 与 d 垂直. 反思与感悟 由两向量垂直求参数一般是利用性质:a⊥b⇔a·b=0. 跟踪训练 2 已知两个单位向量 a,b 的夹角为 60°,c=ta+(1-t)·b,且 b⊥c,则 t= ________. 考点 平面向量数量积的应用 题点 已知向量夹角求参数 答案 2 解析 由题意,将 b·c=[ta+(1-t)b]·b=0 整理,得 ta·b+(1-t)=0,又 a·b=1 2 , 所以 t=2. 命题角度 2 由两向量夹角的取值范围求参数的取值范围 例 3 已知 e1 与 e2 是两个互相垂直的单位向量,若向量 e1+ke2 与 ke1+e2 的夹角为锐角,则 k 的取值范围为________. 考点 平面向量数量积的应用 题点 已知向量夹角求参数 答案 (0,1)∪(1,+∞) 解析 ∵e1+ke2 与 ke1+e2 的夹角为锐角, ∴(e1+ke2)·(ke1+e2) =ke2 1+ke2 2+(k2+1)e1·e2 =2k>0,∴k>0. 但当 k=1 时,e1+ke2=ke1+e2,它们的夹角为 0,不符合题意,舍去. 4 综上,k 的取值范围为 k>0 且 k≠1. 反思与感悟 向量 a,b 的夹角为锐角,得到 a·b>0;反之,a·b>0 不能说明 a,b 的夹角 为锐角,因为 a,b 夹角为 0°时也有 a·b>0.同理,向量 a,b 的夹角为钝角,得到 a·b<0; 反之,a·b<0 不能说明 a,b 的夹角为钝角,因为 a,b 夹角为 180°时也有 a·b<0. 跟踪训练 3 若向量 e1,e2 满足|e1|=|e2|=1,e1,e2 的夹角为 60°,向量 2te1+e2 与向量 e1-e2 的夹角为钝角,求实数 t 的取值范围. 考点 平面向量数量积的应用 题点 已知向量夹角求参数 解 设向量 2te1+e2 与向量 e1-e2 的夹角为θ,由θ为钝角,知 cosθ<0,故(2te1+e2)·(e1 -e2)=2te2 1+(-2t+1)e1·e2-e2 2=t-1 2 <0,解得 t<1 2 . 又当θ=π时,也有(2te1+e2)·(e1-e2)<0, 但此时夹角不是钝角,设向量 2te1+e2 与向量 e1-e2 反向,则 2te1+e2=k(e1-e2)(k<0), 又 e1 与 e2 不共线,从而 2t=k, 1=-k, 解得 t=-1 2 ,即当 t=-1 2 时,向量 2te1+e2 与向量 e1 -e2 的夹角为 180°, 故 t 的取值范围是 t|t<1 2 ,且 t≠-1 2 . 1.下面给出的关系式中正确的个数是( ) ①0·a=0;②a·b=b·a;③a2=|a|2;④|a·b|≤a·b;⑤(a·b)2=a2·b2. A.1B.2C.3D.4 考点 平面向量数量积的运算性质与法则 题点 向量的运算性质与法则 答案 C 解析 ①②③正确,④错误,⑤错误,(a·b)2=(|a||b|·cosθ)2=a2·b2cos2θ,故选 C. 2.已知|a|=2,|b|=1,a 与 b 之间的夹角为 60°,那么向量 a-4b 的模为( ) A.2B.2 3C.6D.12 考点 平面向量数量积的运算性质和法则 题点 向量的运算性质与法则 答案 B 解析 ∵|a-4b|2=a2-8a·b+16b2 5 =22-8×2×1×cos60°+16×12=12, ∴|a-4b|=2 3. 3.已知非零向量 m,n 满足 4|m|=3|n|,cos〈m,n〉=1 3 .若 n⊥(tm+n),则实数 t 的值为 ( ) A.4B.-4C.9 4 D.-9 4 考点 平面向量数量积的应用 题点 已知向量夹角求参数 答案 B 解析 ∵n⊥(tm+n),∴n·(tm+n)=0,即 tm·n+n2=0,∴t|m||n|cos〈m,n〉+|n|2 =0,由已知得 t×3 4 |n|2×1 3 +|n|2=0,解得 t=-4,故选 B. 4.在△ABC 中,AB→=a,BC→=b,且 a·b>0,则△ABC 是( ) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.钝角三角形 考点 平面向量数量积的应用 题点 数量积在三角形中的应用 答案 D 解析 由AB→·BC→>0 知,BA→·BC→<0,即角 B 为钝角. 5.已知|a|=1,|b|= 2,且(a+b)与 a 垂直,则 a 与 b 的夹角是________. 考点 平面向量数量积的应用 题点 利用数量积求向量的夹角 答案 3π 4 解析 ∵(a+b)·a=a2+a·b=0, ∴a·b=-a2=-1, 设 a 与 b 的夹角为θ, ∴cosθ= a·b |a||b| = -1 1× 2 =- 2 2 , 又θ∈[0,π],∴θ=3π 4 . 1.数量积对结合律不一定成立,因为(a·b)·c=|a||b|·cos〈a,b〉·c 是一个与 c 共线 6 的向量,而(a·c)·b=|a||c|cos〈a,c〉·b 是一个与 b 共线的向量,若 b 与 c 不共线, 则两者不相等. 2.在实数中,若 ab=0,则 a=0 或 b=0,但是在数量积中,即使 a·b=0,也不能推出 a =0 或 b=0,因为其中 cosθ有可能为 0. 3.在实数中,若 ab=bc,b≠0,则 a=c,在向量中 a·b=b·c,b≠0⇏ a=c. 一、选择题 1.已知|a|=1,|b|=1,|c|= 2,a 与 b 的夹角为 90°,b 与 c 的夹角为 45°,则 a·(b·c) 的化简结果是( ) A.0B.aC.bD.c 考点 平面向量数量积的运算性质和法则 题点 向量的运算性质和法则 答案 B 解析 b·c=|b||c|cos45°=1. ∴a·(b·c)=a. 2.已知 a⊥b,|a|=2,|b|=3,且 3a+2b 与λa-b 垂直,则λ等于( ) A.3 2 B.-3 2 C.±3 2 D.1 考点 平面向量数量积的应用 题点 已知向量夹角求参数 答案 A 解析 ∵(3a+2b)·(λa-b)=3λa2+(2λ-3)a·b-2b2 =3λa2-2b2=12λ-18=0,∴λ=3 2 . 3.(2017·嘉峪关高一检测)已知向量 a,b 为非零向量,(a-2b)⊥a,(b-2a)⊥b,则 a,b 的夹角为( ) A.π 6 B.π 3 C.2π 3 D.5π 6 考点 平面向量数量积的应用 题点 利用数量积求向量的夹角 答案 B 解析 设 a 与 b 的夹角为θ. 因为(a-2b)⊥a,(b-2a)⊥b, 7 所以(a-2b)·a=a2-2a·b=0, (b-2a)·b=b2-2a·b=0. 所以 a2=2a·b,b2=2a·b,所以 a2=b2, 所以|a|=|b|, 所以 cosθ= a·b |a||b| =a·b |a|2 =a·b a2 = a·b 2a·b =1 2 . 因为θ∈[0,π],所以θ=π 3 . 所以 a,b 夹角为π 3 . 8 4.在四边形 ABCD 中,AB→=DC→,且AC→·BD→=0,则四边形 ABCD 是( ) A.矩形 B.菱形 C.直角梯形 D.等腰梯形 考点 平面向量数量积的应用 题点 向量模与夹角的综合应用 答案 B 解析 由AB→=DC→知四边形 ABCD 是平行四边形,由AC→·BD→=0 知 AC⊥BD,即对角线垂直,所以 四边形 ABCD 是菱形. 5.若非零向量 a,b 满足|a|=|b|,(2a+b)·b=0,则 a 与 b 的夹角为( ) A.30° B.60° C.120° D.150° 考点 平面向量数量积的应用 题点 利用数量积求向量的夹角 答案 C 解析 由题知,(2a+b)·b=2a·b+b2 =2|a|2cos〈a,b〉+a2=0, ∴cos〈a,b〉=-1 2 , 又∵〈a,b〉∈[0°,180°], ∴a,b 的夹角为 120°. 6.已知向量AB→与AC→的夹角为 120°,且|AB→|=2,|AC→|=3.若AP→=λAB→+AC→,且AP→⊥BC→,则 实数λ的值为( ) A.3 7 B.13C.6D.12 7 考点 平面向量数量积的应用 题点 已知向量夹角求参数 答案 D 解析 ∵AB→与AC→的夹角为 120°,且|AB→|=2,|AC→|=3, ∴AB→·AC→=|AB→|·|AC→|cos120° =2×3× -1 2 =-3. ∵AP→·BC→=(AC→+λAB→)·(AC→-AB→) =AC→2-λAB→2+(λ-1)AB→·AC→=0, 9 ∴32-λ×22+(λ-1)×(-3)=0, 解得λ=12 7 ,故选 D. 7.(2017·惠州高一检测)若 O 为△ABC 所在平面内任一点,且满足(OB→-OC→)·(OB→+OC→-2OA→) =0,则△ABC 的形状为( ) A.等腰三角形 B.直角三角形 C.正三角形 D.等腰直角三角形 考点 平面向量数量积的应用 题点 数量积在三角形中的应用 答案 A 解析 因为(OB→-OC→)·(OB→+OC→-2OA→)=0, 即CB→·(AB→+AC→)=0, 又因为AB→-AC→=CB→, 所以(AB→-AC→)·(AB→+AC→)=0, 即|AB→|=|AC→|, 所以△ABC 是等腰三角形. 二、填空题 8.已知向量 a,b 满足(a+2b)·(5a-4b)=0,且|a|=|b|=1,则 a 与 b 的夹角θ为________. 考点 平面向量数量积的应用 题点 利用数量积求向量的夹角 答案 π 3 解析 因为(a+2b)·(5a-4b)=0,|a|=|b|=1, 所以 6a·b-8+5=0,即 a·b=1 2 . 又 a·b=|a||b|cosθ=cosθ, 所以 cosθ=1 2 , 因为θ∈[0,π],所以θ=π 3 . 9.已知非零向量 a,b,满足 a⊥b,且 a+2b 与 a-2b 的夹角为 120°,则|a| |b| =________. 考点 平面向量数量积的应用 题点 向量模与夹角的综合应用 10 答案 2 3 3 解析 ∵a⊥b,∴a·b=0, (a+2b)·(a-2b)=a2-4b2, |a+2b|= a2+4a·b+4b2= a2+4b2, |a-2b|= a2-4a·b+4b2= a2+4b2, ∴a2-4b2= a2+4b2· a2+4b2·cos120°, 化简得 3 2 a2-2b2=0, ∴|a| |b| =2 3 3 . 10.设向量 a,b,c 满足 a+b+c=0,(a-b)⊥c,a⊥b,若|a|=1,则|a|2+|b|2+|c|2 的 值是________. 考点 平面向量数量积的应用 题点 向量模与夹角的综合应用 答案 4 解析 方法一 由 a+b+c=0,得 c=-a-b. 又(a-b)·c=0, ∴(a-b)·(-a-b)=0, 即 a2=b2. 则 c2=(a+b)2=a2+b2+2a·b=a2+b2=2, ∴|a|2+|b|2+|c|2=4. 方法二 如图,作AB→=BD→=a. BC→=b,则CA→=c, ∵a⊥b,∴AB⊥BC, 又∵a-b=BD→-BC→=CD→, (a-b)⊥c,∴CD⊥CA, ∴△ABC 是等腰直角三角形, ∵|a|=1,∴|b|=1,|c|= 2,∴|a|2+|b|2+|c|2=4. 11.已知向量 a,b 满足|a|=2,|b|=1,且对一切实数 x,|a+xb|≥|a+b|恒成立,则 a, b 的夹角的大小为________. 11 考点 平面向量数量积的应用 题点 向量模与夹角的综合应用 答案 2π 3 解析 由题意可知,|a+xb|2≥|a+b|2, 即 a2+2a·b·x+b2·x2≥a2+2a·b+b2, 设 a 与 b 的夹角为θ, 则 4+4cosθ·x+x2≥4+4cosθ+1, 即 x2+4cosθ·x-1-4cosθ≥0, 因为对一切实数 x,|a+xb|≥|a+b|恒成立, 所以Δ=16cos2θ+4(1+4cosθ)≤0, 即(2cosθ+1)2≤0, 所以 2cosθ+1=0,cosθ=-1 2 . 又因为θ∈[0,π],所以θ=2π 3 . 12.已知平面上三个向量 a,b,c 的模均为 1,它们相互之间的夹角为 120°.若|ka+b+ c|>1(k∈R),则 k 的取值范围为________. 考点 平面向量数量积的应用 题点 向量模与夹角的综合应用 答案 {k|k<0 或 k>2} 解析 因为|ka+b+c|>1, 所以(ka+b+c)·(ka+b+c)>1, 即 k2a2+b2+c2+2ka·b+2ka·c+2b·c>1. 因为 a·b=a·c=b·c=cos120°=-1 2 , 所以 k2-2k>0,所以 k>0, k-2>0 或 k<0, k-2<0, 解得 k<0 或 k>2, 即 k 的取值范围是{k|k<0 或 k>2}. 三、解答题 13.设两个向量 e1,e2 满足|e1|=2,|e2|=1,e1,e2 的夹角为 60°,若向量 2te1+7e2 与 e1 +te2 的夹角为钝角,求实数 t 的取值范围. 考点 平面向量数量积的应用 题点 已知向量夹角求参数 12 解 设向量 2te1+7e2 与 e1+te2 的夹角为θ. 根据题意,得 cosθ= 2te1+7e2· e1+te2 |2te1+7e2||e1+te2| <0, ∴(2te1+7e2)·(e1+te2)<0. 化简,得 2t2+15t+7<0, ∴ 2t+1>0, t+7<0 或 2t+1<0, t+7>0, 解得-7
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