高考试题数学江苏卷解析精校版

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‎2016年江苏卷数学高考试题 一、 填空题：本大题共14个小题,每小题5分,共70分.请把答案写在答题卡相应位置上。‎ ‎1.已知集合则________▲________. ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：‎ 考点：集合运算 ‎【名师点睛】本题重点考查集合的运算，容易出错的地方是审错题意，属于基本题，难点系数较小.一要注意培养良好的答题习惯，避免出现粗心错误，二是明确江苏高考对于集合题的考查立足于列举法，强调对集合运算有关概念及法则的理解.‎ ‎2. 复数其中i为虚数单位，则z的实部是________▲________. ‎ ‎【答案】5‎ ‎【解析】‎ 试题分析：，故z的实部是5‎ 考点：复数概念 ‎【名师点睛】本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如. 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数的实部为、虚部为、模为、共轭为 ‎3. 在平面直角坐标系xOy中，双曲线的焦距是________▲________. ‎ ‎【答案】‎ 考点：双曲线性质 ‎【名师点睛】本题重点考查双曲线基本性质，而双曲线性质是与双曲线标准方程息息相关，明确双曲线标准方程中量所对应关系是解题关键：揭示焦点在x轴，实轴长为，虚轴长为，焦距为，渐近线方程为，离心率为 ‎4. 已知一组数据4.7,4.8,5.1,5.4,5.5，则该组数据的方差是________▲________. ‎ ‎【答案】0.1‎ ‎【解析】‎ 试题分析：这组数据的平均数为，．故答案应填：0.1，‎ 考点：方差 ‎【名师点睛】本题考查的是总体特征数的估计，重点考查了方差的计算，本题有一定的计算量，属于简单题.认真梳理统计学的基础理论，特别是系统抽样和分层抽样、频率分布直方图、方差等，针对训练近几年的江苏高考类似考题，直观了解本考点的考查方式，强化相关计算能力.‎ ‎5. 函数y=的定义域是 ▲ .‎ ‎【答案】‎ 考点：函数定义域 ‎【名师点睛】函数定义域的考查，一般是多知识点综合考查，先列，后解是常规思路.列式主要从分母不为零、偶次根式下被开方数非负、对数中真数大于零等出发，而解则与一元二次不等式、指对数不等式、三角不等式联系在一起.‎ ‎6. 如图是一个算法的流程图，则输出的a的值是 ▲ .‎ ‎【答案】9‎ ‎【解析】‎ 试题分析：第一次循环：，第二次循环：，此时循环结束，故答案应填：9‎ 考点：循环结构流程图 ‎【名师点睛】算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.‎ ‎7. 将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具）先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是 ▲ .‎ ‎【答案】‎ 考点：古典概型概率 ‎【名师点睛】概率问题的考查，侧重于对古典概型和对立事件的概率考查，属于简单题.江苏对古典概型概率考查，注重事件本身的理解，淡化计数方法.因此先明确所求事件本身的含义，然后一般利用枚举法、树形图解决计数问题，而当正面问题比较复杂时，往往采取计数其对立事件.‎ ‎8. 已知是等差数列，是其前项和.若，则的值是 ▲ .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由得，因此 考点：等差数列性质 ‎【名师点睛】本题考查等差数列基本量，对于特殊数列，一般采取待定系数法，即列出关于首项及公差的两个独立条件即可.为使问题易于解决，往往要利用等差数列相关性质，如 及等差数列广义通项公式 ‎9. 定义在区间上的函数的图象与的图象的交点个数是 ▲ .‎ ‎【答案】7‎ ‎【解析】由，因为，所以 共7个 考点：三角函数图像 ‎【名师点睛】求函数图像交点个数，可选用两个角度：一是直接求解，如本题，解一个简单的三角方程，此方法立足于易于求解，二是数形结合，分别画出函数图像，数交点个数，此法直观，但对画图要求较高，必须准确，尤其明确增长幅度.‎ ‎10. 如图，在平面直角坐标系中，是椭圆 的右焦点，直线 与椭圆交于两点，且,则该椭圆的离心率是 ▲ .‎ ‎【答案】‎ 考点：椭圆离心率 ‎【名师点睛】椭圆离心率的考查，一般分两个层次，一是由离心率的定义，只需分别求出，这注重考查椭圆标准方程中量的含义，二是整体考查，求的比值，这注重于列式，即需根据条件列出关于的一个齐次等量关系，通过解方程得到离心率的值.‎ ‎11. 设是定义在上且周期为2的函数，在区间上， ‎ 其中 若 ，则的值是 ▲ .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】，‎ 因此 考点：分段函数，周期性质 ‎【名师点睛】分段函数的考查方向注重对应性，即必须明确不同的自变量所对应的函数解析式是什么.函数周期性质可以将未知区间上的自变量转化到已知区间上.解决此类问题时，要注意区间端点是否取到及其所对应的函数值，尤其是分段函数结合点处函数值.‎ ‎12. 已知实数满足 ，则的取值范围是 ▲ .‎ ‎【答案】‎ 考点：线性规划 ‎【名师点睛】线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围.‎ ‎13. 如图，在中，是的中点，是上的两个三等分点，， ，则 的值是 ▲ . ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】因为,,‎ 因此，‎ 考点：向量数量积 ‎【名师点睛】研究向量数量积，一般有两个思路，一是建立直角坐标系，利用坐标研究向量数量积；二是利用一组基底表示所有向量，两种实质相同，坐标法更易理解和化简. 对于涉及中线向量问题，利用向量加法与减法的平行四边形法则，可以得到一个很实用的结论：‎ ‎14. 在锐角三角形中，若，则的最小值是 ▲ .‎ ‎【答案】8.‎ 考点：三角恒等变换，切的性质应用 ‎【名师点睛】消元与降次是高中数学主旋律，利用三角形中隐含的边角关系作为消元依据是本题突破口，斜三角形中恒有，这类同于正余弦定理，是一个关于切的等量关系，平时多总结积累常见的三角恒等变形，提高转化问题能力，培养消元意识 二、解答题 （本大题共6小题，共90分.请在答题卡制定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎15. （本小题满分14分）‎ 在中，AC=6，‎ ‎（1）求AB的长；‎ ‎（2）求的值. ‎ ‎【答案】（1）(2) ‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）利用同角三角函数关系求 再利用正弦定理求 (2)利用诱导公式及两角和余弦公式分别求，最后根据两角差余弦公式求，注意开方时正负取舍.‎ 试题解析：解（1）因为所以 由正弦定理知，所以 考点：同角三角函数关系，正余弦定理，两角和与差公式 ‎【名师点睛】三角函数是以角为自变量的函数，因此解三角函数题，首先从角进行分析，善于用已知角表示所求角，即注重角的变换.角的变换涉及诱导公式、同角三角函数关系、两角和与差公式、二倍角公式、配角公式等，选用恰当的公式，是解决三角问题的关键，明确角的范围，对开方时正负取舍是解题正确的保证.‎ ‎16. (本小题满分14分)‎ 如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，D，E分别为AB，BC的中点，点F在侧棱B1B上，且 ，.‎ 求证：（1）直线DE∥平面A1C1F；‎ ‎（2）平面B1DE⊥平面A1C1F. ‎ ‎【答案】（1）详见解析（2）详见解析 考点：直线与直线、平面与平面位置关系 ‎【名师点睛】垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型.‎ ‎(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行.‎ ‎(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直.‎ ‎(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.‎ ‎(4)证明面面垂直，需转化为证明线面垂直，进而转化为证明线线垂直.‎ ‎17. （本小题满分14分）‎ 现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部分的形状是正四棱锥，下部分的形状是正四棱柱(如图所示)，并要求正四棱柱的高的四倍.‎ ‎ （1）若则仓库的容积是多少？‎ ‎（2）若正四棱柱的侧棱长为6m,则当为多少时，仓库的容积最大？‎ ‎【答案】（1）312（2）‎ ‎ ‎ 考点：函数的概念、导数的应用、棱柱和棱锥的体积 ‎【名师点睛】对应用题的训练，一般从读题、审题、剖析题目、寻找切入点方面进行强化，注重培养将文字语言转化为数学语言能力，强化构建数学模型的几种方法.而江苏应用题，往往需结合导数知识解决相应数学最值问题，因此掌握利用导数求最值方法是一项基本要求，需熟练掌握.‎ ‎18. （本小题满分16分）‎ 如图，在平面直角坐标系中，已知以为圆心的圆及其上一点 ‎（1）设圆与轴相切，与圆外切，且圆心在直线上，求圆的标准方程；‎ ‎（2）设平行于的直线与圆相交于两点，且,求直线的方程；‎ ‎（3）设点满足：存在圆上的两点和,使得,求实数的取值范围。‎ ‎【答案】（1）（2）（3）‎ ‎ (2)因为直线l||OA，所以直线l的斜率为.‎ 设直线l的方程为y=2x+m，即2x-y+m=0，‎ 则圆心M到直线l的距离 ‎ ‎ 因为 ‎ 而 ‎ 所以，解得m=5或m=-15. 学优高考网 故直线l的方程为2x-y+5=0或2x-y-15=0.‎ 考点：直线方程、圆的方程、直线与直线、直线与圆、圆与圆的位置关系、平面向量的运算 ‎【名师点睛】直线与圆中三个定理：切线的性质定理，切线长定理，垂径定理；两个公式：点到直线距离公式及弦长公式，其核心都是转化到与圆心、半径关系上，这是解决直线与圆的根本思路.对于多元问题，也可先确定主元，如本题以为主元，揭示在两个圆上运动，从而转化为两个圆有交点这一位置关系，这也是解决直线与圆问题的一个思路，即将问题转化为直线与圆、圆与圆位置关系.‎ ‎19. （本小题满分16分）‎ 已知函数.‎ 设.‎ ‎（1）求方程的根;‎ ‎（2）若对任意,不等式恒成立，求实数的最大值；‎ ‎（3）若，函数有且只有1个零点，求的值。‎ ‎【答案】（1）①0 ②4（2）1‎ ‎【解析】‎ 考点：指数函数、基本不等式、利用导数研究函数单调性及零点 ‎【名师点睛】对于函数零点个数问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．但需注意探求与论证之间区别，论证是充要关系，要充分利用零点存在定理及函数单调性严格说明函数零点个数.‎ ‎20. （本小题满分16分）‎ 记.对数列和的子集T，若,定义;若 ‎，定义.例如：时，.现设是公比为3的等比数列，且当时，.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）对任意正整数，若，求证：；‎ ‎（3）设,求证：.‎ ‎【答案】（1）（2）详见解析（3）详见解析 ‎【解析】‎ ‎（2）因为，，‎ 所以.‎ 因此，.‎ 考点：等比数列的通项公式、求和 ‎【名师点睛】本题三个难点，一是数列新定义，利用新定义确定等比数列首项，再代入等比数列通项公式求解，二是利用放缩法求证不等式，放缩目的，是将非特殊数列转化为特殊数列，从而可利用特殊数列性质，以算代征，三是结论含义的应用，实质又是一个新定义，只不过是新定义的性质应用.‎ ‎21.【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． ‎ A．【选修4—1几何证明选讲】（本小题满分10分）‎ 如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BD⊥AC，D为垂足，E是BC的中点，求证：∠EDC=∠ABD.‎ ‎【答案】详见解析 考点：相似三角形 ‎【名师点睛】1.相似三角形的证明方法：(1)先找两对内角对应相等；(2)若只有一个角对应相等，再判定这个角的两邻 边是否对应成比例；(3)若无角对应相等，就要证明三边对应成比例．‎ ‎2．利用相似三角形的性质进行对应边的比、对应角的度数的相关运算时，要善于联想变换比例式，通过添加辅助线构造相似三角形，同时注意面积法的应用．学优高考网 B.【选修4—2：矩阵与变换】（本小题满分10分）‎ 已知矩阵 矩阵B的逆矩阵 ，求矩阵AB.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：先求逆矩阵的逆： ，再根据矩阵运算求矩阵AB.‎ 试题解析：解：设，则，‎ 考点：逆矩阵，矩阵乘法 ‎【名师点睛】矩阵乘法及逆矩阵需明确运算法则，实质是考查一种运算法则：‎ ‎，，类似求矩阵特征值及特征向量也是如此.‎ C.【选修4—4：坐标系与参数方程】（本小题满分10分）‎ 在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为 （t为参数），椭圆C的参数方程为 （为参数）.设直线l与椭圆C相交于A，B两点，求线段AB的长.‎ ‎【答案】‎ 考点：直线与椭圆参数方程 ‎【名师点睛】1.将参数方程化为普通方程，消参数常用代入法、加减消元法、三角恒等变换法．‎ ‎2．把参数方程化为普通方程时，要注意哪一个量是参数，并且要注意参数的取值对普通方程中x及y的取值范围的影响．‎ D. 【选修4—5：不等式选讲】（本小题满分10分）‎ 设a＞0，|x-1|＜ ，|y-2|＜ ，求证：|2x+y-4|＜a.‎ ‎【答案】详见解析 试题分析：利用含绝对值的三角不等式|a＋b|≤|a|＋|b|进行放缩证明 试题解析：证明：因为 所以 考点：含绝对值的不等式证明 ‎【名师点睛】利用绝对值三角不等式求最值时，可借助绝对值三角不等式性质定理：||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|，通过适当的添、拆项来放缩求解，但一定要注意取等号的条件．将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向．‎ ‎【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分. 请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎22. （本小题满分10分）‎ 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线，抛物线 ‎（1）若直线l过抛物线C的焦点，求抛物线C的方程；‎ ‎（2）已知抛物线C上存在关于直线l对称的相异两点P和Q.‎ ‎①求证：线段PQ的中点坐标为；‎ ‎②求p的取值范围.‎ ‎【答案】（1）（2）①详见解析，②‎ ‎（2）设，线段PQ的中点 因为点P和Q关于直线对称，所以直线垂直平分线段PQ,‎ 于是直线PQ的斜率为，则可设其方程为 ‎①由消去得 因为P 和Q是抛物线C上的相异两点，所以 从而，化简得.‎ 方程（*）的两根为，从而 因为在直线上，所以 因此，线段PQ的中点坐标为 ‎②因为在直线上 所以，即 由①知，于是，所以 因此的取值范围为学优高考网 考点：直线与抛物线位置关系 ‎【名师点睛】在利用代数法解决范围问题时常从以下五个方面考虑：‎ ‎(1)利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；‎ ‎(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是在两个参数之间建立等量关系；‎ ‎(3)利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；‎ ‎(4)利用基本不等式求出参数的取值范围；‎ ‎(5)利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围．‎ ‎23. （本小题满分10分）‎ ‎（1）求 的值；‎ ‎（2）设m，nN*，n≥m，求证： ‎ ‎（m+1）+（m+2）+（m+3）+…+n+（n+1）=（m+1）.‎ ‎【答案】（1）0（2）详见解析 考点：组合数及其性质 ‎【名师点睛】本题从性质上考查组合数性质，从方法上考查利用数学归纳法解决与自然数有关命题，从思想上考查运用算两次解决二项式有关模型. 组合数性质不仅有课本上介绍的、，更有，现在又有，这些性质不需记忆，但需会推导，更需会应用.‎ ‎ ‎