高中数学人教版选修1-2课时提升作业（五）2-2-1-1综合法探究导学课型word版含答案
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课时提升作业(五)
综 合 法
(25 分钟 60 分)
一、选择题(每小题 5 分，共 25 分)
1.已知等比数列{an}的公比为正数，且 a3·a9=2 ，a2=1，则 a1 等于( )
A. B. C. D.2
【解析】选 B.由 a3·a9=2 知 ·q10=2 ·q8，
所以 q2=2，因为 q>0，
所以 q= ，a1= = = .
【补偿训练】如果公差不为零的等差数列中的第二、第三、第六项构成等比数列，那么这个
等比数列的公比等于( )
A.1 B.2 C.3 D.4
【解析】选 C.设等差数列的首项为 a1，公差为 d，等比数列的公比为 q(q≠0)，则 a2=a1+d，
a3=a1+2d，a6=a1+5d.
因为 a2，a3，a6 构成等比数列，
所以 =a2·a6，所以 a1=- ，所以 q= =3.
2.(2015 台州高二检测)设 a，b∈R，且 a≠b，a+b=2，则必有( )
A.1≤ab≤ B.
( )2=1.
所以 >1>ab.
【补偿训练】设 a>0，b>0 且 ab-(a+b)≥1，则( )
A.a+b≥2( +1) B.a+b≤ +1
C.a+b≤( +1)2 D.a+b>2( +1)
【解析】选 A.由条件知 a+b≤ab-1≤ -1，
令 a+b=t，则 t>0 且 t≤ -1，
解得 t≥2+2 .
3.(2014·天津高考)设{an}是首项为 a1，公差为-1 的等差数列，Sn 为其前 n 项和.若 S1，S2，
S4 成等比数列，则 a1=( )
A.2 B.-2 C. D.-
【解析】选 D.因为 S2=2a1-1，S4=4a1+ ×(-1)=4a1-6，且 S1，S2，S4 成等比数列，所以
(2a1-1)2=a1(4a1-6)，解得 a1=- .
4.(2015 烟台高二检测)如果 x>0，y>0，x+y+xy=2，则 x+y 的最小值是( )
A. B.2 -2 C.1+ D.2-
【解析】选 B.由 x>0，y>0，x+y+xy=2，
则 2-(x+y)=xy≤ ，
所以(x+y)2+4(x+y)-8≥0，
所以 x+y≥2 -2 或 x+y≤-2-2 .
因为 x>0，y>0，所以 x+y 的最小值为 2 -2.
5.(2015·郑州高二检测)若钝角三角形 ABC 三内角 A，B，C 的度数成等差数列且最大边与最
小边的比为 m，则 m 的取值范围是( )
A.(2，+∞) B.(0，2)
C. D.[2，+∞)
【解析】选 A.设三角形的三边从小到大依次为 a，b，c，
因为三内角的度数成等差数列，
所以 2B=A+C.
则 A+B+C=3B=180°，可得 B=60°.
根据余弦定理得 cosB=cos60°= = .
得 b2=a2+c2-ac，
因三角形 ABC 为钝角三角形，
故 a2+b2-c2<0.
于是 2a2-ac<0，即 >2.
又 m= ，即 m∈(2，+∞).
二、填空题(每小题 5 分，共 15 分)
6.(2014·绵阳高二检测)等比数列{an}各项为正数，且 3 是 a5 和 a6 的等比中项，a1·a2·…·□
等于 310，则□内应填 .
【解析】由题意，a5·a6= ·q9=32，a1·a2·…·a10= q45=( q9)5=(32)5=310.
答案：a10
【一题多解】因为 a5·a6=32，由等比数列的性质知 a1·a10=a2·a9=…=a5·a6，
所以 a1·a2·…·a10=(a5·a6)5=(32)5=310.
答案：a10
7.(2015·马鞍山高二检测)在△ABC 中，已知 cosAcosB>sinAsinB，则△ABC 的形状一定
是 .
【解题指南】移项后通过三角恒等变换判断三角形形状.
【解析】因为 cosAcosB>sinAsinB，
所以 cosAcosB-sinAsinB
=cos(A+B)>0.
因为 00，求证： + + ≥ (a+b+c).
【证明】因为 a2+b2≥2ab，a，b>0，
所以 2(a2+b2)≥a2+b2+2ab=(a+b)2，
所以 a2+b2≥ ，
所以 ≥ (a+b).
同理： ≥ (b+c)，
≥ (c+a)，
所以 + + ≥ (2a+2b+2c)
= (a+b+c).(当且仅当 a=b=c 时取等号)
故 + + ≥ (a+b+c).
10.(2015·石家庄高二检测)已知数列{an}为等比数列，a2=6，a5=162.
(1)求数列{an}的通项公式.
(2)设 Sn 是数列{an}的前 n 项和，证明： ≤1.
【解析】(1)设等比数列{an}的公比为 q，则 a2=a1q，a5=a1q4，
依题意，得方程组 ，
解得 a1=2，q=3，
所以 an=2·3n-1
(2)因为 Sn= =3n-1，
所以 =
≤ =1，
即 ≤1.
【补偿训练】已知△ABC 的三边长 a，b，c 的倒数成等差数列，求证：B<90°.
【证明】由题意知 = + ，
所以 b(a+c)=2ac.
因为 cosB= ≥ =1- =1- =1-
又△ABC 三边长 a，b，c 满足 a+c>b，
所以 <1，
所以 1- >0.
所以 cosB>0，
即 B<90°.
【拓展延伸】综合法处理问题的三个步骤
(20 分钟 40 分)
一、选择题(每小题 5 分，共 10 分)
1.(2015·南昌高二检测)已知公差不为零的等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 a4 是 a3 与 a7
的等比中项 S8=32，则 S10 等于( )
A.18 B.24 C.60 D.90
【解题指南】由等比中项的定义可得 =a3a7，根据等差数列的通项公式及前 n 项和公式，
设出公差 d，列方程解出 a1 和 d 进而求出 S10.
【解析】选 C.等差数列{an}的公差为 d，因为 a4 是 a3 与 a7 的等比中项，
所以 =a3·a7，
即(a1+3d)2=(a1+2d)(a1+6d)
整理得 2a1+3d=0，①
又 S8=8a1+ d=32.
整理得 2a1+7d=8，②
由①②知 d=2，a1=-3.
所以 S10=10a1+ d=60.
【补偿训练】(2014·温州高二检测)已知方程(x2-mx+2)(x2-nx+2)=0 的四个根组成一个首项
为 的等比数列，则|m-n|= .
【解析】方程(x2-mx+2)(x2-nx+2)=0⇒x2-mx+2=0①
或 x2-nx+2=0②.
设方程①两根为 x1，x4.方程②两根为 x2，x3.则 x1·x4=2，x1+x4=m，x2·x3=2，x2+x3=n.
因为方程(x2-mx+2)(x2-nx+2)=0 的四个根组成一个首项为 的等比数列.
所以 x1，x2，x3，x4 分别为此数列的前四项且 x1= ，x4= =4，公比为 2，所以 x2=1，x3=2，所
以 m=x1+x4= +4= ，n=x2+x3=1+2=3，故|m-n|= = .
答案：
2.若 a，b，c∈R，且 ab+bc+ca=1，则下列不等式成立的是( )
A.a2+b2+c2≥2 B.(a+b+c)2≥3
C. + + ≥2 D.abc(a+b+c)≤
【解析】选 B.因为 a，b，c∈R，
所以 a2+b2≥2ab，b2+c2≥2bc，a2+c2≥2ac，
所以 a2+b2+c2≥ab+bc+ac=1，
所以(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac=a2+b2+c2+2≥3.
二、填空题(每小题 5 分，共 10 分)
3.(2015·福州高二检测)下面的四个不等式：①a2+b2+3≥ab+ (a+b)；②a(1-a)≤ ；③ +
≥2；
④(a2+b2)·(c2+d2)≥(ac+bd) 2，其中恒成立的是 .
【解析】因为 a2+b2≥2ab，a2+3≥2 a，b2+3≥2 b.
相加得 2(a2+b2+3)≥2ab+2 (a+b)，所以 a2+b2+3≥ab+ (a+b)，所以①正确.
由于 a(1-a)- =-a2+a- =- ≤0，所以②正确.
(a2+b2)·(c2+d2)=a2c2+a2d2+b2c2+b2d2≥a2c2+2abcd+b2d2=(ac+bd)2，所以④正确.
而 + ≥2，因为 a，b 的符号不确定，
所以不一定成立.
答案：①②④
4.(2015·长春高二检测)点 P 是曲线 y=x2-lnx 上任意一点，则点 P 到直线 y=x-2 的距离的
最小值是 .
【解题指南】在曲线上求一点，使得在此点处的切线和直线 y=x-2 平行，求出两条平行线间
的距离即可.
【解析】点 P 是曲线 y=x2-lnx 上任意一点，当过点 P 的切线和直线 y=x-2 平行时，点 P 到
直线 y=x-2 的距离最小.直线 y=x-2 的斜率为 1.令 y=x2-lnx 的导数
y′=2x- =1，得 x=1 或 x=- (舍)，所以切点坐标为(1，1)，点(1，1)到直线 y=x-2 的距离
等于 .
答案：
三、解答题(每小题 10 分，共 20 分)
5.如图，长方体 ABCD-A1B1C1D1 中，AB=AA1=1，AD=2，E 是 BC 的中点.
(1)求证：直线 BB1∥平面 D1DE.
(2)求证：平面 A1AE⊥平面 D1DE.
【证明】(1)在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中，BB1∥DD1，
又因为 BB1⊄ 平面 D1DE，DD1⊂平面 D1DE，
所以直线 BB1∥平面 D1DE.
(2)在长方形 ABCD 中，
因为 AB=AA1=1，AD=2，
所以 AE=DE= ，
所以 AE2+DE2=4=AD2，
故 AE⊥DE，
因为在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中有 DD1⊥平面
ABCD，AE⊂平面 ABCD，
所以 DD1⊥AE.
又因为 DD1∩DE=D，
所以直线 AE⊥平面 D1DE，
而 AE⊂平面 A1AE，
所以平面 A1AE⊥平面 D1DE.
【延伸探究】本题中如何求三棱锥 A-A1DE 的体积？
【解析】 = = AA1×S△ADE= ×1× ×1×2= .
【拓展延伸】综合法的广泛应用
综合法不但是数学证明中的重要方法之一，也是其他解答题步骤书写的重要方法，其特点是
“执因索果”.综合法在数学证明中的应用非常广泛，用它不但可以证明不等式、立体几何、
解析几何问题，也可以证明三角恒等式、数列问题、函数问题等.
6.(2015·绵阳高二检测)已知数列{an}中，a1=1，二次函数 f(x)= an·x2+
(2-n-an+1)·x 的对称轴为 x= .
(1)试证明{2nan}是等差数列，并求{an}的通项公式.
(2)设{an}的前 n 项和为 Sn，试求使得 Sn<3 成立的 n 的值，并说明理由.
【解题指南】(1)根据对称轴，得到 2n+1an+1-2nan=2，继而得到{2nan}是以 2 为首项，以 2 公差
的等差数列.根据等差数列的通项公式求出 an.
(2)利用错位相加法求出数列的前 n 项和 Sn，并利用函数的思想，得到 Sn<3 成立的 n 的值.
【解析】(1)因为二次函数 f(x)= an·x2+(2-n-an+1)·x 的对称轴为 x= .
所以 = ，
所以 2n+1an+1-2nan=2，
因为 a1=1，所以 2a1=2，
所以{2nan}是以 2 为首项，以 2 为公差的等差数列，
所以 2nan=2+2(n-1)=2n，
所以 an= =n· .
(2)因为 Sn=a1+a2+…+an=1× +2× +3× +n· ，
所以 Sn=1× +2× +3× +…+n· ，
两式相减得，
Sn= + + + +…+ -n· = -n· =2-2· -n· ，
所以 Sn=4- ，
因为 Sn<3，所以 4- <3，
所以 n+2>2n-1，
分别画出函数 y=x+2(x>0)，与 y=2x-1(x>0)的图象，如图所示，由图象可知，当 n=1，2，3
时，Sn<3 成立.
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