2020_2021学年新教材高中数学第5章函数概念与性质5

2020_2021学年新教材高中数学第5章函数概念与性质5

‎5.1　函数的概念和图象 第1课时　函数的概念 学 习 目 标 核 心 素 养 ‎1．在集合对应的基础上理解函数的概念，并能应用函数的有关概念解题．(重点、难点)‎ ‎2．会求几种简单函数的定义域、值域．(重点)‎ 通过学习本节内容培养学生的数学抽象核心素养，提升学生的数学运算核心素养．‎ ‎(1)国家统计局的课题组公布，如果将2005年中国创新指数记为100，近些年来中国创新指数的情况如下表所示：‎ 年度 ‎2008‎ ‎2009‎ ‎2010‎ ‎2011‎ ‎2012‎ ‎2013‎ ‎2014‎ ‎2015‎ 中国创新指数 ‎116.5‎ ‎125.5‎ ‎131.8‎ ‎139.6‎ ‎148.2‎ ‎152.6‎ ‎158.2‎ ‎171.5‎ 如果用y表示年度值，I表示中国创新指数的取值，则I是y的函数吗？如果是，这个函数用数学符号可以怎样表示？‎ ‎(2)利用医疗仪器可以方便地测量出心脏在各时刻的指标值，据此可以描绘出心电图，如图所示．医生在看心电图时，会根据图形的整体形态来给出诊断结果(如根据两个峰值的间距来得出心率等)．‎ 如果用t表示测量的时间，v表示测量的指标值，则v是t的函数吗？如果是，这个函数用数学符号可以怎样表示？‎ ‎1．函数的概念 函数的定义 一般地，给定两个非空实数集合A和B，如果按照某种对应关系f，对于集合A中的每一个实数x，在集合B中都有唯一的实数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数 函数的记法 从集合A到集合B的一个函数通常记为y＝f(x)，x∈A 函数的定义域 在函数y＝f(x)，x∈A中，所有的x(输入值)组成的集合A - 8 -‎ 叫做函数y＝f(x)的定义域．‎ 函数的值域 若A是函数y＝f(x)的定义域，则对于A中的每一个x(输入值)，都有一个y(输出值)与之对应，则将所有输出值y组成的集合{y|y＝f(x)，x∈A}称为函数的值域 ‎2．两个函数是同一函数 ‎(1)定义域和对应关系都相同的两个函数． ‎ ‎(2)函数的对应关系和定义域都确定后，函数才能够确定．‎ ‎(3)给定函数时要指明函数的定义域，对于用表达式表示的函数，如果没有指明定义域，那么，就认为函数的定义域是指使得函数表达式有意义的输入值的集合．‎ 思考：定义域和值域都相同的函数是同一个函数吗？‎ ‎[提示]　不一定是，如函数y＝x，x∈[0,1]，和y＝x2，x∈[0,1]．定义域和值域都相同，但不是同一个函数．‎ ‎1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)‎ ‎(1)任何两个集合之间都可以建立函数关系． (　　)‎ ‎(2)已知定义域和对应关系就可以确定一个函数． (　　)‎ ‎(3)根据函数的定义，定义域中的每一个x可以对应着不同的y．‎ ‎ (　　)‎ ‎[答案]　(1)×　(2)√　(3)×‎ ‎2．(1)函数f(x)＝的定义域为　　　　．‎ ‎(2)函数f(x)＝的定义域为　　　　．‎ ‎(3)函数f(x)＝(x∈N)的定义域为　　　　．‎ ‎(1){x|x≥10}　(2){x|x>2}　(3){0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}　[(1)x－10≥0，∴x≥10，即{x|x≥10}．‎ ‎(2)x－2>0，∴x>2，即{x|x＞2}．‎ ‎(3)⇒∴x的取值为0,1,2,3,4,5,6,7,8,9，即{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}．]‎ ‎3．若f(x)＝x2－3x＋2，则f(1)＝　　　　．‎ ‎0　[f(1)＝12－3×1＋2＝0．]‎ ‎4．若f(x)＝x－3，x∈{0,1,2,3}，则f(x)的值域为　　　　．‎ ‎{－3，－2，－1,0}　[f(0)＝－3，f(1)＝－2，f(2)＝－1，f(3)＝0．]‎ - 8 -‎ 函数的概念 ‎【例1】　判断下列对应f是否为从集合A到集合B的函数．‎ ‎(1)A＝N，B＝R，对于任意的x∈A，x→±；‎ ‎(2)A＝R，B＝N，对于任意的x∈A，x→|x－2|；‎ ‎(3)A＝R，B＝{正实数}，对任意x∈A，x→；‎ ‎(4)A＝{1,2,3}，B＝R，f(1)＝f(2)＝3，f(3)＝4；‎ ‎(5)A＝[－1,1]，B＝{0}，对于任意的x∈A，x→0．‎ ‎[思路点拨]　求解本题的关键是判断在对应关系f的作用下，集合A中的任意一个元素在集合B中是否都有唯一的元素与之对应．‎ ‎[解]　(1)对于A中的元素，如x＝9，y的值为y＝±＝±3，即在对应关系f之下，B中有两个元素±3与之对应，不符合函数的定义，故不能构成函数．‎ ‎(2)对于A中的元素x＝2，在f作用下，|2－2|B，故不能构成函数．‎ ‎(3)A中元素x＝0在B中没有对应元素，故不能构成函数．‎ ‎(4)依题意，f(1)＝f(2)＝3，f(3)＝4，即A中的每一个元素在对应关系f之下，在B中都有唯一元素与之对应，依函数的定义，能构成函数．‎ ‎(5)对于集合A中任意一个实数x，按照对应关系在集合B中都有唯一一个确定的数0与它对应，故是集合A到集合B的函数．‎ ‎1．判断一个对应关系是否是函数，要从以下三个方面去判断，即A，B必须是非空数集；A中任何一个元素在B中必须有元素与其对应；A中任一元素在B中必有唯一元素与其对应．‎ ‎2．函数的定义中“每一个元素x”与“有唯一的元素y”说明函数中两变量x，y的对应关系是“一对一”或者是“多对一”而不能是“一对多”．‎ ‎1．下列对应关系式中是A到B的函数的有　　　　．(填序号)‎ ‎①A＝B＝[－1,1]，x∈A，y∈B且x2＋y2＝1；‎ ‎②A＝{1,2,3,4}，B＝{0,1}，对应关系如图；‎ - 8 -‎ ‎③A＝R，B＝R，f：x→y＝；‎ ‎④A＝Z，B＝Z，f：x→y＝．‎ ‎②　[对于①项，x2＋y2＝1可化为y＝±，显然对任意x∈A，y值可能不唯一，故不符合．对于②项，符合函数的定义．对于③项，2∈A，但在集合B中找不到与之相对应的数，故不符合．对于④项，－1∈A，但在集合B中找不到与之相对应的数，故不符合．]‎ 求函数的定义域 ‎【例2】　求下列函数的定义域．‎ ‎(1)f(x)＝；‎ ‎(2)f(x)＝＋；‎ ‎(3)f(x)＝＋x0＋；‎ ‎(4)f(x)＝；‎ ‎(5)f(x)＝ln(x＋1)＋；‎ ‎(6)f(x)＝(x＋1)－＋lg(－x)．‎ ‎[思路点拨]　根据使式子在实数范围内有意义的条件列不等式(组)，求出x的范围，就是所求函数的定义域．‎ ‎[解]　(1)要使f(x)有意义，则有3x－2>0，∴x>，‎ 即f(x)的定义域为．‎ ‎(2)要使f(x)有意义，则⇒x≥－1且x≠2，‎ 即f(x)的定义域为[－1,2)∪(2，＋∞)．‎ ‎(3)要使f(x)有意义，则 解得x≥－4且x≠0，x≠－2，‎ 即f(x)的定义域为[－4，－2)∪(－2,0)∪(0，＋∞)．‎ ‎(4)要使f(x)有意义，则x2－2x－3≥0解得x≥3或x≤－1，‎ 即f(x)的定义域为(－∞，－1]∪[3，＋∞)．‎ ‎(5)要使f(x)有意义，则 即 ‎ 解得x>－1且x≠0且x≠1，‎ 即f(x)的定义域为(－1,0)∪(0,1)∪(1，＋∞)．‎ - 8 -‎ ‎(6)要使f(x)＝＋lg(－x)有意义，则 ‎ 解得x<0且x≠－1，‎ 即f(x)的定义域为(－∞，－1)∪(－1,0)．‎ ‎1．求函数定义域时，不要化简所给解析式，而是直接从所给的解析式寻找使解析式有意义时自变量满足的条件．‎ ‎2．函数的定义域要用集合或区间形式表示，这一点初学者易忽视．‎ ‎2．求下列函数的定义域．‎ ‎(1)f(x)＝＋；‎ ‎(2)f(x)＝＋ln(x＋1)且 x∈Z．‎ ‎[解]　(1)要使函数有意义，只需所以x＜且x≠0，所以函数的定义域为．‎ ‎(2)要使函数有意义，只需所以－1≤x≤3．‎ 又x∈Z，所以x＝0,1,2,3．‎ 所以函数的定义域为{0,1,2,3}．‎ 求函数的值域或函数值 ‎【例3】　已知f(x)＝x2－4x＋2．‎ ‎(1)求f(2)，f(a)，f(a＋1)的值；‎ ‎(2)求f(x)的值域；‎ ‎(3)若g(x)＝x＋1，求f(g(3))的值．‎ ‎[思路点拨]　(1)将x＝2，a，a＋1代入f(x)即可；(2)配方求值域；(3)先求g(3)再算f(g(3))．‎ ‎[解]　(1)f(2)＝22－4×2＋2＝－2，‎ f(a)＝a2－‎4a＋2，‎ f(a＋1)＝(a＋1)2－4(a＋1)＋2＝a2－‎2a－1．‎ ‎(2)f(x)＝x2－4x＋2＝(x－2)2－2≥－2，‎ ‎∴f(x)的值域为[－2，＋∞)．‎ ‎(3)g(3)＝3＋1＝4，‎ - 8 -‎ ‎∴f(g(3))＝f(4)＝42－4×4＋2＝2．‎ 在例3中，g(x)＝x＋1，求f(g(x))，g(f(x))．‎ ‎[解]　f(g(x))＝g(x)2－‎4g(x)＋2＝(x＋1)2－4(x＋1)＋2＝x2－2x－1，‎ g(f(x))＝f(x)＋1＝x2－4x＋2＋1＝x2－4x＋3．‎ ‎1．函数值f(a)就是a在对应关系f下的对应值，因此由函数关系求函数值，只需将f(x)中的x用对应的值(包括值在定义域内的代数式)代入即得．‎ ‎2．求f(g(a))时，一般要遵循由里到外逐层计算的原则．‎ ‎3．配方法是一种常用的求值域的方法，主要解决“二次函数型”的函数求值域．‎ 抽象函数求定义域 ‎[探究问题]‎ ‎1．在y＝f(x)中，f(x)的定义域指的是什么？x是什么？‎ ‎[提示]　f(x)的定义域指的是x的范围，其中x是函数的自变量．‎ ‎2．在函数y＝f(x＋1)中，自变量是谁？而它的定义域指的是什么？‎ ‎[提示]　y＝f(x＋1)中自变量为x，其定义域指的是x的范围．‎ ‎3．如何将函数y＝f(x)与y＝f(x＋1)中的自变量联系起来？‎ ‎[提示]　由于x，x＋1均为f的作用对象，故二者均应在f(x)定义域之中，即y＝f(x)中x的范围与y＝f(x＋1)中x＋1的范围一致．‎ ‎【例4】　(1)已知函数y＝f(x)的定义域为[1,4]，则f(x＋2)的定义域为　　　　．‎ ‎(2)已知函数y＝f(x＋2)的定义域为[1,4]，则f(x)的定义域为　　　　．‎ ‎(3)已知函数y＝f(x＋3)的定义域为[1,4]，则f(2x)的定义域为　　　　．‎ ‎[思路点拨]　找准每一个函数中的自变量，通过括号内范围相同来解决问题．‎ ‎(1)[－1,2]　(2)[3,6]　(3)　[(1)由题知对于f(x＋2)有x＋2∈[1,4]，∴x∈[－1,2]，‎ 故f(x＋2)的定义域为[－1,2]．‎ ‎(2)由题知x∈[1,4]，∴x＋2∈[3,6]，∴f(x)的定义域是[3,6]．‎ ‎(3)由题知x∈[1,4]，∴x＋3∈[4,7]，对于f(2x)有2x∈[4,7]，∴x∈，‎ 即f(2x)的定义域为．]‎ - 8 -‎ 抽象函数的定义域 (1)已知f(x)的定义域，求f(g(x))的定义域：若f(x)的定义域为[a，b]，则f(g(x))中a≤g(x)≤b，从中解得x的取值范围即为f(g(x))的定义域.‎ (2)已知f(g(x))的定义域，求f(x)的定义域：若f(g(x))的定义域为[a，b]，即a≤x≤b，求得g(x)的取值范围，g(x)的取值范围即为f(x)的定义域.‎ 用较为口语化的语言可以将上述两类题型的解法合并成两句话：‎ ‎①定义域指自变量的取值范围.(告诉我们已知什么，求什么) ‎②括号内范围相同.(告诉我们如何将条件与结论联系起来 ‎3．已知函数y＝f(x－1)的定义域为[－3,2]，则f(x＋1)的定义域为　　　　．‎ ‎[－5,0]　[对于y＝f(x－1)有x∈[－3,2]，∴x－1∈[－4，1]，∴在f(x＋1)中有x＋1∈[－4,1]，∴x∈[－5,0]．]‎ 理解函数的概念应关注五点 ‎(1)“A，B是非空的数集”，一方面强调了A，B只能是数集，即A，B中的元素只能是实数；另一方面指出了定义域、值域都不能是空集，也就是说定义域为空集的函数是不存在的．‎ ‎(2)理解函数的概念要注意函数的定义域是非空数集A，但函数的值域不一定是非空数集B，而是集合B的子集．‎ ‎(3)函数定义中强调“三性”：任意性、存在性、唯一性，即对于非空数集A中的任意一个(任意性)元素x，在非空数集B中都有(存在性)唯一(唯一性)的实数y与之对应．这三性只要有一个不满足，便不能构成函数．‎ ‎(4)y＝f(x)仅仅是函数符号，不是表示“y等于f与x的乘积”，f(x)表示以x为自变量的函数，f是确定函数的对应关系．‎ ‎(5)除f(x)外，有时还用g(x)、u(x)、F(x)、G(x)等符号来表示函数．‎ ‎1．下列图象表示函数图象的是(　　)‎ - 8 -‎ C　[根据函数定义知，对定义域内的任意变量x，都有唯一的函数值y和它对应，即作垂直x轴的直线与图象至多有一个交点(有一个交点即x是定义域内的一个变量，无交点即x不是定义域内的变量)．显然，只有答案C中图象符合．]‎ ‎2．下列四组函数中，表示相等函数的一组是(　　)‎ A．f(x)＝|x|，g(x)＝ B．f(x)＝，g(x)＝()2‎ C．f(x)＝，g(x)＝x＋1‎ D．f(x)＝·，g(x)＝ A　[A中定义域，对应关系都相同，是同一函数；B中定义域不同；C中定义域不同；D中定义域不同．]‎ ‎3．函数y＝＋ln|2－x|的定义域是　　　　．‎ ‎{x|x≥－1且x≠2}　[要使函数有意义，需满足解不等式得定义域为{x|x≥－1且x≠2}．]‎ ‎4．求下列函数的值域：‎ ‎(1)y＝x＋1，x∈{1,2,3,4,5}；‎ ‎(2)y＝x2－2x＋3，x∈[0,3)；‎ ‎(3)y＝．‎ ‎[解]　(1)因为x∈{1,2,3,4,5}，分别代入求值，可得函数的值域为{2,3,4,5,6}．‎ ‎(2)y＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2，由x∈[0,3)，再结合函数的图象(如图)，可得函数的值域为[2,6)．‎ ‎(3)y＝＝＝2＋，‎ 显然≠0，所以y≠2，故函数的值域为(－∞，2)∪(2，＋∞)．‎ - 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