高中数学必修5:8_备课资料(2_5_1 等比数列前n项和公式的推导与应用)

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高中数学必修5:8_备课资料(2_5_1 等比数列前n项和公式的推导与应用)

备课资料 数学神童维纳的年龄 ‎20世纪著名数学家诺伯特·维纳,从小就智力超常,三岁时就能读写,十四岁时就大学毕业了.几年后,他又通过了博士论文答辩,成为美国哈佛大学的科学博士. 在博士学位的授予仪式上,执行主席看到一脸稚气的维纳,颇为惊讶,于是就当面询问他的年龄.维纳不愧为数学神童,他的回答十分巧妙:“我今年岁数的立方是个四位数,岁数的四次方是个六位数,这两个数,刚好把十个数字0、1、2、3、4、5、6、7、8、9全都用上了,不重不漏.这意味着全体数字都向我俯首称臣,预祝我将来在数学领域里一定能干出一番惊天动地的大事业.” 维纳此言一出,四座皆惊,大家都被他的这道妙题深深地吸引住了.整个会场上的人,都在议论他的年龄问题. 其实这个问题不难解答,但是需要一点数字“灵感”.不难发现,21的立方是四位数,而22的立方已经是五位数了,所以维纳的年龄最多是21岁;同样道理,18的四次方是六位数,而17的四次方则是五位数了,所以维纳的年龄至少是18岁.这样,维纳的年龄只可能是18、19、20、21这四个数中的一个. 剩下的工作就是“一一筛选”了.20的立方是8 000,有3个重复数字0,不合题意.同理,19的四次方等于130 321,21的四次方等于194 481,都不合题意.最后只剩下一个18,是不是正确答案呢?验算一下,18的立方等于5 832,四次方等于104 976,恰好“不重不漏”地用完了十个阿拉伯数字,多么完美的组合! 这个年仅18岁的少年博士,后来果然成就了一番大事业:他成为信息论的前驱和控制论的奠基人. 数学王子——高斯 高斯(1777~1855),高斯是德国数学家,也是科学家,他和牛顿、阿基米德,被誉为有史以来的三大数学家.高斯是近代数学奠基者之一,在历史上影响之大,可以和阿基米德、牛顿、欧拉并列,有“数学王子”之称. 他幼年时就表现出超人的数学天才.1795年进入格丁根大学学习.第二年他就发现正十七边形的尺规作图法.并给出可用尺规作出的正多边形的条件,解决了欧几里得以来悬而未决的问题. 高斯的数学研究几乎遍及所有领域,在数论、代数学、非欧几何、复变函数和微分几何等方面都作出了开创性的贡献.他还把数学应用于天文学、大地测量学和磁学的研究,发明了最小二乘法原理.高斯的数论研究,总结在《算术研究》(1801)中,这本书奠定了近代数论的基础,它不仅是数论方面的划时代之作,也是数学史上不可多 得的经典著作之一.高斯对代数学的重要贡献是证明了代数基本定理,他的存在性证明开创了数学研究的新途径.高斯在1816年左右就得到非欧几何的原理.他还深入研究复变函数,建立了一些基本概念,发现了著名的柯西积分定理.他还发现椭圆函数的双周期性,但这些工作在他生前都没发表出来.1828年高斯出版了《关于曲面的一般研究》,全面系统地阐述了空间曲面的微分几何学,并提出内蕴曲面理论.高斯的曲面理论后来由黎曼发展.高斯一生共发表155篇论文,他对待学问十分严谨,只是把他自己认为是十分成熟的作品发表出来.其著作还有《地磁概念》和《论与距离平方成反比的引力和斥力的普遍定律》等. 高斯最出名的故事就是他十岁时,小学老师出了一道算术难题:“计算1+2+3+…+100=?”.这可难为初学算术的学生,但是高斯却在几秒后将答案解了出来,他利用算术级数(等差级数)的对称性,然后就像求得一般算术级数和的过程一样,把数目一对对的凑在一起:1+100,2+99,3+98,…,49+52,50+51,而这样的组合有50组,所以答案很快的就可以求出是:101×50=5 050. ‎1801年高斯有机会戏剧性地施展他的优势的计算技巧.那年的元旦,有一个后来被证为小行星并被命名为谷神星的天体被发现,当时它好像在向太阳靠近,天文学家虽然有40天的时间可以观察它,但还不能计算出它的轨道.高斯只作了3次观测就提出了一种计算轨道参数的方法,而且达到的精确度使得天文学家在1801年末和1802年初能够毫无困难地再确定谷神星的位置.高斯在这一计算方法中用到了他大约在1794年创造的最小二乘法(一种可从特定计算得到最小的方差和中求出最佳估值的方法),在天文学中这一成就立即得到公认.他在《天体运动理论》中叙述的方法今天仍在使用,只要稍作修改就能适应现代计算机的要求.高斯在小行星“智神星”的测算方面也获得类似的成功. 由于高斯在数学、天文学、大地测量学和物理学中的杰出研究成果,他被选为许多科学院和学术团体的成员.“数学之王”的称号是对他一生恰如其分的赞颂.
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