高中数学必修5教案：2_3等差数列的前n和

高中数学必修5教案：2_3等差数列的前n和

‎2. 3 .1‎等差数列的前n项和（一）‎ 教学目标：‎ ‎1．掌握等差数列前n项和公式及其推导过程和思想方法．‎ ‎2．会用等差数列的前n项和公式解决一些简单的与前n项和有关的问题 ‎ ‎3.经历公式的推导过程，体会数形结合的数学思想，体验从特殊到一般的研究方法，学会观察、归纳、反思 教学重点：等差数列n项和公式的理解、推导及应 教学难点：灵活应用等差数列前n项公式解决一些简单的有关问题 授课类型：新授课 课时安排：1课时 内容分析：‎ ‎    本节是在学习了等差数列的概念和性质的基础上，使学生掌握等差数列求和公式，并能利用它求和解决数列和的最值问题等差数列求和公式的推导，采用了倒序相加法，思路的获得得益于等到差数列任意的第k项与倒数第k项的和都等于首项与末项的和这一性质的认识和发现通过对等差数列求和公式的推导，使学生能掌握“倒序相加”数学方法 教学过程：‎ 一、复习引入：‎ 首先回忆一下前几节课所学主要内容：‎ ‎1．等差数列的定义： －=d ，（n≥2，n∈N）‎ ‎2．等差数列的通项公式：‎ ‎ (或=pn+q (p、q是常数))‎ ‎3．几种计算公差d的方法：‎ ‎① d=－ ② d= ③ d= ‎ ‎4．等差中项：成等差数列 ‎5．等差数列的性质： m+n=p+q (m, n, p, q ∈N )‎ ‎6．数列的前n项和：‎ 数列中，称为数列的前n项和，记.‎ ‎“小故事”:‎ 高斯是伟大的数学家，天文学家，高斯十岁时,有一次老师出了一道题目,老师说: “现在给大家出道题目:‎ ‎1+2+…100=?”‎ 过了两分钟,正当大家在：1+2=3；3+3=6；4+6=10…算得不亦乐乎时，高斯站起来回答说：‎ ‎“1+2+3+…+100=5050‎ 教师问：“你是如何算出答案的？‎ 高斯回答说：因为1+100=101；‎ ‎2+99=101；…50+51=101，所以 ‎101×50=‎5050”‎ ‎ 这个故事告诉我们：‎ ‎（1）作为数学王子的高斯从小就善于观察，敢于思考，所以他能从一些简单的事物中发现和寻找出某些规律性的东西 ‎（2）该故事还告诉我们求等差数列前n项和的一种很重要的思想方法，这就是下面我们要介绍的“倒序相加”法 ‎ 二、讲解新课： ‎ ‎ 如图，一个堆放铅笔的V形架的最下面一层放一支铅笔，往上每一层都比它下面一层多放一支，最上面一层放120支，这个V形架上共放着多少支铅笔?‎ 这是一堆放铅笔的V形架，这形同前面所接触过的堆放钢管的示意图，看到此图，大家都会很快捷地找到每一层的铅笔数与层数的关系，而且可以用一个式子来表示这种关系，利用它便可以求出每一层的铅笔数.那么，这个V形架上共放着多少支铅笔呢？这个问题又该如何解决呢？经过分析，我们不难看出，这是一个等差数求和问题？‎ 这个问题，它也类似于刚才我们所遇到的“小故事”问题，它可以看成是求等差数列1，2，3，…，n,…的前120项的和.在上面的求解中，我们发现所求的和可用首项、末项及项数n来表示，且任意的第k项与倒数第k项的和都等于首项与末项的和，这就启发我们如何去求一般等差数列的前n项的和.如果我们可归纳出一计算式，那么上述问题便可迎刃而解.‎ ‎1．等差数列的前项和公式1：‎ 证明： ①‎ ‎ ②‎ ‎①+②：‎ ‎ ∵‎ ‎ ∴ 由此得：‎ ‎ 从而我们可以验证高斯十岁时计算上述问题的正确性 ‎ 2． 等差数列的前项和公式2： ‎ ‎ 用上述公式要求必须具备三个条件：‎ ‎ 但 代入公式1即得： ‎ ‎ 此公式要求必须已知三个条件： （有时比较有用）‎ 总之：两个公式都表明要求必须已知中三个 公式二又可化成式子：‎ ‎，当d≠0，是一个常数项为零的二次式 三、例题讲解 例1 一个堆放铅笔的V型的最下面一层放一支铅笔，往上每一层都比它下面一层多放一支，最上面一层放120支，这个V形架上共放着多少支铅笔？‎ 解：由题意可知，这个V形架上共放着120层铅笔，且自下而上各层的铅笔成等差数列，记为，其中，根据等差数列前n项和的公式，得 答：V形架上共放着7260支铅笔 例2 等差数列-10，-6，-2，2，…前多少项的和是54？‎ 解：设题中的等差数列为，前n项为 则 ‎ 由公式可得 解之得：（舍去）‎ ‎∴等差数列-10，-6，-2，2…前9项的和是54.‎ 例3一凸n边形各内角的度数成等差数列，公差是10°,最小内角为100°,求边数n.‎ ‎ 解：由(n－2)·180＝100n＋×10，‎ 求得n－17n＋72＝0, n＝8或n＝9, ‎ 当n＝9时, 最大内角100＋(9－1)×10＝180°不合题意，舍去，∴ n＝8. ‎ 例4在等差数列中，已知，求前20项之和．‎ 分析：本题可以用等差数列的通项公式和求和公式求，求解；也可以用等差数列的性质求解．‎ 解：法一 由.由 法二 由，而，所以，所以 小结：在解决等差数列有关问题时，要熟练运用等差数列的一些性质．在本题的第二种解法中，利用这一性质，简化了计算，是解决这类问题的常用方法．‎ 四．巩固练习 ‎1．求集合的元素个数，并求这些元素的和 ‎ 3．等差数列{an}的首项为，公差为d，项数为n，第n项为，前n项和为，请填写下表：‎ ‎ ‎ ‎5‎ ‎10‎ ‎10‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎-2‎ ‎8‎ ‎ ‎ ‎104‎ ‎-38‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎-10‎ ‎-360‎ ‎4.在等差数列中，，，求.‎ 五、小结 本节课学习了以下内容：‎ ‎1.等差数列的前项和公式1： ‎ ‎2.等差数列的前项和公式2： ‎ ‎3.，当d≠0，是一个常数项为零的二次式 六、课后作业：‎ P46 . 4题, 6题 七、板书设计（略）‎ 八、课后记：‎ ‎2.3.1‎‎ 等差数列的前n项和（一）（学案）‎ 一、【学习目标】‎ ‎1、知识与技能: 掌握等差数列前n项和公式及其获取思路；会用等差数列的前n项和公式解决一些简单的与前n项和有关的问题 ‎2、经历公式的推导过程，体会数形结合的数学思想，体验从特殊到一般的研究方法，‎ 学会观察、归纳、反思 二、【本节重点】 等差数列前项和公式的理解、推导及应用.‎ 三、【本节难点】 灵活运用等差数列前项公式解决一些简单的有关问题 四、【知识储备】‎ ‎1、 复习：等差数列的概念、通项公式、等差中项，等差数列的性质 ‎2、 (1)一般形式：‎ ‎ (2)通项公式：‎ ‎ (3)前n项和：‎ ‎3、等差数列 ‎ (1)定义：‎ ‎ (2)通项公式：‎ ‎ 推广：‎ ‎ (3)性质：‎ ‎ ①‎ ‎ ②‎ ‎ 特别地：‎ ‎ ③ 奇数项 ‎ 偶数项 五、【自主学习】‎ ‎1、学习等差数列前项和公式推导过程。‎ ‎2、等差数列的公差为，首项为，前项和 ‎ 公式（1） ，‎ ‎ 公式（2） 。‎ ‎3、 前n项和公式与n的关系:式变形:‎ ‎ ‎ 六、 [小试身手]‎ ‎1 等差数列中，‎ ‎(1)已知 则=__________________‎ ‎(2)已知， 则=___________________‎ ‎2等差数列中，已知，， 则=______及n=_____________‎ ‎3、等差数列中，若，则公差 .‎ 七、[典型例析] ‎ 例1 在等差数列{an}中，‎ ‎(1)已知a15＝10，a45＝90，求 ‎(2)已知S12＝84，S20＝460，求S28；‎ ‎(3)已知a6＝10，S5＝5，求a8和S8．‎ 例2 在等差数列{}中，已知a6+ a9+ a12+ a15 = 34，求前20项之和 八、[当堂检测]‎ ‎1．一个等差数列前4项的和是24，前5项的和与前2项的和的差是27，求这个等差数列的通项公式。‎ ‎2．根据下列各题的条件,求相应等差数列的未知数.‎ ‎1),, 求 ‎2),求 ‎3. ,,求 ‎4. 在等差数列{}中，a2+a5=19 S5 =40 则a10为 ‎ ‎(A)27 (B)28 (C)29 (D)30‎ ‎5. 在等差数列{}中，d=2, =11, Sn =35 则a1为 ‎ ‎(A)5或7 （B）3或5 （C）7或－1 （D）3或－1‎ ‎6. 已知数列1,2,3,4，,2n, 则其和为 ，奇数项的和为 。‎ 九、重点概念总结应用 ‎ 等差数列{an}的首项为，公差为d，项数为n，第n项为，前n项和为，请填写下表：‎ ‎ ‎ ‎5‎ ‎10‎ ‎10‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎-2‎ ‎8‎ ‎ ‎ ‎104‎ ‎-38‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎-10‎ ‎-360‎ 检测答案：‎ ‎1. =2n+1. 2. d=2 ,n=13 3. ‎ ‎4. C 5.A 6. ,‎ ‎2.3.2‎‎ 等差数列的前n项和（二）‎ 教学目标 ‎1.知识与技能：进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前n项和公式；了解等差数列的一些性质，并会用它们解决一些相关问题；会利用等差数列通项公式与前 项和的公式研究 的最值；‎ ‎2.过程与方法：经历公式应用的过程；‎ ‎3.情感态度与价值观：通过有关内容在实际生活中的应用，使学生再一次感受数学源于生活，又服务于生活的实用性，引导学生要善于观察生活，从生活中发现问题，并数学地解决问题。‎ 教学重点 熟练掌握等差数列的求和公式 教学难点 灵活应用求和公式解决问题 授课类型：新授课 教学过程 Ⅰ.课题导入 首先回忆一下上一节课所学主要内容：‎ ‎1.等差数列的前项和公式1： ‎ ‎2.等差数列的前项和公式2：‎ Ⅱ.讲授新课 例1.已知一个等差数列的前10项的和是310，前20项的和是1220， ‎ ‎ 求其前项和的公式.‎ ‎ 解：由题设： ‎ ‎ 得： ：‎ ‎ 易得： ‎ ‎ 探究 1. 之间的关系 例2. 已知数列是等差数列，是其前n项和，‎ 求证：⑴，-，-成等差数列；‎ ‎⑵ （）成等差数列 证明：设首项是，公差为d 则 ‎∵‎ ‎ ∵∴‎ ‎∴是以36d为公差的等差数列 同理可得是以d为公差的等差数列.‎ 例3. 已知数列的前n项和为，求这个数列的通项公式.‎ 解：根据 与 ‎ , (n>1) 得：‎ ‎ 当n>1时， ‎ ‎ ⑴‎ 当n=1 时，‎ ‎ ‎ 也满足⑴式 所以数列的通项公式为：‎ 探究2. 课本P51的探究活动 一般地，如果一个数列的前n项和为，其中p、q、r为常数，且，那么这个数列一定是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是多少？‎ 分析： 由，得 当时==‎ ‎=2p 结论：通项公式是 探究3. 对等差数列的前项和公式2：可化成式子：‎ ‎，当d≠0，是一个常数项为零的二次式，那么它有何作用呢？‎ 例4. 已知等差数列 的前 n项和，求使得最大的序号n的值.‎ 解：由题意得，等差数列的公差为，所以 ‎ ‎ ‎ 于是，当n取与最接近的整数即7或8时，取最大值。‎ ‎ 例 5. 在数列{}中，已知， (nN*)，那么使其前n项和Sn取得最大值的n值等于 .‎ ‎ 解：依题意知，>0 ...>0,<0,‎ ‎ 易知最大，即n取12时和最大.‎ 小结：‎ 对等差数列前项和的最值问题有两种方法:‎ 利用:‎ 当>0，d<0，前n项和有最大值可由≥0，且≤0，求得n的值 当<0，d>0，前n项和有最小值可由≤0，且≥0，求得n的值 利用：‎ 由利用二次函数配方法求得最值时n的值 Ⅲ.课堂练习 已知等差数列的前n项和为a，前2n项和为b，求前3n项和。‎ ‎2.已知数列的前n项和为，求这个数列的通项公式.‎ ‎3. 等差数列{}中, ＝－15, 公差d＝3, 求数列{}的前n项和的最小值.‎ ‎4. 等差数列{}的第10项为23，第25项为－22，求此数列 ‎ (1)第几项开始为负？‎ ‎(2)前10项的和？‎ ‎ (3)从首项到第几项之和开始为负？‎ ‎5. 在等差数列{}中，已知a1=25, S9= S17，问数列前多少项和最大，并求出最大值。‎ Ⅳ.课时小结 ‎1. 表示, ‎ ‎2．差数列前项和的最值问题有两种方法:‎ ‎(1)当>0，d<0，前n项和有最大值可由≥0，且≤0，求得n的值。‎ 当<0，d>0，前n项和有最小值可由≤0，且≥0，求得n的值。‎ ‎(2)由利用二次函数配方法求得最值时n的值 ‎3. 是以d为公差的等差数列.‎ Ⅴ.课后作业 课本P46 3题 ‎ ‎2.3.2 等差数列的前n项和（二）‎ 一．【学习目标】‎ ‎1.进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前n项和公式.‎ ‎2.了解等差数列的一些性质，并会用它们解决求通项公式，求前n项和的最值等问题..‎ 二．【学习重点】熟练掌握等差数列的求和公式 三．【本节难点】灵活应用求和公式解决相关问题 四． 【知识储备】‎ ‎ 1、 ＝‎ ‎2、 前n项和公式与n的关系:式变形:‎ ‎ ‎ 五．【自主学习】‎ 阅读并完成课本例2——例4‎ 探究下列问题：‎ ‎1.是等差数列，是其前n项和，参考课本46页B组2题，探究的关系（ （）仍成等差数列）‎ ‎2. 完成例3，已知数列{an}的前n项的和为Sn，则Sn与Sn-1之间的递推关系式是 .由此可推得，数列{an}的通项公式an= .‎ ‎3．等差数列{an}的前n项和与二次函数的关系是 .，如何从中读出公差，求最值.‎ 六．[小试身手]‎ ‎ 1 数列前项和，且，则正整数 _____________‎ ‎2 设等差数列前项和，若，则 ‎ ‎3. 等差数列前项和为，若，则当n=___________时，最大 七 [典型例析]‎ 例1在等差数列{an}中，,,求 例2已知数列的前n项和为，求这个数列的通项公式.‎ 例3在等差数列{an}中，已知a1＝25，S9＝S17，问数列前多少项和最大，并求出最大值．‎ ‎. ‎ 八、[当堂检测]‎ ‎1. 数列{}是等差数列的一个充要条件是 ‎ ‎（A）Sn=an2+bn+c （B）Sn=an2+bn ‎（C）Sn=an2+bn+c (D) Sn=an2+bn ‎2、等差数列{an}中，d为公差.若前n项的和为Sn= -n2，则（ ）‎ A.an=2n-1，d= -2 B. an=2n-1，d= 2 ‎ C. an= -2n+1，d= -2 D. an= -2n+1，d= 2‎ ‎3.一个等差数列的前10项和为100，前100项和为10，求它的前110项和 ‎4.已知数列{an}的前n项和，判断数列{an}是否为等差数列，并证明你的结论；‎ ‎5．在等差数列{}中, ＝－15, 公差d＝3, 求数列{}的前n项和的最小值 ‎6．设等差数列{}的前n项和为，已知＝12，>0，<0，‎ ‎(1) 求公差d的取值范围；‎ ‎(2) 指出, , , ……, 中哪一个最大，说明理由 九．总结收获：‎ 检测答案; 1.D 2.C 3. ＝－110. 4.是，‎ ‎ 5. 当n＝8或n＝9时，＝＝－108最小.‎ ‎6.（1）－0, ∴ ＋>0,‎ ‎∴>0, 最大. ‎