高中数学必修5教案:2_2

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高中数学必修5教案:2_2

‎2.2 等差数列 ‎(一)教学目标 ‎1.知识与技能:通过实例,理解等差数列的概念;探索并掌握等差数列的通项公式;能在具体的问题情境中,发现数列的等差关系并能用有关知识解决相应的问题;体会等差数列与一次函数的关系。‎ ‎2. 过程与方法:让学生对日常生活中实际问题分析,引导学生通过观察,推导,归纳抽象出等差数列的概念;由学生建立等差数列模型用相关知识解决一些简单的问题,进行等差数列通项公式应用的实践操作并在操作过程中,通过类比函数概念、性质、表达式得到对等差数列相应问题的研究。‎ ‎3.情态与价值:培养学生观察、归纳的能力,培养学生的应用意识。‎ ‎(二)教学重、难点 重点:理解等差数列的概念及其性质,探索并掌握等差数列的通项公式;会用公式解决一些简单的问题,体会等差数列与一次函数之间的联系。‎ 难点:概括通项公式推导过程中体现出的数学思想方法。‎ ‎(三)学法与教学用具 学法:引导学生首先从四个现实问题(数数问题、女子举重奖项设置问题、水库水位问题、储蓄问题)概括出数组特点并抽象出等差数列的概念;接着就等差数列的特点,推导出等差数列的通项公式;可以用多种方法对等差数列的通项公式进行推导。‎ 教学用具:投影仪 ‎(四)教学设想 ‎[创设情景]‎ ‎ 上节课我们学习了数列。在日常生活中,人口增长、教育贷款、存款利息等等这些大家以后会接触得比较多的实际计算问题,都需要用到有关数列的知识来解决。今天我们就先学习一类特殊的数列。‎ ‎[探索研究] ‎ 由学生观察分析并得出答案:‎ ‎(放投影片)在现实生活中,我们经常这样数数,从0开始,每隔5数一次,可以得到数列:0,5,____,____,____,____,……‎ ‎2012年,在伦敦举行的奥运会上,女子举重项目共设置了7个级别。其中较轻的4个级别体重组成数列(单位:kg):48,53,58,63。‎ 水库的管理人员为了保证优质鱼类有良好的生活环境,用定期放水清理水库的杂鱼。如果一个水库的水位为‎18cm,自然放水每天水位降低‎2.5m,最低降至‎5m。那么从开始放水算起,到可以进行清理工作的那天,水库每天的水位组成数列(单位:m):18,15.5,13,10.5,8,5.5‎ 我国现行储蓄制度规定银行支付存款利息的方式为单利,即不把利息加入本金计算下一期的利息。按照单利计算本利和的公式是:本利和=本金×(1+利率×寸期).例如,按活期存入10 000元钱,年利率是0.72%。那么按照单利,5年内各年末的本利和分别是:‎ 时间 年初本金(元)‎ 年末本利和(元)‎ 第1年 ‎10 000‎ ‎10 072‎ 第2年 ‎10 000‎ ‎10 144‎ 第3年 ‎10 000‎ ‎10 216‎ 第4年 ‎10 000‎ ‎10 288‎ 第5年 ‎10 000‎ ‎10 360‎ 各年末的本利和(单位:元)组成了数列:10 072,10 144,10 216, 10 288,10 360。‎ 思考:同学们观察一下上面的这四个数列:0,5,10,15,20,…… ①‎ ‎ 48,53,58,63 ②‎ ‎18,15.5,13,10.5,8,5.5 ③‎ ‎10 072,10 144,10 216, 10 288,10 360 ④‎ 看这些数列有什么共同特点呢?‎ ‎(由学生讨论、分析)‎ 引导学生观察相邻两项间的关系,得到:‎ ‎ 对于数列①,从第2项起,每一项与前一项的差都等于 5 ;‎ ‎ 对于数列②,从第2项起,每一项与前一项的差都等于 5 ;‎ ‎ 对于数列③,从第2项起,每一项与前一项的差都等于 -2.5 ;‎ ‎ 对于数列④,从第2项起,每一项与前一项的差都等于 72 ;‎ ‎ 由学生归纳和概括出,以上四个数列从第2项起,每一项与前一项的差都等于同一个常数(即:每个都具有相邻两项差为同一个常数的特点)。‎ ‎ ‎ ‎[等差数列的概念]‎ ‎ 对于以上几组数列我们称它们为等差数列。请同学们根据我们刚才分析等差数列的特征,尝试着给等差数列下个定义:‎ 等差数列:一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列。‎ 这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母d表示。那么对于以上四组等差数列,它们的公差依次是5,5,-2.5,72。‎ 提问:如果在与中间插入一个数A,使,A,成等差数列数列,那么A应满足什么条件?‎ 由学生回答:因为a,A,b组成了一个等差数列,那么由定义可以知道:‎ A-a=b-A ‎ 所以就有 ‎ 由三个数a,A,b组成的等差数列可以看成最简单的等差数列,这时,A叫做a与b的等差中项。‎ 不难发现,在一个等差数列中,从第2项起,每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项与后一项的等差中项。‎ 如数列:1,3,5,7,9,11,13…中 ‎5是3和7的等差中项,1和9的等差中项。‎ ‎9是7和11的等差中项,5和13的等差中项。‎ 看来,‎ 从而可得在一等差数列中,若m+n=p+q 则 ‎ ‎[等差数列的通项公式]‎ 对于以上的等差数列,我们能不能用通项公式将它们表示出来呢?这是我们接下来要学习的内容。‎ ‎⑴、我们是通过研究数列的第n项与序号n之间的关系去写出数列的通项公式的。下面由同学们根据通项公式的定义,写出这四组等差数列的通项公式。‎ 由学生经过分析写出通项公式:‎ ① 这个数列的第一项是5,第2项是10(=5+5),第3项是15(=5+5+5),第4项是20(=5+5+5+5),……由此可以猜想得到这个数列的通项公式是 ‎② 这个数列的第一项是48,第2项是53(=48+5),第3项是58(=48+5×2),第4项是63(=48+5×3),由此可以猜想得到这个数列的通项公式是 ‎③ 这个数列的第一项是18,第2项是15.5(=18-2.5),第3项是13(=18-2.5×2),第4项是10.5(=18-2.5×3),第5项是8(=18-2.5×4),第6项是5.5(=18-2.5×5)由此可以猜想得到这个数列的通项公式是 ‎④ 这个数列的第一项是10072,第2项是10144(=10172+72),第3项是10216(=10072+72×2),第4项是10288(=10072+72×3),第5项是10360(=10072+72×4),由此可以猜想得到这个数列的通项公式是 ‎⑵、那么,如果任意给了一个等差数列的首项和公差d,它的通项公式是什么呢?‎ ‎ 引导学生根据等差数列的定义进行归纳:‎ ‎ ‎ ‎(n-1)个等式 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎…‎ 所以 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ……‎ 思考:那么通项公式到底如何表达呢?‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ……‎ ‎ 得出通项公式:由此我们可以猜想得出:以为首项,d为公差的等差数列的通项公式为:‎ ‎ 也就是说,只要我们知道了等差数列的首项和公差d,那么这个等差数列的通项就可以表示出来了。‎ 选讲:除此之外,还可以用迭加法和迭代法推导等差数列的通项公式:‎ ‎(迭加法): 是等差数列,所以 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ……‎ ‎ ‎ ‎ 两边分别相加得 ‎ ‎ 所以 ‎ ‎ (迭代法):是等差数列,则有 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ……‎ ‎ ‎ ‎ 所以 ‎ ‎[例题分析]‎ 例1、⑴求等差数列8,5,2,…的第20项.‎ ‎⑵-401是不是等差数列-5,-9,-13,…的项?如果是,是第几项?‎ 分析:⑴要求出第20项,可以利用通项公式求出来。首项知道了,还需要知道的是该等差数列的公差,由公差的定义可以求出公差;‎ ‎ ⑵‎ 这个问题可以看成是上面那个问题的一个逆问题。要判断这个数是不是数列中的项,就是要看它是否满足该数列的通项公式,并且需要注意的是,项数是否有意义。‎ 解:⑴由=8,d=5-8=-3,n=20,得 ‎ ⑵由=-5,d=-9-(-5)=-4,得这个数列的通项公式为由题意知,本题是要回答是否存在正整数n,使得-401=-4n-1成立。‎ ‎ 解这个关于n的方程,得n=100,即-401是这个数列的第100项。‎ 例题评述:从该例题中可以看出,等差数列的通项公式其实就是一个关于、、d、n(独立的量有3个)的方程;另外,要懂得利用通项公式来判断所给的数是不是数列中的项,当判断是第几项的项数时还应看求出的项数是否为正整数,如果不是正整数,那么它就不是数列中的项。‎ ‎(放投影片)例2.某市出租车的计价标准为1.2元/km,起步价为10元,即最初的‎4km(不含‎4千米)计费10元。如果某人乘坐该市的出租车去往‎14km处的目的地,且一路畅通,等候时间为0,需要支付多少车费?‎ 解:根据题意,当该市出租车的行程大于或等于‎4km时,每增加‎1km,乘客需要支付1.2元.所以,我们可以建立一个等差数列来计算车费.‎ ‎ 令=11.2,表示‎4km处的车费,公差d=1.2。那么当出租车行至‎14km处时,n=11,此时需要支付车费 ‎ 答:需要支付车费23.2元。‎ 例题评述:这是等差数列用于解决实际问题的一个简单应用,要学会从实际问题中抽象出等差数列模型,用等差数列的知识解决实际问题。‎ ‎(放投影片)思考例题:例3 已知数列的通项公式为其中p、q为常数,且p≠0,那么这个数列一定是等差数列吗?‎ 分析:判定是不是等差数列,可以利用等差数列的定义,也就是看(n>1)是不是一个与n无关的常数。‎ 解:取数列中的任意相邻两项(n>1),‎ 求差得 ‎ ‎ 它是一个与n无关的数.‎ 所以是等差数列。‎ 课本左边“旁注”:这个等差数列的首项与公差分别是多少?‎ 这个数列的首项。由此我们可以知道对于通项公式是形如的数列,一定是等差数列,一次项系数p就是这个等差数列的公差,首项是p+q.‎ 例题评述:通过这个例题我们知道判断一个数列是否是等差数列的方法:如果一个数列的通项公式是关于正整数n的一次型函数,那么这个数列必定是等差数列。‎ ‎[探究]‎ 引导学生动手画图研究完成以下探究:‎ ‎⑴在直角坐标系中,画出通项公式为的数列的图象。这个图象有什么特点?‎ ‎⑵在同一个直角坐标系中,画出函数y=3x-5的图象,你发现了什么?据此说一说等差数列与一次函数y=px+q的图象之间有什么关系。‎ 分析:⑴n为正整数,当n取1,2,3,……时,对应的可以利用通项公式求出。经过描点知道该图象是均匀分布的一群孤立点;‎ ‎⑵画出函数y=3x-5的图象一条直线后发现数列的图象(点)在直线上,数列的图象是改一次函数当x在正整数范围内取值时相应的点的集合。于是可以得出结论:等差数列的图象是一次函数y=px+q的图象的一个子集,是y=px+q定义在正整数集上对应的点的集合。‎ 该处还可以引导学生从等差数列中的p的几何意义去探究。‎ ‎[随堂练习]‎ 例1之后: “练习”第1题;‎ 例2之后: “练习”第2题;‎ ‎[课堂小结]‎ 本节主要内容为:‎ ‎①等差数列定义:即(n≥2)‎ ‎②等差数列通项公式:(n≥1)‎ 推导出公式:‎ ‎(五)评价设计 ‎1、已知是等差数列.‎ ‎⑴ 是否成立?呢?为什么?‎ ‎⑵ 是否成立?据此你能得出什么结论?‎ ‎ 是否成立?据此你又能得出什么结论?‎ ‎2、已知等差数列的公差为d.求证: ‎
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