高考数学热点题型和提分秘籍专题09函数模型及其应用文

高考数学热点题型和提分秘籍专题09函数模型及其应用文

专题 09 函数模型及其应用 1．了解指数函数、对数函数、幂函数的增长特征，结合具体实例体会直线上升、指数增长、对数增 长等不同函数类型增长的含义。 2．了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型) 的广泛应用。 热点题型一 一次函数或二次函数模型 例 1、提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况。在一般情况下，大桥上的车流速度 v(单位：千米/小时)是车流密度 x(单位：辆/千米)的函数。当桥上的车流密度达到 200 辆/千米时，造成堵 塞，此时车流速度为 0 千米/小时；当车流密度不超过 20 辆/千米时，车流速度为 60 千米/小时。研究表明： 当 20≤x≤200 时，车流速度 v 是车流密度 x 的一次函数。 (1)当 0≤x≤200 时，求函数 v(x)的表达式。 (2)当车流密度 x 为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时)f(x)＝ x·v(x)可以达到最大，并求出最大值。(精确到 1 辆/小时)。 【提分秘籍】一次函数、二次函数模型问题的常见类型及解题策略 (1)直接考查一次函数、二次函数模型。 解决此类问题应注意三点： ①二次函数的最值一般利用配方法与函数的单调性解决，但一定要密切注意函数的定义域，否则极易 出错； ②确定一次函数模型时，一般是借助两个点来确定，常用待定系数法； ③解决函数应用问题时，最后要还原到实际问题。 (2)以分段函数的形式考查。 解决此类问题应关注以下三点： ①实际问题中有些变量间的关系不能用同一个关系式给出，而是由几个不同的关系式构成，如出租车票 价与路程之间的关系，应构建分段函数模型求解； ②构造分段函数时，要力求准确、简洁，做到分段合理、不重不漏； ③分段函数的最值是各段的最大(或最小)者的最大者(最小者)。 提醒：(1)构建函数模型时不要忘记考虑函数的定义域。 (2)对构造的较复杂的函数模型，要适时地用换元法转化为熟悉的函数问题求解。 【举一反三】 某电信公司推出两种手机收费方式：A 种方式是月租 20 元，B 种方式是月租 0 元。一个月的本地网内打 出电话时间 t(分钟)与打出电话费 s(元)的函数关系如图，当通话 150 分钟时，这两种方式电话费相差( ) A．10 元 B．20 元 C．30 元 D.40 3 元 【答案】A 热点题型二 函数 y＝x＋a x 模型的应用 例 2、某村计划建造一个室内面积为 800 m2 的矩形蔬菜温室，在温室内，沿左、右两侧与后侧内墙各 保留 1 m 宽的通道，沿前侧内墙保留 3 m 宽的空地，当矩形温室的边长各为多少时，蔬菜的种植面积最大？ 最大面积是多少？ 【解析】设温室的左侧边长为 x m， 则后侧边长为800 x m。∴蔬菜种植面积 y＝(x－4) 800 x －2 ＝808－2 x＋1 600 x (4＜x＜400)。 ∵x＋1 600 x ≥2 x·1 600 x ＝80， ∴y≤808－2×80＝648。 当且仅当 x＝1 600 x ，即 x＝40 时取等号， 此时800 x ＝20，y 最大值＝648(m2)。 即当矩形温室的边长各为 40 m,20 m 时，蔬菜的种植面积最大，最大面积是 648 m2。 【提分秘籍】 应用函数 y＝x＋a x 模型的关键点 (1)明确对勾函数是正比例函数 f(x)＝ax 与反比例函数 f(x)＝b x 叠加而成的。 (2)解决实际问题时一般可以直接建立 f(x)＝ax＋b x 的模型，有时可以将所列函数关系式转化为 f(x) ＝ax＋b x 的形式。 (3)利用模型 f(x)＝ax＋b x 求解最值时，要注意自变量的取值范围，及取得最值时等号成立的条件。 【举一反三】 为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层。某幢建筑物要建造 可使用 20 年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为 6 万元。该建筑物每年的能源消耗费用 C(单位：万元) 与隔热层厚度 x(单位：cm)满足关系 C(x)＝ k 3x＋5 (0≤x≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为 8 万元， 设 f(x)为隔热层建造费用与 20 年的能源消耗费用之和。 (1)求 k 的值及 f(x)的表达式。 (2)隔热层修建多厚时，总费用 f(x)达到最小，并求最小值。 热点题型三 指数函数与对数函数模型 例 3．某医药研究所开发的一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测：服药后每毫升血液中的 含药量 y(微克)与时间 t(小时)之间近似满足如图所示的曲线。 (1)写出第一次服药后，y 与 t 之间的函数关系式 y＝f(t)； (2)据进一步测定：每毫升血液中含药量不少于 0.25 微克时，治疗有效。求服药一次后治疗有效的时间 是多长？ 【解析】(1)设 y＝ kt，0≤t≤1 1 2 t－a，t＞1， 当 t＝1 时，由 y＝4 得 k＝4。 由 1 2 1－a＝4 得 a＝3。则 y＝ 4t，0≤t≤1 1 2 t－3，t＞1。 (2)由 y≥0.25 得 0≤t≤1 4t≥0.25， 或 t＞1 1 2 t－3≥0.25， 解得 1 16 ≤t≤5。因此，服药一次后治疗有效 的时间是 5－ 1 16 ＝79 16 小时。 【提分秘籍】应用指数函数模型应注意的问题 (1)指数函数模型的应用类型。常与增长率相结合进行考查，在实际问题中有人口增长、银行利率、细 胞分裂等增长问题可以利用指数函数模型来解决。 (2)应用指数函数模型时的关键。关键是对模型的判断，先设定模型，再将已知有关数据代入验证，确 定参数，从而确定函数模型。 (3)y＝a(1＋x)n 通常利用指数运算与对数函数的性质求解。 【举一反三】 里氏震级 M 的计算公式为：M＝lgA－lgA0，其中 A 是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，A0 是相应的标 准地震的振幅。假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是 1 000，此时标准地震的振幅为 0.001，则此 次地震的震级为__________级；9 级地震的最大振幅是 5 级地震最大振幅的__________倍。 【答案】6 10 000 【2017 江苏，14】设 ( )f x 是定义在 R 且周期为 1 的函数，在区间[0,1) 上, 2, ,( ) , , x x Df x x x D     其中集合 1, *nD x x nn      N ，则方程 ( ) lg 0f x x  的解的个数是 ▲ . 【答案】8 【解析】由于    0,1f x  ，则需考虑1 10x  的情况， 【2016 高考北京文数】已知 (2,5)A ， (4,1)B ，若点 ( , )P x y 在线段 AB 上，则 2x y 的最大值为（ ） A.−1 B.3 C.7 D.8 【答案】C 【解析】由题意得，AB： 5 11 ( 4) 2 92 4y x y x       ， ∴ 2 2 ( 2 9) 4 9 4 4 9 7x y x x x           ，当 4x  时等号成立，即 2x y 的最大值为 7，故 选 C. 【2016 高考北京文数】函数 ( ) ( 2)1 xf x xx   的最大值为_________. 【答案】2 【解析】 1( ) 1 1 1 21f x x      ，即最大值为 2. 【2016 高考四川文科】某公司为激励创新，计划逐年加大研发奖金投入.若该公司 2015 年全年投入研 发资金 130 万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长 12％，则该公司全年投入的研发资金开 始超过 200 万元的年份是( ) (参考数据：lg1.12=0.05，lg1.3=0.11，lg2=0.30) (A)2018 年 (B) 2019 年 (C)2020 年 (D)2021 年 【答案】B 【2015 高考上海，文 21】（本小题 14 分）本题共 2 小题，第 1 小题 6 分，第 2 小题 8 分. 如图， CBA ,, 三地有直道相通， 5AB 千米， 3AC 千米， 4BC 千米.现甲、乙两警员同时从 A 地出发匀速前往 B 地，经过t 小时，他们之间的距离为 )(tf （单位：千米）.甲的路线是 AB ，速度为 5 千 米/小时，乙的路线是 ACB ，速度为 8 千米/小时.乙到达 B 地后原地等待.设 1tt  时乙到达 C 地. （1）求 1t 与 )( 1tf 的值； （2）已知警员的对讲机的有效通话距离是 3 千米.当 11  tt 时，求 )(tf 的表达式，并判断 )(tf 在 ]1,[ 1t 上得最大值是否超过 3？说明理由. 【答案】（1） h8 3 ， 8 413 千米；（2）超过了 3 千米. 【解析】（1） hv ACt 8 3 1  乙 ，设此时甲运动到点 P ，则 8 15 1  tvAP 甲 千米， 所以  AAPACAPACPCtf cos2)( 22 1 8 413 5 3 8 1532)8 15(3 22  千米. 【2015 高考四川，文 8】某食品的保鲜时间 y (单位：小时)与储藏温度 x (单位：℃)满足函数关系 kx by e  ( 2.718...e  为自然对数的底数， ,k b 为常数).若该食品在 0 ℃的保鲜时间是192小时，在 22 ℃ 的保鲜时间是 48 小时，则该食品在 33℃的保鲜时间是( ) (A)16 小时 (B)20 小时 (C)24 小时 (D)21 小时 【答案】C 【解析】由题意， 22 192 48 b k b e e     得 11 192 1 2 b k e e    ，于是当 x＝33 时，y＝e33k＋b＝(e11k)3·eb＝ 31( )2 ×192＝24(小 时) （2014·北京卷）加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”．在特 定条件下，可食用率 p 与加工时间 t(单位：分钟)满足函数关系 p＝at2＋bt＋c(a，b，c 是常数)，图 12 记录了三次实验的数据．根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为( ) 图 12 A．3.50 分钟 B．3.75 分钟 C．4.00 分钟 D．4.25 分钟 【答案】B （2014·陕西卷）如图 12 所示，修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连接(相切)．已 知环湖弯曲路段为某三次函数图像的一部分，则该函数的解析式为( ) 图 12 A．y＝1 2 x3－1 2 x2－x B．y＝1 2 x3＋1 2 x2－3x C．y＝1 4 x3－x D．y＝1 4 x3＋1 2 x2－2x 【答案】A 【解析】由题意可知，该三次函数的图像过原点，则其常数项为 0，不妨设其解析式为 y＝f(x)＝ax3 ＋bx2＋cx，则 f′(x)＝3ax2＋2bx＋c，∴f′(0)＝－1，f′(2)＝3，可得 c＝－1，3a＋b＝1.又 y＝ax3＋ bx2＋cx 过点(2，0)，∴4a＋2b＝1，∴a＝1 2 ，b＝－1 2 ，c＝－1，∴y＝f(x)＝1 2 x3－1 2 x2－x. 1．抽气机每次抽出容器内空气的 60%，要使容器内剩下的空气少于原来的 0.1%，则至少要抽(参考数 据：lg2＝0.301 0，lg3＝0.477 1)( ) A． 15 次 B．14 次 C．9 次 D．8 次 【答案】D 2．某位股民购进某支股票，在接下来的交易时间内，他的这支股票先经历了 n 次涨停(每次上涨 10%)， 又经历了 n 次跌停(每次下跌 10%)，则该股民这支股票的盈亏情况(不考虑其他费用)为( ) A．略有盈利 B．略有亏损 C．没有盈利也没有亏损 D．无法判断盈亏情况 【答案】B 【解析】设该股民购进股票的资金为 a，则交易结束后，所剩资金为：a(1＋10%)n·(1－10%)n＝a·(1 －0.01)n＝a·0.09n10(其中 n 是任课教 师所在班级学生的该任课教师所教学科的平均成绩与该科省平均分之差，f(n)的单位为元)，而 k(n)＝ 0，n≤10， 100，1025. 现有甲、乙两位数学任课教师，甲所教的学生高考数学平均分超出省平均分 18 分， 而乙所教的学生高考数学平均分超出省平均分 21 分，则乙所得奖励比甲所得奖励多( ) A．600 元 B．900 元 C．1 600 元 D．1 700 元 【答案】D 11．一个容器装有细沙 a cm3，细沙从容器底下一个细微的小孔慢慢地匀速漏出，t min 后剩余的细沙 量为 y＝ae－bt(cm3)，若经过 8 min 后发现容器内还有一半的沙子，则再经过________min，容器中的沙子只 有开始时的八分之一． 【答案】16 【解析】当 t＝0 时，y＝a；当 t＝8 时，y＝ae－8b＝1 2 a， ∴e－8b＝1 2 ，容器中的沙子只有开始时的八分之一时， 即 y＝ae－bt＝1 8 a. e－bt＝1 8 ＝(e－8b)3＝e－24b，则 t＝24，所以再经过 16 min. 12．如图为某质点在 4 秒钟内做直线运动时，速度函数 v＝v(t)的图象，则该质点运动的总路程 s 等于 ________． 【答案】11 cm 【解析】该质点运动的总路程等于下图中阴影部分的面积， ∴s＝1 2 ×(1＋3)×2＋2×3＋1 2 ×1×2＝11 cm. 13．某市出租车收费标准如下：起步价为 8 元，起步里程为 3 km(不超过 3 km 按起步价收费)；超过 3 km 但不超过 8 km 时，超过部分按每千米 2.15 元收费；超过 8 km 时，超过部分按每千米 2. 85 元收费，另 每次乘坐需付燃油附加费 1 元．现某人乘坐一次出租车付费 22.6 元，则此次出租车行驶了________ km. 【答案】9 14．为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气 中的含药量 y(毫克)与时间 t(小时)成正比；药物释放完毕后，y 与 t 的函数关系式 y＝( 1 16 )t－a(a 为常数)， 如图所示，根据图中提供的信息，回答下列问题： (1)从药物释放开始，每立方米空气中的含药量 y(毫克)与时间 t(小时)之间的函数关系式为 ______________________． (2)据测定，当空气中每立方米的含药量不高于 0.25 毫克时，学生方可进教室，那么从药物释放开始， 至少需要经过________小时后，学生才能回到教室． 【答案】(1)y＝ 10t，0≤t≤0.1， 1 16 t－0.1，t>0.1 (2)0.6 15．为了保护环境，发展低碳经济，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，新上了把二氧 化碳处理转化为一种可利用的化工产品的项目，经测算，该项目月处理成本 y(元)与月处理量 x(吨)之间的 函数关系可近似地表示为 y＝ 1 3 x3－80x2＋5 040x，x∈[120，144 ， 1 2 x2－200x＋80 000，x∈[144，500]， 且每处理一吨二氧化碳得到可利 用的化工产品价值为 200 元，若该项目不获利，国家将给予补偿． (1)当 x∈[200,300]时，判断该项目能否获利？若获利，求出最大利润；若不获利，则国家每月至少需 要补贴多少元才能使该项目不亏损？ (2)该项目每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？ 解：(1)当 x∈[200,300]时，设该项目获利为 S，则 S＝200x－(1 2 x2－200x＋80 000)＝－1 2 x2＋400x－80 000＝－1 2 (x－400)2， 所以当 x∈[200,300]时，S<0，因此该单位不会获利． 当 x＝300 时，S 取得最大值－5 000，所以国家每月至少补贴 5 000 元才能使该项目不亏损． (2)由题意，可知二氧化碳的每吨处理成本为： 16．随着私家车的逐渐增多，居民小区“停车难”问题日益突出．本市某居民小区为缓解“停车难” 问题，拟建造地下停车库，建筑设计师提供了该地下停车库的入口和进入后的直角转弯处的平面设计示意 图． (1)按规定，地下停车库坡道口上方要张贴限高标志，以便告知停车人车辆能否安全驶入，为标明限高， 请你根据图 1 所示数据计算限定高度 CD 的值；(精确到 0.1 m) (下列数据仅供参考：sin20°≈0.342 0，cos20°≈0.939 7，tan20°≈0.364 0) (2)在车库内有一条直角拐弯车道，车道的平面图如图 2 所示，设∠PAB＝θ(rad)，车道宽为 3 米，现 有一辆转动灵活的小汽车，其水平截面图为矩形，它的宽为 1.8 米，长为 4.5 米，问此车是否能顺利通过 此直角拐弯车道？ 解：(1)在△ABE 中，∠ABE＝90°. ∴tan∠BAE＝BE AB ，又 AB＝10 m，∠BAE＝20°. ∴BE＝AB·tan∠BAE＝10tan20°≈3.6 m， ∵BC＝0.6 m，∴CE＝BE－BC＝3 m， 在△CED 中，∵CD⊥AE.