长宁区高考数学二模含答案

长宁区高考数学二模含答案

‎2018年长宁(嘉定)区高考数学二模含答案 考生注意：‎ ‎1．答题前，务必在答题纸上将姓名、学校、班级等信息填写清楚，并贴好条形码．‎ ‎2．解答试卷必须在答题纸规定的相应位置书写，超出答题纸规定位置或写在试卷、草稿纸上的答案一律不予评分．‎ ‎3．本试卷共有21道试题，满分150分，考试时间120分钟．‎ 一．填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．‎ ‎1．已知集合，，若，则实数_______．‎ ‎2．的展开式中的第项为常数项，则正整数___________．‎ ‎3．已知复数满足（为虚数单位），则____________．‎ ‎4．已知平面直角坐标系中动点到定点的距离等于到定直线 ‎ 的距离，则点的轨迹方程为______________．‎ ‎5．已知数列是首项为，公差为的等差数列，是其前项和，则_______．‎ ‎6．设变量、满足条件则目标函数的最大值为_________．‎ ‎7．将圆心角为，面积为的扇形围成一个圆锥的侧面，则此圆锥的体积为___________．‎ ‎8．三棱锥及其三视图中的主视图和左视图如下图所示，则棱的长为________．‎ ‎2‎ ‎2‎ ‎4‎ 左视图 P A B C 主视图 ‎9．某商场举行购物抽奖促销活动，规定每位顾客从装有编号为、、、的四个相同小 ‎ 球的抽奖箱中，每次取出一球记下编号后放回，连续取两次，若取出的两个小球编号相 ‎ 加之和等于，则中一等奖，等于中二等奖，等于或中三等奖．则顾客抽奖中三 ‎ 等奖的概率为____________．‎ ‎10．已知函数的定义域为，则实数的取值范围是_________．‎ ‎11．在△中，是的中点，，，则线段长的最 ‎ 小值为____________．‎ ‎12．若实数、满足，则的取值范围是____________．‎ 二．选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．‎ ‎13．“”是“”的………………………………………………………………（ ）．‎ ‎（A）充分非必要条件 （B）必要非充分条件 ‎（C）充分必要条件 （D）既非充分又非必要条件 ‎14．参数方程（为参数，且）所表示的曲线是………………（ ）．‎ ‎ （A）直线 （B）圆弧 （C）线段 （D）双曲线的一支 ‎15．点在边长为的正方形的边上运动，是的中点，则当沿 运动时，点经过的路程与△的面积的函数的图 像的形状大致是下图中的……………………………………………………………（ ）‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎2.5‎ y O x y O x ‎1‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎2.5‎ y O x ‎1‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎2.5‎ y O x ‎1‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎2.5‎ ‎ （A） （B） （C） （D）‎ ‎16．在计算机语言中，有一种函数叫做取整函数（也叫高斯函数），它表示等 于不超过的最大整数，如，．已知 ‎，，（且），则等于………………………（ ）．‎ ‎ （A） （B） （C） （D）‎ ‎ （反面还有试题）‎ 三、解答题（本大题共有5题，满分76分） 解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．‎ ‎17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）‎ ‎ 已知函数．‎ ‎ （1）求函数的最小正周期和值域；‎ ‎ （2）设，，为△的三个内角，若，，求的值．‎ ‎18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）‎ D P A B C 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，∥，，，，平面．‎ ‎ （1）求异面直线与所成角的大小；‎ ‎ （2）求二面角的余弦值．‎ ‎19．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）‎ 某创新团队拟开发一种新产品，根据市场调查估计能获得万元到 万元的收益．现准备制定一个奖励方案：奖金（单位：万元）随收益（单位：万元）的增加而增加，且奖金不超过万元，同时奖金不超过收益的．‎ ‎（1）若建立函数模型制定奖励方案，试用数学语言表述该团队对奖励函数模型的基本要求，并分析函数是否符合团队要求的奖励函数模型，并说明原因；‎ ‎（2）若该团队采用模型函数作为奖励函数模型，试确定最小的正整数的值．‎ ‎20．（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）‎ ‎ 已知椭圆：（）的焦距为，点关于直线的对称点在椭圆上．‎ ‎ （1）求椭圆的方程；‎ ‎ （2）如图，过点的直线与椭圆交于两个不同的点、（点在点的上方），试求△面积的最大值；‎ M O x y l P C D ‎·‎ ‎ （3）若直线经过点，且与椭圆交于两个不同的点、，是否存在直线：（其中），使得、到直线的距离、满足恒成立？若存在 ，求出的值；若不存在，请说明理由．‎ ‎21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）‎ 已知数列的各项均为正数，其前项和为，且满足．数列满足，，且等式对任意成立．‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）将数列与的项相间排列构成新数列，，，，…，，，…，设该新数列为，求数列的通项公式和前项的和．‎ ‎（3）对于（2）中的数列的前项和，若对任意都成立，求实数的取值范围．‎ ‎2017学年长宁、嘉定高三年级第二次质量调研数学试卷 参考答案与评分标准 一．填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）‎ ‎1． 2． 3． 4． 5． 6．‎ ‎7． 8． 9． 10． 11． 12．‎ 二．选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项．‎ ‎13．A 14．C 15．B 16．D 三、解答题（本大题共有5题，满分76分）‎ ‎17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）‎ ‎（1）‎ ‎， ……………………………（每对一步得1分）（4分）‎ 所以，的最小正周期，值域为． ……………………………（6分）‎ ‎（2）由，得， ………………………………………（2分）‎ 因为，所以，故，． ……（5分）‎ 因为在△中，，所以， …………………………（6分）‎ 所以，‎ ‎． …………………………………………（8分）‎ ‎18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）‎ ‎（1）法一：以、、所在直线分别为轴、轴、轴，‎ 建立空间直角坐标系， ………………………………………………（1分）‎ 则，，，， ………………………（2分）‎ 所以，，， ………………………………………（3分）‎ 因为，所以，． ……………………………………（5分）‎ 所以，异面直线与所成角的大小为． …………………………………（6分）‎ ‎（1）法二：连结，因为，所以，………（1分）‎ 由∥，得，所以， ………………（2分）‎ 所以，于是，即， …………（4分）‎ 又平面，所以，所以平面，故．‎ 所以，异面直线与所成角的大小为． ………………………………（6分）‎ ‎（2）由（1）平面，所以是平面的一个法向量．（1分）‎ 设平面的一个法向量为，‎ 因为，，则由得 取，则，，故． ……………………………………（5分）‎ 设与的夹角为，则． ……………（7分）‎ 由图形知二面角为锐二面角，‎ 所以二面角的余弦值为． ……………………………………（8分）‎ ‎19．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）‎ ‎（1）设函数模型为，根据团队对函数模型的基本要求，函数满足：‎ 当时，①在定义域上是增函数；②恒成立；‎ ‎③恒成立． …………………………………………（3分，每项得1分）‎ 对于函数，当时，是增函数；‎ ‎，所以恒成立；‎ 但时，，即不恒成立．‎ 因此，该函数模型不符合团队要求． ………………………………（6分，每项得1分）‎ ‎（2）对于函数模型，‎ 当即时递增． ………………………………………………（2分）‎ 当时，要使恒成立，即，‎ 所以，； ……………………………………………………（4分）‎ 要使恒成立，即，恒成立，‎ 得出． ………………………………………………………………………（6分）‎ 综上所述，． …………………………………………………………………（7分）‎ 所以满足条件的最小正整数的值为328． ………………………………………（8分）‎ ‎20．（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）‎ ‎（1）点关于直线的对称点为， ……………………………（1分）‎ 因为在椭圆上，所以，又，故， ………………（3分）‎ 则．所以，椭圆的方程为． ……………………（4分）‎ ‎（2）由题意，直线的斜率存在，设的方程为，‎ 由得， ………………………………（1分）‎ 由△，得． ………………………………（2分）‎ 设，，则，，且，‎ ‎，‎ 所以，‎ ‎． …………………………………………………（3分）‎ 令，则，所以，，‎ 因为（当且仅当时等号成立），此时． ……………（5分）‎ 所以，当且仅当，即时，△的面积取最大值． …………（6分）‎ ‎（3）当直线的斜率不存在时，的方程为，此时，，‎ 等式成立； ………………………………………………（1分）‎ 当直线的斜率存在时，设直线的方程为， ‎ 由得， ……………………（2分）‎ 设，，则，，‎ 由题意，与一个小于，另一个大于，不妨设，‎ 则 ‎，‎ 所以，， ………………………………（4分）‎ 即，解得． …………………………（5分）‎ 综上，存在满足条件的直线，使得恒成立． ………………（6分）‎ ‎21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）‎ ‎（1）由，即，所以，‎ 两式相减得，， …………………………………（1分）‎ 故， ………………………………………（2分）‎ 因为，所以． ………………………………………（3分）‎ 又由得．‎ 所以，数列是首项为，公差为的等差数列．‎ 所以，数列的通项公式为． …………………………………………（4分）‎ ‎（2）由题意，数列是首项为，公比为的等比数列，故．…………（1分）‎ 所以， ………………………………………………………（3分）‎ 数列的前项和，数列的前项和．…（5分）‎ 所以，． ………………………………………………（6分）‎ ‎（3）当为偶数时，设（），由（2）知，，，‎ 由，得， …………………………………………（1分）‎ 即， …………………………………………………（2分）‎ 设，则，‎ 所以，当时，单调递增，当时，单调递减． ………………（3分）‎ 因为，当时，，所以，．‎ 所以，． …………………………………………………………………………（4分）‎ 当为奇数时，设（），则，‎ ‎， …………………………………………………………………………（5分）‎ 由，得，即， ……………（6分）‎ 设，则 ‎，故单调递增，，故．…（7分）‎ 综上，的取值范围是． ……………………………………………………（8分）‎