高三数学高考模拟卷

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高三数学模拟卷 （本试卷满分 160 分，考试时间 120 分钟） 一， 填空。（14×5） 1，已知 M={2,a，b}，N={2a，2，b2}，且 M=N,则（a，b）＝ 。 2，已知函数 f（x）满足：f（x）＋2f（1/x）=x, f（x）＝ 。 3，三次掷骰，点数成等差数列的概率 P＝ 。 4，若 AB=2,AC= 2 BC,则△ABC 的面积最大值＝ 。 5，1＋2x＋3x2＋…＋nxn－1＝ 。 6，设 a>b>0,则 a2+ ab 1 + b)-(a 1 a 的最小值＝ 。 7，计算：cos7o+ cos47o + cos87o+…+ cos327o＝ 。 8,n,m 是两个单位向量，其夹角为 60o，则向量 a=2m+n 与 b＝2n-3m 的夹角＝ 。 9，△ABC 中，已知 tanA＝2，tanB＝3，则角 C＝ 。 10，已知椭圆 x2/16+y2？/4=1,过点 P(2,1)作弦，使弦在这点被平分，则 此弦所在直线的方程为： 。 11, 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 ． 12,已知实数 yx, 满足       21 2 2 x yx yx ，则 |2| yxz  的最大值是 ． （第 11 题） 1 1 正视图 1 侧视图 1 俯视图 13.执行下图所示的程序框图，输出结果 y 的值是_________. 14. 点 P(x,y)在曲线(x－2)2+2y2=1 上运动，则 2 x+2y2 的最大值是 . 二， 解答题。（6 大题，共 90 分） 15．（本小题满分 14 分） 已知函数 )sin()(   xAxf ( x R， 0A ， 0 ， 20   )图象如图，P 是图象的最 高点，Q 为图象与 x 轴的交点，O 为原点．且 2|| OQ ， 2 5|| OP ， 2 13|| PQ ． （Ⅰ）求函数 )(xfy  的解析式； （Ⅱ）将函数 )(xfy  图象向右平移 1 个单位后得到函数 )(xgy  的 图 象 ， 当 ]2,0[x 时 ， 求 函 数 )()()( xgxfxh  的最大值． （正视图） （侧视图） （俯视图） 2 2 2 2 2 2 22 2 （第 12 题图） （第 13 题图） x y P QO （第 15 题） 16，（本题满分 14 分）如图，四边形 ABCD 中， BCD 为正三角形， 2 ABAD ， 32BD ， AC 与 BD 交于 O 点．将 ACD 沿边 AC 折起，使 D 点至 P 点，已知 PO 与平面 ABCD 所成的角为 ，且 P 点在平面 ABCD 内的射影落在 ACD 内． （Ⅰ）求证： AC 平面 PBD； （Ⅱ）若已知二面角 DPBA  的余弦值为 7 21 ，求 的大小. D A B C O P （第 16 题） 17，．（本题满分 14 分）数列 }{ na 是公比为 2 1 的等比数列，且 21 a 是 1a 与 31 a 的等比中 项，前 n 项和为 nS ．数列 }{ nb 是等差数列， 81 b ，前 n 项和 nT 满足  (1 nn bnT 为常数，且 )1 ． （Ⅰ）求数列 }{ na 的通项公式及  的值； （Ⅱ）比较 nTTT 111 21   与 nS2 1 的大小. 18，（本题满分 16 分）如图，分别过椭圆 E： )0(12 2 2 2  ba b y a x 左右焦点 1F 、 2F 的动 直线 l1、l2 相交于 P 点，与椭圆 E 分别交于 A、B 与 C、D 不同四点，直线 OA、OB、 OC、OD 的斜率 1k 、 2k 、 3k 、 4k 满足 4321 kkkk  ．已知当 l1 与 x 轴重合时， 32|| AB ， 3 34|| CD ． （Ⅰ）求椭圆 E 的方程； （Ⅱ）是否存在定点 M、N，使得 |||| PNPM  为定值．若存在，求出 M、 N 点坐标，若不存在，说明理由． A O P D C B x y 1l 2l 1F 2F （第 18 题） 19，（本题满分 16 分）已知 0a ，函数 axx axf  ln)( ， ],1[ 2ex ． （Ⅰ）当 3a 时，求曲线 )(xfy  在点 ))3(,3( f 处的切线方程； （Ⅱ）若 2 3)( xf 恒成立，求实数 a 的取值范围． 20，（本题满分 16 分）已知 , ,a b c R ，满足 ( ) 1abc a b c   ， （I）求 ( )( )S a c b c   的最小值； （II）当 S 取最小值时，求 c 的最大值． 答案：1，a=0,b=1 或 a=1/4,b=1/2;2，略；3，1/12;4，2 2 ；5，略；6， 略；7,0;8，120 度；9,45 度;10,x+2y-4=0;11,1/3;12,5;13,1;14, 2 2 32  . 15，解（Ⅰ）由余弦定理得 5 1 ||||2 ||||||cos 222  OQOP PQOQOPPOQ ，（2 分） ∴ 5 2sin POQ ，得 P 点坐标为 )1,2 1( ． （3 分） ∴ 1A ， 6)2 12(42   ， 3   ．（5 分） 由 1)6sin()2 1(  f ， 20   得 3   ． ∴ )(xfy  的解析式为 )33sin()(   xxf ．（7 分） （Ⅱ） xxg 3sin)(  ，（9 分） xxxxxxgxfxh 3cos3sin2 3 3sin2 1 3sin)33sin()()()( 2   4 1)63 2sin(2 1 3 2sin4 3 4 3 2cos1      xx x ．（12 分） 当 ]2,0[x 时， ]6 7,6[63 2  x ， ∴ 当 263 2  x ，即 1x 时 4 3)(max xh ．（14 分） 16，.解：(Ⅰ)易知 O 为 BD 的中点，则 AC BD ，又 AC PO ， 又 BD PO O ， ,BD PO  平面 PBD ， 所以 AC  平面 PBD （5 分） (Ⅱ)方法一：以OB 为 x 轴， OC 为 y 轴，过O 垂直于 平面 ABC 向上的直线为 z 轴建立如图所示空间 直角坐标系，则 (0, 1,0)A  , ( 3,0,0)B ( 3 cos ,0, 3sin )P θ θ （7 分） 易知平面 PBD 的法向量为 (0,1,0)j  （8 分） ( 3,1,0)AB  ， ( 3 cos ,1, 3sin )AP θ θ  设平面 ABP 的法向量为 ( , , )n x y z 则由 n AB n AP        得， 3 0 3 cos 3sin n AB x y n AP θx y θz=0               解得， 3 cos 1 sin y x θ+z xθ     ，令 1x  ，则 cos 1(1, 3, )sin θn θ   （11 分） D A B y O P （第 20 题） z x C 则 2 2 | | 3 21| cos , | 7| || | (cos 1)4 sin n jn j n j θ+ θ            解得， 2 2 (cos 1) 3sin θ+ θ  ，即 3sin cos 1θ θ= ，即 1sin 6 2 πθ =（ ） ， 又 πθ 0 2 （ ， ），∴ πθ= 3 故 πθ= 3 .（14 分） 方法二： 作 OE PB ，连接 AE ， 由(Ⅰ)知 AO  平面 PBD ，又 PB  平面 PBD ， ∴ AO  PB ，又 AO OE O ， ,AO OE  平面 AOE ， ∴ PB  平面 AOE ，又 AE  平面 AOE ， ∴ PB  AE ， ∴ AEO 即为二面角 A PB D  的平面角 （8 分） 作 PF OD 于 F ，由 AC  平面 PBD 及 PF  平面 PBD 知， AC PF 又 OD AC O ， ,OD AC  平面 ABCD ，所以 PF  平面 ABCD 所以 POF 即为直线 PO 与平面 ABCD 所成的角，即 POF θ  （10 分） 在 Rt AOE 中， 1, 3cos 3sinπ θ θAO OE 2 2 2        ， 由 cos AEO = 21 7 知， tan 1 2 3 33sin AOAEO θOE 2     ， 则 1sin 2 θ 2  ，又 πθ 0 2 （ ， ），所以 πθ= 3 ，故 πθ= 3 .（14 分） 17，．解（Ⅰ）由题意 )1()1( 31 2 2  aaa ，即 )14 1()2 11( 11 2 1  aaa （2 分） 解得 2 1 1 a ，∴ n na )2 1( （4 分） 又      32 21 2 bT bT   ，即      )28(216 )8(8 dd d   （6 分） 解得      8 2 1 d  或      0 1 d  （舍）∴ 2 1 （8 分） （Ⅱ）由（Ⅰ）知 n nS )2 1(1 ∴ 4 1)2 1(2 1 2 1 1  n nS ①（10 分） 又 nnTn 44 2  ， )1 11(4 1 )1(4 11  nnnnTn D A B C O P （第 20 题） E F ∴ 4 1)1 11(4 1)1 11 3 1 2 1 2 11(4 1111 21  nnnTTT n  ②（13 分） 由①②可知 n n STTT 2 1111 21   （14 分） 18，解（Ⅰ）当 l1 与 x 轴重合时， 04321  kkkk ，即 43 kk  ，（2 分） ∴ l2 垂直于 x 轴，得 322||  aAB ， 3 342|| 2  a bCD ，（4 分） 得 3a ， 2b ， ∴ 椭圆 E 的方程为 123 22  yx ．（6 分） （Ⅱ）焦点 1F 、 2F 坐标分别为(-1, 0)、(1, 0)． 当直线 l1 或 l2 斜率不存在时，P 点坐标为(-1, 0)或(1, 0)． 当直线 l1、l2 斜率存在时，设斜率分别为 1m ， 2m ，设 ),( 11 yxA ， ),( 22 yxB ， 由      )1( 123 1 22 xmy yx 得 0636)32( 2 1 2 1 22 1  mxmxm ， ∴ 2 1 2 1 21 32 6 m mxx   ， 2 1 2 1 21 32 63 m mxx   ．（8 分） )2()11( 21 21 1 2 2 1 1 1 2 2 1 1 21 xx xxmx x x xmx y x ykk  2 4) 2 22( 2 1 1 2 1 2 1 1     m m m mm ，（10 分） 同理 43 kk  2 4 2 2 2   m m ． ∵ 4321 kkkk  ， ∴ 2 4 2 4 2 2 2 2 1 1     m m m m ，即 0))(2( 1221  mmmm ． 由题意知 21 mm  ， ∴ 0221 mm ．（12 分） 设 ),( yxP ，则 0211  x y x y ，即 )1(12 2 2  xxy ，（14 分） 由当直线 l1 或 l2 斜率不存在时，P 点坐标为(-1, 0)或(1, 0)也满足， ∴ ),( yxP 点椭圆 12 2 2  xy 上， ∴ 存在点 M、N 其坐标分别为(0 , -1)、(0, 1)，使得 |||| PNPM  为定值 22 ．（16 分） 19 解：（Ⅰ）当 3a 时， xxxf ln33)(  ，（2 分）  xx xf 13)( 2 '  ， 3 2)3(' f ，（4 分） 又 3ln4)3( f ，曲线 )(xfy  在点 ))3(,3( f 处的切线方程为： )3(3 2)3ln4(  xy ，即： 3ln63 2  xy ．（6 分） （Ⅱ）由 ],1[ 2ex 得 ]2,0[ln x ①当 2a 时 xax axf ln)(  ， 01)( 2  xx axf ，∴ )(xf 在 ],1[ 2e 上递减， ∴ 2 32)1()( max  afxf ，∴ 4 3a ，此时 a 不存在；（ 8 分） ②当 20  a 时 若 aex 1 时， xax axf ln)(  由①得 )(xf 在 ],1[ ae 上递减， ∴ 4 3,2 32)1()( max  aafxf ，此时 4 30  a （9 分） 若 2exea  时 xx axfaxx axf 1)(,ln)( 2  令 0)(  xf 得 ax  ，又 xexg x )( 在 )2,0( 递增，故 1)0(  gxe x ∴ aea  ，当 2exea  时 0)(  xf ,∴ )(xf 在  2,eea 递增，（12 分） ∴ 2 32)()( 2 2 max  a e aefxf )1(2 2 2   e ea ， 2 )1(2 2 2  e e ，∴ 2 )1(2 2 2   a e e ，（14 分） 又 4 3 )1(2 1 2 1 )1(2 22 2     ee e ， ∴ 4 3 )1(2 2 2   a e e 综上知，实数 a 的取值范围        4 3, )1(2 2 2 e e （16 分） 20，（I）因为 2( )( )a c b c ab ac bc c      1( )ab a b c c ab ab       （4 分） 12 2ab ab    ，等号成立的条件是 1ab  ， 当 1, 2 1a b c    时， S 可取最小值 2． （8 分） （II）当 S 取最小值时， 1ab  ，从而 ( ) 1c a b c   ， 即 2 ( ) 1 0c a b c    ，令t a b  ，则 2 2t ab  （12 分） 从而 2 4 2 t tc    或者 2 4 02 t tc     （舍去） 故 2 2 4 2 2 4 t tc t t       在 [2, )t   单减， 所以在 2t  时， c 有最大值 2 1 ． （16 分）