高考卷 普通高等学校招生全国统一考试数学（广东卷·理科）（附答案，完全word版）

高考卷 普通高等学校招生全国统一考试数学（广东卷·理科）（附答案，完全word版）

2008 年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）(理科)全解析 广东佛山南海区南海中学 钱耀周 一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，满分 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的． 1．已知 0 2a  ，复数 z 的实部为 a ，虚部为 1，则 z 的取值范围是（ C ） A． (15)， B． (13)， C． (1 5)， D． (1 3)， 【解析】 12  az ，而 20  a ，即 511 2  a ， 51  z 2．记等差数列{ }na 的前 n 项和为 nS ，若 1 1 2a  ， 4 20S  ，则 6S  （ D ） A．16 B．24 C．36 D．48 【解析】 20624  dS ， 3d ，故 481536  dS 3．某校共有学生 2000 名，各年级男、女生人数如表 1．已知在全校 学生中随机抽取 1 名，抽到二年级女生的概率是 0.19．现用分层抽 样的方法在全校抽取 64 名学生，则应在三年级抽取的学生人数为 （ C ） A．24 B．18 C．16 D．12 表 1 【解析】依题意我们知道二年级的女生有 380 人，那么三年级的学生的人数应该是500 ，即总体中各个年 级的人数比例为 2:3:3 ，故在分层抽样中应在三年级抽取的学生人数为 168 264  4．若变量 x y， 满足 2 40 2 50 0 0 x y x y x y       ， ， ， ， ≤ ≤ ≥ ≥ 则 3 2z x y  的最大值是（ C ） A．90 B．80 C．70 D．40 【解析】画出可行域,利用角点法易得答案 C. 5．将正三棱柱截去三个角（如图 1 所示 A B C， ， 分别是 GHI△ 三边的中点）得到几何体如图 2，则该 几何体按图 2 所示方向的侧视图（或称左视图）为（ A ） E F D I AH G B C E F D A B C侧视 图 1 图 2 B E A． B E B． B E C． B E D． 【解析】解题时在图 2 的右边放扇墙(心中有墙),可得答案 A. 6．已知命题 :p 所有有理数都是实数，命题 :q 正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的是（ D ） A． ( )p q  B． p q C． ( ) ( )p q   D． ( ) ( )p q   【解析】不难判断命题 p 为真命题，命题 q 为假命题，从而上述叙述中只有 ( ) ( )p q   为真命题 一年级 二年级 三年级 女生 373 x y 男生 377 370 z 开始 1i  n 整除 a? 是 输入 m n， 结束 a m i  输出 a i， 1i i  图 3 否 7．设 aR ，若函数 3axy e x  ， xR 有大于零的极值点，则（ B ） A． 3a   B． 3a   C． 1 3a   D． 1 3a   【解析】 '( ) 3 axf x ae  ，若函数在 x R 上有大于零的极值点，即 '( ) 3 0axf x ae   有正根。当有 '( ) 3 0axf x ae   成立时,显然有 0a  ,此时 1 3ln( )x a a   ，由 0x  我们马上就能得到参数 a 的范围 为 3a   . 8．在平行四边形 ABCD 中，AC 与 BD 交于点O E， 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点 F ．若 AC  a ， BD  b ，则 AF  （ B ） A． 1 1 4 2 a b B． 2 1 3 3 a b C． 1 1 2 4 a b D． 1 2 3 3 a b 【解析】此题属于中档题.解题关键是利用平面几何知识得出 : 1: 2DF FC  ,然后利用向量的加减法则易 得答案 B. 二、填空题：本大题共 7 小题，考生作答 6 小题，每小题 5 分，满分 30 分． （一）必做题（9~12 题） 9．阅读图 3 的程序框图，若输入 4m  ， 6n  ，则输出 a  ，i  （注：框图中的赋值符号“  ”也可以写成“  ”或“: ”） 【解析】要结束程序的运算，就必须通过 n 整除 a 的条件运算， 而同时 m 也整除 a ，那么 a 的最小值应为 m 和 n 的最小公倍 数 12，即此时有 3i  。 10．已知 2 6(1 )kx （ k 是正整数）的展开式中， 8x 的系数小于 120， 则 k  ． 【解析】 2 6(1 )kx 按二项式定理展开的通项为 2 2 1 6 6( )r r r r r rT C kx C k x   ， 我们知道 8x 的系数为 4 4 4 6 15C k k ，即 415 120k  ，也即 4 8k  ， 而 k 是正整数，故 k 只能取 1。 11．经过圆 2 22 0x x y   的圆心C ，且与直线 0x y  垂直的直线 方程是 ． 【解析】易知点 C 为 ( 1,0) ，而直线与 0x y  垂直，我们设待求的 直线的方程为 y x b  ，将点 C 的坐标代入马上就能求出参数b 的 值为 1b  ，故待求的直线的方程为 1 0x y   。 12．已知函数 ( ) (sin cos )sinf x x x x  ， xR ，则 ( )f x 的最小正周期是 ． 【解析】 2 1 cos2 1( ) sin sin cos sin 22 2 xf x x x x x    ,此时可得函数的最小正周期 2 2T    。 二、选做题（13—15 题，考生只能从中选做两题） 13 ．（ 坐 标 系 与 参 数 方 程 选 做 题 ） 已 知 曲 线 1 2C C， 的 极 坐 标 方 程 分 别 为 cos 3   ， π4cos 0 0 2         ，≥ ≤ ，则曲线 1C 与 2C 交点的极坐标为 ． 【解析】我们通过联立解方程组 cos 3( 0,0 )4cos 2           解得 2 3 6      ,即两曲线的交点为 (2 3, )6  。 14．（不等式选讲选做题）已知 aR ，若关于 x 的方程 2 1 04x x a a     有实根，则 a 的取值范围 是 ． 【解析】方程即 21 1[0, ]4 4a a x x      ,利用绝对值的几何意义(或零点分段法进行求解)可得实数 a 的取值范围为 10, 4      15．（几何证明选讲选做题）已知 PA 是圆O 的切线，切点为 A ， 2PA  ． AC 是圆O 的直径， PC 与圆 O 交于点 B ， 1PB  ，则圆O 的半径 R  ． 【 解 析 】 依 题 意 ， 我 们 知 道 PBA PAC  , 由 相 似 三 角 形 的 性 质 我 们 有 2 PA PB R AB  , 即 2 22 2 1 32 2 1 PA ABR PB      。 三、解答题：本大题共 6 小题，满分 80 分．解答须写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分 13 分） 已知函数 ( ) sin( )( 0 0 π)f x A x A     ， ， xR 的最大值是 1，其图像经过点 π 1 3 2M      ， ． （1）求 ( )f x 的解析式；（2）已知 π0 2       ， ， ，且 3( ) 5f   ， 12( ) 13f   ，求 ( )f   的值． 【解析】（1）依题意有 1A  ，则 ( ) sin( )f x x   ，将点 1( , )3 2M  代入得 1sin( )3 2    ，而 0    ， 5 3 6      ， 2   ，故 ( ) sin( ) cos2f x x x   ； （2）依题意有 3 12cos ,cos5 13    ，而 , (0, )2    ， 2 23 4 12 5sin 1 ( ) ,sin 1 ( )5 5 13 13         ， 3 12 4 5 56( ) cos( ) cos cos sin sin 5 13 5 13 65f                  。 17．（本小题满分 13 分） 随机抽取某厂的某种产品 200 件，经质检，其中有一等品 126 件、二等品 50 件、三等品 20 件、次品 A y xO B G F F1 图 4 4 件．已知生产 1 件一、二、三等品获得的利润分别为 6 万元、2 万元、1 万元，而 1 件次品亏损 2 万元．设 1 件产品的利润（单位：万元）为 ． （1）求 的分布列；（2）求 1 件产品的平均利润（即 的数学期望）； （3）经技术革新后，仍有四个等级的产品，但次品率降为1% ，一等品率提高为 70% ．如果此时要求 1 件产品的平均利润不小于 4.73 万元，则三等品率最多是多少？ 【解析】 的所有可能取值有 6，2，1，-2； 126( 6) 0.63200P     ， 50( 2) 0.25200P     20( 1) 0.1200P     ， 4( 2) 0.02200P      故 的分布列为：  6 2 1 -2 P 0.63 0.25 0.1 0.02 （2） 6 0.63 2 0.25 1 0.1 ( 2) 0.02 4.34E           （3）设技术革新后的三等品率为 x ，则此时 1 件产品的平均利润为 ( ) 6 0.7 2 (1 0.7 0.01 ) ( 2) 0.01 4.76 (0 0.29)E x x x x              依题意， ( ) 4.73E x  ，即 4.76 4.73x  ，解得 0.03x  所以三等品率最多为3% 18．（本小题满分 14 分） 设 0b  ，椭圆方程为 2 2 2 2 12 x y b b   ，抛物线方程为 2 8( )x y b  ．如图 4 所示，过点 (0 2)F b ， 作 x 轴的平行线，与抛物线在第一象限的交点为G ，已知抛物线在点G 的切线经过椭圆的右焦点 1F ． （1）求满足条件的椭圆方程和抛物线方程； （2）设 A B， 分别是椭圆长轴的左、右端点，试探究在抛物线上是否存在点 P ，使得 ABP△ 为直角 三角形？若存在，请指出共有几个这样的点？并说明理由（不必具体求出这些点的坐标）． 【解析】（1）由 2 8( )x y b  得 21 8y x b  ， 当 2y b  得 4x   ，G 点的坐标为 (4, 2)b  ， 1' 4y x ， 4'| 1xy   ， 过点 G 的切线方程为 ( 2) 4y b x    即 2y x b   ， 令 0y  得 2x b  ， 1F 点的坐标为 (2 ,0)b ，由椭圆方程得 1F 点的坐标为 ( ,0)b ， 2 b b   即 1b  ，即椭圆和抛物线的方程分别为 2 2 12 x y  和 2 8( 1)x y  ； （2）过 A 作 x 轴的垂线与抛物线只有一个交点 P ,以 PAB 为直角的 Rt ABP 只有一个， 同理 以 PBA 为直角的 Rt ABP 只有一个。 若以 APB 为直角，设 P 点坐标为 21( , 1)8x x  ， A 、 B 两点的坐标分别为 ( 2,0) 和 ( 2,0) ， 2 2 2 4 21 1 52 ( 1) 1 08 64 4PA PB x x x x          。 关于 2x 的二次方程有一大于零的解， x 有两解，即以 APB 为直角的 Rt ABP 有两个， 因此抛物线上存在四个点使得 ABP 为直角三角形。 19．（本小题满分 14 分） 设 k R ，函数 1 11( ) 1 1 xxf x x x       ， ， ≥ ， ( ) ( )F x f x kx  ， xR ，试讨论函数 ( )F x 的单调性． 【解析】 1 , 1,1( ) ( ) 1 , 1, kx xxF x f x kx x kx x            2 1 , 1,(1 )'( ) 1 , 1, 2 1 k xxF x k x x          对于 1( ) ( 1)1F x kx xx    ， 当 0k  时，函数 ( )F x 在 ( ,1) 上是增函数； 当 0k  时，函数 ( )F x 在 1( ,1 ) k   上是减函数，在 1(1 ,1) k  上是增函数； 对于 1( ) ( 1) 2 1 F x k x x      ， 当 0k  时，函数 ( )F x 在 1, 上是减函数； 当 0k  时，函数 ( )F x 在 2 11,1 4k     上是减函数，在 2 11 ,4k      上是增函数。 20．（本小题满分 14 分） 如图 5 所示，四棱锥 P ABCD 的底面 ABCD 是半径为 R 的圆的内接四边形，其中 BD 是圆的直径， 60ABD   ， 45BDC   ， PD 垂直底面 ABCD ， 2 2PD R ， E F， 分别是 PB CD， 上的点， 且 PE DF EB FC  ，过点 E 作 BC 的平行线交 PC 于G ． （1）求 BD 与平面 ABP 所成角 的正弦值；（2）证明： EFG△ 是直角三角形； （3）当 1 2 PE EB  时，求 EFG△ 的面积． 【解析】（1）在 Rt BAD 中， 60ABD   ， , 3AB R AD R   而 PD 垂直底面 ABCD， 2 2 2 2(2 2 ) ( 3 ) 11PA PD AD R R R     F C P GE A B 图 5 D 2 2 2 2(2 2 ) (2 ) 2 3PB PD BD R R R     , 在 PAB 中， 2 2 2PA AB PB  ,即 PAB 为以 PAB 为直角的直角三角形。 设点 D 到面 PAB 的距离为 H ,由 P ABD D PABV V  有 PA AB H AB AD PD    ,即 3 2 2 2 66 1111 AD PD R RH RPA R     66sin 11 H BD    ; (2) / / , PE PGEG BC EB GC   ,而 PE DF EB FC  ,即 , / /PG DF GF PDGC DC   , GF BC  ， GF EG  , EFG 是直角三角形； （3） 1 2 PE EB  时 1 3 EG PE BC PB   , 2 3 GF CF PD CD   , 即 1 1 2 2 2 4 22 cos45 , 2 23 3 3 3 3 3EG BC R R GF PD R R          , EFG 的面积 21 1 2 4 2 4 2 2 3 3 9EFGS EG GF R R R      21．（本小题满分 12 分） 设 p q， 为实数， ， 是方程 2 0x px q   的两个实根，数列{ }nx 满足 1x p ， 2 2x p q  ， 1 2n n nx px qx   （ 3 4n  ，，…）．（1）证明： p   ， q  ；（2）求数列{ }nx 的通项公式； （3）若 1p  ， 1 4q  ，求{ }nx 的前 n 项和 nS ． 【解析】（1）由求根公式，不妨设   ，得 2 24 4,2 2     p p q p p q  2 24 4 2 2        p p q p p q p  ， 2 24 4 2 2      p p q p p q q （2）设 1 1 2( )    n n n nx sx t x sx ，则 1 2( )    n n nx s t x stx ，由 1 2n n nx px qx   得     s t p st q ， 消去t ，得 2 0  s ps q ，s 是方程 2 0x px q   的根，由题意可知， 1 2, s s  ①当   时，此时方程组     s t p st q 的解记为 1 2 1 2        s s t t     或 1 1 2( ),     n n n nx x x x   1 1 2( ),    n n n nx x x x   即 1 1n nx t x 、 2 1n nx t x 分别是公比为 1 s  、 2 s  的等比数列， 由等比数列性质可得 2 1 2 1( )     n n nx x x x   , 2 1 2 1( )     n n nx x x x   , 两式相减，得 2 2 1 2 1 2 1( ) ( ) ( )      n n nx x x x x      2 2 1,   x p q x p ， 2 2 2   x    ， 1  x   2 2 2 2 1( )     n n nx x     ， 2 2 2 2 1( )    n n nx x     1( )    n n nx    ，即 1    n n nx     ， 1 1    n n nx     ②当   时，即方程 2 0x px q   有重根， 2 4 0  p q ， 即 2( ) 4 0  s t st ，得 2( ) 0,   s t s t ，不妨设  s t  ，由①可知 2 1 2 1( )     n n nx x x x   ，   ， 2 1 2 1( )      n n n nx x x x    即 1   n n nx x  ，等式两边同时除以 n ，得 1 1 1  n n n n x x   ，即 1 1 1  n n n n x x   数列{ }n n x  是以 1 为公差的等差数列， 1 2( 1) 1 1 1         n n x x n n n    ,  n n nx n  综上所述， 1 1 ,( ) ,( )         n n n n n x n          （3）把 1p  ， 1 4q  代入 2 0x px q   ，得 2 1 04   x x ，解得 1 2    1 1( ) ( )2 2    n n nx n 2 3 2 31 1 1 1 1 1 1 1( ) ( ) ( ) ... ( ) ( ) 2 ( ) 3 ( ) ... ( )2 2 2 2 2 2 2 2 n n nS n                     2 31 1 1 1 11 ( ) ( ) 2 ( ) 3 ( ) ... ( )2 2 2 2 2 n nn            11 1 1 11 ( ) 2 ( ) ( ) 3 ( 3)( )2 2 2 2 n n n nn n       