2018-2019学年天津市第一中学高二上学期期末考试数学试题 解析版

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绝密★启用前 天津市第一中学2018-2019学年高二上学期期末考试数学试题 评卷人 得分 一、单选题 ‎1．已知椭圆的左右焦点分别为、，点在椭圆上，若、、是一个直角三角形的三个顶点，则点到轴的距离为　　‎ A． B．4 C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设椭圆短轴的一个端点为根据椭圆方程求得c，进而判断出，即得或令，进而可得点P到x轴的距离．‎ ‎【详解】‎ 解：设椭圆短轴的一个端点为M．‎ 由于，，‎ ‎；‎ ‎，‎ 只能或．‎ 令，得，‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了椭圆的基本应用考查了学生推理和实际运算能力是基础题．‎ ‎2．已知双曲线的一条渐近线过点，且双曲线的一个焦点在抛物线的准线上，则双曲线的方程为　　‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意可得渐近线的斜率，即为a，b的关系式，再根据抛物线的准线方程解得c，由a，b，c的关系，解方程可得a，b，进而得到所求双曲线的方程．‎ ‎【详解】‎ 解：双曲线的一条渐近线过点，‎ 可得渐近线的斜率为，‎ 双曲线的一个焦点在抛物线的准线上，‎ 可得，‎ 即，‎ 解得，，‎ 则双曲线的方程为：．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查双曲线的方程和性质，以及抛物线的方程和性质，运用渐近线方程和斜率公式是解题的关键，属于基础题．‎ ‎3．设、分别为双曲线的左、右焦点.若在双曲线右支上存在点，满足，且到直线的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为 A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：依题意|PF2|=|F1F2|，可知三角形PF2F1是一个等腰三角形，F2在直线PF1的投影是其中点，由勾股定理知，可知|PF1|="2"‎ ‎=4b根据双曲定义可知4b-2c=2a，整理得c=2b-a，代入c2=a2+b2整理得3b2-4ab=0，求得=∴双曲线渐进线方程为y=±x，即4x±3y=0故选C 考点：本题主要考查了直线与双曲线的位置关系的运用。‎ 点评：解决该试题的关键是利用题设条件和双曲线性质在三角形中寻找等量关系，得出a与b之间的等量关系，可知答案。‎ ‎4．已知方程表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是 A．(–1,3) B．(–1,) C．(0,3) D．(0,)‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题意知：双曲线的焦点在轴上，所以，解得，因为方程表示双曲线，所以，解得，所以的取值范围是，故选A．‎ ‎【考点】双曲线的性质 ‎【名师点睛】双曲线知识一般作为客观题出现,主要考查双曲线的几何性质,属于基础题.注意双曲线的焦距是2c而不是c,这一点易出错.‎ 视频 ‎5．已知抛物线，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于两点，若线段的中点的纵坐标为2，则该抛物线的标准方程为 A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎∵y2=2px的焦点坐标为,‎ ‎∴过焦点且斜率为1的直线方程为y=x-,即x=y+,将其代入y2=2px得y2=2py+p2‎ ‎,即y2-2py-p2=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=2p,∴=p=2,∴抛物线的方程为y2=4x,其准线方程为x=-1.故选B.‎ ‎6．一排9个座位坐了3个三口之家，若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为　　‎ A．108 B．216 C．648 D．1296‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，完成任务可分为两步，、每个三口之家内部排序，、三个家庭之间排序，计算每一步的情况数目，由分步计数原理计数公式，计算可得答案．‎ ‎【详解】‎ 解：根据题意，分2步进行：‎ ‎、将每个三口之家都看成一个元素，每个家庭都有种排法；‎ 三个三口之家共有种排法，‎ ‎、将三个整体元素进行排列，共有种排法 故不同的作法种数为；‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查排列、组合的运用，涉及分步计数原理的应用，对于相邻问题，可用捆绑法解决.‎ ‎7．甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有 ‎（A）6种 （B）12种 （C）24种 （D）30种 ‎【答案】：C ‎【解析】：甲和乙选中同一课程的选法有种，甲和乙再各选一门有和种，根据乘法原理，甲和乙完成选修课程选择有种，选C.‎ ‎8．，则　　‎ A． B． C．64 D．65‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 在所给的等式中，令，求得的值，再令，可得的值,即得结果.‎ ‎【详解】‎ 解：，令，可得，‎ 再令，，，‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查二项式定理的应用，注意根据题意，分析所给代数式的特点，通过赋值法，求展开式的系数和，属于基础题．‎ ‎9．已知F为抛物线的焦点，过点F作两条互相垂直的直线与直线，直线与抛物线交于A、B两点，直线与抛物线交于C、D两点，则的最小值为　　‎ A．10 B．12 C．14 D．16‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据抛物线焦点弦弦长公式表示，再根据正弦函数有界性求最小值．‎ ‎【详解】‎ 解：由，设直线倾斜角为，则直线倾斜角为，‎ 由焦点弦弦长公式得 ‎ 所以，‎ 当且仅当时取等号的最小值为．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了抛物线焦点弦弦长公式，考查基本分析求解能力，属于中档题．‎ ‎10．过双曲线的焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，D为虚轴上的一个端点，且为钝角三角形，则此双曲线离心率的取值范围为　　‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先解得A，B的坐标，再分类讨论钝角，并运用向量数量积的坐标表示，最后解得离心率范围．‎ ‎【详解】‎ 解：不妨设过双曲线的左焦点，‎ 令，可得，‎ 可得，，‎ 又不妨设，可得，‎ ‎，，‎ 因为为钝角三角形，所以为钝角或为钝角，‎ 当为钝角时可得，‎ 即为，‎ 化为，即有，‎ 可得，即，‎ 又，可得，‎ 当为钝角时可得，‎ 即为，‎ 化为，‎ 由，可得，‎ 又，可得．‎ 综上可得，e的范围为．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查双曲线的离心率以及向量数量积的坐标表示，考查运算能力，属于中档题．‎ 第II卷（非选择题)‎ 请点击修改第II卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 ‎11．分别标有1、2、3、4的4张卡片，放入分别标号为1、2、3、4的4个盒中，每盒不空，且3号卡片不能放入3号盒中，则有______种不同的方法．‎ ‎【答案】18‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，分2步进行分析：3号卡片可以放入1、2、4号盒子中，有3种放法；，将剩下的3张卡片全排列，放入剩下的3个盒子中，由分步计数原理计算可得答案．‎ ‎【详解】‎ 解：根据题意，分2步进行分析：‎ ‎3号卡片不能放入3号盒中，则3号卡片可以放入1、2、4号盒子中，有3种放法；‎ 将剩下的3张卡片全排列，放入剩下的3个盒子中，有种放法；‎ 故有种不同的放法；‎ 故答案为：18‎ ‎【点睛】‎ 本题考查排列、组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题．‎ ‎12．从5名男医生名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队，要求其中男女医生都有，则不同的组队方案共有______种 数字回答．‎ ‎【答案】70‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先分两类，一类是：一男二女，另一类是：两男一女；在每一类中再用分步计数原理解答．‎ ‎【详解】‎ 解：直接法：一男两女，有种，‎ 两男一女，有种，共计70种 间接法：任意选取种，其中都是男医生有种，‎ 都是女医生有种，于是符合条件的有种．‎ 故答案为：70．‎ ‎【点睛】‎ 直接法：先分类后分步；间接法：总数中剔除不合要求的方法，这种问题是排列组合中典型的问题，注意表示过程中数字不要弄混．‎ ‎13．展开式中的系数为10， 则实数的值为 ‎ ‎【答案】1‎ ‎【考点定位】该题主要考查二项式定理及其性质 ‎【解析】‎ 视频 ‎14．若抛物线的准线经过双曲线的一个焦点，则______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，由双曲线的标准方程可得双曲线的焦点坐标，对于抛物线，用p表示其准线方程，结合题意列出方程即可得p的值，即可得答案．‎ ‎【详解】‎ 解：根据题意，双曲线的方程为：，‎ 则其焦点在y轴上，且，‎ 则抛物线焦点坐标为，‎ 所以，可得；‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查抛物线、双曲线的几何性质，考查基本分析求解能力，属基础题．‎ ‎15．P为双曲线右支上的一个动点若点P到直线的距离大于m恒成立，则实数m的最大值为______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 双曲线的渐近线方程为，c的最大值为直线与直线的距离．再根据平行线之间距离公式得结果.‎ ‎【详解】‎ 解：由题意，双曲线的渐近线方程为，‎ 因为由点P到直线的距离大于m恒成立，‎ 的最大值为直线与渐近线之间的距离，即．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查双曲线的性质，考查两平行线之间的距离公式，考查学生的计算能力，属于基础题．‎ ‎16．已知椭圆，A、B为椭圆左右顶点，F为左焦点，点P为椭圆上一点，且轴，过点A的直线与线段PF交于M点，与y轴交于E点，若直线BM经过OE中点，则椭圆的离心率为______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意可得F，A，B的坐标，设出直线AE的方程为，可得M，E的坐标，再由中点坐标公式可得H的坐标，运用三点共线的条件：斜率相等，最后结合离心率公式，即可得到所求值．‎ ‎【详解】‎ 解：由题意可设，，，‎ 设直线AE的方程为，‎ 令，可得，令，可得，‎ 设OE的中点为H，可得，‎ 由B，H，M三点共线，可得，‎ 即为，‎ 化简可得，即为，‎ 可得．‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查椭圆的离心率的求法，注意运用椭圆的方程和性质，以及直线方程的运用和三点共线的条件，属于中档题．‎ 评卷人 得分 三、解答题 ‎17．已知F为椭圆的左焦点，离心率为，过F且垂直于x轴的直线被椭圆截得的线段长为．‎ 求该椭圆方程；‎ 设直线同时与椭圆和抛物线各恰有一个公共交点，求直线的方程．‎ ‎【答案】（1）；（2）或或 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由，求得，结合，即可求得a和b的值，求得椭圆方程；‎ 将直线方程代入椭圆方程与抛物线方程，根据交点情况得 的关系式，解方程组得k和m的值，即得直线方程．‎ ‎【详解】‎ 解：由，得，‎ 方程椭圆中，令，可得 即，得，，‎ 得椭圆方程；‎ 显然直线存在斜率，‎ 设其方程为，‎ ‎，整理得：，‎ 由，化简得：，‎ 代入抛物线：，得到，‎ 时，‎ ‎，化简得：，‎ 当，‎ 当时，‎ 直线的方程为或或 ‎【点睛】‎ 本题考查椭圆的标准方程，直线与圆锥曲线的位置关系，考查计算能力，属于中档题．‎ ‎18．过椭圆的右焦点F作直线交椭圆于M、N两点，H为线段MN的中点，且OH的斜率为，设点 求该椭圆的方程；‎ 若点P是椭圆上的动点，求线段PA的中点G的轨迹方程；‎ 过原点的直线交椭圆于B、C两点，求面积的最大值．‎ ‎【答案】（1）；（2），（3）最大值．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 结合点差法和直线的斜率，以及OH的斜率为，可得，再根据右焦点F在直线上，求出c，即可求出椭圆的方程；‎ 利用转移法解得G的轨迹方程；‎ 联立直线的方程与椭圆方程，利用弦长公式求出CB，再根据点到直线距离公式得A到CB的距离，根据三角形的面积得函数解析式，根据基本不等式求出最大值．‎ ‎【详解】‎ 解：设，则，两式相减可得，‎ ‎，‎ 即，‎ 直线交椭圆于M、N两点，H为线段MN的中点，且OH的斜率为，‎ ‎，，‎ ‎，‎ 右焦点F作在直线上，‎ 令，可得，‎ ‎，‎ ‎，，‎ 由，解得，，‎ 椭圆方程为；‎ 设，，则有，即，代入为中，‎ 得，‎ 故线段PA的中点G的轨迹方程为，‎ 当直线BC垂直x轴时，此时，点A到直线BC的距离，则，‎ 当直线BC的斜率为零时，此时，点A到直线BC的距离，则，‎ 当直线BC的斜率存在且不为零时，设直线BC的方程为，‎ 联立方程组可得，消y整理可得，‎ 解得，，‎ 则，‎ 点A到直线BC的距离，‎ ‎，‎ ‎，‎ 当且仅当时，即，取最大值，最大值为，‎ 综上所述面积的最大值．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查椭圆的方程，考查直线和椭圆位置关系，考查弦长公式，考查点到直线的距离公式和基本不等式的运用，属于中档题．‎ ‎19．已知点、是平面上的两点，动点P满足 求点P的轨迹方程；‎ 若，求点P的坐标．‎ ‎【答案】（1）（2），或或或 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据椭圆定义求点P的轨迹方程．‎ 根据余弦定理以及椭圆定义求，再由，得，结合椭圆定义推导出，由双曲线得点P的轨迹方程，最后联立椭圆与双曲线方程，解得点P的坐标．‎ ‎【详解】‎ 解：设动点，‎ 点、是平面上的两点，动点P满足 点P是以M，N为焦点的椭圆，且，，‎ 点P的轨迹方程为．‎ 在中，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，解得，‎ 由，得，‎ 点P在以、为焦点的双曲线上，‎ 联立，‎ 解得点P的坐标，或或或 ‎【点睛】‎ 本题考查点的轨迹方程的求法，考查椭圆、双曲线、直线方程等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题．‎ ‎20．已知椭圆C：（a>b>0），四点P1（1,1），P2（0,1），P3（–1，），P4（1，）中恰有三点在椭圆C上.‎ ‎（Ⅰ）求C的方程；‎ ‎（Ⅱ）设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点.若直线P2A与直线P2B的斜率的和为–1，证明：l过定点.‎ ‎【答案】(1) .‎ ‎(2)证明见解析.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）根据，两点关于y轴对称，由椭圆的对称性可知C经过，两点.另外由知，C不经过点P1，所以点P2在C上.因此在椭圆上，代入其标准方程，即可求出C的方程；（2）先设直线P2A与直线P2B的斜率分别为k1，k2，再设直线l的方程，当l与x轴垂直时，通过计算，不满足题意，再设l：（），将代入，写出判别式，利用根与系数的关系表示出x1+x2，x1x2，进而表示出，根据列出等式表示出和的关系，从而判断出直线恒过定点.‎ 试题解析：（1）由于，两点关于y轴对称，故由题设知C经过，两点.‎ 又由知，C不经过点P1，所以点P2在C上.‎ 因此，解得.‎ 故C的方程为.‎ ‎（2）设直线P2A与直线P2B的斜率分别为k1，k2，‎ 如果l与x轴垂直，设l：x=t，由题设知，且，可得A，B的坐标分别为（t，），（t，）.‎ 则，得，不符合题设.‎ 从而可设l：（）.将代入得 由题设可知.‎ 设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=，x1x2=.‎ 而 ‎.‎ 由题设，故.‎ 即.‎ 解得.‎ 当且仅当时，，欲使l：，即，‎ 所以l过定点（2，）‎ 点睛:椭圆的对称性是椭圆的一个重要性质，判断点是否在椭圆上，可以通过这一方法进行判断；证明直线过定点的关键是设出直线方程，通过一定关系转化，找出两个参数之间的关系式，从而可以判断过定点情况.另外，在设直线方程之前，若题设中未告知，则一定要讨论直线斜率不存在和存在两种情况，其通法是联立方程，求判别式，利用根与系数的关系，再根据题设关系进行化简.‎