高中数学（人教版a版必修一）配套课时作业：第一章集合与函数的概念1-3习题课word版含解析
§1.3 习题课
课时目标 1.加深对函数的基本性质的理解.2.培养综合运用函数的基本性质
解题的能力．
1．若函数 y＝(2k＋1)x＋b 在 R 上是减函数，则( )
A．k>1
2B．k<1
2C．k>－1
2D．k<－1
2
2．定义在 R 上的函数 f(x)对任意两个不相等的实数 a，b，总有fa－fb
a－b
>0 成
立，则必有( )
A．函数 f(x)先增后减
B．函数 f(x)先减后增
C．f(x)在 R 上是增函数
D．f(x)在 R 上是减函数
3．已知函数 f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，a，b∈R，且 a＋b>0，则有( )
A．f(a)＋f(b)>－f(a)－f(b)
B．f(a)＋f(b)<－f(a)－f(b)
C．f(a)＋f(b)>f(－a)＋f(－b)
D．f(a)＋f(b)
a，则实数 a 的取值范围是
______________．
一、选择题
1．设 f(x)是定义在 R 上的偶函数，且在(－∞，0)上是增函数，已知 x1>0，x2<0，
且 f(x1)0
C．f(－x1)>f(－x2) D．f(－x1)·f(－x2)<0
2．下列判断：
①如果一个函数的定义域关于坐标原点对称，那么这个函数为偶函数；
②对于定义域为实数集 R 的任何奇函数 f(x)都有 f(x)·f(－x)≤0；
③解析式中含自变量的偶次幂而不含常数项的函数必是偶函数；
④既是奇函数又是偶函数的函数存在且唯一．
其中正确的序号为( )
A．②③④B．①③C．②D．④
3．定义两种运算：a⊕b＝ab，a⊗b＝a2＋b2，则函数 f(x)＝ 2⊕x
x⊗2－2
为( )
A．奇函数
B．偶函数
C．既不是奇函数也不是偶函数
D．既是奇函数也是偶函数
4．用 min{a，b}表示 a，b 两数中的最小值，若函数 f(x)＝min{|x|，|x＋t|}的图
象关于直线 x＝－1
2
对称，则 t 的值为( )
A．－2B．2C．－1D．1
5．如果奇函数 f(x)在区间[1,5]上是减函数，且最小值为 3，那么 f(x)在区间[－
5，－1]上是( )
A．增函数且最小值为 3B．增函数且最大值为 3
C．减函数且最小值为－3D．减函数且最大值为－3
6．若 f(x)是偶函数，且当 x∈[0，＋∞)时，f(x)＝x－1，则 f(x－1)<0 的解集是
( )
A．(－1,0) B．(－∞，0)∪(1,2)
C．(1,2) D．(0,2)
题 号 1 2 3 4 5 6
答 案
二、填空题
7．若函数 f(x)＝－ x＋a
bx＋1
为区间[－1,1]上的奇函数，则它在这一区间上的最大
值为____．
8．已知函数 f(x)是定义域为 R 的奇函数，且当 x>0 时，f(x)＝2x－3，则 f(－2)
＋f(0)＝________.
9．函数 f(x)＝x2＋2x＋a，若对任意 x∈[1，＋∞)，f(x)>0 恒成立，则实数 a 的
取值范围是________．
三、解答题
10．已知奇函数 f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，且 f(x)在(0，＋∞)上是
增函数，f(1)＝0.
(1)求证：函数 f(x)在(－∞，0)上是增函数；
(2)解关于 x 的不等式 f(x)<0.
11．已知 f(x)＝x2＋ax＋b
x
，x∈(0，＋∞)．
(1)若 b≥1，求证：函数 f(x)在(0,1)上是减函数；
(2)是否存在实数 a，b，使 f(x)同时满足下列两个条件：
①在(0,1)上是减函数，(1，＋∞)上是增函数；②f(x)的最小值是 3.若存在，求
出 a，b 的值；若不存在，请说明理由．
能力提升
12．设函数 f(x)＝1－ 1
x＋1
，x∈[0，＋∞)
(1)用单调性的定义证明 f(x)在定义域上是增函数；
(2)设 g(x)＝f(1＋x)－f(x)，判断 g(x)在[0，＋∞)上的单调性(不用证明)，并由此
说明 f(x)的增长是越来越快还是越来越慢？
13．如图，有一块半径为 2 的半圆形纸片，计划剪裁成等腰梯形 ABCD 的形状，
它的下底 AB 是⊙O 的直径，上底 CD 的端点在圆周上，设 CD＝2x，梯形 ABCD
的周长为 y.
(1)求出 y 关于 x 的函数 f(x)的解析式；
(2)求 y 的最大值，并指出相应的 x 值．
1．函数单调性的判定方法
(1)定义法．
(2)直接法：运用已知的结论，直接判断函数的单调性，如一次函数，二次函数，
反比例函数；还可以根据 f(x)，g(x)的单调性判断－f(x)，1
fx
，f(x)＋g(x)的单调
性等．
(3)图象法：根据函数的图象判断函数的单调性．
2．二次函数在闭区间上的最值
对于二次函数 f(x)＝a(x－h)2＋k(a>0)在区间[m，n]上最值问题，有以下结论：
(1)若 h∈[m，n]，则 ymin＝f(h)＝k，ymax＝max{f(m)，f(n)}；
(2)若 h∉[m，n]，则 ymin＝min{f(m)，f(n)}，
ymax＝max{f(m)，f(n)}(a<0 时可仿此讨论)．
3．函数奇偶性与单调性的差异．
函数的奇偶性是相对于函数的定义域来说的，这一点与研究函数的单调性不
同，从这个意义上说，函数的单调性是函数的“局部”性质，而奇偶性是函数
的“整体”性质，只是对函数定义域内的每一个值 x，都有 f(－x)＝－f(x)[或 f(－
x)＝f(x)]，才能说 f(x)是奇函数(或偶函数)．
§1.3 习题课
双基演练
1．D [由已知，令 2k＋1<0，解得 k<－1
2.]
2．C [由fa－fb
a－b
>0，知 f(a)－f(b)与 a－b 同号，
由增函数的定义知选 C.]
3．C [∵a＋b>0，∴a>－b，b>－a.
由函数的单调性可知，f(a)>f(－b)，f(b)>f(－a)．
两式相加得 C 正确．]
4．C [由图象可知，当 x＝0 时，f(x)取得最大值；
当 x＝－3
2
时，f(x)取得最小值．故选 C.]
5.1
3 0
解析 偶函数定义域关于原点对称，
∴a－1＋2a＝0.∴a＝1
3.
∴f(x)＝1
3x2＋bx＋1＋b.
又∵f(x)是偶函数，∴b＝0.
6．(－∞，－1)
解析 若 a≥0，则 1
2a－1>a，解得 a<－2，∴a∈∅；
若 a<0，则1
a>a，解得 a<－1 或 a>1，∴a<－1.
综上，a∈(－∞，－1)．
作业设计
1．B [由已知得 f(x1)＝f(－x1)，且－x1<0，x2<0，而函数 f(x)在(－∞，0)上是
增函数，因此由 f(x1)0.故选 B.]
2．C [判断①，一个函数的定义域关于坐标原点对称，是这个函数具有奇偶
性的前提条件，但并非充分条件，故①错误．
判断②正确，由函数是奇函数，知 f(－x)＝－f(x)，特别地当 x＝0 时，f(0)＝0，
所以 f(x)·f(－x)＝－[f(x)]2≤0.
判断③，如 f(x)＝x2，x∈[0,1]，定义域不关于坐标原点对称，即存在 1∈[0,1]，
而－1 [0,1]；又如 f(x)＝x2＋x，x∈[－1,1]，有 f(x)≠f(－x)．故③错误．
判断④，由于 f(x)＝0，x∈[－a，a]，根据确定一个函数的两要素知，a 取不同
的实数时，得到不同的函数．故④错误．
综上可知，选 C.]
3．A [f(x)＝ 2x
x2＋2
，f(－x)＝－f(x)，选 A.]
4．D [当 t>0 时 f(x)的图象如图所示(实线)
对称轴为 x＝－t
2
，则t
2
＝1
2
，∴t＝1.]
5．D [当－5≤x≤－1 时 1≤－x≤5，
∴f(－x)≥3，即－f(x)≥3.
从而 f(x)≤－3，
又奇函数在原点两侧的对称区间上单调性相同，
故 f(x)在[－5，－1]上是减函数．故选 D.]
6．D [依题意，因为 f(x)是偶函数，所以 f(x－1)<0 化为 f(|x－1|)<0，又 x∈[0，
＋∞)时，f(x)＝x－1，所以|x－1|－1<0，
即|x－1|<1，解得 0－3
解析 ∵f(x)＝x2＋2x＋a＝(x＋1)2＋a－1，
∴[1，＋∞)为 f(x)的增区间，
要使 f(x)在[1，＋∞)上恒有 f(x)>0，则 f(1)>0，
即 3＋a>0，∴a>－3.
10．(1)证明 设 x1－x2>0.
∵f(x)在(0，＋∞)上是增函数，
∴f(－x1)>f(－x2)．
∵f(x)是奇函数，
∴f(－x1)＝－f(x1)，f(－x2)＝－f(x2)，
∴－f(x1)>－f(x2)，即 f(x1)0，则 f(x)0，x1－x2<0.
又 b>1，且 00，
∴f(x1)>f(x2)，
所以函数 f(x)在(0,1)上是减函数．
(2)解 设 0x2≥0，f(x1)－f(x2)＝(1－ 1
x1＋1)－(1－ 1
x2＋1)＝ x1－x2
x1＋1x2＋1.
由 x1>x2≥0⇒x1－x2>0，(x1＋1)(x2＋1)>0，
得 f(x1)－f(x2)>0，即 f(x1)>f(x2)．
所以 f(x)在定义域上是增函数．
(2)解 g(x)＝f(x＋1)－f(x)＝ 1
x＋1x＋2
，
g(x)在[0，＋∞)上是减函数，自变量每增加 1，f(x)的增加值越来越小，所以 f(x)
的增长是越来越慢．
13．解 (1)作 OH，DN 分别垂直 DC，AB 交于 H，N，
连结 OD.
由圆的性质，H 是中点，设 OH＝h，
h＝ OD2－DH2＝ 4－x2.
又在直角△AND 中，AD＝ AN2＋DN2
＝ 2－x2＋4－x2＝ 8－4x＝2 2－x，
所以 y＝f(x)＝AB＋2AD＋DC＝4＋2x＋4 2－x，其定义域是(0,2)．
(2)令 t＝ 2－x，则 t∈(0， 2)，且 x＝2－t2，
所以 y＝4＋2·(2－t2)＋4t＝－2(t－1)2＋10，
当 t＝1，即 x＝1 时，y 的最大值是 10.
