2020_2021学年新教材高中数学第四章指数函数对数函数与幂函数4

2020_2021学年新教材高中数学第四章指数函数对数函数与幂函数4

‎4.2　对数与对数函数 ‎4.2.1　对数运算 素养目标·定方向 课程标准 学法解读 ‎1.理解对数的概念．‎ ‎2．知道自然对数和常用对数．‎ ‎3．通过阅读材料，了解对数的发现历史以及对简化运算的作用．‎ ‎1.会用对数的定义进行对数式与指数式的互化．‎ ‎2．理解和掌握对数的性质，会求简单的对数值，发展数学抽象及数学运算素养．‎ 必备知识·探新知 知识点 对数的概念 ‎ (1)定义：在代数式ab＝N(a＞0且a≠1)，N∈(0，＋∞)中，幂指数b称为以a为底N的对数．‎ ‎(2)记法：b＝__logaN__，a称为对数的__底数__，N称为对数的__真数__．‎ ‎(3)范围：N＞0，即__负数和零没有对数__．‎ 思考：(1)为什么负数和零没有对数？‎ ‎(2)对数式logaN是不是loga与N的乘积？‎ 提示：(1)因为b＝logaN的充要条件是ab＝N，当a＞0且a≠1时，由指数函数的值域可知N＞0，故负数和零没有对数．‎ ‎(2)不是，logaN是一个整体，是求幂指数的一种运算，其运算结果是一个实数．‎ 知识点 对数恒等式 ‎ (1)alogaN＝N．‎ ‎(2)logaab＝B．‎ 知识点 常用对数与自然对数 ‎ (1)常用对数：log10N，简写为lg N．‎ ‎(2)自然对数：logeN，简写为ln N，e＝2.718 28…．‎ - 5 -‎ 关键能力·攻重难 题型探究 题型 对数的概念 ‎┃┃典例剖析__■‎ ‎　典例1　若a2 020＝b(a＞0，且a≠1)，则(　A　)‎ A．logab＝2 020 B．logba＝2 020‎ C．log2 020a＝b D．log2 020b＝a ‎(2)对数式log(a－2)(5－a)中实数a的取值范围是(　C　)‎ A．(－∞，5) B．(2,5)‎ C．(2,3)∪(3,5) D．(2，＋∞)‎ ‎(3)下列指数式与对数式互化不正确的一组是(　B　)‎ A．e0＝1与ln 1＝0‎ B．log39＝2与9＝3‎ C．8－＝与log8＝－ D．log77＝1与71＝7‎ ‎[分析]　(1)根据对数的定义转化．‎ ‎(2)对数式中底数大于0且不等于1，真数大于0．‎ ‎(3)根据对数式的定义判断．‎ ‎[解析]　(1)若a2020＝b(a＞0，且a≠1)则logab＝2 020．‎ ‎(2)由题意得解得2＜a＜3或3＜a＜5．‎ ‎(3)由指、对数式的互化可知，A、C、D正确；对于B选项log39＝2可化为32＝9，所以B选项错误．‎ 规律方法：指数式与对数式互化的思路 ‎(1)指数式化为对数式：‎ 将指数式的幂作为真数，指数作为对数，底数不变，写出对数式．‎ ‎(2)对数式化为指数式：‎ 将对数式的真数作为幂，对数作为指数，底数不变，写出指数式．‎ ‎┃┃对点训练__■‎ ‎1．(1)如果a5＝b(a＞0且a≠1，b＞0)，则(　A　)‎ - 5 -‎ A．logab＝5 B．loga5＝b C．log5a＝b D．log5b＝a ‎(2)若对数式log(t－2)3有意义，则实数t的取值范围是(　B　)‎ A．[2，＋∞) B．(2,3)∪(3，＋∞)‎ C．(－∞，2) D．(2，＋∞)‎ ‎[解析]　(1)如果a5＝b(a＞0，且a≠1，b＞0)则化为对数式为logab＝5．‎ ‎(2)由题意得 ，解得t＞2且t≠3．‎ 所以t的取值范围是(2,3)∪(3，＋∞)‎ 题型 利用指数式与对数式关系求值 角度1　利用指数式与对数式的互化求值 ‎┃┃典例剖析__■‎ ‎　典例2　求下列各式的值：‎ ‎(1)log381；‎ ‎(2)log4；‎ ‎(3)log8；‎ ‎(4)lg 0.1．‎ ‎[解析]　(1)因为34＝81，所以log381＝4．‎ ‎(2)因为4－2＝，所以log4＝－2．‎ ‎(3)因为－3＝8，所以log8＝－3．‎ ‎(4)因为10－1＝0.1，所以lg 0.1＝－1．‎ 角度2　两个特殊对数值的应用 ‎　典例3　已知log2[log3(log4x)]＝‎ log3[log4(log2y)]＝0，求x＋y的值．‎ ‎[解析]　因为log2[log3(log4x)]＝0，‎ 所以log3(log4x)＝1，所以log4x＝3，‎ 所以x＝43＝64，同理求得y＝16，所以x＋y＝80．‎ 规律方法：对数性质在求值中的应用 ‎1．对数运算时的常用性质：logaa＝1，loga1＝0．‎ - 5 -‎ ‎2．使用对数的性质时，有时需要将底数或真数进行变形后才能运用；对于有多重对数符号的，可以先把内层视为整体，逐层使用对数的性质．‎ ‎┃┃对点训练__■‎ ‎2．(1)log5[log3(log2x)]＝0，则x－等于(　C　)‎ A． B． C． D． ‎(2)log3＝__－3__；log5 625＝__4__．‎ ‎[解析]　(1)因为log5[log3(log2x)]＝0，‎ 所以log3(log2x)＝1，所以log2x＝3，所以x＝23＝8，所以x－＝8－＝＝．‎ ‎(2)因为3－3＝，所以log3＝－3；‎ 因为54＝625，‎ 所以log5 625＝4．‎ 题型 对数恒等式的应用 ‎┃┃典例剖析__■‎ ‎　典例4　计算：‎ ‎(1)71－log75；‎ ‎(2)4 (log29－log25)；‎ ‎(3)alogab·logbc (a、b均为不等于1的正数，c＞0)．‎ ‎[解析]　(1)原式＝＝．‎ ‎(2)原式＝2(log29－log25)＝＝．‎ ‎(3)原式＝(alogab)logbc＝blogbc＝C．‎ 规律方法：对于指数中含有对数值的式子进行化简，应充分考虑对数恒等式的应用．这就要求首先要牢记对数恒等式，对于对数恒等式alogaN＝N要注意格式：(1)它们是同底的；(2)指数中含有对数形式：(3)其值为对数的真数．‎ ‎┃┃对点训练__■‎ ‎3．求31＋log36－24＋log23＋103lg 3＋()log34的值．‎ - 5 -‎ ‎[解析]　原式＝3·3log36－24·2log23＋(10lg3)3＋(3log34)－2‎ ‎＝3×6－16×3＋33＋4－2‎ ‎＝18－48＋27＋＝－．‎ 易错警示 ‎┃┃典例剖析__■‎ ‎　典例5　求满足等式log(x＋3)(x2＋3x)＝1中x的值．‎ ‎[错解]　∵log(x＋3)(x2＋3x)＝1，∴x2＋3x＝x＋3，‎ 即x2＋2x－3＝0，‎ 解得x＝－3或x＝1.故满足等式log(x＋3)(x2＋3x)＝1中x的值为－3和1．‎ ‎[辨析]　误解中忽略了对数的真数与底数都必须为正数，且底数不能等于1．‎ ‎[正解]　由对数性质，得，解得x＝1．‎ 故满足等式log(x＋3)(x2＋3x)＝1的x的值为1．‎ - 5 -‎