《一元二次方程》单元测试卷 (1)

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《一元二次方程》单元测试卷 (1)

‎《一元二次方程》单元测试卷 时间:70分钟 满分:100分 一、选择题(每小题3分,共18分)‎ ‎1.(3分)下列方程中,你最喜欢的一个一元二次方程是(  )‎ A.﹣x=9 B.x3﹣x2+40=0 C.=3 D.3x3﹣2xy+y2=0‎ ‎2.(3分)用配方法解方程x2+4x+1=0,配方后的方程是(  )‎ A.(x+2)2=3 B.(x﹣2)2=3 C.(x﹣2)2=5 D.(x+2)2=5‎ ‎3.(3分)下列一元二次方程两实数根和为﹣4的是(  )‎ A.x2+2x﹣4=0 B.x2﹣4x+4=0 C.x2+4x+10=0 D.x2+4x﹣5=0‎ ‎4.(3分)方程x(x﹣2)+x﹣2=0的解是(  )‎ A.2 B.﹣2,1 C.﹣1 D.2,﹣1‎ ‎5.(3分)已知一元二次方程x2﹣8x+15=0的两个解恰好分别是等腰△ABC的底边长和腰长,则△ABC的周长为(  )‎ A.13 B.11或13 C.11 D.12‎ ‎6.(3分)长春市企业退休人员王大爷2011年的工资是每月2100元,连续两年增长后,2013年大王大爷的工资是每月2541元,若设这两年平均每年的增长率为x,根据题意可列方程(  )‎ A.2100(1+x)=2541 B.2541(1﹣x)2=2100‎ C.2100(1+x)2=2541 D.2541(1﹣x2)=2100‎ 二、填空题(每小题3分,共15分)‎ ‎7.(3分)一元二次方程3x2+2x﹣5=0的一次项系数是   .‎ ‎8.(3分)方程(x﹣3)2﹣9=0的解为   .‎ ‎9.(3分)若方程x2﹣x=0的两根为x1,x2(x1<x2),则x2﹣x1=   .‎ 第15页(共15页)‎ ‎10.(3分)关于x的一元二次方程kx2﹣x+1=0有两个不相等的实数根,则k的取值范围是   .‎ ‎11.(3分)若关于x的方程ax2+2(a+2)x+a=0有实数解,那么实数a的取值范围是   .‎ ‎ ‎ 三、解答题(共67分)‎ ‎12.用适当方法解方程.‎ ‎(1)x2﹣2x=2x+1 (2)(x+1)(x﹣1)+2(x+3)=8‎ ‎(3)x2﹣2x=5 (4)2(x﹣3)=3x(x﹣3)‎ ‎13.若方程(m﹣1)+5x﹣3=0是关于x的一元二次方程,求m的值.‎ ‎14.已知关于x的方程x2﹣(m+2)x+(2m﹣1)=0.‎ ‎(1)求证:方程恒有两个不相等的实数根;‎ ‎(2)若此方程的一个根是1,请求出方程的另一个根,并求以此两根为边长的直角三角形的周长.‎ 第15页(共15页)‎ ‎15.教材或资料会出现这样的题目:把方程x2﹣x=2化为一元二次方程的一般形式,并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项.‎ 现在把上面的题目改编为下面的两个小题,请解答.‎ ‎(1)下列式子中,有哪几个是方程x2﹣x=2所化的一元二次方程的一般形式?(答案只写序号)‎ ‎①x2﹣x﹣2=0;②﹣x2+x+2=0;③x2﹣2x=4;④﹣x2+2x+4=0;⑤x2﹣2x﹣4=0.‎ ‎(2)方程x2﹣x=2化为一元二次方程的一般形式,它的二次项系数,一次项系数,常数项之间具有什么关系?‎ ‎16.如图①:要设计一幅宽20cm,长30cm的矩形图案,其中有两横两竖的彩条,横竖彩条的宽度比为2:3,如果要使所有彩条所占面积为原矩形图案面积的三分之一,应如何设计每个彩条的宽度?‎ 如图②:用含x的代数式表示:AB=   cm;AD=   cm;矩形ABCD的面积为   cm2;列出方程并完成本题解答.‎ 第15页(共15页)‎ ‎17.某商场销售一批名牌衬衫,平均每天可售出20件,每件赢利40元,为了扩大销售,增加利润,尽量减少库存,商场决定采取适当的降价措施.经调查发现,如果每件衬衫每降价1元,商场平均每天可多售出2件;‎ ‎(1)若商场平均每天要赢利1200元,每件衬衫应降价多少元?‎ ‎(2)每件衬衫降价多少元时,商场平均每天赢利最多?‎ ‎ ‎ 第15页(共15页)‎ 参考答案与试题解析 ‎ ‎ 一、选择题(每小题3分,共18分)‎ ‎1.(3分)下列方程中,你最喜欢的一个一元二次方程是(  )‎ A.﹣x=9 B.x3﹣x2+40=0 C.=3 D.3x3﹣2xy+y2=0‎ ‎【解答】解:A、﹣x=9为一元二次方程;‎ B、x3﹣x2+40=0为一元三次方程;‎ C、=3为分式方程;‎ D、3x3﹣2xy+y2=0为二元二次方程.‎ 故选A.‎ ‎ ‎ ‎2.(3分)用配方法解方程x2+4x+1=0,配方后的方程是(  )‎ A.(x+2)2=3 B.(x﹣2)2=3 C.(x﹣2)2=5 D.(x+2)2=5‎ ‎【解答】解:方程移项得:x2+4x=﹣1,‎ 配方得:x2+4x+4=3,即(x+2)2=3.‎ 故选A.‎ ‎ ‎ ‎3.(3分)下列一元二次方程两实数根和为﹣4的是(  )‎ A.x2+2x﹣4=0 B.x2﹣4x+4=0 C.x2+4x+10=0 D.x2+4x﹣5=0‎ ‎【解答】解:A、x2+2x﹣4=0,‎ ‎∵a=1,b=2,c=﹣4,‎ ‎∴b2﹣4ac=4+16=20>0,‎ 设方程的两个根为x1,x2,‎ ‎∴x1+x2=﹣=﹣2,本选项不合题意;‎ 第15页(共15页)‎ B、x2﹣4x+4=0,‎ ‎∵a=1,b=﹣4,c=4,‎ ‎∴b2﹣4ac=16﹣16=0,‎ 设方程的两个根为x1,x2,‎ ‎∴x1+x2=﹣=4,本选项不合题意;‎ C、x2+4x+10=0,‎ ‎∵a=1,b=4,c=10,‎ ‎∴b2﹣4ac=16﹣40=﹣24<0,‎ 即原方程无解,本选项不合题意;‎ D、x2+4x﹣5=0,‎ ‎∵a=1,b=4,c=﹣5,‎ ‎∴b2﹣4ac=16+20=36>0,‎ 设方程的两个根为x1,x2,‎ ‎∴x1+x2=﹣=﹣4,本选项符合题意,‎ 故选D ‎ ‎ ‎4.(3分)方程x(x﹣2)+x﹣2=0的解是(  )‎ A.2 B.﹣2,1 C.﹣1 D.2,﹣1‎ ‎【解答】解:x(x﹣2)+x﹣2=0,‎ ‎(x﹣2)(x+1)=0,‎ 所以,x﹣2=0,x+1=0,‎ 解得x1=2,x2=﹣1.‎ 故选:D.‎ ‎ ‎ 第15页(共15页)‎ ‎5.(3分)已知一元二次方程x2﹣8x+15=0的两个解恰好分别是等腰△ABC的底边长和腰长,则△ABC的周长为(  )‎ A.13 B.11或13 C.11 D.12‎ ‎【解答】解:∵x2﹣8x+15=0,‎ ‎∴(x﹣3)(x﹣5)=0,‎ ‎∴x﹣3=0或x﹣5=0,‎ 即x1=3,x2=5,‎ ‎∵一元二次方程x2﹣8x+15=0的两个解恰好分别是等腰△ABC的底边长和腰长,‎ ‎∴当底边长和腰长分别为3和5时,3+3>5,‎ ‎∴△ABC的周长为:3+3+5=11;‎ ‎∴当底边长和腰长分别为5和3时,3+5>5,‎ ‎∴△ABC的周长为:3+5+5=13;‎ ‎∴△ABC的周长为:11或13.‎ 故选B.‎ ‎ ‎ ‎6.(3分)长春市企业退休人员王大爷2011年的工资是每月2100元,连续两年增长后,2013年大王大爷的工资是每月2541元,若设这两年平均每年的增长率为x,根据题意可列方程(  )‎ A.2100(1+x)=2541 B.2541(1﹣x)2=2100‎ C.2100(1+x)2=2541 D.2541(1﹣x2)=2100‎ ‎【解答】解:设这两年平均增长率为x,根据题意得:‎ ‎2100(1+x)2=2541,‎ 故选:C.‎ ‎ ‎ 二、填空题(每小题3分,共18分)‎ ‎7.(3分)一元二次方程3x2+2x﹣5=0的一次项系数是 2 .‎ ‎【解答】解:一元二次方程3x2+2x﹣5=0的一次项系数是:2.‎ 第15页(共15页)‎ 故答案为:2.‎ ‎ ‎ ‎8.(3分)方程(x﹣3)2﹣9=0的解为 x1=6,x2=0 .‎ ‎【解答】解:由原方程移项,得 ‎(x﹣3)2=9,‎ 开平方,得 x﹣3=±3,‎ 所以x=3±3,‎ 解得x1=6,x2=0.‎ 故答案是:x1=6,x2=0.‎ ‎ ‎ ‎9.(3分)若方程x2﹣x=0的两根为x1,x2(x1<x2),则x2﹣x1= 1 .‎ ‎【解答】解:∵x2﹣x=0,‎ ‎∴x(x﹣1)=0,‎ ‎∵x1<x2,‎ ‎∴解得:x1=0,x2=1,‎ 则x2﹣x1=1﹣0=1.‎ 故答案为:1.‎ ‎ ‎ ‎10.(3分)关于x的一元二次方程kx2﹣x+1=0有两个不相等的实数根,则k的取值范围是 k<且k≠0 .‎ ‎【解答】解:∵kx2﹣x+1=0有两个不相等的实数根,‎ ‎∴△=1﹣4k>0,且k≠0,‎ 解得,k<且k≠0;‎ 故答案是:k<且k≠0.‎ 第15页(共15页)‎ ‎ ‎ ‎11.(3分)若关于x的方程ax2+2(a+2)x+a=0有实数解,那么实数a的取值范围是 a≥﹣1 .‎ ‎【解答】解:当a=0时,方程是一元一次方程,有实数根,‎ 当a≠0时,方程是一元二次方程,‎ 若关于x的方程ax2+2(a+2)x+a=0有实数解,‎ 则△=[2(a+2)]2﹣4a•a≥0,‎ 解得:a≥﹣1.‎ 故答案为:a≥﹣1.‎ ‎ ‎ ‎12.(3分)某种传染性牛疾在牛群中传播迅猛,平均一头牛每隔6小时能传染m头牛,现知一养牛场有a头牛染有此病,那么12小时后共有 am2+2am+a 头牛染上此病(用含a、m的代数式表示).‎ ‎【解答】解:∵平均一头羊每隔6小时能传染a头羊,‎ ‎∴12小时能传染两轮,‎ 根据题意得:a+ma+m(a+ma)=am2+2am+a,‎ 故答案为:am2+2am+a.‎ ‎ ‎ 三、解答题(每小题0分,共64分)‎ ‎13.用适当方法解方程.‎ ‎(1)x2﹣2x=2x+1‎ ‎(2)(x+1)(x﹣1)+2(x+3)=8‎ ‎(3)x2﹣2x=5‎ ‎(4)2(x﹣3)=3x(x﹣3)‎ ‎【解答】解:(1)x2﹣4x=1,‎ x2﹣4x+4=5,‎ 第15页(共15页)‎ ‎(x﹣2)2=5,‎ x﹣2=±,‎ 所以x1=2+,x2=2﹣;‎ ‎(2)x2+2x﹣3=0,‎ ‎(x+3)(x﹣1)=0,‎ x+3=0或x﹣1=0,‎ 所以x1=﹣3,x2=1;‎ ‎(3)x2﹣2x+1=6,‎ ‎(x﹣1)2=6,‎ x﹣1=±,‎ 所以x1=1+,x2=1﹣;‎ ‎(4)2(x﹣3)﹣3x(x﹣3)=0,‎ ‎(x﹣3)(2﹣3x)=0,‎ x﹣3=0或2﹣3x=0,‎ 所以x1=3,x2=.‎ ‎ ‎ ‎14.若方程(m﹣1)+5x﹣3=0是关于x的一元二次方程,求m的值.‎ ‎【解答】解:∵方程(m﹣1)+5x﹣3=0是关于x的一元二次方程,‎ ‎∴m2+1=2,m﹣1≠0,‎ 解得:m=±1,m≠1,‎ 则m=﹣1.‎ ‎ ‎ ‎15.已知a是方程x2﹣2013x+1=0的一个根,求代数式a2﹣2012a+的值.‎ 第15页(共15页)‎ ‎【解答】解:∵a是方程x2﹣2013x+1=0的一个根,‎ ‎∴a2﹣2013a+1=0,‎ ‎∴a2=2013a﹣1,‎ ‎∴原式=2013a﹣1﹣2012a+‎ ‎=a+﹣1‎ ‎=﹣1‎ ‎=﹣1‎ ‎=2013﹣1‎ ‎=2012.‎ ‎ ‎ ‎16.已知关于x的方程x2﹣(m+2)x+(2m﹣1)=0.‎ ‎(1)求证:方程恒有两个不相等的实数根;‎ ‎(2)若此方程的一个根是1,请求出方程的另一个根,并求以此两根为边长的直角三角形的周长.‎ ‎【解答】(1)证明:∵△=(m+2)2﹣4(2m﹣1)=(m﹣2)2+4,‎ ‎∴在实数范围内,m无论取何值,(m﹣2)2+4>0,即△>0,‎ ‎∴关于x的方程x2﹣(m+2)x+(2m﹣1)=0恒有两个不相等的实数根;‎ ‎(2)解:根据题意,得 ‎12﹣1×(m+2)+(2m﹣1)=0,‎ 解得,m=2,‎ 则方程的另一根为:m+2﹣1=2+1=3;‎ ‎①当该直角三角形的两直角边是1、3时,由勾股定理得斜边的长度为:;‎ 该直角三角形的周长为1+3+=4+;‎ ‎②‎ 第15页(共15页)‎ 当该直角三角形的直角边和斜边分别是1、3时,由勾股定理得该直角三角形的另一直角边为2;则该直角三角形的周长为1+3+2=4+2.‎ ‎ ‎ ‎17.教材或资料会出现这样的题目:把方程x2﹣x=2化为一元二次方程的一般形式,并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项.‎ 现在把上面的题目改编为下面的两个小题,请解答.‎ ‎(1)下列式子中,有哪几个是方程x2﹣x=2所化的一元二次方程的一般形式?(答案只写序号)‎ ‎①x2﹣x﹣2=0;②﹣x2+x+2=0;③x2﹣2x=4;④﹣x2+2x+4=0;⑤x2﹣2x﹣4=0.‎ ‎(2)方程x2﹣x=2化为一元二次方程的一般形式,它的二次项系数,一次项系数,常数项之间具有什么关系?‎ ‎【解答】解:(1)一元二次方程的一般形式是:ax2+bx+c=0(a,b,c是常数且a≠0),因此①,②,④,⑤是方程x2﹣x=2所化的一元二次方程的一般形式.‎ ‎(2)一元二次方程的一般形式是:ax2+bx+c=0(a,b,c是常数且a≠0),在一般形式中ax2叫二次项,bx叫一次项,c是常数项.其中a,b,c分别叫二次项系数,一次项系数,常数项.若设方程x2﹣x=2的二次项系数为a(a≠0),则一次项系数为﹣2a,常数项为﹣4a,因此二次项系数:一次项系数:常数项=1:(﹣2):(﹣4).‎ 答:这个方程的二次项系数:一次项系数:常数项=1:(﹣2):(﹣4).‎ ‎ ‎ ‎18.如图①:要设计一幅宽20cm,长30cm的矩形图案,其中有两横两竖的彩条,横竖彩条的宽度比为2:3,如果要使所有彩条所占面积为原矩形图案面积的三分之一,应如何设计每个彩条的宽度?‎ 如图②:用含x的代数式表示:AB= (20﹣6x) cm;AD= (30﹣4x) cm;矩形ABCD的面积为 (24x2﹣260x+600) cm2;列出方程并完成本题解答.‎ 第15页(共15页)‎ ‎【解答】解:可设每个横彩条的宽为2x,则每个竖彩条的宽为3x.‎ 则AB=(20﹣6x)cm,AD=(30﹣4x)cm,矩形的面积=(20﹣6x)(30﹣4x)=24x2﹣260x+600;‎ 故答案是:(20﹣6x),(30﹣4x),(24x2﹣260x+600);‎ 根据题意,得24x2﹣260x+600=(1﹣)×20×30,‎ 整理,得6x2﹣65x+50=0,‎ 解方程,得x1=,x2=10(不合题意,舍去),‎ 则2x=,3x=,‎ 答:每个横、竖彩条的宽度分别为cm,cm.‎ ‎ ‎ ‎19.某商场销售一批名牌衬衫,平均每天可售出20件,每件赢利40元,为了扩大销售,增加利润,尽量减少库存,商场决定采取适当的降价措施.经调查发现,如果每件衬衫每降价1元,商场平均每天可多售出2件;‎ ‎(1)若商场平均每天要赢利1200元,每件衬衫应降价多少元?‎ ‎(2)每件衬衫降价多少元时,商场平均每天赢利最多?‎ ‎【解答】解:(1)设每件衬衫应降价x元,‎ 根据题意得(40﹣x)(20+2x)=1200,‎ 整理得2x2﹣60x+400=0‎ 解得x1=20,x2=10.‎ 因为要尽量减少库存,在获利相同的条件下,降价越多,销售越快,‎ 第15页(共15页)‎ 故每件衬衫应降20元.‎ 答:每件衬衫应降价20元.‎ ‎(2)设商场平均每天赢利y元,则 y=(20+2x)(40﹣x)‎ ‎=﹣2x2+60x+800‎ ‎=﹣2(x2﹣30x﹣400)=﹣2[(x﹣15)2﹣625]‎ ‎=﹣2(x﹣15)2+1250.‎ ‎∴当x=15时,y取最大值,最大值为1250.‎ 答:每件衬衫降价15元时,商场平均每天赢利最多,最大利润为1250元.‎ ‎ ‎ ‎20.如图,A、B、C、D为矩形的四个顶点,AB=16cm,AD=6cm,动点P、Q分别从点A、C同时出发,点P以3cm/s的速度向点B移动,一直到达B为止,点Q以2cm/s的速度向D移动.‎ ‎(1)P、Q两点从出发开始到几秒时,四边形PBCQ的面积为33cm2;‎ ‎(2)P、Q两点从出发开始到几秒时,点P和点Q的距离是10cm.‎ ‎【解答】解:(1)设P、Q两点从出发开始到x秒时四边形PBCQ的面积为33cm2,‎ 则PB=(16﹣3x)cm,QC=2xcm,‎ 根据梯形的面积公式得(16﹣3x+2x)×6=33,‎ 解之得x=5,‎ ‎(2)设P,Q两点从出发经过t秒时,点P,Q间的距离是10cm,‎ 第15页(共15页)‎ 作QE⊥AB,垂足为E,‎ 则QE=AD=6,PQ=10,‎ ‎∵PA=3t,CQ=BE=2t,‎ ‎∴PE=AB﹣AP﹣BE=|16﹣5t|,‎ 由勾股定理,得(16﹣5t)2+62=102,‎ 解得t1=4.8,t2=1.6.‎ 答:(1)P、Q两点从出发开始到5秒时四边形PBCQ的面积为33cm2;‎ ‎(2)从出发到1.6秒或4.8秒时,点P和点Q的距离是10cm.‎ ‎ ‎ 第15页(共15页)‎
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