2017-2018学年甘肃省甘谷县第一中学高二上学期第一次月考数学（理）试题（解析版）

2017-2018学年甘肃省甘谷县第一中学高二上学期第一次月考数学（理）试题（解析版）

‎2017-2018学年甘肃省甘谷县第一中学高二上学期第一次月考数学（理）试题 一、单选题 ‎1．数列1,3,7,15,…的通项公式等于（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】， ， ， ，故可得，故选C.‎ ‎2．在和8之间插入3个数，使它们与这两个数依次构成等比数列，则这3个数的积（ ）‎ A．8 B．±8 C．16 D．±16‎ ‎【答案】A ‎【解析】试题分析：设插入的三个数依次为，则这5个数成等比数列，根据等比中项的性质可知：，所以这3个数的乘积为8．‎ ‎【考点】等比中项 ‎3．在△ABC中， 分别是的对边, ，则 ( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】∵， ，∴， ， ， ， ， ，∴，故选C.‎ ‎4．已知为等差数列，，则等于( )‎ ‎ A. -1 B. ‎1 ‎ C. 3 D. 7‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据已知条件和等差中项的性质可分别求得a3和a4的值，进而求得数列的公差，最后利用等差数列的通项公式求得答案．‎ 解答：解：由已知得a1+a3+a5=3a3=105， a2+a4+a6=3a4=99， ‎ ‎∴a3=35，a4=33，∴d=a4-a3=-2． ∴a20=a3+17d=35+（-2）×17=1． 故选B ‎5．设是首项为a1，公差为－1的等差数列，Sn为其前n项和．若S1，S2，S4成等比数列，则a1＝(　　)‎ A. 2 B. －2 C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】∵是首项为，公差为的等差数列， 为其前项和，∴， ， ，由成等比数列，得： ，即，解得： ，故选D.‎ ‎6．在中，角的对边分别为,若,则角的值为（ ）‎ A. B. C. 或 D. 或 ‎【答案】D ‎【解析】试题分析：由余弦定理和及已知条件得，所以，又，所以或，故选D.‎ ‎【考点】1.余弦定理；2.同角三角基本关系.‎ ‎7．等比数列中，已知对任意自然数， ，则等于 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】∵当时， ，当时， ，∴，∴公比，∴等比数列是首项是1，公比是2的等比数列，∵， ，∴等比数列是首项是1，公比是4的等比数列，∴，故选D.‎ ‎8．首项为－24的等差数列，从第10项开始为正数，则公差d的取值范围是(　　)‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】由等差数列的定义可得： ，∵从第10项开始为正数，∴‎ ‎，解得，∴公差的取值范围是，故选D.‎ ‎9．在中，若， ，则等于(　　)‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】∵在中，∴由正弦定理可得①，又∵，∴②，由①②可得，可得，故选B.‎ ‎10．等比数列的各项均为正数，且，则（ ）‎ A．5 B．9 C． D．10‎ ‎【答案】D ‎【解析】试题分析：由数列 是等比数列，∴ ，又 ‎ ‎∴，‎ ‎∴ ‎ ‎【考点】本题考查等比数列的性质 点评：解决本题的关键是掌握等比数列的性质，以及对数运算法则 ‎11．在中，角的对边分别为， ， ，且，那么一定是(　　)‎ A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形 D. 等腰或直角三角形 ‎【答案】D ‎【解析】中， ， ，且，∴，即，∴，即，∴或，即或；∴‎ 是等腰三角形或直角三角形，故选D.‎ ‎12．在,内角所对的边长分别为 且,则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】试题分析：利用正弦定理化简得：sinAsinBcosC+sinCsinBcosA=sinB，‎ ‎∵sinB≠0，∴sinAcosC+cosAsinC=sin（A+C）=sinB=，‎ ‎∵a＞b，∴∠A＞∠B，∴∠B=‎ ‎【考点】‎ 二、填空题 ‎13．在中， ， ， ，则的面积等于________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】∵中， ， ， ，由正弦定理得： ，∴，解得，∴， ，∴的面积，故答案为.‎ ‎14．已知数列的通项公式是, 是前n项和，则的最小值是_______‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由，可知数列为等差数列，公差为， ，则数列为递增的等差数列，由，解得，∴取最小值时， ，故答案为.‎ 点睛：本题主要考查了等差数列前n项和的最值，最常见的有2种方法：1、函数法：利用等差数列前n项和的函数表达式，通过配方或借助图象求二次函数最值的方法求解；2：邻项变号法：当， 时，满足的项数使得取得最小值为.‎ ‎15．设是数列的前n项和，且， ，则________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由是数列的前n项和，且， ，∴，两边同除以，∴，即，∴是首项为，公差为的等差数列，∴，∴，故答案为.‎ ‎16．如图所示，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD＝______m.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设此山高，则，在中， ， ， ， ，根据正弦定理得，解得，故答案为.‎ 点睛：本题主要考查了解三角形的实际应用．关键是构造三角形，将各个已知条件向这个主三角形集中，再通过正弦、余弦定理或其他基本性质建立条件之间的联系，列方程或列式求解；设此山高，在中，利用仰角的正切表示出，进而在中利用正弦定理求得.‎ 三、解答题 ‎17．已知是中的对边是的面积，若, , , 求边的长度.‎ ‎【答案】或 ‎【解析】试题分析：根据三角形的面积公式可得或，根据余弦定理可求出 边的长度.‎ 试题解析：∵, , ，由，得， 或，∴又，∴当 时， ，当时， .‎ ‎18．等差数列中， ， ．‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）设，求的值．‎ ‎【答案】（1）；（2）2101‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎(1)有题意首先求得首项和公差，然后结合等差数列的通项公式可得；‎ ‎(2)利用等比数列求和公式可得的值是．‎ 试题解析：‎ ‎（1）设等差数列的公差为，‎ 由已知得，解得， ，‎ 所以； ‎ ‎（2）由（1）可得， 则 ．‎ ‎19．在中，角所对应的边为 ‎（1）若，求的值；‎ ‎（2）若，求的值.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】试题分析：（1）利用和角公式对可得 ‎，即可得，即可得答案；（2）先利用余弦定理求得和的关系，进而根据求得，最后利用正弦定理求得的值.‎ 试题解析：（1）由题设知，即，变形可得，即，则，则； （2），∴，∴，∴，∴.‎ 点睛：本题主要考查了正、余弦定理在解三角形中的应用，较基础；解三角形时，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理，以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到.‎ ‎20．已知等比数列的各项均为正数，且， ．‎ ‎（1）求数列的通项公式．‎ ‎（2）设，求数列的前项和．‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】试题分析：（1）已知数列是等比数列，因此把已知条件用首项和公比表示并解出，然后可写出通项公式；（2）计算出是等差数列的前项和， ，因此变成两项的和，即数列可用裂项相消法求和得出结论．‎ 试题解析：（1）设数列{an}的公比为，由得所以 有条件可知，故．‎ 由得，所以 故数列{an}的通项式为 ‎（2）==.‎ 故 所以数列的前n项和为 ‎【考点】等比数列的通项公式，等差数列的前项和，裂项相消法求和．‎ ‎21．设锐角三角形的内角的对边分别为，且.‎ ‎（1）求的大小；‎ ‎（2）求的取值范围.‎ ‎【答案】解：（Ⅰ）由，根据正弦定理得，所以，由为锐角三角形得．‎ ‎（Ⅱ）‎ ‎ ‎ 由为锐角三角形知，‎ 所以．‎ 由此有,‎ 所以，的取值范围为．‎ ‎【解析】试题分析：（Ⅰ）解三角形，一般利用正余弦定理进行边角转化，本题求角，所以将边化为角，由正弦定理得，所以，由为锐角三角形得. （Ⅱ）先根据三角形三角关系将两角化为一角： ‎ ‎ .由为锐角三角形知，，‎ ‎，即，所以.‎ 由此有， 所以，的取值范围为.‎ 试题解析：解:（Ⅰ）由，根据正弦定理得，‎ 所以，由为锐角三角形得. 6分 ‎（Ⅱ） ‎ ‎ . 10分 由为锐角三角形知，‎ ‎，.， 12分 所以. 由此有，‎ 所以，的取值范围为. 14分 ‎【考点】正弦定理，三角函数性质 ‎22．已知数列的前项和为，且， ，数列满足， .‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）求数列的前项和.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】试题分析：（1）求数列的通项公式主要利用求解，分情况求解后要验证是否满足的通项公式，将求得的代入整理即可得到的通项公式；（2）整理数列的通项公式得，依据特点采用错位相减法求和 试题解析：（1）∵，∴当时， .‎ 当时， .‎ ‎∵时， 满足上式，∴.‎ 又∵，∴，解得： .‎ 故， ， .‎ ‎（2）∵， ， ‎ ‎∴ ①‎ ‎②‎ 由①-②得： ‎ ‎∴， .‎ ‎【考点】1.数列通项公式求解；2.错位相减法求和 ‎【方法点睛】求数列的通项公式主要利用， 分情况求解后，验证的值是否满足关系式，解决非等差等比数列求和问题，主要有两种思路：其一，转化的思想，即将一般数列设法转化为等差或等比数列，这一思想方法往往通过通项分解（即分组求和）或错位相减来完成，其二，不能转化为等差等比数列的，往往通过裂项相消法，倒序相加法来求和，本题中，根据特点采用错位相减法求和