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文档介绍
2013年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题(陕西卷)
2013年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学 注意事项: 1. 本试卷分为两部分, 第一部分为选择题,第二部分为非选择题.。 2. 考生领到试卷后,须按规定在试卷上填写姓名、准考证号,并在答题卡上填涂对应的试卷类型信息.。 3. 所有解答必须填写在答题卡上指定区域内。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分(共50分) 1. 第一部分(共50分) 一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求(本大题共10小题,每小题5分,共50分) 1. 设全集为R, 函数的定义域为M, 则为 (A) (-∞,1) (B) (1, + ∞) (C) (D) 【答案】B 【解析】,所以选B 2. 已知向量 , 若a//b, 则实数m等于 (A) (B) (C) 或 (D) 0 2. 【答案】C 【解析】,所以选C 3. 设a, b, c均为不等于1的正实数, 则下列等式中恒成立的是 (A) (B) (C) (D) 3. 【答案】B 【解析】a, b,c≠1. 考察对数2个公式: 对选项A: ,显然与第二个公式不符,所以为假。 10 对选项B: ,显然与第二个公式一致,所以为真。 对选项C: ,显然与第一个公式不符,所以为假。 对选项D: ,同样与第一个公式不符,所以为假。 所以选B 输入x If x≤50 Then y = 0.5 * x Else y = 25 + 0.6*(x-50) End If 输出y 4. 根据下列算法语句, 当输入x为60时, 输出y的值为 (A) 25 (B) 30 (C) 31 (D) 61 4. 【答案】C 【解析】,所以选C 5. 对一批产品的长度(单位: mm)进行抽样检测, 下图喂检测结果的频率分布直方图. 根据标准, 产品长度在区间[20,25)上的为一等品, 在区间[15,20)和区间[25,30)上的为二等品, 在区间[10,15)和[30,35)上的为三等品. 用频率估计概率, 现从该批产品中随机抽取一件, 则其为二等品的概率为 (A) 0.09 (B) 0.20 (C) 0.25 (D) 0.45 5. 【答案】D 【解析】组距为5,二等品的概率为。所以,从该批产品中随机抽取1件,则其是二等品的概率为0.45. 所以选D 6. 设z是复数, 则下列命题中的假命题是 (A) 若, 则z是实数 (B) 若, 则z是虚数 (C) 若z是虚数, 则 (D) 若z是纯虚数, 则 6. 【答案】C 【解析】。经观察,C和D选项可能是互相排斥的,应重点注意。 对选项A: ,所以为真。 对选项B: ,所以为真. 10 对选项C: ,所以为假 对选项D: ,所以为真. 所以选C 7. 若点(x,y)位于曲线y = |x|与y = 2所围成的封闭区域, 则2x-y的最小值为 (A) -6 (B) -2 (C) 0 (D) 2 7. 【答案】A 【解析】的图像围成一个三角形区域,3个顶点的坐标分别是 (0,0),(-2,2),(2,2). 且当取点(-2,2)时,2x – y = - 6取最小值。所以选A 8. 已知点M(a,b)在圆外, 则直线ax + by = 1与圆O的位置关系是 (A) 相切 (B) 相交 (C) 相离 (D) 不确定 8. 【答案】B 【解析】点M(a, b)在圆 =圆的半径,故直线与圆相交。 所以选B. 9. 设△ABC的内角A, B, C所对的边分别为a, b, c, 若, 则△ABC的形状为 (A) 直角三角形 (B) 锐角三角形 (C) 钝角三角形 (D) 不确定 9. 【答案】A 【解析】因为,所以 又。联立两式得。 所以。选A 10. 设[x]表示不大于x的最大整数, 则对任意实数x, y, 有 (A) [-x] = -[x] (B) [x + ] = [x] (C) [2x] = 2[x] (D) 10. 【答案】D 【解析】代值法。 对A, 设x = - 1.8, 则[-x] = 1, -[x] = 2, 所以A选项为假。 对B, 设x = 1.8, 则[x+] = 2, [x] = 1, 所以B选项为假。 对C, 设x = - 1.4, [2x] = [-2.8] = - 3, 2[x] = - 4, 所以C选项为假。 10 故D选项为真。所以选D 二、填空题:把答案填写在答题卡相应题号后的横线上(本大题共5小题,每小题5分,共25分) 11. 双曲线的离心率为 . 11. 【答案】 【解析】 12. 某几何体的三视图如图所示, 则其表面积为 . 12. 【答案】 【解析】 综合三视图可知,立体图是一个半径r=1的半个球体。其表面积 = 13. 观察下列等式: … 照此规律, 第n个等式可为 . 13. 【答案】 【解析】考察规律的观察、概况能力,注意项数,开始值和结束值。 第n个等式可为: 14. 在如图所示的锐角三角形空地中, 欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分), 则其边长x为 (m). 14. 【答案】20 【解析】 利用均值不等式解决应用问题。设矩形高为y, 由三角形相似得: . 15. (考生请注意:请在下列三题中任选一题作答, 如果多做, 则按所做的第一题计分) A. (不等式选做题) 设a, b∈R, |a-b|>2, 则关于实数x的不等式的解集是 . 10 B. (几何证明选做题) 如图, AB与CD相交于点E, 过E作BC的平行线与AD的延长线相交于点P. 已知, PD = 2DA = 2, 则PE = . C. (坐标系与参数方程选做题) 圆锥曲线 (t为参数)的焦点坐标是 . 15. A 【答案】R 【解析】 考察绝对值不等式的基本知识。函数的值域为: . 所以,不等式的解集为R。 B 【答案】 【解析】 C 【答案】 (1, 0) 【解析】 三、解答题: 解答应写出文字说明、证明过程及演算步骤(本大题共6小题,共75分) 16. (本小题满分12分) 已知向量, 设函数. (Ⅰ) 求f (x)的最小正周期. (Ⅱ) 求f (x) 在上的最大值和最小值. 16. 【答案】(Ⅰ) . (Ⅱ) . 【解析】(Ⅰ) =。 最小正周期。 所以最小正周期为。 10 (Ⅱ) . . 所以,f (x) 在上的最大值和最小值分别为. 17. (本小题满分12分) 设Sn表示数列的前n项和. (Ⅰ) 若为等差数列, 推导Sn的计算公式; (Ⅱ) 若, 且对所有正整数n, 有. 判断是否为等比数列. 17. 【答案】(Ⅰ) ; (Ⅱ) 是首项,公比的等比数列。 【解析】(Ⅰ) 设公差为d,则 . (Ⅱ) 。 . 所以,是首项,公比的等比数列。 18. (本小题满分12分) 如图, 四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形, O为底面中心, A1O⊥平面ABCD, . 10 (Ⅰ) 证明: A1BD // 平面CD1B1; (Ⅱ) 求三棱柱ABD-A1B1D1的体积. 18. 【答案】 (Ⅰ) ,见下. (Ⅱ) 1 【解析】 (Ⅰ) 设. . .(证毕) (Ⅱ) . 在正方形AB CD中,AO = 1 . . 所以,. 19. (本小题满分12分) 有7位歌手(1至7号)参加一场歌唱比赛, 由500名大众评委现场投票决定歌手名次, 根据年龄将大众评委分为5组, 各组的人数如下: 组别 A B C D E 人数 50 100 150 150 50 (Ⅰ) 为了调查评委对7位歌手的支持状况, 现用分层抽样方法从各组中抽取若干评委, 其中从B组中抽取了6人. 请将其余各组抽取的人数填入下表. 组别 A B C D E 人数 50 100 150 150 50 抽取人数 6 (Ⅱ) 在(Ⅰ)中, 若A, B两组被抽到的评委中各有2人支持1号歌手, 现从这两组被抽到的评委中分别任选1人, 求这2人都支持1号歌手的概率. 19. 【答案】 (Ⅰ). 组别 A B C D E 10 人数 50 100 150 150 50 抽取人数 3 6 9 9 3 (Ⅱ) 【解析】 (Ⅰ) 按相同的比例从不同的组中抽取人数。 从B组100人中抽取6人,即从50人中抽取3人,从100人中抽取6人,从100人中抽取9人。 (Ⅱ) A组抽取的3人中有2人支持1号歌手,则从3人中任选1人,支持支持1号歌手的概率为· B组抽取的6人中有2人支持1号歌手,则从6人中任选1人,支持支持1号歌手的概率为· 现从抽样评委A组3人,B组6人中各自任选一人,则这2人都支持1号歌手的概率. 所以,从A,B两组抽样评委中,各自任选一人,则这2人都支持1号歌手的概率为. 20. (本小题满分13分) 已知动点M(x,y)到直线l:x = 4的距离是它到点N(1,0)的距离的2倍. (Ⅰ) 求动点M的轨迹C的方程; (Ⅱ) 过点P(0,3)的直线m与轨迹C交于A, B两点. 若A是PB的中点, 求直线m的斜率. 20. 【答案】 (Ⅰ). . (Ⅱ) 【解析】 (Ⅰ) 点M(x,y)到直线x=4的距离,是到点N(1,0)的距离的2倍,则 . 所以,动点M的轨迹为 椭圆,方程为 (Ⅱ) P(0, 3), 设 椭圆经检验直线m不经过这2点,即直线m斜率k存在。.联立椭圆和直线方程,整理得: 所以,直线m的斜率 21. (本小题满分14分) 已知函数. 10 (Ⅰ) 求f(x)的反函数的图象上图象上点(1,0)处的切线方程; (Ⅱ) 证明: 曲线y = f (x) 与曲线有唯一公共点. (Ⅲ) 设a (Ⅱ)【解析】(Ⅰ) f (x)的反函数,则y=g(x)过点(1,0)的切线斜率k=. .过点(1,0)的切线方程为:y = x+ 1 (Ⅱ) 证明曲线y=f(x)与曲线有唯一公共点,过程如下。 因此, 所以,曲线y=f(x)与曲线只有唯一公共点(0,1).(证毕) (Ⅲ) 设 令。 ,且 。 10 所以 。 10查看更多