高考必刷卷（新课标卷） 数学（理）（新课标卷）（新课标卷）06（解析版）

高考必刷卷（新课标卷） 数学（理）（新课标卷）（新课标卷）06（解析版）

2020 年高考必刷卷（新课标卷）06 数学（理） （本试卷满分 150 分，考试用时 120 分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。用 2B 铅笔将试卷 类型（B）填涂在答题卡的相应位置上。 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案。答案不能答在试卷上。 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置 上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作 答无效。 4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷（选择题) 一、单选题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的。 1．已知集合 { | 2 2}A x x    N ， { 1,1,2,3}B   ，则 A B  （ ） A． 1 B． 0,1 C． 0,1,2 D． 0,1,2,3 【答案】A 【解析】 【分析】 求出集合 A ，然后利用交集的定义可求出集合 A B . 【详解】  { | 2 2} 0,1A x x      N ，因此，  1A B  . 故选：A. 【点睛】 本题考查交集的计算，考查计算能力，属于基础题. 2．设 1 i 2i1 iz   ，则| |z  A． 0 B． 1 2 C．1 D． 2 【答案】C 【解析】 分析：利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数 z ，然后求解复数 的模. 详解：       1 i 1 i1 i 2i 2i1 i 1 i 1 iz        i 2i i    ， 则 1z  ，故选 c. 点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解， 掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数 的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分. 3．若向量 (4,2)a  ， (6, )b k ，若 / /a b   ，则 (k  ) A． 12 B．12 C． 3 D．3 【答案】D 【解析】 【分析】 根据题意，由向量平行的坐标表示方法可得若 / /a b   ，则有 4 2 6 12k    ，解可得 k 的值，即可得 答案． 【详解】 解：根据题意，向量 (4,2)a  ， (6, )b k ， 若 / /a b   ，则有 4 2 6k   ， 解得 3k  ； 故选： D ． 【点睛】 本题考查向量平行的坐标表示公式，关键是掌握向量平行的坐标表示方法，属于基础题． 4．设等差数列 na 的前 n 项和为 nS ，若 2 8 515a a a   ，则 9S 等于 ( ) A．18 B．36 C．45 D．60 【答案】C 【解析】 【分析】 利用等差数列的通项公式化简已知条件，根据等差数列前 n 项和公式求得 9S 的值. 【详解】 由于数列 na 是等差数列，所以由 2 8 515a a a   得 52 8 15a a a  ，即 13 12 15a d  ，而  1 9 1 9 1 2 89 9 3 3 12 3 15 452 2 a a a dS a d           . 故选：C. 【点睛】 本小题主要考查等差数列通项公式及前 n 项和公式的基本量计算，属于基础题. 5．在 3 n x x     的展开式中，各项系数和与二项式系数和之比为 64 ，则 3x 的系数为（ ） A．15 B．45 C．135 D．405 【答案】C 【解析】 【分析】 令 1x  代入可求得各项系数和,根据展开式二项式系数和为 2n ,结合两个系数比即可求得 n 的值,进 而根据二项展开式的通项求得 3x 的系数即可. 【详解】 令 1x  ,代入 3 n x x     可得各项系数和为 4n 展开式的各项的二项式系数和为 2n 由题意可知,各项系数的和与各项二项式系数的和之比为 64 所以 4 642 n n  解方程可得 6n  则二项式 3 n x x     的展开式的通项公式为     1 366 6 2 21 6 6 6 3 3 3 r r rr rr r r r r rT C x C x x C x x             令 36 32 r  解得 2r = 所以 3x 的系数为 2 2 63 9 15 135C    故选:C 【点睛】 本题考查了二项式系数和与二项式展开式的系数和的应用,二项展开式通项公式的应用,求指定项的 系数,属于基础题. 6．已知椭圆   2 2 2 2 1 0x y a ba b     的左顶点为 M ，上顶点为 N ，右焦点为 F ，若 0MN NF   ， 则椭圆的离心率为（ ） A． 3 2 B． 2 1 2  C． 3 1 2  D． 5 1 2  【答案】D 【解析】 【分析】 设椭圆的焦距为  2 0c c  ，利用向量数量积的坐标运算得出 2b ac ，可得出 2 2a c ac  ，等式 两边同时除以 2a 可得出关于椭圆离心率的二次方程，解出即可. 【详解】 设椭圆的焦距为  2 0c c  ，离心率为 e ，则点  ,0M a 、  0,N b 、  ,0F c ， 所以，  ,MN a b ，  ,NF c b  ，则 2 0MN NF ac b     ，即  2 2 0ac a c   ， 即 2 2 0c ac a   ，等式两边同时除以 2a 得 2 1 0e e   ， 0 1e Q ，解得 1 5 2e   ，因此，该椭圆的离心率为 5 1 2  . 故选：D. 【点睛】 本题考查椭圆离心率的计算，涉及向量数量积的坐标运算，解题的关键就是要得出关于 a 、b 、c 的 齐次等式，考查运算求解能力，属于中等题. 7．在满足不等式组 1 0 3 0 0 x y x y y          的平面内随机取一点  0 0,M x y ，设事件 A＝“ 0 02y x ”，那么事 件 A 发生的概率是（ ） A． 1 4 B． 3 4 C． 1 3 D． 2 3 【答案】B 【解析】 【分析】 结合几何概型的计算方法，求出对应面积之比即为所求概率. 【详解】 如下图，作出不等式组 1 0 3 0 0 x y x y y          表示的平面区域（阴影部分 ABC ），易知  1,2A ，  1,0B  ，  3,0C ，该区域面积为  1 3 1 2 42       . 事件 A＝“ 0 02y x ”，表示的区域为阴影部分 AOC，其面积为 1 3 2 32    . 所以事件 A 发生的概率是 3 4 . 【点睛】 本题考查几何概型的概率计算，考查不等式组表示的平面区域，考查数形结合的数学思想的应用， 属于基础题. 8．函数 2 1 2 1 1( ) tan log tan log4 2 4 2f x x x x x                            在区间 1 ,22      上的图像大致 为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 【分析】 结合选项对 1 ,12x     和 [1,2)x 函数分类讨论去绝对值，即可求解. 【详解】 2 1 2 1 1( ) tan log tan log4 2 4 2f x x x x x                            22 1 1tan log tan log4 2 4 2x x x x                            2 12tan , ( ,1)4 2 12log , [1,2)2 x x x x                . 故选:B 【点睛】 本题考查已知函数求图像，化简函数是解题的关键，属于中档题. 9．九章算术》是中国古代数学名著，体现了古代劳动人民数学的智慧，其中第六章“均输”中，有一 竹节容量问题，根据这一问题的思想设计了如下所示的程序框图，若输出的 m 的值为 35，则输入的 a 的值为( ) A．4 B．5 C．7 D．11 【答案】A 【解析】起始阶段有 2 3m a  ， 1i  ，第一次循环后，  2 2 3 3 4 9m a a     ， 2i  ； 第 二 次 循 环 后 ，  2 4 9 3 8 21m a a     ， 3i  ； 第 三 次 循 环 后 ，  2 8 21 3 16 45m a a     ， 4i  ；接着计算  2 16 45 3 32 93m a a     ，跳出循环，输 出 32 93m a  .令32 93 35a   ，得 4a  .选 A. 10．一个多面体的直观图和三视图如图所示，点 M 是 AB 的中点，一只蝴蝶在几何体 ADF－BCE 内 自由飞翔，则它飞入几何体 F－AMCD 内的概率为（ ） A． 1 4 B． 3 8 C． 1 2 D． 5 8 【答案】C 【解析】 【分析】 根据三视图求出三棱柱的体积，再求出几何体 F－AMCD 的体积，即可求出概率. 【详解】 由三视图可知：底面三角形 ADF 是腰长为 a 的等腰直角三角形，几何体 ADF－BCE 是侧棱为 a 的 直三棱柱， 由题图可知 VF－AMCD＝ 1 3 ×S 梯形 AMCD×DF＝ 1 4 a3， VADF－BCE＝ 1 2 a3， 所以它飞入几何体 F－AMCD 内的概率为 3 3 1 14 1 2 2 a P a   . 故选：C 【点睛】 此题考查求几何概型概率，关键在于根据三视图准确求出几何体的体积. 11．“干支纪年法”是中国历法上自古以来使用的纪年方法，甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、 癸被称为“十天干”，子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥叫做“十二地支”。“天干” 以“甲”字开始，“地支”以“子”字开始，两者按干支顺序相配，组成了干支纪年法，其相配顺序为：甲 子、乙丑、丙寅…癸酉，甲戌、乙亥、丙子…癸未，甲申、乙酉、丙戌…癸巳，…，共得到 60 个组 合，称六十甲子，周而复始，无穷无尽。2019 年是“干支纪年法”中的己亥年，那么 2026 年是“干支 纪年法”中的 A．甲辰年 B．乙巳年 C．丙午年 D．丁未年 【答案】C 【解析】 【分析】 按照题中规则依次从 䌐≶Ԙ 年列举到 䌐 年，可得出答案。 【详解】 根据规则， 䌐≶Ԙ 年是己亥年， 䌐䌐 年是庚子年， 䌐≶ 年是辛丑年， 䌐 年是壬寅年， 䌐⺁ 年是 癸卯年， 䌐 年是甲辰年， 䌐⺁ 年是乙巳年， 䌐 年是丙午年，故选：C。 【点睛】 本题考查合情推理的应用，理解题中“干支纪年法”的定义，并找出相应的规律，是解本题的关键， 考查逻辑推理能力，属于中等题。 12. 定义在 R 上函数  f x 满足    f x f x  ，且对任意的不相等的实数  1 2, 0,x x   有    1 2 1 2 0f x f x x x   成立，若关于 x 的不等式      2 ln 3 2 3 2 ln 3f mx x f f mx x       在  1,3x 上恒成立，则实数 m 的取值范围是（ ） A． 1 ln6,12 6e     B． 1 ln3,12 6e     C． 1 ln3,2 3e     D． 1 ln6,2 3e     【答案】B 【解析】 【分析】 结合题意可知  f x 是偶函数,且在 0, 单调递减,化简题目所给式子,建立不等式,结合导函数与 原函数的单调性关系,构造新函数    ,h x g x ,计算最值,即可. 【详解】 结合题意可知  f x 为偶函数,且在 0, 单调递减,故      2 ln 3 2 3 2 ln 3f mx x f f mx x       可以转换为    2 ln 3 3f mx x f   对应于  1,3x 恒成立,即 2 ln 3 3mx x   即 0 2 ln 6mx x   对  1,3x 恒成立 即 ln 6 ln2 2x xm mx x  且 对  1,3x 恒成立 令   lnxg x x  ,则    1 ln' 1,xg x ex  在 上递增,在 ,3e 上递减, 所以  max 1g x e  令     2 6 ln 5 ln, ' 0x xh x h xx x      ,在 1,3 上递减 所以  min 6 ln3 3h x  .故 1 ln3,12 6m e      ,故选 B. 【点睛】 本道题考查了函数的基本性质和导函数与原函数单调性关系,计算范围,可以转化为函数,结合导函数, 计算最值,即可得出答案. 第Ⅱ卷（非选择题) 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。把答案填在题中的横线上。 13．已知 是第二象限角，且 1sin 3   ，且 sin 2       ______. 【答案】 2 2 3  【解析】 【分析】 利用同角三角函数的基本关系求出 cos ，然后利用诱导公式可求出 sin 2      的值. 【详解】 Q 是第二象限角，则 2 2 2cos 1 sin 3       ， 由诱导公式可得 2 2sin cos2 3          . 故答案为： 2 2 3  . 【点睛】 本题考查利用同角三角函数的基本关系和诱导公式求值，考查计算能力，属于基础题. 14．太极图是由黑白两个鱼形纹组成的图案，俗称阴阳鱼，太极图展现了一种相互转化，相对统一 的和谐美，定义：能够将圆 O 的周长和面积同时等分成两个部分的函数称为圆O 的一个“太极函数”， 则下列有关说法中： ①对于圆 2 2: 1O x y  的所有非常数函数的太极函数中，都不能为偶函数； ②函数   sin 1f x x  是圆  22: 1 1O x y   的一个太极函数； ③直线   1 2 1 1 0m x m y     所对应的函数一定是圆      2 2 2: 2 1 0O x y R R     的 太极函数； ④若函数    3f x kx kx k R   是圆 2 2: 1O x y  的太极函数，则  2,2 .k   所有正确的是__________． 【答案】（2）（3）（4） 【解析】 【分析】 利用新定义逐个判断函数是否满足新定义即可 【详解】 ①显然错误，如图 ②点 01，均为两曲线的对称中心，且   sin 1f x x  能把圆  22 1 1x y   一分为二，故正确 ③直线   1 2 1 1 0m x m y     恒过定点  21， ，经过圆的圆心，满足题意，故正确 ④函数    3f x kx kx k R   为奇函数， 3 2 2 1 y kx kx x y      ， 则  2 6 2 4 2 22 1 1 0k x k x k x     令 2t x ，得  2 3 2 2 22 1 1 0k t k t k t     即  2 2 2 21 1 0t k t k t    1t  即 1x   对 2 2 2 2 1k t k t  ，当 0k  时显然无解， 0  即 20 4k  时也无解 即  2 2k   ， 时两曲线仅有两个交点，函数能把圆一分为二，且周长和面积均等分 若 2k   时，函数图象与圆有四个交点， 若 2 4k  时，函数图象与圆有六个交点，均不能把圆一分为二 综上所述，故正确的是②③④ 【点睛】 本题主要考查了关于圆的新定义，首先是要理解新定义的内容，其次是根据新定义内容结合已经学 过的知识来判定正确还是错误，在解答过程中只要能举出一个反例即可判定结果 15．已知点 P（x，y）是抛物线 y2＝4x 上任意一点，Q 是圆（x+2）2+（y﹣4）2＝1 上任意一点，则 |PQ|+x 的最小值为_____． 【答案】3 【解析】 【分析】 利用抛物线的定义得 1x PF  ,以及圆上的点的到定点的距离的最小值为圆心到定点的距离减去 半径即可转换题目中的条件分析. 【详解】 画出图像,设焦点为 (1,0)F ,由抛物线的定义有 1PF x  ,故 1x PF  . 又 PQ QC CP  当且仅当 , ,C Q P 共线且Q 为 CP 与圆C 的交点时 PQ 取最小值为 1PC QC PC   .故 PQ x 的最小值为 1 1 2PC PF PC PF      . 又当 P 为线段 CF 与抛物线的交点时 PC PF 取最小值, 此时 2 22 2 [1 ( 2)] (0 4) 2 3PQ x PC PF CF             【点睛】 (1)与抛物线上的点有关的距离之和的最值问题一般转化为抛物线上的点到焦点的距离. (2)与圆上的点有关的距离之和的最值问题一般转化为圆心到定点的距离与半径的关系. 16．我们称一个数列是“有趣数列”，当且仅当该数列满足以下两个条件： ①所有的奇数项满足 2 1 2 1n na a  ，所有的偶数项满足 2 2 2n na a  ； ②任意相邻的两项 2 1na  ， 2na 满足 2 1na   2na . 根据上面的信息完成下面的问题： （i）数列1,2 3 4 5 6, , , , __________“有趣数列”（填“是”或者“不是”）； （ii）若 2( 1)n na n n    ，则数列 na __________“有趣数列”（填“是”或者“不是”）. 【答案】是 是 【解析】 【分析】 依据定义检验可得正确的结论. 【详解】 若数列为1,2 3 4 5 6, , , , ，则该数列为递增数列，满足“有趣数列”的定义， 故1,2 3 4 5 6, , , , 为“有趣数列”. 若 2( 1)n na n n    ，则 2 1 2 1 2 22 1 , 2 12 1 2 1n na n a nn n        ， 2 2 2 2 22 , 2 22 2 2n na n a nn n      . 2 1 2 1 2 2 2 42 2 02 1 2 1 4 1n na a n n n            ，故 2 1 2 1n na a  .    2 2 2 4 1 12 2 2 02 2 2 1 2n na a n n n n            , 故 2 2 2n na a  . 2 1 2 2 2 2 22 1 2 1 02 1 2 2 1 2n na a n nn n n n             ，故 2 1na   2na . 综上， na 为“有趣数列”. 故答案为：是，是. 【点睛】 本题以“有趣数列”为载体，考虑数列的单调性，注意根据定义检验即可，本题为中档题. 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.第 17-21 题为必做题,每个考生都必须作答.第 22/23 题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共 60 分 17．某市规划一个平面示意图为如下图五边形 ABCDE 的一条自行车赛道，ED ，DC ，CB ，BA ， AE 为赛道（不考虑宽度）， BE 为赛道内的一条服务通道， 2 3BCD CDE BAE       ， DE  4km ， 3BC CD km  . （1）求服务通道 BE 的长度； （2）当 4AEB   时，赛道 BA 的长度？ 【答案】(1)5 (2) 5 6 3 【解析】 【分析】 （1）连接 BD ，在 BCD 中，由余弦定理可得 3BD  ，由等腰三角形的性质结合 2 3BCD CDE     可得 2BDE   ，再由勾股定理可得结果；（2）在 BAE 中， 2 3BAE   ， 5BE  ， 4AEB   ，直接利用正弦定理定理可得结果. 【详解】 （1）连接 BD ， 在 BCD 中，由余弦定理得： 2 2 2 2BD BC CD BC   cos 9CD BCD   ， 3BD  . BC CD ， 6CBD CDB     ， 又 2 3CDE   ， 2BDE   ， 在 Rt BDE 中， 2 2 5BE BD DE   . （2）在 BAE 中， 2 3BAE   ， 5BE  . 4AEB   由正弦定理得 2sin sin3 4 BE AB   ， 即： 5 3 2 2 2 AB ，得 5 6 3BA  当 4AEB   时，赛道 BA 的长度为 5 6 3 . 【点睛】 本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用，属于中档题.正弦定理是解三角形的有力工具，其常见用 法有以下三种：（1）知道两边和一边的对角，求另一边的对角（一定要注意讨论钝角与锐角）；（2） 知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；（3）证明化简过程中边角互化；（4）求三角形外接 圆半径. 18．如图，在四棱锥 P ABCD 中，侧棱 PA  平面 ABCD ， E 为 AD 的中点， / /BE CD ， BE AD ， 2PA AE BE   ， 1CD  . （1）求二面角C PB E  的余弦值； （2）在线段 PE 上是否存在点 M ，使得 / /DM 平面 PBC ？若存在，求出点 M 的位置，若不存在， 说明理由. 【答案】（1） 2 7 7 ；（2）存在， PE 的中点. 【解析】 【分析】 （1）作 zE AD ，以 E 为原点，以 ,EB ED   的方向分别为 x 轴， y 轴的正方向，建立如图所示的 空间直角坐标系，求出平面 PBC 的法向量、平面 PBE 的法向量即可得二面角C PB E  的的余弦 值； （2）线段 PE 上存在点 M ，使得 / /DM 平面 PBC ”等价于 DM  垂直面 PBC 的法向量. 【详解】 作 zE AD ，以 E 为原点，以 ,EB ED   的方向分别为 x 轴， y 轴的正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则 (0,0,0), (0, 2,2), (0, 2,0) (2,0,0)E P A B  ， ， (1,2,0), (0,2,0)C D 则 (2,2, 2), ( 1,2,0)PB BC     , (0, 2,2)EP   设平面 PBC 的法向量为 ( , , )n x y z ， 由 0 0 n PB n BC         ,有 0 2 0 x y z x y       则可以取 (2,1,3)n  设平面 PBE 的法向量为 ( , , )m a b c ， 由 0 0 m PB m EP         ,有 0 0 a b c b c       则可以取 (0,1,1)m  所以 1 3 2 7cos , 7| | | | 14 2 n mn m n m            . 由图可知, 二面角C PB E  的余弦值为 2 7 7 (2) 由（1）可知面 PBC 的法向量为 (2,1,3)n  , “线段 PE 上存在点 M ，使得 DM∥平面 PBC ”等价于 DM n  , (0, 2,2)EP   ，设 (0,2 , 2 )PM PE      , (0,1)  则 (0, 4,2) (0,2 , 2 )DM DP PM          (0,2 4,2 2 )    由 0DM n   ，得 2 4 6 6 0     解得 1= 2  . 所以线段 PE 上存在点 M ，即 PE 中点，使得 / /DM 平面 PBC . 【点睛】 本题考查了线面平行的判定，向量法求二面角、动点问题，考查了转化思想，属于中档题． 19．如图，已知抛物线 2: 8C y x 的焦点是 F ，准线是 l . （Ⅰ）写出焦点 F 的坐标和准线 l 的方程； （Ⅱ）已知点  8,8P ，若过点 F 的直线交抛物线C 于不同的两点 A 、B（均与 P 不重合），直线 PA 、 PB 分别交 l 于点 M 、 N 求证： MF NF . 【答案】（Ⅰ）  2,0F ，准线l 的方程为 2x   ；（Ⅱ）见解析. 【解析】 【分析】 （Ⅰ）根据抛物线C 的标准方程可得出焦点 F 的坐标和准线l 的方程； （Ⅱ）设直线 AB 的方程为 2x my  ，设点  1 1,A x y 、  2 2,B x y ，将直线 AB 的方程与抛物线C 的方程联立，列出韦达定理，求出点 M 、N 的坐标，计算出 0MF NF   ，即可证明出 MF NF . 【详解】 （I）抛物线C 的焦点为  2,0F ，准线 l 的方程为： 2x   ； （Ⅱ）设直线 AB 的方程为：  2x my m R   ，令  1 1,A x y ，  2 2,B x y ， 联立直线 AB 的方程与抛物线C 的方程 2 2 8 x my y x     ，消去 x 得 2 8 16 0y my   ， 由根与系数的关系得： 1 2 16y y   . 直线 PB 方程为： 2 2 8 8 8 8 y x y x    ，  2 2 2 2 2 8 8 88 8 888 y y xy xy y       ， 当 2x   时， 2 2 8 16 8 yy y   ， 2 2 8 162, 8 yN y      ，同理得： 1 1 8 162, 8 yM y     . 2 2 8 164, 8 yFN y        ， 1 1 8 164, 8 yFM y       ,          2 1 2 12 1 2 1 2 1 16 8 8 8 16 8 168 16 8 1616 8 8 8 8 y y y yy yFN FM y y y y                           1 2 2 1 2 1 80 16 80 16 16 08 8 8 8 y y y y y y         ， FN FM   ， MF NF  . 【点睛】 本题考查利用抛物线方程求焦点坐标和准线方程，同时也考查了直线与抛物线的综合问题，涉及到 两直线垂直的证明，一般转化为两向量数量积为零来处理，考查计算能力，属于中等题. 20．2019 年春节期间．当红彩视明星翟天临“不知“知网””学术不端事件在全国闹得沸沸扬扬，引发 了网友对亚洲最大电影学府北京电影学院、乃至整个中国学术界高等教育乱象的反思．为进一步端 正学风，打击学术造假行为，教育部日前公布的《教育部 2019 年部门预算》中透露，2019 年教育 部拟抽检博士学位论文约 6000 篇，预算为 800 万元．国务院学位委员会、教育部 2014 年印发的《博 士硕士学位论文抽检办法》通知中规定：每篇抽检的学位论文送 3 位同行专家进行评议，3 位专家 中有 2 位以上（含 2 位）专家评议意见为“不合格”的学位论文．将认定为“存在问题学位论文”。有 且只有 1 位专家评议意见为“不合格”的学位论文，将再送 2 位同行专家进行复评．2 位复评专家中有 1 位以上（含 1 位）专家评议意见为“不合格”的学位论文，将认定为“存在问题学位论文”。设毎篇学 位论文被毎位专家评议为“不合格”的槪率均为 (0 1)p p  ，且各篇学位论文是否被评议为“不合格” 相互独立． （1）记一篇抽检的学位论文被认定为“存在问题学位论文”的概率为 ( )f p ，求 ( )f p ； （2）若拟定每篇抽检论文不需要复评的评审费用为 900 元，需要复评的评审费用为 1500 元；除评 审费外，其它费用总计为 100 万元。现以此方案实施，且抽检论文为 6000 篇，问是否会超过预算？ 并说明理由． 【答案】(1) 5 4 3 2( ) 3 12 17 9f p p p p p     ；（2）不会超过预算,理由见解析 【解析】 【分析】 （1）分别考虑学位论文初评被认定为“存在问题学位论文”、 学位论文复评被认定为“存在问题学位 论文”的概率，然后相加求解对应概率；（2）将一篇论文的评审费用用随机变量表示，然后考虑随机 变量的均值，注意使用函数思想，最后考虑 600 篇论文的评审费与其他费用之和同800 万元的大小 关系. 【详解】 （1）因为一篇学位论文初评被认定为“存在问题学位论文”的概率为 2 2 3 3 3 3C (1 ) Cp p p  一篇学位论文复评被认定为“存在问题学位论文”的概率为 1 2 2 3C (1 ) [1 (1 ])p p p   ， 所以一篇学位论文被认定为“存在问题学位论文”的概率为 2 2 3 3 1 2 2 3 3 3( ) C (1 ) C C (1 ) 1 ( ) ]1[f p p p p p p p       2 3 2 23 (1 ) 3 (1 ) [1 (1 ) ]p p p p p p       5 4 3 23 12 17 9p p p p     ． （2）设每篇学位论文的评审费为 X 元，则 X 的可能取值为 900，1500． 1 2 3( 1500) C (1 )P X p p   ， 1 2 3( 900) 1 C (1 )P X p p    ， 所以 1 2 1 2 3 3( ) 900 [1 C (1 ) ] 1500 C (1 )E X p p p p       2900 1800 (1 )p p   令 2( ) (1 )g p p p  ， (0,1)p  2( ) (1 ) 2 (1 ) (3 1)( 1)g p p p p p p        当 10, 3p     时， ( ) 0g p  ， ( )g p 在 10, 3      上单调递增； 当 1,13p     时， ( ) 0g p  ， ( )g p 在 1 ,13      上单调递减， 所以 ( )g p 的最大值为 1 4 3 27g      ． 所以实施此方案，最高费用为 44100 6000 900 1800 10 80027          （万元）． 综上，若以此方案实施，不会超过预算 【点睛】 本题考查相互独立事件的概率、离散型随机变量的均值与函数的综合，难度较难.概率统计题型中， 对于计算出的形式较为复杂的用未知量表示的概率或期望，可通过函数单调性或者导数的思想去计 算最值. 21．设函数 ( ) sin , (0, ),2f x ax x x a   为常数 (1)若函数  f x 在 0, 2      上是单调函数，求 a 的取值范围； (2)当 1a  时，证明 31( ) 6f x x . 【答案】(1)  ( ,0 1, )   ；(2) 证明见解析. 【解析】 【分析】 （1）对函数求导，单调分单调增和单调减，利用   cos 0f x a x    或   cos 0f x a x    在 0, 2      上恒成立，求得实数 a 的取值范围； （2）利用导数研究函数的单调性，求得结果. 【详解】 （1）由   sinf x ax x  得导函数   cosf x a x  ，其中 0 cos 1x  . 当 1a  时，   0f x  恒成立， 故   sinf x ax x  在 0, 2      上是单调递增函数，符合题意； 当 0a  时，   0f x  恒成立， 故   sinf x ax x  在 0, 2      上是单调递减函数，符合题意； 当 0 1a  时，由   cos 0f x a x    得 cosx a ， 则存在 0 0, 2x     ，使得 0cosx a . 当 00 x x  时，  0 0f x  ，当 0 2x x   时，  0 0f x  ，所以  f x 在 00, x 上单调递减，在 0 , 2x      上单调递增， 故  f x 在 0, 2      上是不是单调函数，不符合题意. 综上， a 的取值范围是   ,0 1,   . （2）由（1）知当 1a  时，    sin 0 0f x x x f    ， 即sinx x ，故 2 2sin 2 2 x x     . 令     3 31 1sin , 0,6 6 2g x f x x ax x x x          ， 则   2 2 2 2 21 1 1cos 1 2sin 1 2 12 2 2 2 2 x xg x a x x a x a x a                ， 当 1a  时，   1 0g x a    ，所以  g x 在 0, 2      上是单调递减函数， 从而    0 0g x g  ，即   31 6f x x . 【点睛】 该题考查的是有关导数的应用，涉及到的知识点有根据函数在给定区间上单调求参数的取值范围， 利用导数证明不等式，属于中档题目. （二）选考题：共 10 分.请考生在 22,23 题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分. 22．选修 4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中，以坐标原点O 为极点， x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 1C ： 2 4 sin 2 0     ，曲线 2C ： 2cos 04 2        . （Ⅰ）求曲线 1C ， 2C 的直角坐标方程； （Ⅱ）已知曲线 1C 与 y 轴交于 A ， B 两点， P 为曲线 2C 上任一点，求 PA PB 的最小值. 【答案】（Ⅰ） 1C ： 2 2 4 2 0x y y    ， 2C ： 1 0x y   ；（Ⅱ） 22 【解析】 【分析】 （Ⅰ）根据 cos sin x y        代入可化曲线 1C ；将 2C 利用两角差的余弦公式展开，代入可化得 2C （Ⅱ）求出曲线 1C 与 y 轴像交  0,2 2A  ，  0,2 2B  两点，点 A 关于直线 1 0x y   的对 称点为 'A ，根据 'PA PB A B  即可求解. 【详解】 （Ⅰ）因为 cos sin x y        ， 所以曲线 1C 的直角坐标方程为 2 2 4 2 0x y y    ， 因为  2 2cos cos sin 14 2 2              ， 所以曲线 2C 的直角坐标方程为 1 0x y   . （Ⅱ）因为曲线 1C 与 y 轴交于  0,2 2A  ，  0,2 2B  两点， 点 A 关于直线 1 0x y   的对称点为  ' 3 2, 1A    ， 所以    2 2 3 2 2 22' 3PA PB A B        ， 所以 PA PB 的最小值为 22 . 【点睛】 本题考查了极坐标方程与普通方程的互化以及直线与圆的位置关系求距离的最值，需熟记极坐标与 普通方程的关系式，属于基础题 23．选修 4-5：不等式选讲 已知 0a  ， 0b  ， 3 3 2a b  ，证明： (1)  5 5 4a b a b   ； (2) 2a b  . 【答案】(1) 见解析(2) 见解析 【解析】 【分析】 （1）由柯西不等式即可证明， （2）由 a3+b3＝2 转化为     3 2 3 a b a b    ab，再由均值不等式可得：     3 2 3 a b a b    ab≤ 2( )2 a b ，即 可得到 1 4 （a+b）3≤2，问题得以证明． 【详解】 证明：（1）由柯西不等式得： 5 5 3 3 2 4a b a b a b   （ ）（ ）（ ）＝ ，当且仅当 ab5＝ba5，即 a＝b＝1 时取等号； （2）∵a3+b3＝2，∴（a+b）（a2﹣ab+b2）＝2， ∴（a+b）[（a+b）2﹣3ab]＝2， ∴（a+b）3﹣3ab（a+b）＝2， ∴     3 2 3 a b a b    ab， 由均值不等式可得：     3 2 3 a b a b    ab≤ 2( )2 a b ∴（a+b）3﹣2  33 4 a b ， ∴ 1 4 （a+b）3≤2， ∴a+b≤2，当且仅当 a＝b＝1 时等号成立． 【点睛】 本题考查了不等式的证明，掌握柯西不等式和均值不等式是关键，属于中档题．