北京四中高中数学高考综合复习 专题十五 向量的概念与运算

北京四中高中数学高考综合复习 专题十五 向量的概念与运算

高中数学高考综合复习 专题十五　　 向量的概念与运算 ‎　　一、知识网络 ‎ ‎　　二、高考考点 　　1、对于向量的概念，高考的考点主要是两向量平行（即共线）的判定以及两向量共线的基本定理的运用，多以选择题或填空题的形式出现。 ‎ ‎　　2、对于向量的运算，向量的数量积及其运算是向量的核心内容，对此，高考的考点主要是： 　　（1）向量的加法、减法的几何意义与坐标表示的应用； 　　（2）向量共线的充要条件的应用； 　　（3）向量垂直的充要条件的应用； 　　（4）向量的夹角的计算与应用； 　　（5）向量的模的计算，关于向量的模的等式的变形与转化，关于向量的模的不等式的认知与转化。 　　3、线段的定比分点线或平移问题。 　　4、以向量为载体的三角求值或图象变换问题，以向量为载体的函数或解析几何问题（多以解答题的形式出现）。 　　三、知识要点 　　（一）向量的概念 　　1、定义 　　（1）向量：既有大小又有方向的量叫做向量。 　　（2）向量的模：向量 的大小（即长度）叫做向量 的模，记作 。 　　特例：长度为0的向量叫做零向量，记作 ；长度为1的向量叫做单位向量. 　　（3）平行向量（共线向量）： 　　一般定义：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，平行向量也叫做共线向量. 　　特殊规定： 与任一向量平行（即共线）. 　　 　　（4）相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。 　　零向量与零向量相等。 　　认知：向量的平移具有“保值性”。 　　2、向量的坐标表示 　　（1）定义：在直角坐标系内，分别取与x轴、y轴正方向相同的两个单位向量 、 作为基底，任作一个向量 ,则由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x，y使得 ，将有序实数对（x,y）叫做向量 的坐标，记作 ；并将 叫做向量 的坐标表示。 　　（2）认知：相等的向量，其坐标也相同，反之成立。 　　 （二）向量的运算 　　1、向量的加法 　　2、向量的减法 　　3、实数与向量的积 　　（1）定义 　　（2）实数与向量的积的运算律： ‎ ‎ 　　（3）平面向量的基本定理： 　　如果 是同一面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量 ，有且只有一对实数 1， 2使 ，这两个不共线的向量 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。 　　（4）向量共线的充要条件： 　　（i）向量与非零向量 共线 有且只有一个实数 使 　　（ii） 　　设 　　则： 　　4、向量的数量积（内积） 　　（1）定义： 　　（i）向量的夹角：已知两个非零向量 和 ，作 　　 叫做向量 与 的夹角。 　　（ii）设两个非零向量 和 的夹角为 ，则把数量 叫做 与 的数量积（内积），记作 ，即 　　并且规定：零向量与任一向量的数量积为0. 　　（2）推论 　　设 、 都是非零向量，则 　　（i） 　　（ii） 　　（iii） 　　(3)坐标表示 　　(i)　　 　　设非零向量 ，则 　　 ‎ ‎ 　　(ii)设 　　(4)运算律（自己总结，认知） 　　四、经典例题 　　例1．判断下列命题是否正确： 　　（1）若 的方向相同或相反； 　　（2）若 　　（3）若 则A、B、C、D四点组成的图形为梯形； 　　分析： 　　（1）不正确　　 　　∵ 不能比较方向。 　　（2）不正确　　 　　当 时，虽然对任意 ， 都有 不一定平行。 　　（3）不正确 　　 ，故这里的已知条件也包含A、B、C、D四点共线的情形。 　　点评：判断或证明向量的共线或垂直问题，务必要注意有关向量为零向量的情形，判断失误或解题出现疏露，多是零向量惹的祸。 　　例2．设点O为ΔABC所在平面内一点 　　（1）若 ，则O为ΔABC的（　　　　 ） 　　A、外心　　　　　　 B、内心　　　　　　 C、垂心　　　　　　 D、重心 　　（2）若 ，则 为ΔABC的（　　　　 ） 　　A、外心　　　　　　 B、内心　　　　　　 C、重心　　　　　　 D、重心 　　（3）若动点P满足 ,则点P的轨迹一定通过ΔABC的（　　 ） 　　A、外心　　　　　　 B、内心　　　　　　 C、重心　　　　　　 D、重心 　　（4）若动点P满足 ,则点P轨迹一定通过ΔABC的（　　 ） ‎ ‎　　A、外心　　　　　　 B、内心　　　　　　 C、重心　　　　　　 D、重心 　　分析： 　　（1）借助向量加法分析已知条件： 　　以 、 为邻边作平行四边形OBDC，并设OD∩BC=E，则由平行四边形性质知，E为BC和OD中点。 　　 　　 ①　　 　　且 ② 　　∴ 由①、②得 　　∴A、O、E、D、四点共线　　 ③ 　　且 ④ 　　于是由③、④知O为ΔABC的重心，应选D 　　(2)由 　　同理可得OA⊥BC,OC⊥AB 　　于是可知，O为ΔABC的垂心，应选C 　　（3）由已知得 　　① 　　令 ，则 是 上的单位向量，令 ，则 是 上的单位向量。 　　∴由①得： 　　 ② 　　令 ,则点Q在角A的平分线上　　　　 ③ 　　又由②知的　　 与 共线且同向（或 ） 　　∴动点P在角A的平分线上 　　∴点P的轨迹一定通过ΔABC的内心，应选B。 　　（4）注意到 的几何意义， 　　 　　 　　 ‎ ‎　　=0 　　又由已知的得： 　　 　　 　　∴动点P在BC边的高线上 　　∴动点P的轨迹一定通过ΔABC的垂心，应选C。 　　点评：品味各小题，从中参悟解题思路以及三角形的各心的向量特征。 　　例3： 　　（1） 成立的充分必要条件为（　　 ） 　　A、 　　　　　　　　　　　　 B、 　　C、 　　　　　　　　　　　　D、 　　（2）已知A、B、C三点共线，O为该直线外一点，设 且存在实数m使 ， 则点A分 所成的比为（　　 ） 　　A、- 　　　　　　　　 B、2　　　　　　　　 C、 　　　　　　　　 D、-2　　 　　分析： 　　（1）注意到不等式 ，当且仅当 、 反向或 、 中至少有一个为 时等号成立， 　　∴由 得 、 反向或 　　由此否定A、B、C，本题应选D 　　（2）注意到条件的复杂以及已知式变形方向的迷茫，故考虑从“目标 ”分析切入，主动去沟通“已知”， 　　设 　　则 　　　　 (刻意变形，靠拢已知)　　 　　 　　　　 　　 　　 （目标的延伸）　　　　　　 ① 　　又由已知得： 　　（已知的变形或延伸）　　 ② ‎ ‎　　∴根据两向量相等的条件由①、②得： 　　于是可知，点A分 所成 的比 ，应选 A 　　点评： 　　（i）（1）对任意向量 、 都有 ，其中，当且仅当 同向或 中至少有一个为 时左边的等号成立；当且仅当 反向或 中至少有一个为 时右边的等号成立；当且仅当 中至少有一个为 时，左右两等号同时成立。 　　（ii）对于（2），“已知”与“目标”相互靠扰，只是切入点是从“已知”切入还是从“目标”切入，需要仔细分析。 　　例4：设 、 分别是平面直角坐标系内x轴、y轴正方向上的两个单位向量，在同一条直线上有A、B、C三点， ，求实数m、n的值。 　　解：由题设知 　　 　　 　　 与 共线 　　 ① 　　又 ② 　　 ②代入①得： 　　7（2n-1）=(n+2)(2n+1) 　　 　　(n-3)(2n-3)=0 　　 　　当 时代入②得： m=3 　　当 时代入②得：m=6　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　∴ m=6，n=3或m=3， 　　点评：不失时机地利用向量的坐标表示，是解题的基本技巧。 ‎ ‎　　例5． 设 试求满足： 　　 （这里O为原点） 　　分析：注意到 的坐标即点D的坐标，可从设 坐标，由（x,y）切入，去 建立关于x，y的方程组。 　　解：设 ，则点D坐标为（x,y） 　　则由已知条件 得： 　　 　　 　　x-2y+1=0　　　　　　 ① 　　由 得： x+4=3(y-1) 　　 x-3y+7=0　　　　　　　　　　　　 ② 　　于是将①、②联立，解得： 　　 　　 　　点评：本题是对向量坐标的概念，向量的垂直与向量的平行的充要条件的综合应用，借此练习，可进一步认识与把握关于向量的概念与公式。 　　例6． 设向量 满足 　　（1）若 ，求 与 的夹角； 　　（2）若 的值。 　　解： 　　（1）设 与 的夹角为 ，则 ① 　　 　　 　　 　　 　　　　 ② ‎ ‎　　于是由②代入①得 ： 　　注意到 ∈ [O, ],可得结果 　　（2）解法（着眼于对 等各个击破） 　　一方面由已知得： 　　　　　　 ③ 　　又 　　 　　　　　　　　　　　　　　 ④ 　　 由③、④得 　　　　　　⑤ 　　注意到 　　，当且仅当 ， 同向或 ， 中至少有一个为 时等号成立 　　 由⑤得 与 同向 　　另一方面，又由 知， 与 反向 　　 与 的夹角为0°， 与 的夹角为180°， 与 的夹角为180° 　　∴原式 　　=3×1-1×4-3×4=-13 　　解法二（着眼于寻求目标与已知的整体联系）： 　　 　　　　　　 　　∴由已知条件得 　　 　　解法三（从寻求目标局部的值切入）： 　　原式 　　 　　同理， 　　 　　 ‎ ‎ 　　点评：解法二与解法三，均着眼于整体代入，解题过程简明，比解法一有明显优势。但是，解法一中对已知数值的利用，却对今后的条件求值有着不可替代的潜在作用，条件求值中对已知数据的应用主要有以下三个方面： 　　（1）利用数值本身（代入）； 　　（2）分别利用数值的绝对值和符号； 　　（3）利用有关数值的关系沟通有关元素间的联系（比如，由3+1=4，32+42=52沟通联系等）。 　　例7．已知 的夹角为120°，且 ,试求m，n及 与 的夹角。 　　解法一：（利用内积的定义），设 与 的夹角为 ， 　　由 　　再 　　 ① 　　 　　 ② 　　再由： 　　由①，②得 ③ 　　将③代入②得： 　　 ④ 　　于是由①，③，④得所求 ,n=-4, 的夹角为30°或150° 　　点评1：本题已知条件繁多，头绪纷乱，更需要在解题时梳理思绪。注意到所求m、n含在 中，故在求出 、 的值之后，以 的变形为主线展开求索： 　　变形1. 　　变形2. 　　变形3. 　　于是，整个解题过程既显得有条不紊，又感觉酣畅淋漓。 　　解法二（利用向量的坐标）： 　　设 ， 与 的夹角为 ， 　　由已知得 ‎ ‎　　 　　　　 ① 　　由 ② 　　又x12+y12=8　　　　 ③　　 　　x22+y22=4　　　　 ④ 　　 由①，③解得 　　或 　　由②，④解得 或 　　 　　 　　 将上述 ， 坐标分四次代入 　　便解得n=-4， , =30°或150° 　　点评2：本解法致力于求 与 的坐标，虽然解题过程仍然曲折，但思路明朗，更多几分胜算。 　　例8． 设 的夹角为 ， 　　分析：此题为以向量为载体的三角求值问题，因此，从化简 ， 的坐标切入，向三角函数中常见的关系式转化。 　　解： 　　 　　 　　 ① 　　 ② 　　 ③ ‎ ‎　　注意到这里 　　 由②、③得到 ④ 　　 　　 ⑤ 　　于是由①、④得　　 　　由①、⑤得　　 　　 　　 　　解得 ⑥ 　　因此由⑥得 　　点评：在这里，利用实数与向量的乘法的法则，将 表为 　　 ,从而为简化 及 的表达式以及简化 的表达式奠定良好的基础。 　　五、高考填题 　　（一）选择题、 　　1、（2005·湖南卷）P是ΔABC所在平面上一点，且 ，则P是ΔABC的（　　 ） 　　A、外心　　　　 B、内心　　　　 C、重心　　　　　 D、垂心 　　分析： 　　由 　　 　　同理，AB⊥PC,BC⊥PA 　　 点P为ΔABC的垂心，应选D ‎ ‎　　2、（2005•山东卷）已知向量 ， ,且 ,则一定共线的三点是（　　 ） 　　A．A、B、D　　　　　　 B.A、B、C　　　　　 C.B、C、D　　　　 D.A、C、D 　　分析： 　　利用两向量共线的充要条件来判定，从寻找所给向量的联系切入 　　由题意得 　　 　　 　　 A、B、D三点共线，应选A 　　3、（2005•全国卷B）已知点A（ ,1），B（0，0），C（ ，0），设∠BAC的平分线AE与BC相交于E，那么有 ,其中 等于（　　 ） 　　A、 2　　　　　 B、 　　　　　 C、-3　　　　　　　 D、- 　　分析： 　　从认知目标切入，由题设易知 与 反向，故 <0　　 ① 　　又由三角形内角平分线定理得 　　即　　 =3　　 ② 　　于是由①、②得　　 =-3，应选C 　　4、（2005·北京卷）若 , , ，则向量 与 的夹角为（　　　　 ） 　　A、30°　　　B、60°　　　 C、120°　　　　 D、150° 　　分析： 　　令向量 与 的夹角为 ，则 　　　　　　　　　　　　　　　　 ①　　 　　又由 　　 得 　　 　　 　　　　　　　　 ② 　　于是将已知与②代入①得　　 ‎ ‎　　所得 ，应选C 　　5、（2005·福建）在ΔABC中， ， ， ，则k的值是（　　 ）。 　　A、5　　　　　 B、-5　　　　 C、 　　　　 D、 　　分析： 　　循着一般思路，欲求k的值，先寻找关于k的方程，可以通过解方程获取k的值，为此我们利用题设条件寻找等量关系切入： 　　由题设知 ， 　　由此得（2，3）·（2-k,2）=0 　　2（2-k）+6=0 　　解得k=5,故应选A。 　　6、（2005·重庆）设向量 等于（　　　　 ）。 　　A、（1，1）　　　　　　 B、（-4，-4）　　　 C、-4　　　　 D、（-2,-2） 　　分析： 　　循着向量的坐标表示与有关公式得： 　　 　　 　　∴ 原式=-4（1，1）=（-4，-4），应选B 　　7、（2005·重庆卷）已知A（3，1），B（6，1），C（4，3），D为线段BC的中点，则向量 与 的夹角为（　　 ） 　　A、 　　分析1： 　　（特征分析法）：画出ΔABC及其中线AD，又将向量 平移到 ,则可见 与 成钝角，而选项中A、B为锐角，D为负角，故只能选C。 　　分析2： 　　（直接法）：由题设D（5，2） 　　 　　 ‎ ‎　　 所求两向量夹角应为 ）,应选C 　　8、（2005·浙江） 已知向量 ，满足对任意t∈R， ,则（　　 ） 　　A、 　　分析： 　　从已知不等式的等价变形切入，去认识所含向量 ， 的关系 　　由已知得 　　整理得 　　　　　　 ① 　　注意到①对任意 都成立。 　　 　　即 　　 ② 　　根据②式检验选项，故选C 　　点评：关于向量的模的不等式，变形转化的基本手段是不等式两边平方，这是本题切入、转化的关键环节。 　　（二）填空题 　　1、（2005·广东卷） 已知向量 　　分析： 　　注意到两向量平行的充要条件， 　　由已知条件得　　 2×6-3x=0，由此解得 x=4 　　2、（2005·全国卷C） 已知向量 ,且A、B、C三点共线，则k= 　　　　　　 。 　　分析： 　　由A、B、C三点共线切入，向着向量的共线转化 　　A、B、C三点共线 　　 向量 、 共线 　　又 ‎ ‎　　 　　 由 、 共线的充要条件得 　　7（-k-4）=5（k-4），解为 　　3、（2005·天津卷）已知 =2， =4， 与 的夹角为 ，以 ， 为邻边作平行四边形，则此平行四边形的两条对角线中较短的一条的长度为　　　　　　 。 　　分析： 　　根据向量加法与向量减法的几何意义又知， 、 分别表示上述平行四边形中两条对角线的长度。 　　注意到 与 的夹角为锐角，故此平行四边形的两条对角线中较短一条的长度为 　　　　 ① 　　又 =4+16-2×2×4cos =12 　　∴ =2 　　　　 ② 　　于是由①、②知所求为 . 　　4、（2005·湖北卷）已知向量 =(-2，2)， =(5，k),若 不超过5，则k的取值范围为 　　　　　 . 　　分析： 　　由已知得　　 　　　　　　 　　若 ≤5，则9+（k+2）2≤25 　　∴由此解得-6≤k≤2，故应填[-6，2] 　　5、（2004·浙江卷）已知平面上三点A、B、C满足 ， , ,则 的值等于　　　　　　 。 　　分析： 　　从认知ΔABC切入，由32+42＝52知 ， 　　∴ 　　∴原式= 　　= ‎ ‎　　= 　　=-25 　　6、（2005·全国卷A）ΔABC的外接圆圆心为0，两条边上的高的交点为H， =m( + + ),则实数m=　　　　 。 　　分析： 　　由题设知，O为ΔABC的外心，即O是ΔABC的三边中垂线的交点，因此，以 与 为邻边作平行四边形OADC，则OADC为菱形，且 + = 　　∴ ⊥ 　　 　　 ⊥( + ) 　　∴ + + 的终点必在AC边的高线上　　　　　　 ① 　　同理， + + 的终点在AB边的高线上　　　　　　 ② 　　∴由①、②得 + + 的终点为△ABC的垂心H. 　　∴ 　　∴m=1 　　点评：从O为ΔABC的外心切入，认知向量 ，此乃求解本题的关键。 　　三、解答题 　　1、（2005·山东卷）已知向量 =(cos 、sin )和 =( - sin ，cos )， ，且 = ,求cos（ + ）的值。 　　分析：这是以向量为载体的三角求值问题，故首先要利用向量的有关概念与公式进行转化－化生为熟，进入三角函数求值的“似曾相识燕归来”的境界。 　　解：由已知得 　　 　　 　　 由题设 ① ‎ ‎　　又 ② 　　 由①、②得　　 ③ 　　 ④ 　　于是由③、④得　　 　　点评：首先运用向量的公式化生为熟，进而运用“方程思想”去求解 的值，这是求解本题所运用的基本策略。也是解决本类问题的基本思路 　　2、（2005·江西卷） 　　已知向量 ，是否存在实数 x∈[O, ]，使f(x)+f′(x)=0 (其中f′(x)是f（x）的 导函数)若存在，则求出x的值；若不存在，则证明。 　　分析：对于这样以平面向量为载体的　　 问题，首先仍是运用向量的知识将其转化为熟悉的三角函数问题。 　　解： 　　 　　 　　 　　=sinx+cosx 　　∴f (x)=cosx-sinx 　　若f(x)+f (x)=0，则2cosx=0即cosx=0 　　由x∈[0，π] 　　又由题意： 　　综上：[0，π]内不存在f(x)+f (x)=0的x值。 ‎ ‎　　点评：函数式的变形要注意保持等价性，特别是在变形过程中不可改变函数的定义域，由①到②，需要附加 的制约，以保证函数的定义域不发生变更. 　　3、（2004·福建卷）设 　　(1)若 　　（2）若 函数 y=2sin2x的图象按向量 平移后得到函数y=f(x)的图象，求实数m、n的值。 　　解： 　　（1）由题设得 　　 　　 　　 　　 由①、②得　　 　　(2) 函数 y=2sin2x按向量 平移后得到函数y=2sin2(x-m)+n的图象。 　　 由题设 　　 　　即 　　又 　　∴ 　　点评：函数y=f(x)的图象按向量 平移后所得图象的函数解析式由y-k=f(x-h)确定，上面求解利用了这一结论。 ‎