北京师大附中2019-2020学年高二上学期期末考试数学试题

北京师大附中2019-2020学年高二上学期期末考试数学试题

北京师大附中2019-2020学年上学期高二年级期末考试数学试卷 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.从每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.‎ ‎1.已知i是虚数单位，复数z满足，则复平面内表示z的点在（ ）‎ A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 ‎【答案】D ‎【解析】‎ 分析】‎ 根据复数得到复数在复平面内对应的点的坐标，从而得到答案.‎ ‎【详解】复数,所以复数z在复平面内对应的点的坐标为 所以复平面内表示z的点在第四象限.‎ 故选：D ‎【点睛】本题考查复数与复平面内对应点之间的关系，属于基础题.‎ ‎2.已知，为虚数单位，若为纯虚数，则的值为（ ）‎ A. 2 B. ‎1 ‎C. -2 D. -1‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【详解】由题知为纯虚数，实部为.故 .故本题选.‎ ‎3.已知{an}为等差数列，其前n项和为Sn，若a3=6，S3=12，则公差d等于（ ）‎ A. 1 B. C. 2 D. 3‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：设出等差数列的首项和公差，由a3=6，S3=12，联立可求公差d．‎ 解：设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，‎ 由a3=6，S3=12，得：‎ 解得：a1=2，d=2．‎ 故选C．‎ 考点：等差数列的前n项和．‎ ‎4.已知双曲线-=1的右焦点为（3,0），则该双曲线的离心率等于 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 由题意知c＝3，故a2＋5＝9，解得a＝2，故该双曲线的离心率e＝＝．‎ ‎5.“”是“方程表示的曲线为椭圆”的（ ）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据椭圆的方程以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可．‎ ‎【详解】解：若方程表示的曲线为椭圆，则，且，‎ 则“”是“方程表示的曲线为椭圆”的充分不必要条件，‎ 故选：．‎ ‎【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合椭圆的方程求出，的关系是解决本题的关键．‎ ‎6.设正方体的棱长为2，则点到平面的距离是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由等体积法有,可求出答案.‎ ‎【详解】设点到平面的距离是,由等体积法有 ‎,有 所以，解得：‎ 故选：D ‎【点睛】本题考查点到面的距离，考查等体积法，属于基础题.‎ ‎7.如图，在正方体ABCD-A1B‎1C1D1中，E，F分别是C1D1，CC1的中点，则异面直线AE与BF所成角的余弦值为（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，再利用向量法求出异面直线AE与BF所成角的余弦值．‎ ‎【详解】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，‎ 设正方体ABCD﹣A1B‎1C1D1中棱长为2，E，F分别是C1D1，CC1的中点，‎ A（2，0，0），E（0，1，2），B（2，2，0），F（0，2，1），‎ ‎＝（﹣2，1，2），＝（﹣2，0，1），‎ 设异面直线AE与BF所成角的平面角为θ，‎ 则cosθ＝＝＝ ,∴异面直线AE与BF所成角的余弦值为．‎ 故选D．‎ ‎【点睛】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，注意向量法的合理运用，属于基础题.‎ ‎8.如图，已知三棱锥S–ABC中，SA=SB=CA=CB=，AB=2，SC=，则二面角S–AB–C的平面角的大小为 A. 30° B. 45° C. 60° D. 90°‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 取AB的中点O，连接SO，CO，由题设条件推导出AB⊥平面SOC，由此能二面角S﹣AB﹣C的平面角是∠SOC，在△SOC中，求得∠SOC.‎ ‎【详解】如图，取AB的中点O，连接SO，CO，由SA=SB=CA=CB可得AB⊥平面SOC，∴二面角S–AB–C的平面角是∠SOC．在△SOA中，SO=，同理CO=，在△SOC中，SO=CO=SC=，∴∠SOC=60°，二面角S–AB–C的平面角的大小为60°．故选C．‎ ‎【点睛】本题考查面面角的大小的求法，解题时要认真审题，合理转化空间问题为平面问题，属于中档题．‎ ‎9.设为坐标原点，是以为焦点的抛物线 上任意一点，是线段的中点，则直线的斜率的最大值为（ ）‎ A. B. ‎1 ‎C. D. 2‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 设，，是线段的中点，所以.‎ 直线的斜率为：.‎ 显然时的斜率较大，此时，当且仅当，‎ 时，斜率最大为1.‎ 故选B.‎ ‎10.已知曲线与曲线怡好有两个不同的公共点，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. ‎ C D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用绝对值的几何意义，由可得，曲线与方程的曲线必相交于，为了使曲线与双曲线恰好有两个不同的公共点，则两曲线无其它公共点，将代入方程，整理可得，分类讨论，可得出结论，根据对称性可得出时的情形.‎ ‎【详解】双曲线的方程为，‎ 所以，曲线的图象与曲线的图象必相交于点，‎ 为了使曲线与曲线恰好有两个公共点，‎ 将代入方程，整理可得.‎ ‎①当时，满足题意；‎ ‎②当时，由于曲线与曲线恰好有两个公共点，‎ ‎，且是方程根，‎ 则，解得.‎ 所以，当时，.‎ 根据对称性可知，当时，可求得.‎ 因此，实数的取值范围是.‎ 故选C.‎ ‎【点睛】本题考查利用曲线的交点求参数的取值范围，在解题时要对变量的取值进行分类讨论，考查分类讨论思想的应用，属于中等题.‎ 二、填空题：共6小题，每小题5分，共30分.‎ ‎11.是虚数单位，则的值为__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先化简复数，再利用复数模的定义求所给复数的模．‎ ‎【详解】．‎ ‎【点睛】本题考查了复数模的运算，是基础题.‎ ‎12.双曲线的渐近线方程为_____________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 令，解得．‎ ‎∴双曲线的渐近线方程为．‎ 答案：‎ ‎13.设是椭圆的两个焦点，P是椭圆上的点，且，则△的面积等于___________.‎ ‎【答案】4‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由椭圆的定义有,结合可得,,又,则三角形面积可求.‎ ‎【详解】由椭圆有.‎ 由椭圆的定义有，又 所以,,又.‎ 在△中, ‎ 所以△为直角三角形, △的面积为 ‎ 故答案为:4‎ ‎【点睛】本题考查椭圆的定义和焦点三角形的面积,属于中档题.‎ ‎14.已知是抛物线的焦点，是上一点，的延长线交轴于点．若为的中点，则____________．‎ ‎【答案】6‎ ‎【解析】‎ 如图所示，不妨设点M位于第一象限，设抛物线的准线与轴交于点，作与点，与点，由抛物线的解析式可得准线方程为，则，在直角梯形中，中位线，由抛物线的定义有：，结合题意，有，故．‎ 点睛:抛物线的定义是解决抛物线问题的基础，它能将两种距离(‎ 抛物线上的点到焦点的距离、抛物线上的点到准线的距离)进行等量转化．如果问题中涉及抛物线的焦点和准线，又能与距离联系起来，那么用抛物线定义就能解决问题．因此，涉及抛物线的焦半径、焦点弦问题，可以优先考虑利用抛物线的定义转化为点到准线的距离，这样就可以使问题简单化．‎ ‎15.已知等比数列{an}各项均为正数，，若存在正整数，使得，请写出一个满足题意的k值_________.‎ ‎【答案】4～12的正整数均可 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意求出等比数列的通项公式，然后由条件有，求解即可.‎ ‎【详解】在等比数列{an}中,设公比为,数列各项均为正数,所以 ‎,则,所以,解得:或(舍) ‎ 又,所以.‎ ‎ 则 即,即 ‎ 当,即,也即 时,有成立.‎ 又正整数,且 又当时,,显然有成立.‎ 当时,也有成立.‎ 所以4～12的正整数均可满足条件.‎ 故答案为：4～12的正整数均可 ‎【点睛】本题考查等比数列求通项公式和前项和以及解不等式，属于中档题.‎ ‎16.已知数列的各项均为正整数，Sn为其前n项和，对于n＝1，2，3，…，有，其中为使为奇数的正整数，当时，的最小值为__________；当时，___________.‎ ‎【答案】 (1). 5 (2). 910‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题设可知当时，解得或，因为的各项均为正整数，为正整数，所以当时，有最小值.当时，可求出 ，得到数列是周期为2的周期数列，可求出结果.‎ ‎【详解】数列的各项均为正整数 ‎,其中为使为奇数的正整数.‎ 当时,或.‎ 即或，则或（舍）‎ 所以或.‎ 则或，因为的各项均为正整数，为正整数.‎ 显然当时，有最小值.‎ 当时，，‎ ‎，其中为使为奇数的正整数，所以，‎ 所以,‎ ‎，其中为使为奇数的正整数，所以，‎ ‎……………………‎ 所以数列是周期为2的周期数列，奇数项为1，偶数项为8.‎ 故答案为（1） 5 （2）910‎ ‎【点睛】本题考查数列的递推公式的性质和应用，考查周期数列求和问题,属于难题.‎ 三、解答题：共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.‎ ‎17.已知各项均不相同的等差数列的前四项和，且、、成等比数列 ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）设为数列的前n项和，求的值.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)利用等差数列的前4项和，以及、、成等比数列，建立关于首项和公差的方程，解出即可. (2)由（1）可得，用裂项相消求和法可求解出答案.‎ ‎【详解】设等差数列的首项为，公差为.‎ 由等差数列的前4项和，以及、、成等比数列 ‎ ，又，解得 ‎ 所以 ‎ ‎（2）由（1）可得 则 所以 ‎ 所以 ‎【点睛】本题考查等差数列的通项公式和运用裂项相消法求和，属于中档题.‎ ‎18.如图所示，在正四棱柱中，，点E、F分别是棱BC、DC的中点.‎ ‎（1）求证：BD∥平面；‎ ‎（2）若，求直线与平面所成角的正弦值.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ ‎(1)由点E、F分别是棱BC、DC的中点，则EF∥BD，可得证. (2) 以D为原点，所在直线为轴，轴，‎ 轴建立空间直角坐标系,用向量法求出平面的一个法向量，然后即可求线面角.‎ ‎【详解】证明：（1）∵点E、F分别是棱BC、DC的中点，∴EF∥BD.‎ 又平面平面，∥平面.‎ ‎（2）以D为原点，所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系 则 设平面的一个法向量为 由 可得 令 ‎∴直线与平面所成角的正弦值为.‎ ‎【点睛】本题考查线面平面的证明和线面角的求解，属于中档题.‎ ‎19.已知抛物线的准线方程是.‎ ‎（Ⅰ）求抛物线的方程；‎ ‎（Ⅱ）设直线与抛物线相交于，两点，为坐标原点，证明：.‎ ‎【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）详见解析 ‎【解析】‎ 试题分析：（Ⅰ）利用排趋性的准线方程求出p，即可求解抛物线的方程；（Ⅱ）直线y=k（x-2）（k≠0）与抛物线联立，通过韦达定理求解直线的斜率关系即可证明OM⊥ON 试题解析：（Ⅰ）解：因为抛物线的准线方程为，‎ 所以， 解得，‎ 所以 抛物线的方程为.‎ ‎（Ⅱ）证明：设，.‎ 将代入，‎ 消去整理得.‎ 所以.‎ 由，，两式相乘，得，‎ 注意到，异号，所以.‎ 所以直线与直线的斜率之积为，‎ 即.‎ 考点：直线与抛物线的位置关系；抛物线的标准方程 ‎20.已知点和椭圆.‎ ‎（1）设椭圆的两个焦点分别为，试求△的周长；‎ ‎（2）若直线与椭圆C交于两个不同的点A，B，直线与x轴分别交于M，N两点，求证：.‎ ‎【答案】（1）；（2）见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)由椭圆的定义可得，则三角形的周长可求. (2)要证，则需证明以∠PMN＝∠PNM，设直线PA与PB的斜率分别为 ‎，只需证明，将直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理可证明结论.‎ ‎【详解】（1）由题意可知，，所以.‎ 因为是椭圆C上的点，由椭圆定义得，‎ 所以△的周长为.‎ ‎（2）由得.‎ 因为直线与椭圆C有两个交点，并注意到直线不过点P，‎ 所以解得或.‎ 设，则，‎ ‎.‎ 显然直线PA与PB的斜率存在，设直线PA与PB的斜率分别为，‎ 则 ‎.‎ 因为，所以∠PMN＝∠PNM.‎ 所以.‎ ‎【点睛】本题考查椭圆的定义的运用，考查直线与椭圆的关系和几何条件的转化，考查运算能力，属于难题.‎ ‎21.已知椭圆的离心率为，且过点.‎ ‎（1）求椭圆C的方程；‎ ‎（2）若点A、B为椭圆C的左右顶点，直线与x轴交于点D，点P是椭圆C上异于A、B的动点，直线AP、BP分别交直线于E、Ｆ两点，当点P在椭圆C上运动时，是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由.‎ ‎【答案】（1）；（2）为定值1‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1) 由题意可知,,结合，可求出椭圆方程.‎ ‎(2) 设,则直线AP的方程为，求出，同理得出，将点在椭圆上这个条件代入，可得到答案.‎ ‎【详解】（1）由题意可知 又因为且，解得，‎ 所以椭圆C的方程为；‎ ‎（2）为定值1.‎ 由题意可得：，设，由题意可得：，‎ 所以直线AP的方程为，令，则，‎ 即；‎ 同理：直线BP的方程为，令，则，‎ 即；‎ 所以 而，即，‎ 代入上式得，‎ 所以为定值1.‎ ‎【点睛】本题考查利用离心率求椭圆方程和椭圆中的定值问题，考查运算能力，属于难题.‎ ‎22.已知数列、，其中，，数列满足,，数列满足． ‎ ‎（1）求数列、的通项公式；‎ ‎（2）是否存在自然数，使得对于任意有恒成立？若存在,求出的最小值；‎ ‎（3）若数列满足，求数列的前项和．‎ ‎【答案】（1）；（2）存在，；（3）‎ ‎．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：‎ ‎（1）根据题设条件用累乘法能够求出数列{an}的通项公式．b1=2，bn+1=2bn可知{bn}是首项为2，公比为2的等比数列，由此能求出{bn}的通项公式．（2）bn=2n．假设存在自然数m，满足条件，先求出，将问题转化成可求得的取值范围；（3）分n是奇数、n是偶数两种情况求出Tn，然后写成分段函数的形式．‎ 试题解析：‎ ‎（1）由，即． ‎ 又，所以 ‎ . ‎ 当时，上式成立，‎ 因为，所以是首项为2，公比为2的等比数列，‎ 故. ‎ ‎(2) 由（1）知，则 ‎.‎ 假设存自然数，使得对于任意有恒成立，即恒成立，由，解得． ‎ 所以存在自然数，使得对于任意有恒成立，此时，的最小值为16. ‎ ‎（3）当为奇数时，‎ ‎ ‎ ‎ ；‎ 当为偶数时，‎ ‎ ‎ ‎ . ‎ 因此． ‎ 点睛：数列求和时，要根据数列项的特点选择不同的方法，常用的求和方法有公式法、裂项相消法、错位相减法、分组求和等．‎