【数学】2020届一轮复习北师大版二维形式的柯西不等式学案

【数学】2020届一轮复习北师大版二维形式的柯西不等式学案

一 二维形式的柯西不等式 ‎ ‎ ‎1．二维形式的柯西不等式 ‎(1)定理1：若a，b，c，d都是实数，则(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，当且仅当ad＝bc时，等号成立．‎ ‎(2)二维形式的柯西不等式的推论：‎ ‎(a＋b)(c＋d)≥(＋)2(a，b，c，d为非负实数)；‎ ·≥|ac＋bd|(a，b，c，d∈R)；‎ ·≥|ac|＋|bd|(a，b，c，d∈R)．‎ ‎2．柯西不等式的向量形式 定理2：设α，β是两个向量，则|α·β|≤|α|·|β|，当且仅当β是零向量，或存在实数k，使α＝kβ时，等号成立．‎ ‎[注意]　柯西不等式的向量形式中α·β≤|α||β|，取等号“＝”的条件是β＝0或存在实数k，使α＝kβ.‎ ‎3．二维形式的三角不等式 ‎(1)定理3：＋≥(x1，y1，x2，y2∈R)．‎ 当且仅当三点P1，P2与O共线，并且P1，P2点在原点O异侧时，等号成立．‎ ‎(2)推论：对于任意的x1，x2，x3，y1，y2，y3∈R，有 ＋ ‎≥.‎ 事实上，在平面直角坐标系中，设点P1，P2，P3的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)，根据△P1P2P3的边长关系有|P1P3|＋|P2P3|≥|P1P2|，当且仅当三点P1，P2，P3共线，并且点P1，P2在P3点的异侧时，等号成立．‎ 利用柯西不等式证明不等式 ‎[例1]　已知θ为锐角，a，b∈R＋，求证：＋≥(a＋b)2.‎ ‎[思路点拨]　可结合柯西不等式，将左侧构造成乘积形式，利用“1＝sin2θ＋cos2θ”，然后用柯西不等式证明．‎ ‎[证明]　∵＋ ‎＝(cos2θ＋sin2θ)‎ ‎≥2‎ ‎＝(a＋b)2，‎ ‎∴(a＋b)2≤＋.‎ 利用柯西不等式证明不等式的关键在于利用已知条件和所证不等式，把已知条件利用添项、拆项、分解、组合、配方、变量代换等，将条件构造成柯西不等式的基本形式，从而利用柯西不等式证明，但应注意等号成立的条件．‎ ‎1．已知a1，a2，b1，b2为正实数．‎ 求证：(a1b1＋a2b2)≥(a1＋a2)2.‎ 证明：∵(a1b1＋a2b2) ‎＝[()2＋()2] ‎≥2＝(a1＋a2)2.‎ ‎∴原不等式成立．‎ ‎2．设a，b，c为正数，‎ 求证：＋＋≥ (a＋b＋c)．‎ 证明：由柯西不等式，‎ 得 ·≥a＋b，‎ 即·≥a＋b.‎ 同理：·≥b＋c，‎ ·≥a＋c，‎ 将上面三个同向不等式相加得：‎ ≥2(a＋b＋c)‎ ‎∴ ＋ ＋≥ (a＋b＋c)．‎ ‎3．设a，b∈R＋，且a＋b＝2.求证：＋≥2.‎ 证明：根据柯西不等式，有 ‎[(2－a)＋(2－b)] ‎＝[()2＋()2] ‎≥2‎ ‎＝(a＋b)2＝4.‎ ‎∴＋≥＝2.‎ ‎∴原不等式成立.‎ 利用二维形式的柯西不等式求最值 ‎[例2]　求函数y＝3sin α＋4cos α的最大值．‎ ‎[思路点拨]　函数的解析式是两部分的和，若能化为ac＋bd的形式就能用柯西不等式求其最大值．‎ ‎[解]　由柯西不等式得 ‎(3sin α＋4cos α)2≤(32＋42)(sin2α＋cos2 α)＝25，‎ ‎∴3sin α＋4cos α≤5.‎ 当且仅当＝>0即sin α＝，cos α＝时取等号，即函数的最大值为5.‎ 利用柯西不等式求最值的注意点 ‎(1)变形凑成柯西不等式的结构特征，是利用柯西不等式求解的先决条件；‎ ‎(2)有些最值问题从表面上看不能利用柯西不等式，但只要适当添加上常数项或和为常数的各项，就可以利用柯西不等式来解，这也是运用柯西不等式解题的技巧；‎ ‎(3)有些最值问题的解决需要反复利用柯西不等式才能达到目的，但在运用过程中，每运用一次前后等号成立的条件必须一致，不能自相矛盾，否则就会出现错误．多次反复运用柯西不等式的方法也是常用技巧之一．‎ ‎4．已知2x2＋y2＝1，求2x＋y的最大值．‎ 解：∵2x＋y＝×x＋1×y≤×＝×＝，‎ 当且仅当x＝y＝时取等号．‎ ‎∴2x＋y的最大值为.‎ ‎5．求函数y ＝＋的最小值．‎ 解：y＝＋，‎ y2＝(x－1)2＋2＋(3－x)2＋5＋2×≥(x－1)2＋2＋(3－x)2＋5＋2×[(x－1)(3－x)＋]＝[(x－1)＋(3－x)]2＋(7＋2)＝11＋2.‎ 当且仅当＝，‎ 即x＝时等号成立．‎ 此时ymin＝＝＋1.‎ ‎1．已知a，b∈R＋且a＋b＝1，则P＝(ax＋by)2与Q＝ax2＋by2的大小关系是(　　)‎ A．P≤Q　　　　　　　 B．P＜Q C．P≥Q D．P＞Q 解析：选A　设m＝(x，y)，n＝(，)，‎ 则|ax＋by|＝|m·n|≤|m||n|＝·＝·＝ ，‎ ‎∴(ax＋by)2≤ax2＋by2，即P≤Q.‎ ‎2．若a，b∈R，且a2＋b2＝10，则a－b的取值范围是(　　)‎ A．[－2，2 ]‎ B．[－2，2 ]‎ C．[－， ]‎ D．(－，)‎ 解析：选A　(a2＋b2)[12＋(－1)2]≥(a－b)2，‎ ‎∵a2＋b2＝10，‎ ‎∴(a－b)2≤20.‎ ‎∴－2≤a－b≤2.‎ ‎3．已知x＋y＝1，那么2x2＋3y2的最小值是(　　)‎ A. B. C. D. 解析：选B　(2x2＋3y2)[()2＋()2]≥(x＋y)2＝[(x＋y)]2＝6，‎ 当且仅当x＝，y＝时取等号，‎ 即2x2＋3y2≥.‎ 故2x2＋3y2的最小值为.‎ ‎4．函数y＝＋2的最大值是(　　)‎ A. B. C．3 D．5‎ 解析：选B　根据柯西不等式，知y＝1×＋2×≤×＝，当且仅当x＝时取等号．‎ ‎5．设xy>0，则的最小值为________．‎ 解析：原式＝≥x·＋·y2＝9，当且仅当xy＝时取等号．‎ 答案：9‎ ‎6．设a＝(－2,1,2)，|b|＝6，则a·b的最小值为________，此时b＝________.‎ 解析：根据柯西不等式的向量形式，有|a·b|≤|a|·|b|，‎ ‎∴|a·b|≤×6＝18，‎ 当且仅当存在实数k，‎ 使a＝kb时，等号成立．‎ ‎∴－18≤a·b≤18，‎ ‎∴a·b的最小值为－18，‎ 此时b＝－2a＝(4，－2，－4)．‎ 答案：－18　(4，－2，－4)‎ ‎7．设实数x，y满足3x2＋2y2≤6，则P＝2x＋y的最大值为________．‎ 解析：由柯西不等式得 ‎(2x＋y)2≤[(x)2＋(y)2]·＝(3x2＋2y2)·≤6×＝11，当且仅当x＝，y＝时取等号，故P＝2x＋y的最大值为.‎ 答案： ‎8．已知x，y∈R＋，且x＋y＝2.求证：＋≥2.‎ 证明：＋＝(x＋y) ‎＝[ ()2＋()2] ‎≥2＝2，‎ 当且仅当时等号成立，此时x＝1，y＝1.‎ 所以＋≥2.‎ ‎9．若x2＋4y2＝5，求x＋y的最大值及此时x，y的值．‎ 解：由柯西不等式得 ‎[x2＋(2y)2]≥(x＋y)2，‎ 即(x＋y)2≤5×＝，x＋y≤.‎ 当且仅当＝，即x＝4y时取等号．‎ 由得或(舍去)．‎ ‎∴x＋y的最大值为，‎ 此时x＝2，y＝.‎ ‎10．求函数f(x)＝3cos x＋4的最大值，并求出相应的x的值．‎ 解：设m＝(3,4)，n＝(cos x，)，‎ 则f(x)＝3cos x＋4 ‎＝|m·n|≤|m|·|n|‎ ‎＝· ‎＝5，‎ 当且仅当m∥n时，上式取“＝”．‎ 此时，3 －4cos x＝0.‎ 解得sin x＝，cos x＝.‎ 故当sin x＝，cos x＝时．‎ f(x)＝3cos x＋4 取最大值5.‎