2020-2021学年新初三数学上册知识点讲解 一元二次方程专题详解

2020-2021学年新初三数学上册知识点讲解 一元二次方程专题详解

2020-2021 学年新初三数学上册知识点讲解 一元二次方程专题详解 专题 01 一元二次方程 .............................................................................................................................................. 1 21.1 一元二次方程 ............................................................................................................................................. 3 知识框架 ..................................................................................................................................................... 3 一、基础知识点 ......................................................................................................................................... 3 知识点 1 一元二次方程的概念 ......................................................................................................... 3 知识点 2 一元二次方程的一般形式 ................................................................................................. 4 知识点 3 一元二次方程的根............................................................................................................. 4 二、典型题型 ............................................................................................................................................. 5 题型 1 利用一元二次方程的定义确定字母的取值范围 ................................................................. 5 题型 2 利用一元二次方程的项的概念求字母的取值范围 ............................................................. 5 题型 3 一元二次方程的简单应用 ..................................................................................................... 6 三、难点题型 ............................................................................................................................................. 7 题型 1 利用一元二次方程的解的概念求字母、代数式 ................................................................. 7 21.2 解一元二次方程 ......................................................................................................................................... 8 知识框架 ..................................................................................................................................................... 8 一、基础知识点 ......................................................................................................................................... 8 知识点 1 配方法 ................................................................................................................................ 8 知识点 2 公式法 ................................................................................................................................ 9 知识点 3 因式分解法 ....................................................................................................................... 11 知识点 4 韦达定理 .......................................................................................................................... 13 二、典型题型 ........................................................................................................................................... 15 题型 1 解一元二次方程 .................................................................................................................. 15 题型 2 配方法的应用 ...................................................................................................................... 16 题型 3 利用△判定一元二次方程根的情况或判定字母的取值范围 ........................................... 19 题型 4 韦达定理的应用 .................................................................................................................. 20 三、难点题型 ........................................................................................................................................... 24 题型 1 解可化为一元二次方程的方程 ........................................................................................... 24 21.3 实际问题与一元二次方程 ....................................................................................................................... 26 知识框架 ................................................................................................................................................... 26 一、基础知识点 ....................................................................................................................................... 26 知识点 1 列一元二次方程解应用题的一般步骤 ........................................................................... 26 二、典型题型 ........................................................................................................................................... 27 题型 1 增长率问题 .......................................................................................................................... 27 题型 2 传播问题 .............................................................................................................................. 28 题型 3 面积问题 .............................................................................................................................. 29 题型 4 利润问题 .............................................................................................................................. 33 题型 5 循环问题 .............................................................................................................................. 34 三、难点题型 ........................................................................................................................................... 36 题型 1 动点问题 .............................................................................................................................. 36 21.1 一元二次方程 知识框架 { 基础知识点 { 一元二次方程的概念 一元二次方程的一般形式 一元二次方程的根 典型题型 { 利用一元二次方程的定义确定字母的取值范围 利用一元二次方程的项的概念求字母的取值范围 一元二次方程的简单应用 难点题型{利用一元二次方程的解的概念求字母、代数式 一、基础知识点 知识点 1 一元二次方程的概念 1）一元二次方程的概念：只含有一个未知数（一元），且未知数的最高次数为 2（二次）的整式方程。 例：2푥2 + 3푥 + 4 = 5; 3푥2 + 5 = 6 注：①只含一个未知数 ②未知数最高次数为 2，即一定要有 2 次的项，可以无 1 次的项和常数项 ③整式。如 1 푥2不是，实际 1 푥2 = 푥2为－2 次 例 1.判断下列关于 x 的方程是不是一元二次方程. (1) 2 푥2+5 = 3； (2)푥2 − 5푥 = 0； (3)푥2 − 2푥푦 − 3 = 0； (4)√푥 + 푥 = 5； (5)2푥(푥 − 3) = 2푥2 + 1； (6) 1 푥 + 3푥 = 푥 − 3； (7) 1 푥2+1 = 2푥； (8)푎푏푥2 + (푎 + 푏)푥 + 1 = 0； (9)푥2 − 3√3푥 + 4 = 0； (10)푝푥2 + 푞푥 + 푚 = 0(푝 ≠ 0)。 【答案】：方程（2）、（9）、（ 10）是一元二次方程. 【解析】：方程（1）、（6）、（ 7）的左边是分式，不属于整式方程，不是一元二次方程 方程（3）含有两个未知数，不是一元二次方程 方程（4）的左边不是整式，不是一元二次方程 方程（5）整理得－6x＝1，不是一元二次方程 方程（8）中未确定 ab≠0，不是一元二次方程 方程（2）、（9）、（10）是一元二次方程. 例 2.方程（푚 − 5)(푚 − 3)푥푚−2 + (푚 − 3)푥 + 5 = 0. （1）m 为何值时，此方程为一元二次方程？ （2）m 为何值时，此方程为一元一次方程？ 【答案】：（1）m＝4 （2）m＝5 【解析】：（1）当 m－2＝2 时，m＝4，这时（m－5）（ m－3）≠0 所以 m＝4 时，此方程为一元二次方程. （2）当（m－5）（ m－3）=0，m－2＞0，m－2 为自然数，且 m－3≠0 时，方程为一元一次方程. 因为 m－5）（ m－3）=0 得 m=5 或 m=3，又因 m≠3 所以当 m＝5 时，此方程为一元一次方程. 知识点 2 一元二次方程的一般形式 1）一元二次方程一般形式：푎푥2 + bx + c = 0（a≠0） a：二次项系数 b：一次项系数 c：常数 注：①化为一般式时，右边为 0； ②习惯上将二次项系数 a 化为正数 例 1.将一元二次方程(1 − 푥)(2 − 푥) = 3 − 푥2化简为一般式。 【答案】：2푥2 − 3푥 − 1 = 0 【解析】：去括号(1 − 푥)(2 − 푥) = 3 − 푥2得：2－3x+푥2 = 3 − 푥2 移项得：2－3x+푥2 − 3 + 푥2 = 0 合并同类项得：2푥2 − 3푥 − 1 = 0 知识点 3 一元二次方程的根 1）能使一元二次方程成立的未知数的值称为一元二次方程的解，我们也称为一元二次方程的根。 2）一元二次方程的实数根有 0 个、1 个或 2 个，具体情况我们下一节讨论。 例 1.下列选项中，方程푥2 + 2x − 3 = 0的根有（ ） A.－4 B.－3 C.0 D.2 【答案】：B 【解析】：将下列选项分别代入方程中，使得方程成立的值即方程的解。 A.将 x=－4 代入得：（ − 4）2 + 2 × (−4) − 3 = 5 ≠ 0，错误 B.将 x=－3 代入得：（ − 3）2 + 2 × (−3) − 3 = 0，正确 C.将 x=0 代入得：02 + 2 × 0 − 3 = −3 ≠ 0，错误 D.将 x=2 代入得：22 + 2 × 2 − 3 = 5 ≠ 0，错误 例 2.关于 x 的一元二次方程（푎 − 2）푥2 + x + 푎2 − 4 = 0有一个根为 0，求 a 的值。 【答案】：a=－2 【解析】：∵方程有一个根为 0 ∴将 x=0 代入，方程成立，即：(푎 − 2) × 02 + 0 + 푎2 − 4 = 0 化简得：푎2 − 4 = 0 解得：a=2 或 a=－2 ∵方程是一元二次方程 ∴a－2≠0，a≠2 ∴a=－2 二、典型题型 题型 1 利用一元二次方程的定义确定字母的取值范围 解题技巧：一元二次方程的一般式为：푎푥2 + bx + c = 0，在解决一元二次方程定义的问题中，有几点需 要注意： ①在判定前，务必将一元二次方程化简为一般式； ②二次项系数 a≠0，二次项的次数为 2； ③一次项系数 b 和常数项 c 无特殊要求。 例 1.已知(푚 − 3)푥2 + √푚 + 2푥 = 1是关于 x 的一元二次方程，则 m 的取值范围是（ ） A.m≠3 B.m≥3 C.m≥－2 D. m≥－2 且 m≠3 【答案】：D 【解析】：∵方程是一元二次方程 ∴二次项系数不为 0，即 m－3≠0 一次项系数无特殊要求，但为二次根式，二次根式内的值必须不为负，即：m+2≥0 解得 m≥－2 且 m≠3 例 2.已知关于 x 的方程(푚 + 1)푥푚2+1 + (푚 − 2)푥 − 1 = 0，问： （1）m 取何值时，它是一元二次方程并写出这个方程； （2）m 取何值时，它是一元一次方程？ 【答案】：（1）m=1 （2）m=－1 或 0 【解析】：（1）∵方程为一元二次方程 ∴(푚 + 1)푥푚2+1中，x 的次数必须为 2，即：푚2 + 1 = 2； 二次项的系数不为 0，即 m+1≠0 一次项系数无特殊要求 解得：m=1 （2）情况一：当 m+1=0，即 m=－1 时，方程化简为：（m－2）x－1=0 ∵方程为一元一次方程 ∴m－2≠0 ∴m=－1 情况二：当 m+1≠0 时，即 m≠－1 ∵方程(푚 + 1)푥푚2+1 + (푚 − 2)푥 − 1 = 0为一元一次方程 ∴x 的次数为 1，即푚2 + 1 = 1，即 m=0 将 m=0 代入方程，方程化简得：－x－1=0，是一元一次方程 ∴m=0 题型 2 利用一元二次方程的项的概念求字母的取值范围 解题技巧：一元二次方程的一般式为：푎푥2 + bx + c = 0（a≠0）中，a 为二次项系数，b 为一次项系数，c 为常数项。 注：在解此类题型时，依旧需要注意：a≠0 例 1.关于 x 的一元二次方程（m－1）x2+5x+m2－1=0 的常数项为 0，求 m 的值． 【答案】：m=－1 【解析】：∵常数项为 0 ∴푚2 − 1 = 0，解得：m=±1 ∵方程为一元二次方程 ∴二次项系数 m－1≠0，解得：m≠1 ∴m=－1 例 2.若一元二次方程(2푎 − 4)푥2 + (3푎 + 6)푥 + 푎 − 8 = 0没有一次项，则 a 的值为 . 【答案】：a=－2 【解析】：∵方程没有一次项 ∴一次项系数 3a+6=0，解得：a=－2 ∵方程是一元二次方程 ∴二次项系数 2a－4≠0，解得：a≠2 ∴a=－2 题型 3 一元二次方程的简单应用 解题技巧：审清题意，列写方程。 例 1.根据下列问题，列出方程，并将其化为一般形式。 （1）4 个完全相同的正方形的面积之和是 25，求正方形的边长 x； （2）一个矩形的长比宽多 2，面积是 100，求矩形的长 x； （3）一个直角三角形的斜边长为 10，两条直角边相差 2，求较长的直角边长 x。 【答案】：（1）4푥2 − 25 = 0 （2）푥2 − 2푥 − 100 = 0 （3）2푥2 − 4푥 − 96 = 0 【解析】：（1）4푥2 = 25，化简得：4푥2 − 25 = 0 （2）x（x－2）=100，化简得：푥2 − 2푥 − 100 = 0 （3）푥2 + （푥 − 2）2 = 102，化简得：2푥2 − 4푥 − 96 = 0 三、难点题型 题型 1 利用一元二次方程的解的概念求字母、代数式 解题技巧：紧扣一元二次方程的概念，方程的解直接代入方程中，等式成立，化简变形求解。 例 1.已知关于 x 的方程푥2+bx+a=0 的一个根是－a（a≠0），则 a－b 值为（ ） A.－1 B.0 C.1 D.2 【答案】：A 【解析】：∵关于 x 的方程푥2+bx+a=0 的一个根是－a（a≠0） ∴푎2－ab+a=0 通过变形等式（푎2－ab+a=0）来想办法与需求解（a－b）部分联系上 ∴a（a－b+1）=0. ∵a≠0 ∴a－b+1=0. ∴a－b=－1． 例 2.若一元二次方程 a푥2+bx+c=0 中，a－b+c=0，则此方程必有一个根为 . 【答案】：x=－1 【解析】：比较两个式子 发现：（1）等号右边相同；（2）等号左边最后一项相同；（3）第一个式子푥2对应了第二个式子中的 1，第一 个式子中的 x 对应了第二个式子中的－1. 所以{푥2 = 1 푥 = −1 .解得 x=－1. 例 3.已知实数 a 是一元二次方程푥2－2013x+1=0 的解，求代数式푎2 − 2012푎 − 푎2+1 2013 的值. 【答案】：－1 【解析】：∵实数 a 是一元二次方程 x2－2013x+1=0的解 ∴푎2－2013a+1=0. ∴푎2+1=2013a，푎2－2013a=－1. ∴푎2 − 2012푎 − 푎2+1 2013 = 푎2 − 2012푎 − 2013푎 2013 = 푎2 − 2012푎 − 푎 = 푎2 − 2013푎 = −1 21.2 解一元二次方程 知识框架 { 基础知识点 { 配方法 公式法 因式分解法{ 提取公因式法 乘法公式 十字相乘法 韦达定理 典型题型 { 解一元二次方程 配方法的应用 { 用配方法求参数值 用配方法求最值 用配方法求解多元二次方程 用配方法比较大小 利用 △ 判定一元二次方程根的情况 韦达定理的应用{ 利用韦达定理求对称式的值 利用韦达定理求字母系数的值 难点题型{解可化为一元二次方程的方程 一、基础知识点 知识点 1 配方法 1）直接开平方法解一元二次方程：将方程化成(푥 + 푎)2 = 푏(푏 ≥ 0)的形式， 则 x＝−푎 ± √푏(푏 ≥ 0). 2）配方法：解一元二次方程的关键是化简成（mx + n）2 = p形式， 利用公式a2 ± 2ab + b2 = (a ± b)2 ax2 + bx + c = 0 x2 + b a x + c a = 0 x2 + b a x + ( b 2a)2 + c a − ( b 2a)2 = 0 (x + b 2a)2 = − c a + ( b 2a)2 = b2−4ac 4a2 即化简为了（mx + n）2 = p形式，再直接开方求解 3）配方法解一元二次方程，关键要搞清配方的目的是什么，即配方要使方程能运用直接开平方法解决， 具体步骤为： ①先将其整理成一般形式，二次项系数化为 1； ②因二次项系数为 1，所以移项得푥2 + 푝푥 = 푞，然后利用完全平方公式，方程两边配方； ③直接开平方法解出方程. 例 1.用配方法解关于 x 的一元二次方程： 푥2 + 푝푥 + 푞 = 0 【答案】：见解析 【解析】：原式移项，得x2 + px = −q, 配方，得x2 + px + (p 2)2 = −q + p2 4 , 整理，得（x + p 2 ）2＝ p2 − 4q 4 , （1）当p2 − 4q > 0 时， p2−4q 4 > 0, 方程两边直接开平方，得： x1＝−p + √p2 − 4q 2 , x2＝−p − √p2 − 4q 2 ; （2）当p2 − 4q＝0 时，x1＝x2＝ −p 2 ； （3）当p2 − 4q < 0 时,原方程无实数解。 例 2.用配方法解方程 （1）푥2 + 6푥 − 5 = 0； （2）4x2 − 7푥 + 2 = 0 【答案】：（1）x1 = −3 + √14, x2 = −3 − √14 （2）x1＝ 7+√17 8 ，x2＝ 7−√17 8 【解析】：（1）移项，得x2 + 6x = 5, 配方，得x2 + 6x + 9 = 5 + 9, 即（x＋3）2 = 14； ∴ x + 3 = ±√14, ∴ x1 = −3 + √14, x2 = −3 − √14 （2）移项，得4x2 − 7x = −2化二次项系数为 1， 得x2 − 7 4 x + (7 8)2 = − 1 2 + (7 8)2 即（x − 7 8 ）2＝ 17 64 ， ∴ x − 7 8 ＝ ± √17 8 ∴ x − 7 8 ＝ + √17 8 ，x − 7 8 ＝ − √17 8 ∴ x1＝ 7+√17 8 ，x2＝ 7−√17 8 例 3.试证：不论 x 为何实数，多项式2푥4 − 4푥2 − 1 的值总大于푥4 − 2푥2 − 4 的值. 【答案】：见解析 【解析】：(2x4 − 4x2 − 1) − (x4 − 2x2 − 4) = x4 − 2x2 + 3 = (x4 − 2x2 + 1) + 2 = (x2 − 1)2 + 2 对于任何实数 x，总有(x2 − 1)2 + 2 > 0 即(2x4 − 4x2 − 1) − (x4 − 2x2 − 4) > 0 所以，多项式2푥4 − 4푥2 − 1 的值总大于푥4 − 2푥2 − 4 的值. 知识点 2 公式法 1）将一元二次方程一般式：ax2 + bx + c = 0利用配方法可化简为： (x + b 2a)2 = b2−4ac 4a2 ，则： ①b2−4ac 4a2 >0 时，即b2 − 4ac>0 时，x + b 2a=± √b2−4ac 2a 푥1=−b+√b2−4ac 2a 푥2=−b−√b2−4ac 2a 两解 ②b2−4ac 4a2 =0 时，即b2 − 4ac=0 时，x + b 2a=0 푥1=−b 2a + 0 一解 ③b2−4ac 4a2 <0 时，即b2 − 4ac<0 时，等式不成立 无解 2）∆= b2 − 4ac 通过判定∆与零的关系，即可确定方程有无解及方程解的个数 3）公式法步骤：①化简为一般式：ax2 + bx + c = 0，确定 a，b，c ②判断∆与 0 的关系，确定方程有无解即解的个数 ③利用公式，求解出方程的根 ①∆> 0时，푥1=−b+√b2−4ac 2a 푥2=−b−√b2−4ac 2a ②∆= 0时，푥1=푥2=−b 2a ③∆<0 时，无解 注：利用公式法时，一定要化简为一般式，并注意判断∆。一般式是公式法的前提，∆是方程解的个数 的依据。 例 1.用公式法解下列方程 （1）푥2 − 4√3푥 + 10 = 0 (2)2푥2 + 2푥 = 1 (3)(푥 + 1)(푥 − 1) = 2√2푥 【答案】：（1）x1=2√3 + √2，x2 = 2√3 − √2 （2）x1 == −1+√3 2 , x2 = −1−√3 2 （3）x1 = √2 + √3,x2 = √2 − √3. 【解析】：(1) ∵ a = 1, b = −4, c = 10 b2 − 4ac = (−4√3）2－4 × 1 × 10＝8 > 0, ∴ x = −(−4√3)±√8 2×1 = 4√3±2√2 2 = 2√3 ± √2， ∴ x1=2√3 + √2，x2 = 2√3 − √2. (2)化成一般式得：2x2 + 2x − 1 = 0 a = 2, b = 2, c = −1 b2 − 4ac = 22 − 4 × 2 × (−1) = 12 > 0, ∴ x = −2±√12 2×2 = −1±√3 2 , ∴ x1 == −1+√3 2 , x2 = −1−√3 2 . (3)化成一般式得：x2 − 2√2x − 1 = 0, ∵ a = 1, b = −2,c = −1, b2 − 4ac = （2√2）2 − 4×1×(−1) = 12 > 0, ∴ x = −(−2√2)±√12 2×2 = 2√2±2√3 2 = √2 ± √3, ∴ x1 = √2 + √3, x2 = √2 − √3. 知识点 3 因式分解法 1）因式分解法：将一元二次方程通过因式分解，分解为两个一次因式乘积等于 0 的形式，再使这两个 一次因式分别等于 0，实现降次的方法。 2）即将一元二次方程化简为（mx+p）(nx+q)=0，从而得出：{mx + p = 0 nx + q = 0 ，即{ x1 = − p m x2 = − q n ，因式分解法 的关键是分解成两个一次相乘的形式。 因式分解法{ 提取公因式法 乘法公式 十字相乘法 一、提取公因式法 3）通过提取公因式达到因式分解的目的，进而求解一元二方程。 例 1.用因式分解法解下列方程 （1）푥2 − 6푥 = 0 （2）（ 5x－2）（ x+1）=x+1 【答案】：（1）x1 = 0, x2 = 6. （2）x1 = −1, x2 = 3 5 【解析】：(1)x2 − 6x = 0 提取公因式 x 得：x(x − 6) = 0, ∴ x = 0 或 x − 6 = 0 ∴ x1 = 0, x2 = 6. （2）原方程移项得：（5x－2）（ x+1）－（x+1）=0 提取公因式（x+1）得：（x+1）（ 5x－3）=0 ∴ x + 1 = 0 或 5x − 3 = 0 ∴ x1 = −1, x2 = 3 5 二、乘法公式 4）因式分解的目的在将方程化成两个因式乘积等于 0 的形式，利用如下乘法公式，有时可以很好解决。 ①平方差公式：푎2 − 푏2 = （푎 + 푏）（ 푎 − 푏） ②完全平方公式：푎2 ± 2푎푏 + 푏2 = （푎 + 푏）2 例 2 用公式法因式分解式解下列方程. （1）（3푥 − 4）2 = （4푥 − 3）2 （2）49（푥 − 3）2 = 16（푥 + 6）2 【答案】：（1）x1 = 1, x2 = −1 （2）x1 = − 3 11 , x2 = 15 【解析】：(1)移项,得(3x − 4)2 − (4x − 3)2 = 0 ∴ [(3x − 4) + (4x − 3)][(3x − 4) − (4x − 3)] = 0 ∴ (7x − 7)(−x − 1) = 0, ∴ 7x − 7 = 0 或 − x − 1 = 0 ∴ x1 = 1, x2 = −1. (2)原方程化为[7(x − 3)]2 − [4(x + 6)]2 = 0, [7(x − 3) + 4(x + 6)][7(x − 3) − 4(x + 6)] = 0, 化简为(11x + 3)(3x − 45) = 0, ∴ x1 = − 3 11 , x2 = 15. 例 3.已知 a，b，解关于 x 的一元二次方程4푎2푥2 − 4푎푥 + 1 − 푏2 = 0（a≠0）。 【答案】：x1 = 1+푏 2푎 , x2 = 1−푏 2푎 【解析】：原式化简为：（4푎2푥2 − 4푎푥 + 1）−푏2 = 0 利用完全平方公式得：（2푎푥 − 1）2 − 푏2 = 0 利用平方差公式得：（2ax－1－b）（ 2ax－1+b）=0 ∴2ax − 1 − b = 0 或 2ax − 1 + b = 0 ∴ x1 = 1+푏 2푎 , x2 = 1−푏 2푎 三、十字相乘法 5）十字相乘法能将某些二次三项式因式分解。十字相乘法的二次三项式需满足三个条件： ①十字左边上下两数相乘等于二次项； ②十字右边上下两数相乘等于常数项； ③十字交叉相乘积的和等于一次项。 例如：用十字相乘法解方程：2푥2 − 푥 − 6 = 0 ∴方程可分解为：（2x+3）（ x－2）=0 ∴x1 = − 3 2 , x2 = 2 例 4.用十字相乘法解下列方程： （1）푥2 − 5푥 − 6 = 0 （2）푥2 − 푥 − 6 = 0 【答案】：（1）x1 = 6, x2 = −1 （2）x1 = −2, x2 = 3 【解析】：（1）十字相乘得： ∴方程分解为：（x－6）（ x+1）=0 ∴x－6=0 或 x+1=0 ∴x1 = 6, x2 = −1 （2）十字相乘得： ∴方程分解为：（x－3）（ x+2）=0 ∴x－3=0 或 x+2=0 ∴x1 = −2,x2 = 3 知识点 4 韦达定理 1）若ax2 + bx + c = 0存在两个根x1、x2 x1=−b+√b2−4ac 2a x2=−b−√b2−4ac 2a 韦达定理：若方程有两个根，则{ x1 + x2 = −b a x1 ∙ x2 = c a 2）拓展：当方程仅有一个根时，x1=x2=−b a 则{ x1 + x2 = −b a x1 ∙ x2 = c a 任然成立 方程在仅有一个根时，视为两个相等的根，韦达定理依旧成立 例 1.一元二次方程푥2 + 푎푥 − 3푎 = 0的两根之和为 2a－1，求两根之积。 【答案】：－1 【解析】：根据韦达定理，两根之和为：− 푏 푎 = − 푎 1 = 2푎 − 1 解得：a=1 3 两根之积为：푐 푎 = −3푎 1 = −3푎 = −3 ∙ 1 3 = −1 例 2.若方程푥2 + 푥 − 1 = 0的两根分别为x1、x2,求x12＋x22。 【答案】：3 【解析】：根据韦达定理，x1 + x2 = − 푏 푎 = − 1 1 = −1 x1 ∙ x2 = c a = −1 1 = −1 ∵x12＋x22 = （x1 + x2）2 − 2x1 ∙ x2 = (−1)2 − 2 ∙ (−1) = 3 二、典型题型 题型 1 解一元二次方程 解题技巧：解一元二次方程的主要方法有：①配方法；②公式法；③因式分解法。建议： ①若能使用因式分解法，优先使用因式分解法，计算量较小； ②若无法使用因式分解法，或不熟练因式分解法，建议使用公式法，不用配方法。 小技巧：若√△为整数，则可以使用十字相乘法。 例 1.用配方法解方程： （1）x（x+2）=1 （2）푥2 − 6푥 − 7 = 0 【答案】：（1）x1 = −1 + √2，x2 = −1 − √2 （2）x1 = 7，x2 = −1 【解析】：（1）去括号得：푥2 + 2푥 = 1 配方：푥2 + 2푥 + 1 = 2 (푥 + 1)2 = 2 ∴x+1=±√2 ∴x1 = −1 + √2，x2 = −1 − √2 （2）配方：푥2 − 6푥 + 9 = 16 (푥 − 3)2 = 16 ∴x－3=±4 ∴x1 = 7，x2 = −1 例 2.用公式法解方程： （1）푥2 + 푥 − 1 = 0 （2）푥2 + 3푥 − 1 = 0 【答案】：（1）x1 = −1+√5 2 ，x2 = −1−√5 2 （2）x1 = −3+√13 2 ，x2 = −3−√13 2 【解析】：（1）a=1，b=1，c=－1 x=−푏±√푏2−4푎푐 2푎 ，代入得： x= −1±√12−4∙1∙（−1） 2 ∴x1 = −1+√5 2 ，x2 = −1−√5 2 （2）a=1，b=3，c=－1 x=−푏±√푏2−4푎푐 2푎 ，代入得： x= −3±√32−4∙1∙（−1） 2 ∴x1 = −3+√13 2 ，x2 = −3−√13 2 例 3.用因式分解法解方程： （1）x（x－2）=x （2）푥2 − 2푥 − 8 = 0 【答案】：（1）x1 = 0，x2 = 3 （2）x1 = −2，x2 = 4 【解析】：（1）移项得：x（x－2）－x=0 提取公因式 x 得：x（x－2－1）=0 ∴x=0 或 x－3=0 ∴x1 = 0，x2 = 3 （2）푥2 − 2푥 − 8 = 0十字相乘得： （x+2）（ x－4）=0 ∴x+2=0 或 x－4=0 ∴x1 = −2，x2 = 4 例 4.选择你喜欢的方法解方程： （1）푥2 + 4푥 − 5 = 0 （2）2푥2 − 4푥 + 1 = 0 【答案】：（1）x1 = 1，x2 = −5 （2）x1 = 2+√2 2 ，x2 = 2−√2 2 【解析】：（1）∵√△= √42 − 4 × 1 × (−5) = 6 ∴可以利用十字相乘法求解，分解因式得： （x－1）（ x+5）=0 ∴x－1=0 或 x+5=0 ∴x1 = 1，x2 = −5 （2）无法利用因式分解法，直接选用公式法 a=2，b=－4，c=1 x=−푏±√푏2−4푎푐 2푎 ，代入得： x=4±√（−4）2 −4∙2∙1 4 ∴x1 = 2+√2 2 ，x2 = 2−√2 2 题型 2 配方法的应用 配方法的应用 { 用配方法求参数值 用配方法求最值 用配方法求解多元二次方程 用配方法比较大小 一、用配方法求参数值 解题技巧：配方法依托完全平方公式（完全平方和公式和完全平方差公式）来完成。关于 x 的一元二次 方程：（푎푥）2 + 푘푥 + 푏2 = 0，若可刚好配成完全平方的形式，则 k=±2ab 注：因完全平方公式有完全平方和公式和完全平方差公式 2 个，因此此处的 k 有 2 解。 1. 若方程 25x2－（k－1）x+1=0 的左边可以写成一个完全平方式；则 k 的值为（ ） A．－9 或 11 B．－7 或 8 C．－8 或 9 C．－8 或 9 【答案】：A 【解析】：根据题意知，－（k－1）=±2×5×1 ∴k－1=±10 即 k－1=10 或 k－1=－10 得 k=11 或 k=－9． 2.如果代数式푥2+6x+m2 是一个完全平方式，则 m= . 【答案】：±3 【解析】：据题意得，6=2∙ 푥 ∙ 푚 ∴m=3 ∵（ − 3）2 = 32 ∴m 也可以为－3 ∴m=±3 二、用配方法求最值 解题技巧：关于 x 的一元二次方程 a푥2 + 푏푥 + 푐 = 0，配方得：푎（푥 + 푏 2푎 ）2 + 4푎푐−푏2 4푎 （1）当 a＞0 时，∵（푥 + 푏 2푎 ）2 ≥ 0，∴푎（푥 + 푏 2푎 ）2 ≥ 0。 又∵4푎푐−푏2 4푎 为常数，始终不变，∴푎（푥 + 푏 2푎 ）2 + 4푎푐−푏2 4푎 ≥ 0 + 4푎푐−푏2 4푎 = 4푎푐−푏2 4푎 当 x=− 푏 2푎 时，可取等号 （2）当 a＜0 时，∵（푥 + 푏 2푎 ）2 ≥ 0，∴푎（푥 + 푏 2푎 ）2 ≤ 0。 又∵4푎푐−푏2 4푎 为常数，始终不变，∴푎（푥 + 푏 2푎 ）2 + 4푎푐−푏2 4푎 ≤ 0 + 4푎푐−푏2 4푎 = 4푎푐−푏2 4푎 当 x=− 푏 2푎 时，可取等号 综上得：①当 a＞0 时，方程有最小值，当 x=− 푏 2푎 时有最小值，最小值为：4푎푐−푏2 4푎 ； ②当 a＜0 时，方程有最大值，当 x=− 푏 2푎 时有最大值，最大值为：4푎푐−푏2 4푎 例 1.求푥2 + 3푥 − 1的最小值。 【答案】：− 13 4 【解析】：对多项式进行配方：[푥2 + 3푥 + (3 2) 2 ] − (3 2) 2 − 1 =(푥 + 3 2) 2 − 13 4 ∵(푥 + 3 2) 2 ≥ 0 ∴(푥 + 3 2) 2 − 13 4 ≥ 0 − 13 4 = − 13 4 ∴多项式最小值为：− 13 4 例 2.请问多项式−2푥2 + 5푥 + 3有最大值还是最小值，最值是多少？ 【答案】：有最大值，当 x=5 4 时有最大值，最大值为：49 8 【解析】：本题不再推导，直接用结论 ∵a=－2＜0，∴有最大值 最大值为当 x=− 푏 2푎 = − 5 2×(−2) = 5 4 时存在最大值 最大值为：4푎푐−푏2 4푎 = 4×(−2)×3−52 4×（−2） = 49 8 三、用配方法求解多元二次方程 解题技巧：解多元二次方程的步骤为： ①分组：将不同未知数各自分组； ②配方：对分组部分进行配方； ③求解方程：此类题型通常可配方为：푎（푥 + 푚）2 + 푏（푦 + 푛）2 = 0的形式 ∴x=－m，y=－n 注：在分组的过程中，常数项可能需要分解成两部分再各自分配到不同组别中，其中分解的原则为： 便于配方。 例 1.解关于 a、b 的方程：푎2 − 6푎 + 푏2 − 8푏 + 25 = 0 【答案】：a=3，b=4 【解析】：分组得：（푎2 − 6푎 + 9）+（푏2 − 8푏 + 16）=0 配方得：(푎 − 3)2 + (푏 − 4)2 = 0 ∴a－3=0，b－4=0 ∴a=3，b=4 例 2.已知푎2 − 3푎 + 푏2 − 푏 2 + 37 16 = 0，求 a－4√푏的值。 【答案】：− 1 2 【解析】：分组得：（푎2 − 3푎 + 9 4 ）+（푏2 − 푏 2 + 1 16 ）=0 配方得：(푎 − 3 2) 2 + (푏 − 1 4) 2 = 0 ∴푎 − 3 2=0，푏 − 1 4=0 ∴a=3 2 ，b=1 4 ∴a－4√푏 = 3 2 − 4 × √1 4 = − 1 2 四、用配方法比较大小 解题技巧：比较 M 与 N 的大小： ①作差法得到 M－N 的多项式； ②多项式配方得：푚（푥 + 푛）2 + 푝 = 0的形式； ③利用平方的值非负的性质判断多项式的正负，从而比较 M 与 N 的大小 例 1.已知 P=푥2 − 3푥，Q=x－5（x 为任意实数），比较 P、Q 的大小。 【答案】：P＞Q 【解析】：P－Q=푥2 − 3푥 − 푥 + 5 =푥2 − 4푥 + 5 =(푥 + 2)2 + 1 ∵(푥 + 2)2 ≥ 0 ∴(푥 + 2)2 + 1 ≥ 1 ∴P－Q＞0 ∴P＞Q 例2.用配方法证明：无论 x 为何实数，代数式－2푥2+4x－5的值恒小于零． 【答案】：见解析 【解析】：－2푥2+4x－5 =－2（푥2－2x）－5 =－2（푥2－2x+1）－5+2 =－2（푥 − 1）2－3. ∵（푥 − 1）2 ≥0 ∴－2（푥 − 1）2 ≤0 ∴－2（푥 − 1）2－3＜0. ∴无论 x 为何实数，代数式－2푥2+4x－5 的值恒小于零． 题型 3 利用△判定一元二次方程根的情况或判定字母的取值范围 解题技巧：一元二次方程的判别式△与方程的根有密切关系： ①△＞0⇌方程有两个不等的实根； ②△=0⇌方程有两个相等的实根，即方程仅有一个实根； ③△＜0⇌方程无实数根 注：在判断一元二次方程 a푥2 + 푏푥 + 푐 = 0的根的时候，存在隐含条件：a≠0 例 1.已知 a，b，c 分别是三角形的三边，则方程（a+b）푥2+2cx+（a+b）=0 的根的情况是（ ） A.没有实数根 B.可能有且只有一个实数根 C.有两个相等的实数根 D.有两个不相等的实数根 【答案】：A 【解析】：△=（2푐）2﹣4（a+b）（ a+b）=4（a+b+c）（ c﹣a﹣b）. 根据三角形三边关系，得 c﹣a﹣b＜0，a+b+c＞0 ∴△＜0 ∴该方程没有实数根． 例 2.关于 x 的方程 k푥2+3x+2=0 有实数根，则 k 的取值范围是（ ） A.k≤9 8 B.k＜9 8 C.k＜9 8 且 k≠0 D.k≤9 8 且 k≠0 【答案】：A 【解析】：情况一：当 k≠0 时，方程是一元二次方程 ∵有实数根，∴△≥0 即：32 − 4 × 푘 × 2 ≥ 0 解得：푘 ≤ 9 8 且 k≠0 情况二：当 k=0 时，方程是一元一次方程 方程为：3x+2=0 方程有实数根 ∴k=0 成立 综上得： 푘 ≤ 9 8 例 3.定义：如果一元二次方程 a푥2＋bx＋c＝0（a≠0）满足 a＋b＋c＝0，那么我们称这个方程为“凤凰”方程．已 知 a푥2＋bx＋c＝0（a≠0）是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是（ ） A．a＝c B．a＝b C．b＝c D．a＝b＝c 【答案】：A 【解析】： ∵一元二次方程 a푥2＋bx＋c＝0（a≠0）有两个相等的实数根 ∴△＝푏2－4ac＝0 又 a＋b＋c＝0，即 b＝－a－c 代入푏2－4ac＝0得（ − 푎 − 푐）2－4ac＝0 化简得（푎 − 푐）2＝0，所以 a＝c． 题型 4 韦达定理的应用 韦达定理的应用{ 利用韦达定理求对称式的值 利用韦达定理求字母系数的值 一、利用韦达定理求对称式的值 解题技巧：尽量将所求的式子转化成푥1 + 푥2项、푥1푥2项和常数项组成的式子，然后用韦达定理代入求值即 可。常见的对称式有： ①（푥1）2 + （푥2）2 =（푥1 + 푥2）2 − 2푥1푥2； ②|푥1 − 푥2| = √（푥1 + 푥2）2 − 4푥1푥2； ③（푥1 + 푚）（ 푥2 + 푚）=푥1푥2 + 푚(푥1+푥2) + 푚2； ④ 1 푥1 + 1 푥2 = 푥1+푥2 푥1푥2 例 1.设푥1、푥2是一元二次方程 2푥2 − 5푥 − 1 = 0的两个根，求下列代数式的值： （1）푥12푥2 + 푥22푥1； （2）푥12 + 푥22 − 3푥1푥2； （3）푥2 푥1 + 푥1 푥2 ； （4）|푥1 − 푥2| 【答案】：（1）− 5 4 （2）35 4 （3）− 29 2 （4）√33 2 【解析】：a=2，b=－5，c=－1 根据韦达定理：푥1 + 푥2 = − 푏 푎 = 5 2 ，푥1푥2 = 푐 푎 = − 1 2 （1）푥12푥2 + 푥22푥1 =푥1푥2（푥1 + 푥2） =− 1 2 ∙ 5 2 =− 5 4 （2）푥12 + 푥22 − 3푥1푥2 =(푥1 + 푥2)2 − 2푥1푥2 − 3푥1푥2 =(푥1 + 푥2)2 − 5푥1푥2 =(5 2) 2 − 5 ∙（− 1 2 ） =35 4 （3）푥2 푥1 + 푥1 푥2 =푥22+푥12 푥1푥2 =(푥1+푥2)2−2푥1푥2 푥1푥2 =(5 2) 2 −2∙（−1 2） −1 2 =− 29 2 （4）|푥1 − 푥2| = √（푥1 + 푥2）2 − 4푥1푥2 =√（ 5 2 ）2 − 4 ∙ （ − 1 2 ） =√33 2 二、利用韦达定理求字母系数的值 解题技巧：方程中虽然有字母，但我们将字母视为常数进行分析： ①先利用韦达定理求解出用字母表示的푥1 + 푥2与푥1푥2的值； ②此刻，题干还会告知一个条件，利用对称式的一些变形，将푥1 + 푥2与푥1푥2用字母表示的值代入这个 条件，得到关于字母的方程； ③解方程得到字母的值。 注：因为푥1、푥2是方程的根，我们还可以将푥1、푥2代入方程得到 2 个等式，帮组解题。 例 1.设푥1、푥2是一元二次方程푥2+4x－3=0 的两个根，2푥1（푥22+5푥2﹣3）+a=2，则 a= ． 【答案】：a=8 【解析】：∵푥1푥2＝－3，푥22+4푥2－3=0， ∴2푥1(푥22+5푥2－3)+a =2 化简得：2푥1 (푥22+4푥2－3+푥2)+a =2. ∴2푥1푥2+a =2. ∴2×(－3)+a＝2. 解得 a＝8. 例 2.已知푥1、푥2是一元二次方程(푎 − 6)푥2 + 2푎푥 + 푎 = 0的两个实数根， （1）是否存在实数 a，使－푥1＋푥1푥2=4＋푥2成立？若存在，求出 a 的值；若不存在，请你说明理由； （2）求使（푥1＋1）（ 푥2＋1）为负整数的实数 a 的整数值． 【答案】：（1）a=24 （2）a=7 或 8，9，12 【解析】：（1）根据题意，得△=（2푎）2－4×a（a－6）=24a≥0 ∴a≥0． 又∵a－6≠0，∴a≠6． 由根与系数关系得：푥1 + 푥2=－ 2푎 푎−6 ，푥1푥2= 푎 푎−6. 由－푥1＋푥1푥2=4＋x2 得푥1 + 푥2＋4=푥1푥2. ∴－ 2푎 푎−6 ＋4 = 푎 푎−6 ，解得 a=24． 经检验 a=24 是方程－ 2푎 푎−6 ＋4 = 푎 푎−6 的解． （2）原式=푥1 + 푥2＋푥1푥2＋1=－ 2푎 푎−6 ＋ 푎 푎−6 ＋1= 6 6−푎 为负整数， ∴6－a 为－1 或－2，－3，－6. 解得 a=7 或 8，9，12． 三、难点题型 题型 1 解可化为一元二次方程的方程 解题技巧：解此类方程的要点，是基于观察或适当的代数变形，通过换元法（整体代入法），将方程转化为 一元二次方程处理。 注：求解过程中，若采用了“去分母”等化为整式的手法，则可能产生增根。因此，所求出的解应该要验根。 例 1.若方程（푥2 + 푦2 − 5）2 =64，则푥2+푦2= . 【答案】：13 【解析】：将푥2 + 푦2视为一个整体 由题意得푥2 + 푦2 − 5=±8. 解得푥2+푦2=13 或者푥2+푦2=－3（舍去） 综上得：13 例 2.解方程：푥2 − 3|푥| + 2 = 0 【答案】：푥1 = 1，푥2 = −1，푥3 = 2，푥4 = −2 【解析】：∵푥2 = |푥|2 ∴原方程可化为：|푥|2 − 3|푥| + 2 = 0 令|푥| = 푦，则 y≥0 方程变为：푦2 − 3푦 + 2 = 0 十字相乘得：（y－1）（ y－2）=0 ∴푦1 = 1，푦2 = 2 푦1 = 1，即|푥| = 1 解得：푥1 = 1，푥2 = −1 푦2 = 2，即|푥| = 2 解得：푥3 = 2，푥4 = −2 例 3.解方程： 3푥 푥2−1 + 푥2−1 3푥 = 5 2 【答案】：푥1 = 3 + √10，푥2 = 3 − √10，푥3 = − 1 2 ，푥4 = 2 【解析】：观察发现，方程左边两项互为相反数 令 3푥 푥2−1 = 푦，则푥2−1 3푥 = 1 푦 原方程化为：y+1 푦 = 5 2 ，为分式方程 去分母得：푦2 − 5 2 푦 + 1 = 0为一元二次方程 解得：푦1 = 1 2 ，푦2 = 2 푦1 = 1 2 ，即 3푥 푥2−1 = 1 2 十字相乘得：6x=푥2 − 1 解得：푥1 = 3 + √10，푥2 = 3 − √10 푦2 = 2，即 3푥 푥2−1 = 2 同列解得：푥3 = − 1 2 ，푥4 = 2 21.3 实际问题与一元二次方程 知识框架 { 基础知识点{列一元二次方程解应用题的一般步骤 典型题型 { 增长率问题 传播问题 面积问题{ 图形面积问题 围墙问题 利润问题 循环问题 难点题型{动点问题 一、基础知识点 知识点 1 列一元二次方程解应用题的一般步骤 1）解一元二次方程实际问题的原则，与一元一次方程的实际问题原则类似： ①根据题意和实际问题涉及的类型，建立等量关系式； ②以利于表示等量关系式为原则，设未知数 x； ③依据等量关系式和未知数 x 建立方程； ④解方程并解答。 注：一元二次方程通常有 2 解，但是，应检验方程的 2 个根是否都符合实际情况。 例 1.某商场销售一批衬衫，平均每天可售出 20 件，每件盈利 40 元。先为了扩大销售，增加盈利，尽快减 少库存，商场决定采取适当的降价措施。经调查发现，每件衬衫每降价 1 元，商场平均每天可多售出 2 件。 若商场平均每天要盈利 1200 元，每件衬衫应降价多少元？ 【答案】：20 元 【解析】：①依据题意，寻找等量关系式： 此题是利润问题，等量关系式为：每件衬衫利润×销售件数=利润 ②设未知数： ∵利润已知，每件衬衫利润、销售件数都与衬衫降价量有关 ∴设每件衬衫应降价 x 元 ③根据等量关系式建立方程： 每件衬衫利润为：（40－x）元 销售件数为：（20+2x）件 方程为：（40－x）（ 20+2x）=1200 ④解方程并解答： 方程化简得：푥2 − 30푥 + 200 = 0 解答：푥1 = 10，푥2 = 20 ∵要求尽快减少库存 ∴售出件数应尽量多 ∴应降价 20 元 二、典型题型 题型 1 增长率问题 解题技巧：设 a 为增长（下降）基础数量，b 为增长（下降）后的数量，n 为增长（下降）的次数，p 为 增长（下降）率。 增长（下 降）次数 增长（下降） 前数量 增长（下降）量 增长（下降）后数量 1 a ap a±ap=a（1±p） 2 a（1±p） a（1±p）p a（1±p）±a （1±p）p=a（1 ± p）2 3 a（1 ± p）2 a（1 ± p）2 푝 a（1 + p）2 ±a（1 ± p）2 푥 = a（1 ± p）3 发现规律：①增长时：b=a（1 + p）푛； ②减少时：b=a（1 − p）푛 注：①本章考察一元二次方程，通常增长（下降）次数 n 为 2； ②通常设增长（下降）率为 x； ③例求解得 x=0.1，则表示增长（下降）10%。 例 1.某商场今年 2 月份的营业额为 400 万元，3 月份的营业额比 2 月份增加 10％，5 月份的营业额达到 633.6 万元，求 3 月份到 5 月份营业额的平均增长率. 【答案】：20% 【解析】：①列写等量关系式： 此题是增长率问题，关系式为：b=a（1 + p）푛，其中 b 表示 5 月份营业额，a 表示 3 月份营业额，p 为增 长率，n 为增长次数。 ②设未知数 ∵已知：a=400（1＋10％），b=633.6，n=2，仅 p 不知 ∴设增长率为 x ③根据等量关系式列方程： 方程为：400（1＋10％）（1 + x）2＝633.6 ④求解方程并解答： 整理得：（1 + x）2＝633.6 440 解得：푥1 = 0.2，푥2 = −2.2 ∵依题意，增长率为正值 ∴x=0.2 ∴增长率为：20% 例 2.我市某楼盘准备以每平方米 10000 元的均价对外销售，为了加快资金周转，房地产开发商经过连续 2 次下调后，决定以 8100 元的均价出售，求平均每次下调的百分率。 【答案】：10% 【解析】：①列写等量关系式： 此题是增长率问题，关系式为：b=a（1 − p）푛，其中 b 表示调价 后的价格，a 表示调价前的价格，p 为下 降率，n 为下降次数。 ②设未知数 ∵已知：a=10000，b=8100，n=2，仅 p 不知 ∴设增长率为 x ③根据等量关系式列方程： 方程为：10000（1 − x）2＝8100 ④求解方程并解答： 整理得：（1 − x）2＝ 8100 10000 解得：푥1 = 0.1，푥2 = −1.9 ∵依题意，下降率为正值 ∴x=0.1 ∴下降率为：10% 题型 2 传播问题 解题技巧：有 2 种类型 （1）个体传播一轮后，依旧传染。设 a 为传播前基础人数，b 为传播后的人数，n 为传播的轮次，p 为传播 过程中，平均一人传染的人数。 传播 轮次 传播前人数 传染人数 传播后总人数 1 a ap a+ap=a（1+p） 2 a（1+p） a（1+p）p a（1+p）+a（1+p）p=a（1 + p）2 3 a（1 + p）2 a（1 + p）2 푝 a（1 + p）2 +a（1 + p）2 푥 =a（1 + p）3 发现规律：传播人数：b=a（1 + p）푛，与增长率问题公式一致。见例 1. （2）个体传播一轮后，个体不再传染。设 a 为传播前基础人数，b 为传播后的人数，n 为传播的轮次，p 为 传播过程中，平均一人传染的人数。 传播 轮次 具有传染力的人 数 传染人数 传播后总人数 1 a ap a+ap 2 ap ap2 a+ap+ap2 3 ap2 ap3 a+ap+ap2+ap3 发现规律：传播人数：b=a+ap+ap2 + ⋯+ap푛。见例 2. 例 1.有一人患了流感，经过两轮传染后共有 64 人患了流感。 （1）每轮传染中平均一人传染了几个人？ （2）如果不及时控制，第三轮将又有多少人被传染？ 【答案】：（1）7 人 （2）512 人 【解析】：（1）①列写等量关系式： 此题是传播问题（个体传染后依旧传染），关系式为：b=a（1 + p）푛，其中 b 表示 2 轮传播后的人数，a 表示传播前的人数，p 为平均一人传播的人数，n 为传播的轮次。 ②设未知数 ∵已知：a=1，b=64，n=2，仅 p 不知 ∴设平均一人传播 x 人 ③根据等量关系式列方程： 方程为：1∙ （1 + x）2＝64 ④求解方程并解答： 整理得：（1 + x）2＝64 解得：푥1 = 7，푥2 = −9 ∵依题意，传播人数为正值 ∴x=7 ∴平均一人传播 7 人 （2）直接利用公式，第 3 轮传播人数=（1 + 7）3＝512人 例 2.某种植物的主干长出若干数目的枝干，每个枝干又长出同样数目的小枝干。主干、枝干、小分支的总 数是 73，求每个枝干长出多少个小枝干？ 【答案】：8 个 【解析】：（1）①列写等量关系式： 此题是传播问题（个体传染后不传染），关系式为：b=a+ap+ap2 + ⋯+ap푛，其中 b 表示 2 轮传播后的枝干 数，a 表示传播前的枝干数，p 为每个枝干长出小枝干数，n 为传播的轮次。 ②设未知数 ∵已知：a=1，b=72，n=2，仅 p 不知 ∴设每个枝干长出 x 个小枝干 ③根据等量关系式列方程： 方程为：1+푥 + x2＝73 ④求解方程并解答： 整理得：x2 + 푥 − 72＝0，继续化简得：（x－8）（ x+9）=0 解得：푥1 = 8，푥2 = −9 ∵依题意，长出小枝干数为正值 ∴x=8 ∴每个枝干长出 8 个小枝干。 题型 3 面积问题 面积问题{ 图形面积问题 围墙问题 一、图形面积问题 解题技巧：解决面积问题的关键是把实际问题数学化，把实际问题中的已知条件与未知条件归结到某一 个几何图形中，然后按照几何图形的面积公式列写等式方程，使问题得以解决。具体步骤为： ①将实际问题中的图形归结到一个图形中，并列写等量关系式； ②设未知数； ③列方程； ④求解方程并解答。 例 1.一块矩形耕地大小尺寸如图所示，要在这块地上沿东西和南北方向分别挖 2 条和 4 条水渠，如果水渠 的宽相等，而且要保证余下的可耕地面积为 9600 米2，那么水渠应挖多宽？ 【答案】：1m 【解析】：①将实际问题中的图形归结到一个图形中，并列写等量关系式： 将矩形耕地中的沟渠平移至下图所示： 等量关系式为：耕地宽（除去沟渠）×耕地长（除去沟渠）=耕地面积 ②设未知数 ∵耕地（除去沟渠）的长、宽皆不知，面积已知 又∵剩余耕地的长宽都与沟渠宽度有关 ∴设沟渠的宽为：xm，则剩余耕地的宽为：（64－4x）m，剩余耕地的长为：（162－2x）m ③根据等量关系式列方程 方程为：（162－2x）（ 64－4x）＝9600 162米 64米 162米 64米 162米 64米 162米 64米 ④求解方程并解答： 化简：푥2 − 97푥 + 96 = 0，解得푥1 = 1,푥2 = 96 根据题意：푥2 = 96显然不成立，푥1 = 1成立 ∴沟渠的宽为 1m 例 2.小明决定自己设计一个画轴，如图，画轴长为 20cm，宽 10cm，正中央是一个与整个画轴长、宽比例 相同的矩形，如果四周边衬所占面积是整个画轴面积的 9 25 ，且上、下衬等宽，左、右边衬等宽，求左、右边 衬的宽。 【答案】：2cm 【解析】：①将实际问题中的图形归结到一个图形中，并列写等量关系式： 等量关系式为：中央宽×中央长=中央面积 ②设未知数 ∵中央的长、宽皆不知，中央面积为：画轴面积×（1 − 9 25 ），已知 又∵中央的长、宽比已知 ∴设中央的宽为 xcm，则中央的长为 2xcm ③根据等量关系式列方程 方程为：x∙ 2푥＝20∙10∙ （1 − 9 25 ） ④求解方程并解答： 化简：2푥2 = 64，解得푥1 = 8,푥2 = −8 根据题意：푥2 = −8显然不成立，푥1 = 8成立 ∴中央的长为：2×8=16cm ∴左、右边衬长为：20−16 2 = 2푐푚 二、围墙问题 解题技巧：围墙问题与面积问题相比，因存在围墙的原因，多一个判断未知数取值范围的过程，具体步 骤为： ①根据题意，列等量关系式； ②设未知数； ③列方程； ④求解方程； ⑤依据围墙的限制，求未知数的取值范围； ⑥根据未知数的取值范围，确定答案。 例 1.如图，有一个面积为 150 ㎡的长方形养鸡场，养鸡场的一边靠墙（墙长 18m），另外三边用竹篱笆围成。 如果竹篱笆的长为 35m，求养鸡场的长和宽。 【答案】：长 15m，宽 10m 【解析】：①列写等量关系式： 此题是围墙问题，围成了一个矩形图形，关系式为：长×宽=面积 ②设未知数 ∵长、宽皆不知，面积已知 又∵已知围成矩形三边的篱笆长 35m ∴设宽为：xm，则长为：（35－2x）m ③根据等量关系式列方程 方程为：x（35－2x）=150 ④求解方程 化简得：2푥2 − 35푥 + 150 = 0，继续化简得：（2x－15）（ x－10）=0 解得：푥1 = 10，푥2 = 15 2 ⑤求位置数的取值范围 a.篱笆的长、宽必须为正数，即：{ 푥＞0 35 − 2푥＞0 b.篱笆的长必须不长于墙，即：35－2x≤18 解不等式得：17 2 ≤ 푥＜ 35 2 ⑥根据取值范围，确定答案 푥1 = 10满足17 2 ≤ 푥＜ 35 2 ，成立 푥2 = 15 2 不满足17 2 ≤ 푥＜ 35 2 ，舍去 ∴篱笆的宽为：10m，长为：35－2×10=15m 例 2.如图，要建一个矩形花圃，花圃的一边利用长为 12m 的住房墙，另外三边用 25m 长的篱笆围成，为方 便进出，在垂直于住房墙的一边留一个 1m 宽的门，花圃面积为 80m²，求与墙垂直的一边的长度. 【答案】：长 10m，宽 8m 【解析】：①列写等量关系式： 此题是围墙问题，围成了一个矩形图形，关系式为：长×宽=面积 ②设未知数 ∵长、宽皆不知，面积已知 又∵已知围成矩形三边的篱笆长 35m ∴设宽为：xm，则开门一侧的宽需要篱笆：（x－1）m，长为：[25－x－（x－1）]=（26－2x）m ③根据等量关系式列方程 方程为：x（26－2x）=80 ④求解方程 化简得：2푥2 − 26푥 + 80 = 0，继续化简得：（2x－10）（ x－8）=0 解得：푥1 = 5，푥2 = 8 ⑤求位置数的取值范围 a.篱笆的长、宽必须为正数，即：{ 푥＞0 26 − 2푥＞0 b.篱笆的长必须不长于墙，即：26－2x≤12 c.篱笆的侧面需要开门，必须宽于 1m，即 x＞1 解不等式得：7 ≤ 푥＜13 ⑥根据取值范围，确定答案 푥1 = 5不满足7 ≤ 푥＜13，舍去 푥2 = 8满足7 ≤ 푥＜13，成立 ∴篱笆的宽为：8m，长为：26－2×8=10m 题型 4 利润问题 解题技巧：利润问题中，等量关系式为：商品单件利润×商品销售件数=总利润，解题步骤与上述题型类 似。 例 1.30 元的衣服，以 50 元出售，平均每月能售出 300 件。经试销发现每件衣服涨价 1 元，其月销售量就减 少 1 件，物价部门规定，每件衣服售价不得高于 80 元，为实现每月利润 8700 元，应涨价多少元？ 【答案】：10 元 【解析】：①依据题意，寻找等量关系式： 此题是利润问题，等量关系式为：每件衣服的利润×衣服的销售量=利润 ②设未知数： ∵利润已知，每件衣服的利润、衣服的销售量都与衣服涨价量有关 ∴设每每件衣服涨价 x 元 ③根据等量关系式建立方程： 每件衣服的利润为：（50－30+x）=（20+x）元 销售重量为：（300－x）件 方程为：（20+x）（ 300－x）=8700 ④解方程并解答： 方程化简得：푥2 − 280푥 + 2700 = 0，继续化简得：（x－10）（ x－270）=0 解答：푥1 = 10，푥2 = 270 ∵售价不得高于 80 元 ∴x≤30 ∴x=10 例 2.核桃进价为每千克 40 元，按每千克 60 元出售，平均每天可售出 100 千克，后来经过市场调查发现， 单价每降低 2 元，则平均每天的销售量增加 20 千克。若该店销售这种核桃想平均每天获利 2240 元，每千 克核桃应降价多少元？ 【答案】：4 元或 6 元 【解析】：①依据题意，寻找等量关系式： 此题是利润问题，等量关系式为：每千克核桃的利润×销售核桃重量=利润 ②设未知数： ∵利润已知，每千克核桃的利润、销售核桃重量都与核桃降价量有关 ∴设每千克核桃应降价 x 元 ③根据等量关系式建立方程： 每千克核桃的利润为：（60－40－x）=（20－x）元 销售重量为：（100+20∙ 푥 2 ）=（100+10x）千克 方程为：（20－x）（ 100+10x）=2240 ④解方程并解答： 方程化简得：푥2 − 10푥 + 24 = 0 解答：푥1 = 4，푥2 = 6 ∵降价 4 元和降价 6 元，都符合实际情况 ∴每千克核桃可以降价 4 元或 6 元。 题型 5 循环问题 解题技巧：有 2 种类型 （1）重叠类型：n 支球队互相之间都要打一场比赛，总共比赛场次为 m。 ∵1 支球队要和剩下的（n－1）支球队比赛，∴1 支球队需要比（n－1）场 ∵存在 n 支这样的球队，∴比赛场次为：n（n－1）场 ∵A 与 B 比赛和 B 与 A 比赛是同一场比赛，∴上述求法有重叠部分 ∴m=1 2 푛（푛 − 1） （2）不重叠类型：n 支球队，每支球队要在主场与所有球队各打一场，总共比赛场次为 m。 ∵1 支球队要和剩下的（n－1）支球队比赛，∴1 支球队需要比（n－1）场 ∵存在 n 支这样的球队，∴比赛场次为：n（n－1）场 ∵A 与 B 比赛在 A 的主场，B 与 A 比赛在 B 的主场，不是同一场比赛，∴上述求法无重叠 ∴m=푛（푛 − 1） 例 1.每两支球队之间都比赛一场，共比赛 45 场，问有多少支球队？ 【答案】：10 支 【解析】：此题是重叠类型的循环问题，等量关系式为：m=1 2 푛（푛 − 1） 设有 x 支球队 方程为：1 2 푥(x − 1) = 45 化简得：푥2 − 푥 − 90 = 0，继续化简得：（x+9）（ x－10）=0 解得：푥1 = 10，푥2 = −9 ∵依题意，球队数量为正值 ∴x=10 ∴有 10 支球队 例 2.每个同学都与全班同学交换一件礼物，全班同学交换礼物共计 2550 件，班上共有多少同学？ 【答案】：51 名 【解析】：此题是重叠类型的循环问题，等量关系式为：m=푛（푛 − 1） 设有 x 名同学 方程为：푥(x − 1) = 2550 化简得：푥2 − 푥 − 2550 = 0，继续化简得：（x+50）（ x－51）=0 解得：푥1 = 51，푥2 = −50 ∵依题意，同学数量为正值 ∴x=51 ∴有 51 名同学 三、难点题型 题型 1 动点问题 解题技巧：解决动点问题的一般方法为：设运动的时间或路程为 x，再用含 x 的代数式表示相关的线段或几 何关系，从而建立方程或函数关系。 例 1.如图，在△ABC 中，∠B=90°，AB=5cm，BC=7cm。点 P 从点 A 开始沿 AB 边向点 B 以 1m/s 的速度 移动，点 Q 从点 B 开始沿 BC 边向点 C 以 2m/s 的速度移动。如果点 P、Q 分别从点 A，B 同时出发，那么 几秒后，△PBQ 的面积等于 4푐푚2？ 【答案】：1s 【解析】：设运动的时间为 x 秒 则 PB=（5－x）cm，BQ=2xcm 푆△푃퐵푄 = 1 2 (5 − 푥) ∙ 2푥 = 4 化简得：푥2 − 5푥 + 4 = 0 解得：푥1 = 1，푥2 = 4 当푥2 = 4时，BQ=8＞BC=7，不成立 当푥1 = 1，符合题意 ∴经过 1s 后，面积是 4푐푚2 例 2. 如图，AO=OB=50cm，OC 是一条射线，OC⊥AB 于 O，一只蚂蚁由点 A 以 2cm/s 的速度向点 B 爬行, 同时另一只蚂蚁由点 O 以 3cm/s 的速度沿 OC 方向爬行.几秒后两只蚂蚁所在的位置与点 O 组成的三角形的 面积等于 450푐푚2? 【答案】：10s 或 15s 或 30s 【解析】：∵蚂蚁是否爬行到 O 点，图形会不一样 ∴此题为多解 情况一：当由点 A 出发的蚂蚁到达点 O 之前，设离开点 A ts 后，两只蚂蚁与点 O 组成的三角形的面积等于 450푐푚2. 根据题意得1 2 (50 − 2푡) ∙ 3푡 = 450, 整理得푡2 − 25푡 + 150 = 0, 解得푡1 = 15, 푡2 = 10 情况二：当由点 A 出发的蚂蚁爬完 AO 这段距离用了50 2 = 25s 后，开始由点 O 向点 B 爬行.设从点 O 开始爬 行푥푠后，两只蚂蚁与点 O 组成的三角形面积等于 450푐푚2.根据题意得1 2 ∙ 3푥 ∙ (2푥 − 50) = 450,整理得푥2 − 25푥 − 150 = 0, 解得푥1 = 30，푥2 = −5（不符合题意，舍去）.故这只蚂蚁已由点 A 爬行了 30s. 综上所述，分别再 10s，15s，30s 后，两只蚂蚁所在的位置与点 O 组成的三角形的面积等于 450푐푚2