高中数学导数知识点归纳总结及例题

高中数学导数知识点归纳总结及例题

导 数 考试内容： 导数的背影．导数的概念．多项式函数的导数．利用导数研究函数的单调性和极值．函数的 最大值和最小值．考试要求：（1）了解导数概念的某些实际背景．（2）理解导数的几何意 义．（3）掌握函数，y=c(c为常数)、y=xn(n∈N+)的导数公式，会求多项式函数的导数．（4） 理解极大值、极小值、最大值、最小值的概念，并会用导数求多项式函数的单调区间、极大 值、极小值及闭区间上的最大值和最小值．（5）会利用导数求某些简单实际问题的最大值 和最小值． §14. 导 数 知识要点 1. 导数（导函数的简称）的定义：设 0x 是函数 )(xfy  定义域的一点，如果自变量 x在 0x 处 有 增 量 x ， 则 函 数 值 y 也 引 起 相 应 的 增 量 )()( 00 xfxxfy  ； 比 值 x xfxxf x y      )()( 00 称为函数 )(xfy  在点 0x 到 xx 0 之间的平均变化率；如果极限 x xfxxf x y xx       )()( limlim 00 00 存在，则称函数 )(xfy  在点 0x 处可导，并把这个极限叫做 )(xfy  在 0x 处的导数，记作 )( 0 ' xf 或 0 |' xxy  ，即 )( 0 ' xf = x xfxxf x y xx       )()( limlim 00 00 . 注：① x 是增量，我们也称为“改变量”，因为 x 可正，可负，但不为零. ②以知函数 )(xfy  定义域为 A， )(' xfy  的定义域为 B，则 A与 B关系为 BA  . 2. 函数 )(xfy  在点 0x 处连续与点 0x 处可导的关系： ⑴函数 )(xfy  在点 0x 处连续是 )(xfy  在点 0x 处可导的必要不充分条件. 可以证明，如果 )(xfy  在点 0x 处可导，那么 )(xfy  点 0x 处连续. 事实上，令 xxx  0 ，则 0xx 相当于 0x . 于是 )]()()([lim)(lim)(lim 0000000 xfxfxxfxxfxf xxxx   导 数 导数的概念 导数的运算 导数的应用 导数的几何意义、物理意义 函数的单调性 函数的极值 函数的最值 常见函数的导数 导数的运算法则 ).()(0)()(limlim )()( lim)]( )()( [lim 000 ' 000 00 00 00 0 xfxfxfxf x xfxxf xfx x xfxxf xxxx         ⑵如果 )(xfy  点 0x 处连续，那么 )(xfy  在点 0x 处可导，是不成立的. 例： ||)( xxf  在点 00 x 处连续，但在点 00 x 处不可导，因为 x x x y      || ，当 x ＞0时， 1   x y ；当 x ＜0时， 1   x y ，故 x y x    0 lim 不存在. 注：①可导的奇函数函数其导函数为偶函数.②可导的偶函数函数其导函数为奇函数. 3. 导数的几何意义： 函数 )(xfy  在点 0x 处的导数的几何意义就是曲线 )(xfy  在点 ))(,( 0 xfx 处的切线的斜率， 也就是说，曲线 )(xfy  在点 P ))(,( 0 xfx 处的切线的斜率是 )( 0 ' xf ，切线方程为 ).)(( 0 ' 0 xxxfyy  4. 求导数的四则运算法则： ''')( vuvu  )(...)()()(...)()( '' 2 ' 1 ' 21 xfxfxfyxfxfxfy nn  ''''''' )()( cvcvvccvuvvuuv  （ c为常数） )0( 2 '''         v v uvvu v u 注：① vu, 必须是可导函数. ②若两个函数可导，则它们和、差、积、商必可导；若两个函数均不可导，则它们的和、差、 积、商不一定不可导. 例如：设 x xxf 2sin2)(  ， x xxg 2cos)(  ，则 )(),( xgxf 在 0x 处均不可导，但它们和  )()( xgxf xx cossin  在 0x 处均可导. 5. 复合函数的求导法则： )()())(( ''' xufxf x   或 xux uyy '''  复合函数的求导法则可推广到多个中间变量的情形. 6. 函数单调性： ⑴函数单调性的判定方法：设函数 )(xfy  在某个区间内可导，如果 )(' xf ＞0，则 )(xfy  为 增函数；如果 )(' xf ＜0，则 )(xfy  为减函数. ⑵常数的判定方法； 如果函数 )(xfy  在区间 I 内恒有 )(' xf =0，则 )(xfy  为常数. 注：① 0)( xf 是 f（x）递增的充分条件，但不是必要条件，如 32xy  在 ),(  上并不是 都有 0)( xf ，有一个点例外即 x=0 时 f（x） = 0，同样 0)( xf 是 f（x）递减的充分非必 要条件. ②一般地，如果 f（x）在某区间内有限个点处为零，在其余各点均为正（或负），那么 f（x） 在该区间上仍旧是单调增加（或单调减少）的. 7. 极值的判别方法：（极值是在 0x 附近所有的点，都有 )(xf ＜ )( 0xf ，则 )( 0xf 是函数 )(xf 的极大值，极小值同理） 当函数 )(xf 在点 0x 处连续时， ①如果在 0x 附近的左侧 )(' xf ＞0，右侧 )(' xf ＜0，那么 )( 0xf 是极大值； ②如果在 0x 附近的左侧 )(' xf ＜0，右侧 )(' xf ＞0，那么 )( 0xf 是极小值. 也就是说 0x 是极值点的充分条件是 0x 点两侧导数异号，而不是 )(' xf =0①. 此外，函数不 可导的点也可能是函数的极值点 ②. 当然，极值是一个局部概念，极值点的大小关系是不确 定的，即有可能极大值比极小值小（函数在某一点附近的点不同）. 注①： 若点 0x 是可导函数 )(xf 的极值点，则 )(' xf =0. 但反过来不一定成立. 对于可导函 数，其一点 0x 是极值点的必要条件是若函数在该点可导，则导数值为零. 例如：函数 3)( xxfy  ， 0x 使 )(' xf =0，但 0x 不是极值点. ②例如：函数 ||)( xxfy  ，在点 0x 处不可导，但点 0x 是函数的极小值点. 8. 极值与最值的区别：极值是在局部对函数值进行比较，最值是在整体区间上对函数值进 行比较.注：函数的极值点一定有意义. 9. 几种常见的函数导数： I. 0' C （C为常数） xx cos)(sin '  2 ' 1 1)(arcsin x x   1')(  nn nxx （ Rn ） xx sin)(cos '  2 ' 1 1)(arccos x x   II. x x 1)(ln '  e x x aa log1)(log '  1 1)(arctan 2 '   x x xx ee ')( aaa xx ln)( '  1 1)cot( 2 '   x xarc III. 求导的常见方法： ①常用结论： x x 1|)|(ln '  .②形如 ))...()(( 21 naxaxaxy  或 ))...()(( ))...()(( 21 21 n n bxbxbx axaxax y    两 边同取自然对数，可转化求代数和形式. ③无理函数或形如 xxy  这类函数，如 xxy  取自然对数之后可变形为 xxy lnln  ，对两边 求导可得 xx xxxyyxyy x xx y y  lnln1ln '' ' . 导数中的切线问题 例题 1：已知切点，求曲线的切线方程 曲线 3 23 1y x x   在点 (1 1)， 处的切线方程为（ ） 例题 2：已知斜率，求曲线的切线方程 与直线 2 4 0x y   的平行的抛物线 2y x 的切线方程是（ ） 注意：此题所给的曲线是抛物线，故也可利用  法加以解决，即设切线方程为 2y x b  ， 代入 2y x ，得 2 2 0x x b   ，又因为 0  ，得 1b   ，故选Ｄ． 例题 3：已知过曲线上一点，求切线方程 过曲线上一点的切线，该点未必是切点，故应先设切点，再求切点，即用待定切点法． 求过曲线 3 2y x x  上的点 (1 1)， 的切线方程． 例题 4：已知过曲线外一点，求切线方程 求过点 (2 0)， 且与曲线 1y x  相切的直线方程． 练习题： 已知函数 3 3y x x  ，过点 (0 16)A ， 作曲线 ( )y f x 的切线，求此切线方程． 看看几个高考题 1.（2009 全国卷Ⅱ）曲线 2 1 xy x   在点  1,1 处的切线方程为 2.（2010 江西卷）设函数 2( ) ( )f x g x x  ，曲线 ( )y g x 在点 (1, (1))g 处的切线方程为 2 1y x  ，则曲线 ( )y f x 在点 (1, (1))f 处切线的斜率为 3.（2009 宁夏海南卷）曲线 2 1xy xe x   在点（0,1）处的切线方程为 。 4.（2009浙江）（本题满分 15分）已知函数 3 2( ) (1 ) ( 2)f x x a x a a x b      ( , )a bR ． （I）若函数 ( )f x 的图象过原点，且在原点处的切线斜率是 3 ，求 ,a b的值； 5.（2009北京）（本小题共 14分） 设函数 3( ) 3 ( 0)f x x ax b a    . （Ⅰ）若曲线 ( )y f x 在点 (2, ( ))f x 处与直线 8y  相切，求 ,a b的值； .1 函数的单调性和导数 1．利用导数的符号来判断函数单调性: 一般地，设函数 ( )y f x 在某个区间可导， 如果在这个区间内 ' ( ) 0f x  ，则 ( )y f x 为这个区间内的 ； 如果在这个区间内 ' ( ) 0f x  ，则 ( )y f x 为这个区间内的 。 2．利用导数确定函数的单调性的步骤： (1) 确定函数 f(x)的定义域； (2) 求出函数的导数； (3) 解不等式 f (x)＞0，得函数的单调递增区间； 解不等式 f (x)＜0，得函数的单调递减区间． 【例题讲解】 a) 求证： 3 1y x  在 ( ,0) 上是增函数。 b) 确定函数 f(x)=2x3－6x2+7在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减函数. 【课堂练习】 1．确定下列函数的单调区间 (1)y=x3－9x2+24x (2)y=3x－x3 ２．已知函数 xxxf ln)(  ，则（ ） A．在 ),0(  上递增 B．在 ),0(  上递减 C．在       e 1,0 上递增 D．在       e 1,0 上递减 ３．函数 53)( 23  xxxf 的单调递增区间是_____________． 函数图象及其导函数图象 1. 函数 ( )y f x 在定义域 3( ,3) 2  内可导，其图象如 图，记 ( )y f x 的导函数为 / ( )y f x ，则不等 式 / ( ) 0f x  的解集为_____________ 2. 函数 )(xf 的定义域为开区间 3( ,3) 2  ，导函数 )(xf  在 3( ,3) 2  内的图象如图所示，则函数 )(xf 的单调增区间是_____________ 3. 如图为函数 3 2( )f x ax bx cx d    的图象， '( )f x 为函数 ( )f x 的导函数，则不等式 '( ) 0x f x  的解集为_____ _ 4. 若函数 2( )f x x bx c   的图象的顶点在第四象限，则其导函 数 '( )f x 的图象是（ ） 5. 函数 ( )y f x 的图象过原点且它的导函数 '( )f x 的图象是如图所示的一 条直线，则 ( )y f x 图象的顶点在（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 6. (2007 年广东佛山)设 )(xf  是函数 )(xf 的导函数, )(xfy  的图 象如右图所示，则 )(xfy  的图象最有可能的是（ ） 7. 设函数 f(x)在定义域内可导，y=f(x)的图象如下左图所示，则导函数 y=f (x)的图象可能 为( ) O 1 2 x y x yy O 1 2 y O 1 2 xO 1 2 x A B C D O 1 2 x y )(xfy  )(xfy  8. （安微省合肥市 2010 年高三第二次教学质量检测文科）函数 ( )y f x 的图像如下右图 所示，则 ( )y f x 的图像可能是 （ ） 9. (2010 年 3 月广东省深圳市高三年级第一次调研考试文科)已 知函数 f x( )的导函数 2f x ax bx c   ( ) 的图象如右图，则 f x( )的图象可能是( ) 10. （2010年浙江省宁波市高三“十校”联考文科）如右图所示是某一 容器的三视图，现向容器中匀速注水，容器中水面的高度 h随时间 t 变化的可能图象是（ ） (A) (B) (C) (D) 11. (2008广州二模文、理)已知二次函数  xf 的图象如图 1所示 , 则其导函数  xf ' 的图 象大致形状是（ ） x o y 正视图 侧视图 俯视图 12. （2009湖南卷文）若函数 ( )y f x 的导函数．．．在区间[ , ]a b 上是增函数，则函数 ( )y f x 在区间[ , ]a b 上的图象可能是 ( ) A ． B． C． D． 13. （福建卷 11）如果函数 )(xfy  的图象如右图，那么导 函数 ( )y f x 的图象可能是 ( ) 14. （ 2008 年福建卷 12)已知函数 y=f(x),y=g(x)的导函数的图象如下图，那么 y=f(x),y=g(x)的图象可能是 （ ） 15. (2008珠海一模文、理)设 )(' xf 是函数 )(xf 的导函数，将 )(xfy  和 )(' xfy  的图 像画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（ ） ababa o xo x y b a o x y o x y b y A． B． C． D． 16. (湖南省株洲市 2008 届高三第二次质检)已知函数 )(xfy  的导函数 )(xfy  的图像如下，则（ ） 函数 )(xf 有 1个极大值点，1个极小值点 函数 )(xf 有 2个极大值点，2 个极小值点 函数 )(xf 有 3个极大值点，1 个极小值点 函数 )(xf 有 1个极大值点，3个极小值点 17. (2008 珠海质检理)函数 )(xf 的定义域为 ),( ba ，其导函数 ),()( baxf 在 内的图象如图所示，则函 数 )(xf 在区间 ),( ba 内极小值点的个数是（ ） (A).1 (B).2 (C).3 (D).4 18. 【湛江市·文】函数 2 2 1ln)( xxxf  的图象大致是 A． B． C． D． 19. 【珠海·文】如图是二次函数 abxxxf  2)( 的部分图 象，则函数 )(ln)( xfxxg  的零点所在的区间是 （ ） A. ) 2 1, 4 1( B. )1, 2 1( C. )2,1( D. )3,2( 20. 定义在 R上的函数 )(xf 满足 (4) 1f  ． )(xf  为 )(xf 的导函 数，已知函数 )(xfy  的图象如右图所示.若两正数 ba, 满足 1)2(  baf ，则 2 2 b a   的取值范围是 （ ） x y 1x x4O2x 3x   x x x x y y y y O O O O x y O A． 1 1( , ) 3 2 B．  1( , ) 3, 2   C． 1( , 3) 2 D． ( , 3)  21. 已知函数 3 2( )f x ax bx cx   在点 0x 处取得极大值5， 其导函数 '( )y f x 的图象经过点 (1,0)， (2,0)，如图所 示.求： （Ⅰ） 0x 的值； （Ⅱ） , ,a b c的值.