高考数学复习 17-18版 附加题部分 第3章 选修4-1 第70课 直线与圆的位置关系

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高考数学复习 17-18版 附加题部分 第3章 选修4-1 第70课 直线与圆的位置关系

第70课 直线与圆的位置关系 ‎[最新考纲]‎ 内容 要求 A B C 圆的切线的判定与性质定理 ‎√‎ 圆周角定理,弦切角定理 ‎√‎ 相交弦定理,割线定理,切割线定理 ‎√‎ 圆内接四边形的判定与性质定理 ‎√‎ ‎1.圆周角与圆心角定理 ‎(1)圆心角定理:圆心角的度数等于其所对弧的度数.‎ ‎(2)圆周角定理:圆周角的度数等于其所对弧的度数的一半.‎ 推论1:同弧(或等弧)所对的圆周角相等.同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧相等.‎ 推论2:半圆(或直径)所对的圆周角等于90°.反之,90°的圆周角所对的弧为半圆(或弦为直径).‎ ‎2.圆的切线的性质及判定定理 ‎(1)判定定理:过半径外端且与这条半径垂直的直线是圆的切线.‎ ‎(2)性质定理:圆的切线垂直于经过切点的半径.‎ 推论1:经过圆心且与切线垂直的直线必经过切点.‎ 推论2:经过切点且与切线垂直的直线必经过圆心.‎ ‎3.切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线,切线长相等.‎ ‎4.弦切角定理 弦切角的度数等于其所夹弧的度数的一半.‎ ‎5.与圆有关的比例线段 定理 名称 基本图形 条件 结论 应用 相交 弦定 理 弦AB,CD相交于圆内点P ‎(1)PA·PB=PC·PD;‎ ‎(2)△ACP∽△BDP ‎(1)在PA,PB,PC,PD四线段中知三求一;‎ ‎(2)求弦长及角 割线 定理 PAB,PCD是⊙O的割线 ‎(1)PA·PB=PD·PC;‎ ‎(2)△PAC∽△PDB ‎(1)求线段PA,PB,PC,PD;‎ ‎(2)应用相似求AC,BD 切割 线定 理 PA切⊙O于A,PBC是⊙O的割线 ‎(1)PA2=PB·PC;‎ ‎(2)△PAB∽△PCA ‎(1)已知PA,PB,PC知二可求一;‎ ‎(2)求解AB,AC 切线 长定 理 PA,PB是⊙O的切线 ‎(1)PA=PB;‎ ‎(2)∠OPA=∠OPB ‎(1)证明线段相等,已知PA求PB;‎ ‎(2)求角 ‎6.圆内接四边形的性质与判定定理 ‎(1)性质定理:圆内接四边形的对角互补.‎ ‎(2)判定定理:如果四边形的对角互补,则此四边形内接于圆.‎ ‎1.(思考辨析)判断下列说法的正误(正确的打“√”,错误的打“×”).‎ ‎(1)相等的圆周角所对的弧也相等.(  )‎ ‎(2)任意一个四边形、三角形都有外接圆.(  )‎ ‎(3)等腰梯形一定有外接圆.(  )‎ ‎(4)弦切角所夹弧的度数等于弦切角的度数.(  )‎ ‎[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)×‎ ‎2.(教材改编)如图701,在圆O中,M,N是弦AB的三等分点,弦CD,CE分别经过点M,N,若CM=2,MD=4,CN=3,则线段NE的长为________.‎ 图701‎  [由题意可设AM=MN=NB=x,由圆的相交弦定理得 即 解得x=2,NE=.]‎ ‎3.(教材改编)如图702,P为⊙O外一点,过P作⊙O的两条切线,切点分别为A,B,过PA的中点Q作割线交⊙O于C,D两点,若QC=1,CD=3,则PB=________.‎ 图702‎ ‎4 [由切割线定理得QA2=QC·QD=1×(1+3)=4,‎ 所以QA=2,PB=PA=4.]‎ ‎4.(2016·天津高考)如图703,AB是圆的直径,弦CD与AB相交于点E,BE=2AE=2,BD=ED,则线段CE的长为________.‎ 图703‎  [如图,设圆心为O,连结OD,则OB=OD.‎ 因为AB是圆的直径,BE=2AE=2,所以AE=1,OB=.‎ 又BD=ED,∠B为△BOD与△BDE的公共底角,‎ 所以△BOD∽△BDE,所以=,‎ 所以BD2=BO·BE=3,所以BD=DE=.‎ 因为AE·BE=CE·DE,所以CE==.]‎ ‎5.如图704,AB是圆O的直径,C,D是圆O上位于AB异侧的两点,证明:∠OCB=∠D.‎ 图704‎ ‎[证明] 因为B,C是圆O上的两点,所以OB=OC,‎ 故∠OCB=∠B.‎ 又因为C,D是圆O上位于AB异侧的两点.‎ 故∠B,∠D为同弧所对的两个圆周角.‎ 所以∠B=∠D.因此∠OCB=∠D.‎ 圆的切线性质与判定、弦切角定理 ‎ 如图705,AB是⊙O的直径,AC是⊙O的切线,BC交⊙O于点E.‎ 图705‎ ‎(1)若D为AC的中点,证明:DE是⊙O的切线;‎ ‎(2)若OA=CE,求∠ACB的大小. 【导学号:62172366】‎ ‎[解] (1)证明:如图,连结AE,由已知得AE⊥BC,AC⊥AB.‎ 在Rt△AEC中,由已知得DE=DC,故∠DEC=∠DCE.‎ 连结OE,则∠OBE=∠OEB.‎ 又∠ACB+∠ABC=90°,‎ 所以∠DEC+∠OEB=90°,‎ 故∠OED=90°,即DE是⊙O的切线.‎ ‎(2)设CE=1,AE=x.‎ 由已知得AB=2,BE=.‎ 由射影定理可得AE2=CE·BE,‎ 即x2=,即x4+x2-12=0.‎ 解得x=,所以∠ACB=60°.‎ ‎[规律方法] 1.圆周角定理及其推论与弦切角定理及其推论多用于推出角的关系,从而证明三角形全等或相似,可求线段或角的大小.‎ ‎2.涉及圆的切线问题时要注意弦切角的转化;关于圆周上的点,常作直径(或半径)或向弦的(弧)两端作圆周角或弦切角.‎ ‎[变式训练1] 如图706,AB切⊙O于点B,直线AO交⊙O于D,E两点,BC⊥DE,垂足为C.‎ ‎(1)证明:∠CBD=∠DBA;‎ ‎(2)若AD=3DC,BC=,求⊙O的直径.‎ 图706‎ ‎[解] (1)证明:因为DE为⊙O直径,‎ 则∠BED+∠EDB=90°.‎ 又BC⊥DE,所以∠CBD+∠EDB=90°,‎ 从而∠CBD=∠BED.‎ 又AB切⊙O于点B,得∠DBA=∠BED,‎ 所以∠CBD=∠DBA.‎ ‎(2)由(1)知BD平分∠CBA,则==3.‎ 又BC=,从而AB=3,‎ 所以AC==4,所以AD=3.‎ 由切割线定理得AB2=AD·AE,‎ 即AE==6,‎ 故DE=AE-AD=3,即⊙O的直径为3.‎ 圆内接四边形及圆周角定理 ‎ (2016·全国卷Ⅱ)如图707,在正方形ABCD中,E,G分别在边DA,DC上(不与端点重合),且DE=DG,过D点作DF⊥CE,垂足为F.‎ ‎(1)证明:B,C,G,F四点共圆;‎ ‎(2)若AB=1,E为DA的中点,求四边形BCGF的面积.‎ 图707‎ ‎[解] (1)证明:因为DF⊥EC,‎ 所以△DEF∽△CDF,‎ 则有∠GDF=∠DEF=∠FCB,‎ ==,‎ 所以△DGF∽△CBF,‎ 由此可得∠DGF=∠CBF.‎ 因此∠CGF+∠CBF=180°,所以B,C,G,F四点共圆.‎ ‎(2)由B,C,G,F四点共圆,CG⊥CB知FG⊥FB.‎ 连结GB.由G为Rt△DFC斜边CD的中点,知GF=GC,故Rt△BCG≌Rt△BFG,因此,四边形BCGF的面积S是△GCB面积S△GCB的2倍,‎ 即S=2S△GCB=2×××1=.‎ ‎[规律方法] 1.判断四点共圆的步骤 ‎(1)观察几何图形,找到一对对角或一外角与其内对角;‎ ‎(2)判断四边形的一对对角的和是否为180°或判断四边形一外角与其内对角是否相等;‎ ‎(3)下结论.‎ ‎2.解决有关三角形与圆的试题,关键是正确处理角与边之间的关系,通过相应的条件与定理建立有关角之间或边之间的关系式,进而达到求解的目的.‎ ‎[变式训练2] (2017·苏州市期中)如图708,AB是圆O的直径,弦BD,CA的延长线相交于点E,过E作BA的延长线的垂线,垂足为F.求证:AB2=BE·BD-AE·AC.‎ 图708‎ ‎ [证明] 连结AD,BC,‎ ‎∵AB为圆的直径,‎ ‎∴∠ADB=90°,‎ 又EF⊥AB,∠AFE=90°,‎ 则A,D,E,F四点共圆,‎ ‎∴BD·BE=BA·BF,‎ 又△ABC∽△AEF,‎ ‎∴=,即AB·AF=AE·AC.‎ ‎∴BE·BD-AE·AC=BA·BF-AB·AF=AB·(BF-AF)=AB2.‎ 即AB2=BE·BD-AE·AC.‎ 与圆有关的比例线段 ‎ 如图709,正方形ABCD的边长为2,以A为圆心,DA为半径的圆弧与以BC为直径的半圆O交于点F,连结BF并延长交CD于点E.‎ ‎(1)求证:E为CD的中点;‎ ‎(2)求EF·FB的值. 【导学号:62172367】‎ 图709‎ ‎[解] (1)证明:由题可知是以A为圆心,DA为半径作的圆弧,而四边形ABCD为正方形,‎ ‎∴ED为圆A的切线,‎ 依据切割线定理得ED2=EF·EB,‎ 又圆O以BC为直径,∴EC是圆O的切线,‎ 同样依据切割线定理得EC2=EF·EB,‎ 故EC=ED,‎ ‎∴E为CD的中点.‎ ‎(2)连结CF,‎ ‎∵BC为圆O的直径,‎ ‎∴CF⊥BF,‎ 由S△BCE=BC×CE=BE×CF,‎ 得CF==.‎ 在Rt△BCE中,由射影定理得 EF·FB=CF2=.‎ ‎[规律方法] 解决与圆有关的成比例线段问题的两种思路:‎ ‎1.直接应用相交弦、切割线定理及其推论.‎ ‎2.当比例式(等积式)中的线段分别在两个三角形中时,可转化为证明三角形相似,一般思路为“相似三角形→比例式→等积式”.在证明中有时还要借助中间比来代换,解题时应灵活把握.‎ ‎[变式训练3] 如图7010,P是⊙O外一点,PA是切线,A为切点,割线PBC与⊙O相交于点B,C,PC=2PA,D为PC的中点,AD的延长线交⊙O于点E.‎ 证明:(1)BE=EC;‎ ‎(2)AD·DE=2PB2.‎ 图7010‎ ‎[证明] (1)连结AB,AC,由题设知PA=PD,故∠PAD=∠PDA.‎ 因为∠PDA=∠DAC+∠DCA,∠PAD=∠BAD+∠PAB,∠DCA=∠PAB,‎ 所以∠DAC=∠BAE,‎ 从而=.因此BE=EC.‎ ‎(2)由切割线定理得PA2=PB·PC.‎ 因为PA=PD=DC,所以DC=2PB,BD=PB.‎ 由相交弦定理得AD·DE=BD·DC,‎ 所以AD·DE=2PB2.‎ ‎[思想与方法]‎ ‎1.切点与圆心的连线与圆的切线垂直;过切点且与圆的切线垂直的直线过圆心.‎ ‎2.证明四点共圆的主要方法 ‎(1)圆内接四边形的判定定理.‎ ‎(2)圆内接四边形判定定理的推论.‎ ‎3.弦切角定理与圆周角定理是证明角相等的重要依据,解题时应根据需要添加辅助线构造所需要的角.‎ ‎[易错与防范]‎ ‎1.圆内接四边形的性质易得到相等的角,进而为得到三角形相似创造了条件.‎ ‎2.与圆有关的比例线段紧紧抓住两点:(1)切割线定理、相交弦定理;(2)利用圆内接四边形性质和三角形相似.‎ 课时分层训练(十四)‎ A组 基础达标 ‎(建议用时:30分钟)‎ ‎1.如图7011,在△ABC中,AB=AC,△ABC的外接圆⊙O的弦AE交BC于点D.‎ 图7011‎ 求证:△ABD∽△AEB.‎ ‎[证明] 因为AB=AC.‎ 所以∠ABD=∠C.‎ 又⊙O是三角形ABC的外接圆,‎ 所以∠E=∠C,从而∠ABD=∠E.‎ 又∠BAE=∠BAD.‎ 故△ABD∽△AEB.‎ ‎2.(2017·泰州模拟)如图7012,AB和BC分别与圆O相切于点D,C,AC经过圆心O,且BC=2OC.‎ 图7012‎ 求证:AC=2AD. 【导学号:62172368】‎ ‎[证明] 连结OD.因为AB和BC分别与圆O相切于点D,C,‎ 所以∠ADO=∠ACB=90°.‎ 又因为∠A=∠A,‎ 所以Rt△ADO∽Rt△ACB,‎ 所以=.‎ 又BC=2OC=2OD,‎ 故AC=2AD.‎ ‎3.如图7013,圆O的弦AB,CD相交于点E,过点A作圆O的切线与DC的延长线交于点P,若PA=6,AE=9,PC=3,CE∶ED=2∶1,求BE的长.‎ 图7013‎ ‎[解] 由切割线定理,得PA2=PC·PD.‎ 因此PD===12.‎ 又PC=3,所以CD=PD-PC=9.‎ 由于CE∶ED=2∶1,‎ 因此CE=6,ED=3.‎ 由相交弦定理,AE·EB=CE·ED,‎ 所以BE===2.‎ ‎4.如图7014,在⊙O中,相交于点E的两弦AB,CD的中点分别是M,N,直线MO与直线CD相交于点F.证明:‎ 图7014‎ ‎(1)∠MEN+∠NOM=180°;‎ ‎(2)FE·FN=FM·FO. 【导学号:62172369】‎ ‎[证明] (1)如图所示,因为点M,N分别是弦AB,CD的中点,‎ 所以OM⊥AB,ON⊥CD,‎ 则∠OME=90°,∠ENO=90°,‎ 因此∠OME+∠ONE=180°.‎ 又四边形的内角和等于360°,‎ 故∠MEN+∠NOM=180°.‎ ‎(2)由(1)知,点O,M,E,N四点共圆.‎ 由割线定理,得FE·FN=FM·FO.‎ B组 能力提升 ‎(建议用时:15分钟)‎ ‎1.如图7015,设AB为⊙O的任一条不与直线l垂直的直径,P是⊙O与l的公共点,AC⊥l,BD⊥l,垂足分别为C,D,且PC=PD.‎ 图7015‎ ‎(1)求证:l是⊙O的切线;‎ ‎(2)若⊙O的半径OA=5,AC=4,求CD的长.‎ ‎[解] (1)证明:连结OP,∵AC⊥l,BD⊥l,‎ ‎∴AC∥BD.‎ 又OA=OB,PC=PD,‎ ‎∴OP∥BD,从而OP⊥l.‎ ‎∵点P在⊙O上,‎ ‎∴l是⊙O的切线.‎ ‎(2)由(1)可得OP=(AC+BD),‎ ‎∴BD=2OP-AC=10-4=6.‎ 过点A作AE⊥BD,垂足为E,则 BE=BD-AC=6-4=2.‎ ‎∴在Rt△ABE中,AE===4,‎ ‎∴CD=4.‎ ‎2.(2016·全国卷Ⅰ)如图7016,△OAB是等腰三角形,∠AOB=120°,以O为圆心,OA为半径作圆.‎ 图7016‎ ‎(1)证明:直线AB与⊙O相切;‎ ‎(2)点C,D在⊙O上,且A,B,C,D四点共圆,证明:AB∥CD.‎ ‎[证明] (1)设E是AB的中点,连结OE.‎ 因为OA=OB,∠AOB=120°,‎ 所以OE⊥AB,∠AOE=60°.‎ 在Rt△AOE中,OE=AO,即O到直线AB的距离等于⊙O的半径,所以直线AB与⊙O相切.‎ ‎(2)因为OA=2OD,‎ 所以O不是A,B,C,D四点所在圆的圆心.‎ 设O′是A,B,C,D四点所在圆的圆心,作直线OO′.‎ 由已知得O在线段AB的垂直平分线上,‎ 又O′在线段AB的垂直平分线上,所以OO′⊥AB.‎ 同理可证,OO′⊥CD,所以AB∥CD.‎ ‎3.如图7017,圆内接四边形ABCD的边BC与AD的延长线交于点E,点F在BA的延长线上.‎ 图7017‎ ‎(1)若EF∥CD,证明:EF2=FA·FB;‎ ‎(2)若EB=3EC,EA=2ED,求的值.‎ ‎[解] (1)证明:因为四边形ABCD内接于圆,所以∠B=∠CDE.‎ 又EF∥CD,所以∠CDE=∠FEA,‎ 因此,∠B=∠FEA.‎ 而∠F为公共角,‎ 所以△FAE∽△FEB,‎ 于是,=,即EF2=FA·FB.‎ ‎(2)由割线定理,得ED·EA=EC·EB,即ED·2ED=EC·3EC,‎ 所以=,即=.‎ 因为∠B=∠CDE,∠CED是公共角,所以△ECD∽△EAB,‎ 于是,===·=.‎ ‎4.(2016·全国卷Ⅲ)如图7018,⊙O中的中点为P,弦PC,PD分别交AB于E,F两点.‎ 图7018‎ ‎(1)若∠PFB=2∠PCD,求∠PCD的大小;‎ ‎(2)若EC的垂直平分线与FD的垂直平分线交于点G,证明OG⊥CD.‎ ‎[解] (1)如图,连结PB,BC,‎ 则∠BFD=∠PBA+∠BPD,‎ ‎∠PCD=∠PCB+∠BCD.‎ 因为=,‎ 所以∠PBA=∠PCB.‎ 又∠BPD=∠BCD,‎ 所以∠BFD=∠PCD.‎ 又∠PFB+∠BFD=180°,∠PFB=2∠PCD,‎ 所以3∠PCD=180°,‎ 因此∠PCD=60°.‎ ‎(2)证明:因为∠PCD=∠BFD,‎ 所以∠EFD+∠PCD=180°,‎ 由此知C,D,F,E四点共圆,其圆心既在CE的垂直平分线上,又在DF的垂直平分线上,‎ 故G就是过C,D,F,E四点的圆的圆心,‎ 所以G在CD的垂直平分线上.‎ 又O也在CD的垂直平分线上,因此OG⊥CD.‎
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