辽宁省大连市高考数学一模试卷理科解析

辽宁省大连市高考数学一模试卷理科解析

‎2017年辽宁省大连市高考数学一模试卷（理科）‎ ‎　‎ 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．已知复数z=1+2i，则=（　　）‎ A．5 B．5+4i C．﹣3 D．3﹣4i ‎2．已知集合A={x|x2﹣2x﹣3＜0}，，则A∩B=（　　）‎ A．{x|1＜x＜3} B．{x|﹣1＜x＜3}‎ C．{x|﹣1＜x＜0或0＜x＜3} D．{x|﹣1＜x＜0或1＜x＜3}‎ ‎3．设a，b均为实数，则“a＞|b|”是“a3＞b3”的（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎4．若点P为抛物线上的动点，F为抛物线C的焦点，则|PF|的最小值为（　　）‎ A．2 B． C． D．‎ ‎5．已知数列{an}满足an+1﹣an=2，a1=﹣5，则|a1|+|a2|+…+|a6|=（　　）‎ A．9 B．15 C．18 D．30‎ ‎6．在平面内的动点（x，y）满足不等式，则z=2x+y的最大值是（　　）‎ A．6 B．4 C．2 D．0‎ ‎7．某几何体的三视图如图所示，则其体积为（　　）‎ A．4 B． C． D．‎ ‎8．将一枚硬币连续抛掷n次，若使得至少有一次正面向上的概率不小于，则n的最小值为（　　）‎ A．4 B．5 C．6 D．7‎ ‎9．运行如图所示的程序框图，则输出结果为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎10．若方程在上有两个不相等的实数解x1，x2，则x1+x2=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎11．已知向量，，（m＞0，n＞0），若m+n∈[1，2]，则的取值范围是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎12．已知定义在R上的函数f（x）=ex+mx2﹣m（m＞0），当x1+x2=1时，不等式f（x1）+f（0）＞f（x2）+f（1）恒成立，则实数x1的取值范围是（　　）‎ A．（﹣∞，0） B． C． D．（1，+∞）‎ ‎　‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13．现将5张连号的电影票分给甲乙等5个人，每人一张，且甲乙分得的电影票连号，则共有　　种不同的分法（用数字作答）．‎ ‎14．函数f（x）=ex•sinx在点（0，f（0））处的切线方程是　　．‎ ‎15．我国古代数学专著《孙子算法》中有“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”如果此物数量在100至200之间，那么这个数　　．‎ ‎16．过双曲线的焦点F且与一条渐近线垂直的直线与两条渐近线相交于A，B两点，若，则双曲线的离心率为　　．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）‎ ‎17．已知点，Q（cosx，sinx），O为坐标原点，函数．‎ ‎（1）求函数f（x）的最小值及此时x的值；‎ ‎（2）若A为△ABC的内角，f（A）=4，BC=3，求△ABC的周长的最大值．‎ ‎18．某手机厂商推出一次智能手机，现对500名该手机使用者进行调查，对手机进行打分，打分的频数分布表如下：‎ 女性用户 分值区间 ‎[50，60）‎ ‎[60，70）‎ ‎[70，80）‎ ‎[80，90）‎ ‎[90，100）‎ 频数 ‎20‎ ‎40‎ ‎80‎ ‎50‎ ‎10‎ 男性用户 分值区间 ‎[50，60）‎ ‎[60，70）‎ ‎[70，80）‎ ‎[80，90）‎ ‎[90，100）‎ 频数 ‎45‎ ‎75‎ ‎90‎ ‎60‎ ‎30‎ ‎（1）完成下列频率分布直方图，并比较女性用户和男性用户评分的方差大小（不计算具体值，给出结论即可）；‎ ‎（2）根据评分的不同，运用分层抽样从男性用户中抽取20名用户，在这20名用户中，从评分不低于80分的用户中任意取3名用户，求3名用户评分小于90分的人数的分布列和期望．‎ ‎19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥底面ABCD，AD=AP，E为棱PD中点．‎ ‎（1）求证：PD⊥平面ABE；‎ ‎（2）若F为AB中点，，试确定λ的值，使二面角P﹣FM﹣B的余弦值为．‎ ‎20．已知点P是长轴长为的椭圆Q：上异于顶点的一个动点，O为坐标原点，A为椭圆的右顶点，点M为线段PA的中点，且直线PA与OM的斜率之积恒为．‎ ‎（1）求椭圆Q的方程；‎ ‎（2）设过左焦点F1且不与坐标轴垂直的直线l交椭圆于C，D两点，线段CD的垂直平分线与x轴交于点G，点G横坐标的取值范围是，求|CD|的最小值．‎ ‎21．已知函数f（x）=（x﹣2）ex+a（x+2）2（x＞0）．‎ ‎（1）若f（x）是（0，+∞）的单调递增函数，求实数a的取值范围；‎ ‎（2）当时，求证：函数f（x）有最小值，并求函数f（x）最小值的取值范围．‎ ‎　‎ ‎[选修4-4：坐标系与参数方程]‎ ‎22．已知在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρ=4cosθ，直线l的参数方程为（t为参数）．‎ ‎（1）求曲线C1的直角坐标方程及直线l的普通方程；‎ ‎（2）若曲线C2的参数方程为（α为参数），曲线C1上点P的极角为，Q为曲线C2上的动点，求PQ的中点M到直线l距离的最大值．‎ ‎　‎ ‎[选修4-5：不等式选讲]‎ ‎23．已知a＞0，b＞0，函数f（x）=|x+a|+|2x﹣b|的最小值为1．‎ ‎（1）求证：2a+b=2；‎ ‎（2）若a+2b≥tab恒成立，求实数t的最大值．‎ ‎　‎ ‎2017年辽宁省大连市高考数学一模试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．已知复数z=1+2i，则=（　　）‎ A．5 B．5+4i C．﹣3 D．3﹣4i ‎【考点】复数代数形式的乘除运算．‎ ‎【分析】由已知直接利用求解．‎ ‎【解答】解：∵z=1+2i，∴=|z|2=．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎2．已知集合A={x|x2﹣2x﹣3＜0}，，则A∩B=（　　）‎ A．{x|1＜x＜3} B．{x|﹣1＜x＜3}‎ C．{x|﹣1＜x＜0或0＜x＜3} D．{x|﹣1＜x＜0或1＜x＜3}‎ ‎【考点】交集及其运算．‎ ‎【分析】先分别求出集合A，B，由此利用交集定义能求出A∩B．‎ ‎【解答】解：∵集合A={x|x2﹣2x﹣3＜0}={x|﹣1＜x＜3}，‎ ‎={x|x＜0或x＞1}，‎ ‎∴A∩B={x|﹣1＜x＜0或1＜x＜3}．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎3．设a，b均为实数，则“a＞|b|”是“a3＞b3”的（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．‎ ‎【分析】根据充分必要条件的定义判断即可．‎ ‎【解答】解：由a＞|b|”能推出“a3＞b3”，是充分条件，‎ 反之，不成立，比如a=1，b=﹣2，不是必要条件，‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎4．若点P为抛物线上的动点，F为抛物线C的焦点，则|PF|的最小值为（　　）‎ A．2 B． C． D．‎ ‎【考点】抛物线的简单性质．‎ ‎【分析】利用抛物线的性质直接求解即可．‎ ‎【解答】解：点P为抛物线上的动点，F为抛物线C的焦点，则|PF|的最小值为：．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎5．已知数列{an}满足an+1﹣an=2，a1=﹣5，则|a1|+|a2|+…+|a6|=（　　）‎ A．9 B．15 C．18 D．30‎ ‎【考点】数列的求和．‎ ‎【分析】利用等差数列的通项公式与求和公式可得an，Sn，对n分类讨论即可得出．‎ ‎【解答】解：∵an+1﹣an=2，a1=﹣5，∴数列{an}是公差为2的等差数列．‎ ‎∴an=﹣5+2（n﹣1）=2n﹣7．‎ 数列{an}的前n项和Sn==n2﹣6n．‎ 令an=2n﹣7≥0，解得．‎ ‎∴n≤3时，|an|=﹣an．‎ n≥4时，|an|=an．‎ 则|a1|+|a2|+…+|a6|=﹣a1﹣a2﹣a3+a4+a5+a6=S6﹣2S3=62﹣6×6﹣2（32﹣6×3）=18．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎6．在平面内的动点（x，y）满足不等式，则z=2x+y的最大值是（　　）‎ A．6 B．4 C．2 D．0‎ ‎【考点】简单线性规划．‎ ‎【分析】根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，只需求出直线z=x+y的最优解，然后求解z最大值即可．‎ ‎【解答】解：根据不等式，画出可行域，‎ 由，可得x=3，y=0‎ 平移直线2x+y=0，∴当直线z=2x+y过点A（3，0）时，z最大值为6．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎7．某几何体的三视图如图所示，则其体积为（　　）‎ A．4 B． C． D．‎ ‎【考点】由三视图求面积、体积．‎ ‎【分析】通过三视图复原的几何体是正四棱锥，结合三视图的数据，求出几何体的体积．‎ ‎【解答】解：由题意三视图可知，几何体是正四棱锥，‎ 底面边长为2的正方形，一条侧棱垂直正方形的一个顶点，长度为2，‎ 所以四棱锥的体积．‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎8．将一枚硬币连续抛掷n次，若使得至少有一次正面向上的概率不小于，则n的最小值为（　　）‎ A．4 B．5 C．6 D．7‎ ‎【考点】n次独立重复试验中恰好发生k次的概率．‎ ‎【分析】由题意，1﹣≥，即可求出n的最小值．‎ ‎【解答】解：由题意，1﹣≥，∴n≥4，‎ ‎∴n的最小值为4，‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎9．运行如图所示的程序框图，则输出结果为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】程序框图．‎ ‎【分析】由程序框图知，程序运行的功能是 用二分法求函数f（x）=x2﹣2在区间[1，2]上的零点，且精确到0.3；‎ 模拟运行过程，即可得出结果．‎ ‎【解答】解：由程序框图知，程序运行的功能是 用二分法求函数f（x）=x2﹣2在区间[1，2]上的零点，且精确到0.3；‎ 模拟如下；‎ m==时，f（1）•f（）=（﹣1）×＜0，‎ b=，|a﹣b|=≥d；‎ m==时，f（1）•f（）=（﹣1）×（﹣）＞0，‎ a=，|a﹣b|=＜d；‎ 程序运行终止，输出m=．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎10．若方程在上有两个不相等的实数解x1，x2，则x1+x2=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】正弦函数的对称性．‎ ‎【分析】由题意可得2x+∈[，]，根据题意可得 =，由此求得x1+x2 值．‎ ‎【解答】解：∵x∈[0，]，∴2x+∈[，]，‎ 方程在上有两个不相等的实数解x1，x2，‎ ‎∴=，‎ 则x1+x2=，‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎11．已知向量，，（m＞0，n＞0），若m+n∈[1，2]，则的取值范围是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】简单线性规划；简单线性规划的应用；平面向量数量积的运算．‎ ‎【分析】根据题意，由向量的坐标运算公式可得=（3m+n，m﹣3n），再由向量模的计算公式可得=，可以令t=，将m+n∈[1，2]的关系在直角坐标系表示出来，分析可得t=表示区域中任意一点与原点（0，0）的距离，进而可得t的取值范围，又由=t，分析可得答案．‎ ‎【解答】解：根据题意，向量，，‎ ‎=（3m+n，m﹣3n），‎ 则==，‎ 令t=，则=t，‎ 而m+n∈[1，2]，即1≤m+n≤2，在直角坐标系表示如图，‎ t=表示区域中任意一点与原点（0，0）的距离，‎ 分析可得：≤t≤2，‎ 又由=t，‎ 故≤≤2；‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎12．已知定义在R上的函数f（x）=ex+mx2﹣m（m＞0），当x1+x2=1时，不等式f（x1）+f（0）＞f（x2）+f（1）恒成立，则实数x1的取值范围是（　　）‎ A．（﹣∞，0） B． C． D．（1，+∞）‎ ‎【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用．‎ ‎【分析】通过变形可知问题转化为不等式f（x1）﹣f（1﹣x1）＞f（1）﹣f（1﹣1）恒成立，设g（x）=f（x）﹣f（1﹣x）并求导可知g（x）在R上单调递增，利用单调性即得结论．‎ ‎【解答】解：∵不等式f（x1）+f（0）＞f（x2）+f（1）恒成立，‎ ‎∴不等式f（x1）﹣f（x2）＞f（1）﹣f（0）恒成立，‎ 又∵x1+x2=1，‎ ‎∴不等式f（x1）﹣f（1﹣x1）＞f（1）﹣f（1﹣1）恒成立，‎ 设g（x）=f（x）﹣f（1﹣x），‎ ‎∵f（x）=ex+mx2﹣m（m＞0），‎ ‎∴g（x）=ex﹣e1﹣x+m（2x﹣1），‎ 则g′（x）=ex+e1﹣x+2m＞0，∴g（x）在R上单调递增，‎ ‎∴不等式g（x1）＞g（1）恒成立，‎ ‎∴x1＞1，‎ 故选：D．‎ ‎　‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13．现将5张连号的电影票分给甲乙等5个人，每人一张，且甲乙分得的电影票连号，则共有　48　种不同的分法（用数字作答）．‎ ‎【考点】排列、组合的实际应用．‎ ‎【分析】甲乙分得的电影票连号，有4×2=8种情况，其余3人，有=6种情况，即可得出结论．‎ ‎【解答】解：甲乙分得的电影票连号，有4×2=8种情况，其余3人，有=6种情况，‎ ‎∴共有8×6=48种不同的分法．‎ 故答案为48．‎ ‎　‎ ‎14．函数f（x）=ex•sinx在点（0，f（0））处的切线方程是　y=x　．‎ ‎【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．‎ ‎【分析】先求出f′（x），欲求出切线方程，只须求出其斜率即可，故先利用导数求出在x=0处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决．‎ ‎【解答】解：∵f（x）=ex•sinx，f′（x）=ex（sinx+cosx），‎ f′（0）=1，f（0）=0，‎ ‎∴函数f（x）的图象在点A（0，0）处的切线方程为 y﹣0=1×（x﹣0），‎ 即y=x．‎ 故答案为：y=x．‎ ‎　‎ ‎15．我国古代数学专著《孙子算法》中有“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”如果此物数量在100至200之间，那么这个数　128　．‎ ‎【考点】数列的应用．‎ ‎【分析】根据“三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二”找到三个数：第一个数能同时被3和5整除；第二个数能同时被3和7整除；第三个数能同时被5和7整除，将这三个数分别乘以被7、5、3除的余数再相加即可求出答案．‎ ‎【解答】解：我们首先需要先求出三个数：‎ 第一个数能同时被3和5整除，但除以7余1，即15；‎ 第二个数能同时被3和7整除，但除以5余1，即21；‎ 第三个数能同时被5和7整除，但除以3余1，即70；‎ 然后将这三个数分别乘以被7、5、3除的余数再相加，即：15×2+21×3+70×2=233．‎ 最后，再减去3、5、7最小公倍数的整数倍，可得：233﹣105×2=23．或105k+23（k为正整数）．‎ 由于物数量在100至200之间，故当k=1时，105+23=128‎ 故答案为：128‎ ‎　‎ ‎16．过双曲线的焦点F且与一条渐近线垂直的直线与两条渐近线相交于A，B两点，若，则双曲线的离心率为　　．‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】求出双曲线的渐近线方程，设出过右焦点且与第一三象限的渐近线垂直的直线方程，与双曲线的渐近线方程联立把A，B表示出来，再由，求出a，b，c的关系，然后求双曲线的离心率．‎ ‎【解答】解：双曲线的渐近线方程为y=±x，‎ 设焦点F（c，0），与y=x垂直的直线为y=﹣（x﹣c），‎ 由可得A（，）；‎ 由可得B（，﹣），‎ 再由，可得0﹣（﹣）=2（﹣0），‎ 化为a2=3b2=3（c2﹣a2），‎ 即为3c2=4a2，‎ 则e==．‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）‎ ‎17．已知点，Q（cosx，sinx），O为坐标原点，函数．‎ ‎（1）求函数f（x）的最小值及此时x的值；‎ ‎（2）若A为△ABC的内角，f（A）=4，BC=3，求△ABC的周长的最大值．‎ ‎【考点】平面向量数量积的运算；基本不等式在最值问题中的应用；余弦定理的应用．‎ ‎【分析】（1）利用向量的数量积以及两角和与差的三角函数化简函数的解析式，然后求解最值．‎ ‎（2）利用函数的解析式求解A，然后利用余弦定理求解即可，得到bc的范围，然后利用基本不等式求解最值．‎ ‎【解答】解：（1）∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴当时，f（x）取得最小值2．‎ ‎（2）∵f（A）=4，∴，‎ 又∵BC=3，∴，‎ ‎∴9=（b+c）2﹣bc．，‎ ‎∴，‎ ‎∴，当且仅当b=c取等号，‎ ‎∴三角形周长最大值为．‎ ‎　‎ ‎18．某手机厂商推出一次智能手机，现对500名该手机使用者进行调查，对手机进行打分，打分的频数分布表如下：‎ 女性用户 分值区间 ‎[50，60）‎ ‎[60，70）‎ ‎[70，80）‎ ‎[80，90）‎ ‎[90，100）‎ 频数 ‎20‎ ‎40‎ ‎80‎ ‎50‎ ‎10‎ 男性用户 分值区间 ‎[50，60）‎ ‎[60，70）‎ ‎[70，80）‎ ‎[80，90）‎ ‎[90，100）‎ 频数 ‎45‎ ‎75‎ ‎90‎ ‎60‎ ‎30‎ ‎（1）完成下列频率分布直方图，并比较女性用户和男性用户评分的方差大小（不计算具体值，给出结论即可）；‎ ‎（2）根据评分的不同，运用分层抽样从男性用户中抽取20名用户，在这20名用户中，从评分不低于80分的用户中任意取3名用户，求3名用户评分小于90分的人数的分布列和期望．‎ ‎【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．‎ ‎【分析】（Ⅰ）求出女性用户和男性用户的频率分布直方图，由图可得女性用户的波动小，男性用户的波动大．‎ ‎（Ⅱ）运用分层抽样从男性用户中抽取20名用户，评分不低于80分有6人，其中评分小于90分的人数为4，从6人人任取3人，记评分小于90分的人数为X，则X取值为1，2，3，分别求出相应在的概率，由此能求出X的分布列和数学期望．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）女性用户和男性用户的频率分布直方图分别如下左、右图：‎ 由图可得女性用户的波动小，男性用户的波动大．‎ ‎（Ⅱ）运用分层抽样从男性用户中抽取20名用户，评分不低于80分有6人，‎ 其中评分小于90分的人数为4，从6人人任取3人，‎ 记评分小于90分的人数为X，则X取值为1，2，3，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎．‎ 所以X的分布列为 X ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P 或．‎ ‎　‎ ‎19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥底面ABCD，AD=AP，E为棱PD中点．‎ ‎（1）求证：PD⊥平面ABE；‎ ‎（2）若F为AB中点，，试确定λ的值，使二面角P﹣FM﹣B的余弦值为．‎ ‎【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．‎ ‎【分析】（I）证明AB⊥平面PAD，推出AB⊥PD，AE⊥PD，AE∩AB=A，即可证明PD⊥平面ABE．‎ ‎（II） 以A为原点，以 为x，y，z轴正方向，建立空间直角坐标系A﹣BDP，求出相关点的坐标，平面PFM的法向量，平面BFM的法向量，利用空间向量的数量积求解即可．‎ ‎【解答】解：（I）证明：∵PA⊥底面ABCD，AB⊂底面ABCD，∴PA⊥AB，‎ 又∵底面ABCD为矩形，∴AB⊥AD，PA∩AD=A，PA⊂平面PAD，AD⊂平面PAD，‎ ‎∴AB⊥平面PAD，又PD⊂平面PAD，∴AB⊥PD，AD=AP，E为PD中点，∴AE⊥PD，AE∩AB=A，AE⊂平面ABE，AB⊂平面ABE，∴PD⊥平面ABE．‎ ‎（II） 以A为原点，以为x，y，z轴正方向，建立空间直角坐标系A﹣BDP，令|AB|=2，‎ 则A（0，0，0），B（2，0，0），P（0，0，2），C（2，2，0），E（0，1，1），F（1，0，0），，，，M（2λ，2λ，2﹣2λ）‎ 设平面PFM的法向量，，即，‎ 设平面BFM的法向量，，‎ 即， ，解得．‎ ‎　‎ ‎20．已知点P是长轴长为的椭圆Q：‎ 上异于顶点的一个动点，O为坐标原点，A为椭圆的右顶点，点M为线段PA的中点，且直线PA与OM的斜率之积恒为．‎ ‎（1）求椭圆Q的方程；‎ ‎（2）设过左焦点F1且不与坐标轴垂直的直线l交椭圆于C，D两点，线段CD的垂直平分线与x轴交于点G，点G横坐标的取值范围是，求|CD|的最小值．‎ ‎【考点】圆锥曲线的最值问题；椭圆的标准方程．‎ ‎【分析】（1）利用椭圆Q的长轴长为，求出．设P（x0，y0），通过直线PA与OM的斜率之积恒为，化简求出b，即可得到椭圆方程．‎ ‎（2）设直线l方程为y=k（x+1）（k≠0），代入有（1+2k2）x2+4k2x+2k2﹣2=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），AB中点N（x0，y0），利用韦达定理求出CD的垂直平分线方程，推出，利用弦长公式化简，推出|CD|的最小值．‎ ‎【解答】解：（1）∵椭圆Q的长轴长为，∴．‎ 设P（x0，y0），‎ ‎∵直线PA与OM的斜率之积恒为，∴，‎ ‎∴，∴b=1，‎ 故椭圆的方程为．‎ ‎（2）设直线l方程为y=k（x+1）（k≠0），代入有（1+2k2）x2+4k2x+2k2﹣2=0，‎ 设A（x1，y1），B（x2，y2），AB中点N（x0，y0），‎ ‎∴．‎ ‎∴‎ ‎∴CD的垂直平分线方程为，‎ 令y=0，得 ‎∵，∴，∴． =，．‎ ‎　‎ ‎21．已知函数f（x）=（x﹣2）ex+a（x+2）2（x＞0）．‎ ‎（1）若f（x）是（0，+∞）的单调递增函数，求实数a的取值范围；‎ ‎（2）当时，求证：函数f（x）有最小值，并求函数f（x）最小值的取值范围．‎ ‎【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究函数的单调性．‎ ‎【分析】（1）求出函数的导数f'（x）=ex+（x﹣2）ex+2ax+4a，通过f'（x）≥0在（0，+∞）上恒成立．得到，构造函数，利用导函数的单调性以及最值求解即可．‎ ‎（2）通过[f'（x）]′=x•ex+2a＞0，数码y=f'（x）在（0，+∞）上单调递增，利用零点判定定理说明存在t∈（0，1）使f'（t）=0，判断x=t，，推出．即在t∈（0，+∞）上单调递减，通过求解函数的最值，求解f（x）的最小值的取值范围．‎ ‎【解答】解：（1）f'（x）=ex+（x﹣2）ex+2ax+4a，‎ ‎∵函数f（x）在区间（0，+∞）上单调递增，∴f'（x）≥0在（0，+∞）上恒成立．‎ ‎∴ex+（x﹣2）ex+2ax+4a≥0，∴，‎ 令，，‎ ‎∴，∴．‎ ‎（2）[f'（x）]′=x•ex+2a＞0，‎ ‎∴y=f'（x）在（0，+∞）上单调递增又f'（0）=4a﹣1＜0，f'（1）=6a＞0，‎ ‎∴存在t∈（0，1）使f'（t）=0‎ ‎∴x∈（0，t）时，f'（x）＜0，x∈（t，+∞）时，f'（x）＞0，‎ 当x=t时，且有f'（t）=et•（t﹣1）+2a（t+2）=0，‎ ‎∴．‎ 由（1）知在t∈（0，+∞）上单调递减，，且，‎ ‎∴t∈（0，1）．‎ ‎∴，，‎ ‎∴f（1）＜f（t）＜f（0），﹣e＜f（t）＜﹣1，‎ ‎∴f（x）的最小值的取值范围是（﹣e，﹣1）．‎ ‎　‎ ‎[选修4-4：坐标系与参数方程]‎ ‎22．已知在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρ=4cosθ，直线l的参数方程为（t为参数）．‎ ‎（1）求曲线C1的直角坐标方程及直线l的普通方程；‎ ‎（2）若曲线C2的参数方程为（α为参数），曲线C1上点P的极角为 ‎，Q为曲线C2上的动点，求PQ的中点M到直线l距离的最大值．‎ ‎【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．‎ ‎【分析】（1）曲线C1的极坐标方程为ρ=4cosθ，即ρ2=4ρcosθ，可得直角坐标方程．直线l的参数方程为（t为参数），消去参数t可得普通方程．‎ ‎（2），直角坐标为（2，2），，利用点到直线的距离公式及其三角函数的单调性可得最大值．‎ ‎【解答】解：（1）曲线C1的极坐标方程为ρ=4cosθ，即ρ2=4ρcosθ，‎ 可得直角坐标方程：．‎ 直线l的参数方程为（t为参数），‎ 消去参数t可得普通方程：x+2y﹣3=0．‎ ‎（2），直角坐标为（2，2），，‎ ‎∴M到l的距离≤，‎ 从而最大值为．‎ ‎　‎ ‎[选修4-5：不等式选讲]‎ ‎23．已知a＞0，b＞0，函数f（x）=|x+a|+|2x﹣b|的最小值为1．‎ ‎（1）求证：2a+b=2；‎ ‎（2）若a+2b≥tab恒成立，求实数t的最大值．‎ ‎【考点】函数恒成立问题；绝对值不等式的解法．‎ ‎【分析】（1）法一：根据绝对值的性质求出f（x）的最小值，得到x=‎ 时取等号，证明结论即可；法二：根据f（x）的分段函数的形式，求出f（x）的最小值，证明即可；‎ ‎（2）法一，二：问题转化为≥t恒成立，根据基本不等式的性质求出的最小值，从而求出t的范围即可；法三：根据二次函数的性质判断即可．‎ ‎【解答】解：（1）法一：f（x）=|x+a|+|2x﹣b|=|x+a|+|x﹣|+|x﹣|，‎ ‎∵|x+a|+|x﹣|≥|（x+a）﹣（x﹣）|=a+且|x﹣|≥0，‎ ‎∴f（x）≥a+，当x=时取等号，即f（x）的最小值为a+，‎ ‎∴a+=1，2a+b=2；‎ 法二：∵﹣a＜，∴f（x）=|x+a|+|2x﹣b|=，‎ 显然f（x）在（﹣∞，]上单调递减，f（x）在[，+∞）上单调递增，‎ ‎∴f（x）的最小值为f（）=a+，‎ ‎∴a+=1，2a+b=2．‎ ‎（2）方法一：∵a+2b≥tab恒成立，∴≥t恒成立，‎ ‎=+=（+）（2a+b ）•=（1+4++），‎ 当a=b=时，取得最小值，‎ ‎∴≥t，即实数t的最大值为；‎ 方法二：∵a+2b≥tab恒成立，‎ ‎∴≥t恒成立，‎ t≤=+恒成立，‎ ‎+=+≥=，‎ ‎∴≥t，即实数t的最大值为；‎ 方法三：∵a+2b≥tab恒成立，‎ ‎∴a+2（2﹣a）≥ta（2﹣a）恒成立，‎ ‎∴2ta2﹣（3+2t）a+4≥0恒成立，‎ ‎∴（3+2t）2﹣326≤0，‎ ‎∴≤t≤，实数t的最大值为．‎ ‎　‎ ‎2017年4月15日