人教a版高中数学选修1-1：单元质量评估（三）word版含答案
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单元质量评估(三)
第三章
(120 分钟 150 分)
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项
是符合题目要求的)
1.(2016·台州高二检测)函数 y=lgx 的导数为 ( )
A. B. ln10
C. D.
【解析】选 C.因为(logax)′= ,
所以(lgx)′= .
2.(2016·泉州高二检测)已知 f(x)=sinx+lnx,则 f′(1)的值为 ( )
A.1-cos1 B.1+cos1
C.-1+cos1 D.-1-cos1
【解析】选 B.f′(x)=cosx+ ,f′(1)=cos1+1.
3.设 f(x)=x2(2-x),则 f(x)的单调递增区间是 ( )
A. B.
C.(-∞,0) D.(-∞,0)∪
【解析】选 A.f(x)=2x2-x3,f′(x)=4x-3x2,
由 f′(x)>0 得 0
1 时,
f′(x)>0.
故 a=1 符合题意.
8.做一个无盖的圆柱形水桶,若要使其体积是 27π且用料最省,则圆柱的底面半径为
( )
A.5 B.6 C.3 D.2
【解析】选 C.设圆柱的底面半径为 R,母线长为 l,
则 V=πR2l=27π,所以 l= .
要使用料最省,只需使水桶的表面积最小,
而 S 表=πR2+2πRl=πR2+ ,
令 S 表′=2πR- =0,
解得 R=3,即当 R=3 时,S 表最小.
9.(2016·菏泽高二检测)函数 f(x)=x3-6bx+3b 在(0,1)内有极小值,则实数 b 的取值范围是
( )
A.(0,1) B.(-∞,1)
C.(0,+∞) D.
【解析】选 D.f′(x)=3x2-6b,
因为 f(x)在(0,1)内有极小值,
所以 f′(x)=0 在 x∈(0,1)有解.
所以
所以 02- > - ,故函数 y=x+2cosx- 在区间
上的最大值是 .
答案:
【补偿训练】曲线 y= x3-2 以点 为切点的切线的倾斜角为 .
【解析】y′=x2,当 x=1 时,y′=1,从而切线的倾斜角为 45°.
答案:45°
16.设 f(x)=x3- x2-2x+5,当 x∈时,f(x)7.
答案:(7,+∞)
三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步
骤)
17.(10 分)(2016·南昌高二检测)设函数 f(x)=6x3+3(a+2)x2+2ax.
(1)若 f(x)的两个极值点为 x1,x2,且 x1x2=1,求实数 a 的值.
(2)是否存在实数 a,使得 f(x)是(-∞,+∞)上的单调函数?若存在,求出 a 的值;若不存在,说
明理由.
【解析】f′(x)=18x2+6(a+2)x+2a.
(1)由已知有 f′(x1)=f′(x2)=0,从而 x1x2= =1,所以 a=9.
(2)由于Δ=36(a+2)2-4×18×2a=36(a2+4)>0,
所以不存在实数 a,使得 f(x)是(-∞,+∞)上的单调函数.
【补偿训练】已知函数 f(x)= ax2+2x-lnx.
(1)当 a=0 时,求 f(x)的极值.
(2)若 f(x)在区间 上是增函数,求实数 a 的取值范围.
【解析】(1)函数的定义域为(0,+∞).
因为 f(x)= ax2+2x-lnx,
当 a=0 时,f(x)=2x-lnx,则 f′(x)=2- ,
令 f′(x)=0 得 x= ,
所以当 x 变化时,f′(x),f(x)的变化情况如表
x
f′(x) - 0 +
f(x) ↘ 极小值 ↗
所以当 x= 时,f(x)的极小值为 1+ln2,无极大值.
(2)由已知,得
f(x)= ax2+2x-lnx,且 x>0,则
f′(x)=ax+2- = .
若 a=0,由 f′(x)>0 得 x> ,显然不合题意;
若 a≠0,因为函数 f(x)在区间 上是增函数,
所以 f′(x)≥0 对 x∈ 恒成立,即不等式 ax2+2x-1≥0 对 x∈ 恒成立,
即 a≥ = - = -1 恒成立,
故 a≥ .
而当 x= 时,函数 -1 的最大值为 3,所以实数 a 的取值范围为 a≥3.
18.(12 分)已知函数 f(x)=x3+x-16.
(1)求曲线 y=f(x)在点(2,-6)处的切线的方程.
(2)如果曲线 y=f(x)的某一切线与直线 y=- x+3 垂直,求切点坐标与切线的方程.
【解析】(1)因为 f′(x)=(x3+x-16)′=3x2+1,
所以 f(x)在点(2,-6)处的切线的斜率为 k=f′(2)=13.
所以切线的方程为 y=13(x-2)+(-6),
即 y=13x-32.
(2)因为切线与直线 y=- +3 垂直,
所以切线的斜率 k=4.
设切点的坐标为(x0,y0),
则 f′(x0)=3 +1=4,
所以 x0=±1,
所以 或
即切点坐标为(1,-14)或(-1,-18).
切线方程为 y=4(x-1)-14 或 y=4(x+1)-18.
即 y=4x-18 或 y=4x-14.
19.(12 分)(2016·临沂高二检测)已知函数 f(x)=lnx- ax2-2x.
(1)若函数 f(x)在 x=2 处取得极值,求实数 a 的值.
(2)若函数 f(x)在定义域内单调递增,求 a 的取值范围.
【解析】(1)f′(x)=- (x>0),
因为 x=2 时,f(x)取得极值,
所以 f′(2)=0,解之得 a=- ,经检验符合题意.
(2)由题意知 f′(x)≥0 在 x>0 时恒成立,
即 ax2+2x-1≤0 在 x>0 时恒成立,
则 a≤ = -1 在 x>0 时恒成立,
即 a≤ (x>0),
当 x=1 时, -1 取得最小值-1.
所以 a 的取值范围是(-∞,-1].
20.(12 分)某 5A 级景区为提高经济效益,现对某景点进行改造升级,提高旅游增加值,经过市
场调查,旅游增加值 y 万元与投入 x(x≥10)万元之间满足:
y=f(x)=ax2+ x-bln ,a,b 为常数,当 x=10 万元时,y=19.2 万元;当 x=50 万元时,y=74.4
万元.(参考数据:ln2=0.7,ln3=1.1,ln5=1.6)
(1)求 f(x)的解析式.
(2)求该景点改造升级后旅游利润 T(x)的最大值.(利润=旅游增加值-投入)
【解析】(1)由条件可得
解得 a=- ,b=1.
则 f(x)=- + x-ln (x≥10).
(2)由 T(x)=f(x)-x=- + x-ln (x≥10),
则 T′(x)=- + - =- ,
令 T′(x)=0,则 x=1(舍)或 x=50,
当 x∈(10,50)时,T′(x)>0,
因此 T(x)在(10,50)上是增函数;
当 x>50 时,T′(x)<0,因此 T(x)在(50,+∞)上是减函数,
故 x=50 为 T(x)的极大值点,也是最大值点,且最大值为 24.4 万元.
即该景点改造升级后旅游利润 T(x)的最大值为 24.4 万元.
21.(12 分)(2016·绍兴高二检测)已知函数 f(x)=x3-3ax2-9a2x+a3.
(1)设 a=1,求函数 f(x)的极值.
(2)若 a> ,且当 x∈时,f(x)≥a3-12a 恒成立,试确定 a 的取值范围.
【解析】(1)当 a=1 时,f(x)=x3-3x2-9x+1 且 f′(x)=3x2-6x-9,由 f′(x)=0 得 x=-1 或 x=3.
当 x<-1 时,f′(x)>0,当-13 时 f′(x)>0,
因此 x=3 是函数的极小值点,极小值为 f(3)=-26.
(2)因为 f′(x)=3x2-6ax-9a2=3(x+a)(x-3a),a> ,
所以当 1≤x<3a 时,f′(x)<0;
当 3a0.
所以 x∈时,f(x)的最小值为 f(3a)=-26a3.
由 f(x)≥a3-12a 在上恒成立得-26a3≥a3-12a.
解得 a≤- 或 0≤a≤ .
又 a> ,所以 1 时,f′(x)>0,
所以 f(x)的递增区间是(-∞,-1)和(1,+∞),递减区间是(-1,1).
(3)因为 f(-1)=2,f(1)=-2,为使方程 f(x)+m=0,
即 f(x)=-m 有三个不等实数根,
则-2<-m<2,
即-2
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