2020年高中数学新教材同步必修第二册 第6章6.1 平面向量的概念

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文档介绍

2020年高中数学新教材同步必修第二册 第6章6.1 平面向量的概念

6.1 平面向量的概念 学习目标 1.能结合物理中的力、位移、速度等具体背景认识向量,掌握向量与数量的 区别. 2.会用有向线段、字母表示向量,了解有向线段与向量的联系与区别.3.理解零向量、单位向 量、平行向量、共线向量、相等向量及向量的模等概念,会辨识图形中这些相关的概念. 知识点一 向量的概念 1.向量:既有大小又有方向的量叫做向量. 2.数量:只有大小没有方向的量称为数量. 知识点二 向量的几何表示 1.有向线段 具有方向的线段叫做有向线段,它包含三个要素:起点、方向、长度,如图所示. 以 A 为起点、B 为终点的有向线段记作AB→,线段 AB 的长度叫做有向线段AB→的长度记作|AB→|. 2.向量的表示 (1)几何表示:向量可以用有向线段表示,有向线段的长度表示向量的大小,有向线段的方 向表示向量的方向. (2)字母表示:向量可以用字母 a,b,c,…表示(印刷用黑体 a,b,c,书写时用 a→,b→, c→). 3.模、零向量、单位向量 向量AB→的大小,称为向量AB→的长度(或称模),记作|AB→|.长度为 0 的向量叫做零向量,记作 0; 长度等于 1 个单位长度的向量,叫做单位向量. 思考 “向量就是有向线段,有向线段就是向量”的说法对吗? 答案 错误.理由是:①向量只有长度和方向两个要素;与起点无关,只要长度和方向相同, 则这两个向量就是相同的向量;②有向线段有起点、长度和方向三个要素,起点不同,尽管 长度和方向相同,也是不同的有向线段. 知识点三 相等向量与共线向量 1.平行向量:方向相同或相反的非零向量叫做平行向量. (1)记法:向量 a 与 b 平行,记作 a∥b. (2)规定:零向量与任意向量平行. 2.相等向量:长度相等且方向相同的向量叫做相等向量. 3.共线向量:由于任一组平行向量都可以平移到同一直线上,所以平行向量也叫做共线向量. 要注意避免向量平行、共线与平面几何中的直线、线段的平行和共线相混淆. 思考 (1)平行向量是否一定方向相同?(2)不相等的向量是否一定不平行?(3)与任意向量都 平行的向量是什么向量?(4)若两个向量在同一直线上,则这两个向量一定是什么向量? 答案 (1)不一定;(2)不一定;(3)零向量;(4)平行(共线)向量. 1.如果|AB→|>|CD→ |,那么AB→>CD→ .( × ) 提示 向量的模可以比较大小,但向量不能比较大小. 2.若 a,b 都是单位向量,则 a=b.( × ) 提示 a 与 b 都是单位向量,则|a|=|b|=1,但 a 与 b 的方向可能不同. 3.力、速度和质量都是向量.( × ) 提示 质量不是向量. 4.零向量的大小为 0,没有方向.( × ) 提示 任何向量都有方向,零向量的方向是任意的. 一、向量的概念 例 1 (多选)下列说法错误的有( ) A.向量AB→与向量BA→的长度相等 B.两个有共同起点,且长度相等的向量,它们的终点相同 C.零向量都是相等的 D.若两个单位向量平行,则这两个单位向量相等 答案 BCD 解析 两个有共同起点,且长度相等的向量,它们的方向不一定相同,终点也不一定相同; 零向量的模都是 0,但方向不确定;两个单位向量也可能反向,则不相等,故 B,C,D 都 错误,A 正确. 反思感悟 解决向量概念问题一定要紧扣定义,对单位向量与零向量要特别注意方向问题. 跟踪训练 1 下列说法中正确的是( ) A.数量可以比较大小,向量也可以比较大小 B.方向不同的向量不能比较大小,但同向的向量可以比较大小 C.向量的大小与方向有关 D.向量的模可以比较大小 答案 D 解析 不管向量的方向如何,它们都不能比较大小,故 A,B 不正确;向量的大小即为向量 的模,指的是有向线段的长度,与方向无关,故 C 不正确;向量的模是一个数量,可以比 较大小,故 D 正确. 二、向量的几何表示及应用 例 2 一辆汽车从 A 点出发向西行驶了 100 km 到达 B 点,然后又改变方向,向西偏北 50° 的方向走了 200 km 到达 C 点,最后又改变方向,向东行驶了 100 km 到达 D 点. (1)作出向量AB→,BC→,CD→ ; (2)求|AD→ |. 解 (1)向量AB→,BC→,CD→ 如图所示. (2)由题意,可知AB→与CD→ 方向相反,故AB→与CD→ 共线, ∵|AB→|=|CD→ |, ∴在四边形 ABCD 中,AB∥CD 且 AB=CD, ∴四边形 ABCD 为平行四边形, ∴AD→ =BC→,∴|AD→ |=|BC→|=200 km. 反思感悟 作向量的方法 准确画出向量的方法是先确定向量的起点,再确定向量的方向,然后根据向量的大小确定向 量的终点. 跟踪训练 2 在如图的方格纸上,已知向量 a,每个小正方形的边长为 1. (1)试以 B 为终点画一个向量 b,使 b=a; (2)在图中画一个以 A 为起点的向量 c,使|c|= 5,并说出向量 c 的终点的轨迹是什么? 解 (1)根据相等向量的定义,所作向量 b 与向量 a 方向相同,且长度相等(作图略). (2)由平面几何知识可知所有这样的向量 c 的终点的轨迹是以 A 为圆心,半径为 5的圆(作图 略). 三、相等向量与共线向量 例 3 如图所示,△ABC 的三边均不相等,E,F,D 分别是 AC,AB,BC 的中点. (1)写出与EF→共线的向量; (2)写出模与EF→的模相等的向量; (3)写出与EF→相等的向量. 解 (1)因为 E,F 分别是 AC,AB 的中点, 所以 EF∥BC,EF=1 2BC. 又因为 D 是 BC 的中点, 所以与EF→共线的向量有FE→,BD→ ,DB→ ,DC→ ,CD→ ,BC→,CB→. (2)模与EF→的模相等的向量有FE→,BD→ ,DB→ ,DC→ ,CD→ . (3)与EF→相等的向量有DB→ ,CD→ . 反思感悟 相等向量与共线向量的探求方法 (1)寻找相等向量:先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量,再确定哪些是同向共 线. (2)寻找共线向量:先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段,再构造同向与反向 的向量,注意不要漏掉以表示已知向量的有向线段的终点为起点,起点为终点的向量. 跟踪训练 3 如图所示,O 是正六边形 ABCDEF 的中心. (1)与OA→ 的模相等的向量有多少个? (2)是否存在与OA→ 长度相等、方向相反的向量?若存在,有几个? (3)与OA→ 共线的向量有几个? 解 (1)与OA→ 的模相等的线段是六条边和六条半径(如 OB),而每一条线段可以有两个向量, 所以这样的向量共有 23 个. (2)存在.由正六边形的性质可知,BC∥AO∥EF,所以与OA→ 的长度相等、方向相反的向量有 AO→ ,OD→ ,FE→,BC→,共 4 个. (3)由(2)知,BC∥OA∥EF,线段 OD,AD 与 OA 在同一条直线上,所以与OA→ 共线的向量有 BC→,CB→,EF→,FE→,AO→ ,OD→ ,DO→ ,AD→ ,DA→ ,共 9 个. 特殊向量的作用 典例 给出下列命题: ①若 a∥b,则 a 与 b 的方向相同或相反; ②若 a∥b,b∥c,则 a∥c; ③若两个模相等的向量互相平行,则这两个向量相等; ④若 a=b,b=c,则 a=c, 其中正确的是________.(填序号) 答案 ④ 解析 由于零向量的方向是任意的,且规定与任意向量平行,故取 a=0,则对于任意的向 量 b,都有 a∥b,知①错误;取 b=0,则对于任意的向量 a,c 都有 a∥b,b∥c,知②错误; 两个模相等的向量互相平行,方向可能相反,知③错误;由两个向量相等的概念可知④正确. [素养提升] (1)本题主要考查相等向量,共线向量与零向量的概念,需要准确理解概念进 行推理,这正体现了数学中逻辑推理的核心素养. (2)特殊向量的性质往往与一般向量有所不同,在解题中应单独加以验证,不能混淆. 例如:零向量与任意向量平行,解题时要验证取零向量时是否成立. 1.在同一平面内,把所有长度为 1 的向量的起点固定在同一点,这些向量的终点形成的轨迹 是( ) A.单位圆 B.一段弧 C.线段 D.直线 答案 A 2.(多选)下列说法错误的有( ) A.共线的两个单位向量相等 B.相等向量的起点相同 C.若AB→∥CD→ ,则一定有直线 AB∥CD D.若向量AB→,CD→ 共线,则点 A,B,C,D 必在同一直线上 答案 ABCD 解析 A 错,共线的两个单位向量的方向可能相反;B 错,相等向量的起点和终点都可能不 相同;C 错,直线 AB 与 CD 可能重合;D 错,AB 与 CD 可能平行,则 A,B,C,D 四点不 共线. 3.若|AB→|=|AD→ |且BA→=CD→ ,则四边形 ABCD 的形状为( ) A.平行四边形 B.矩形 C.菱形 D.等腰梯形 答案 C 解析 因为BA→=CD→ , 所以四边形 ABCD 为平行四边形, 又|AB→|=|AD→ |,即邻边相等, 所以四边形 ABCD 为菱形. 4.如图所示,设 O 是正方形 ABCD 的中心,则下列结论正确的有________.(填序号) ①AO→ =OC→ ; ②AO→ ∥AC→; ③AB→与CD→ 共线; ④AO→ =BO→ . 答案 ①②③ 解析 AO→ 与OC→ 方向相同,长度相等,∴①正确; ∵A,O,C 三点在一条直线上, ∴AO→ ∥AC→,②正确; ∵AB∥DC,∴AB→与CD→ 共线,③正确; AO→ 与BO→ 方向不同,∴二者不相等,④错误. 5.已知 A,B,C 是不共线的三点,向量 m 与向量AB→是平行向量,与BC→是共线向量,则 m= ________. 答案 0 解析 AB→与BC→不共线,零向量的方向是任意的,它与任意向量平行,所以唯有零向量才能 同时与两个不共线向量平行. 1.知识清单: (1)向量的基本概念. (2)向量的几何表示. (3)相等向量与共线向量(平行向量). 2.方法归纳:数形结合. 3.常见误区:忽视零向量这一特殊向量. 1.给出下列物理量: ①质量;②速度;③位移;④力;⑤路程;⑥功;⑦加速度. 其中是向量的有( ) A.4 个 B.5 个 C.6 个 D.7 个 答案 A 解析 速度、位移、力、加速度,这 4 个物理量是向量,它们都有大小和方向. 2.(多选)下列命题中错误的有 A.温度含零上和零下温度,所以温度是向量 B.向量的模是一个正实数 C.向量 a 与 b 不共线,则 a 与 b 都是非零向量 D.若|a|>|b|,则 a>b 答案 ABD 解析 温度没有方向,所以不是向量,故 A 错;向量的模也可以为 0,故 B 错;向量不可 以比较大小,故 D 错;若 a,b 中有一个为零向量,则 a 与 b 必共线,故若 a 与 b 不共线, 则应均为非零向量,故 C 对. 3.设 O 是△ABC 的外心,则AO→ ,BO→ ,CO→ 是( ) A.相等向量 B.模相等的向量 C.平行向量 D.起点相同的向量 答案 B 解析 因为 O 是△ABC 的外心,所以|AO→ |=|BO→ |=|CO→ |. 4.如图所示,梯形 ABCD 为等腰梯形,则两腰上的向量AB→与DC→ 的关系是( ) A.AB→=DC→ B.|AB→|=|DC→ | C.AB→>DC→ D.AB→
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