高考数学复习 17-18版 第7章 第33课 数列的概念与简单表示法

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高考数学复习 17-18版 第7章 第33课 数列的概念与简单表示法

第七章 数列、推理与证明 第33课 数列的概念与简单表示法 ‎[最新考纲]‎ 内容 要求 A B C 数列的概念 ‎√‎ ‎1.数列的定义 按照一定次序排列的一列数称为数列,数列中的每一个数叫作这个数列的项.‎ ‎2.数列的分类 分类原则 类型 满足条件 按项数分类 有穷数列 项数有限 无穷数列 项数无限 按项与项 间的大小 关系分类 递增数列 an+1>an 其中 n∈N+‎ 递减数列 an+10,即λ<时数列{an}为递增数列,又n∈N+,∴λ<.‎ ‎∴“λ<1”是“数列{an}为递增数列”的充分不必要条件.]‎ ‎5.在数列{an}中,已知a1=1,an+1=2an+1,则其通项公式an ‎=__________. ‎ ‎【导学号:62172182】‎ ‎2n-1 [法一:由an+1=2an+1,可求a2=3,a3=7,a4=15,…,验证可知an=2n-1.‎ 法二:由题意知an+1+1=2(an+1),∴数列{an+1}是以2为首项,2为公比的等比数列,∴an+1=2n,∴an=2n-1.]‎ ‎6.数列{an}的首项a1=2,且(n+1)an=nan+1,则a3的值为____________.‎ ‎6 [由(n+1)an=nan+1得=,所以数列为常数列,则==2,即an=2n,所以a3=2×3=6.]‎ ‎7.设Sn为数列{an}的前n项和,且Sn=(an-1)(n∈N+),则an=____________. ‎ ‎【导学号:62172183】‎ ‎3n [当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(an-1)-(an-1-1),整理,得an=3an-1,由a1=(a1-1),得a1=3,∴=3,∴数列{an}是以3为首项,3为公比的等比数列,‎ ‎∴an=3n.]‎ ‎8.数列{an}满足a1=2,an=,其前n项积为Tn,则T2 017=____________.‎ ‎2 [由an=,得an+1=,而a1=2,‎ 则有a2=-3,a3=-,a4=,a5=2,‎ 故数列{an}是以4为周期的周期数列,且a1a2a3a4=1,‎ 所以T2 017=(a1a2a3a4)504a1=1504×2=2.]‎ ‎9.已知数列{an}满足a1=1,an-an+1=nanan+1(n∈N+),则an=__________.‎  [由已知得,-=n,所以-=n-1,‎ -=n-2,…,-=1,所以-=,a1=1,所以=,‎ 所以an=.]‎ ‎10.(2017·南京模拟)对于数列{an},定义数列{bn}满足:bn=an+1-an(n∈N+),且bn+1-bn=1(n∈N+),a3=1,a4=-1,则a1=____________. ‎ ‎【导学号:62172184】‎ ‎8 [由bn+1-bn=1(n∈N+)可知,数列{bn}成等差数列,‎ 又b3=a4-a3=-1-1=-2,‎ ‎∴b3-b2=1,‎ ‎∴b2=b3-1=-3.‎ ‎∴a3-a2=-3,‎ ‎∴a2=3+a3=4.‎ ‎∴b1=b2-1=-3-1=-4.‎ ‎∴a2-a1=-4,‎ ‎∴a1=a2+4=4+4=8.]‎ 二、解答题 ‎11.数列{an}的通项公式是an=n2-7n+6.‎ ‎(1)这个数列的第4项是多少?‎ ‎(2)150是不是这个数列的项?若是这个数列的项,它是第几项?‎ ‎(3)该数列从第几项开始各项都是正数?‎ ‎[解] (1)当n=4时,a4=42-4×7+6=-6.‎ ‎(2)令an=150,即n2-7n+6=150,‎ 解得n=16或n=-9(舍去),‎ 即150是这个数列的第16项.‎ ‎(3)令an=n2-7n+6>0,解得n>6或n<1(舍去).‎ 所以从第7项起各项都是正数.‎ ‎12.已知Sn为正项数列{an} 的前n项和,且满足Sn=a+an(n∈N+).‎ ‎(1)求a1,a2,a3,a4的值;‎ ‎(2)求数列{an}的通项公式.‎ ‎[解] (1)由Sn=a+an(n∈N+),可得 a1=a+a1,解得a1=1;‎ S2=a1+a2=a+a2,解得a2=2;‎ 同理,a3=3,a4=4.‎ ‎(2)Sn=a+an,①‎ 当n≥2时,Sn-1=a+an-1,②‎ ‎①-②得(an-an-1-1)(an+an-1)=0.‎ 由于an+an-1≠0,‎ 所以an-an-1=1,‎ 又由(1)知a1=1,‎ 故数列{an}是首项为1,公差为1的等差数列,故an=n.‎ B组 能力提升 ‎(建议用时:15分钟)‎ ‎1.设数列{an}满足:a1=1,a2=3,且2nan=(n-1)an-1+(n+1)an+1,则a20=____________.‎  [由2nan=(n-1)an-1+(n+1)an+1得nan-(n-1)an-1=(n+1)an+1-nan,又因为1×a1=1,2×a2-1×a1=5,所以数列{nan}是首项为1,公差为5的等差数列,则‎20a20=1+19×5,解得a20=.]‎ ‎2.已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,an+1=3Sn,则an=__________.‎  [由an+1=3Sn,得an=3Sn-1(n≥2),‎ 两式相减可得an+1-an=3Sn-3Sn-1=3an(n≥2),‎ ‎∴an+1=4an(n≥2).‎ ‎∵a1=1,a2=3S1=3≠4a1,‎ ‎∴数列{an}是从第二项开始的等比数列,‎ ‎∴an=a2qn-2=3×4n-2(n≥2).‎ 故an=]‎ ‎3.已知数列{an}的通项公式是an=n2+kn+4.‎ ‎(1)若k=-5,则数列中有多少项是负数?n为何值时,an有最小值?并求出最小值;‎ ‎(2)对于n∈N+,都有an+1>an,求实数k的取值范围.‎ ‎[解] (1)由n2-5n+4<0,‎ 解得1an知该数列是一个递增数列,‎ 又因为通项公式an=n2+kn+4,可以看作是关于n的二次函数,考虑到n∈N+,所以-<,即得k>-3.‎ 所以实数k的取值范围为(-3,+∞).‎ ‎4.已知数列{an}中,a1=1,前n项和Sn=an.‎ ‎(1)求a2,a3;‎ ‎(2)求{an}的通项公式.‎ ‎[解] (1)由S2=a2得3(a1+a2)=‎4a2,‎ 解得a2=3a1=3.‎ 由S3=a3得3(a1+a2+a3)=5a3,‎ 解得a3=(a1+a2)=6.‎ ‎(2)由题设知a1=1.‎ 当n≥2时,有an=Sn-Sn-1=an-an-1,整理得an=an-1.‎ 于是a1=1,‎ a2=a1,‎ a3=a2,‎ ‎……‎ an-1=an-2,‎ an=an-1.‎ 将以上n个等式两端分别相乘,‎ 整理得an=.‎ 显然,当n=1时也满足上式.‎ 综上可知,{an}的通项公式an=.‎
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