- 2021-04-19 发布 |
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文档介绍
2020年高中数学新教材同步必修第二册 第6章 6.2.2 向量的减法运算
6.2.2 向量的减法运算 学习目标 1.理解相反向量的含义,向量减法的意义及减法法则.2.掌握向量减法的几何意 义.3.能熟练地进行向量的加、减综合运算. 知识点一 相反向量 1.定义:与向量 a 长度相等,方向相反的向量,叫做 a 的相反向量,记作-a. 2.性质 (1)零向量的相反向量仍是零向量. (2)对于相反向量有:a+(-a)=(-a)+a=0. (3)若 a,b 互为相反向量,则 a=-b,b=-a,a+b=0. 知识点二 向量的减法 1.定义:向量 a 加上 b 的相反向量,叫做 a 与 b 的差,即 a-b=a+(-b),因此减去一个向 量,相当于加上这个向量的相反向量,求两个向量差的运算,叫做向量的减法. 2.几何意义:在平面内任取一点 O,作OA→ =a,OB→ =b,则向量 a-b=BA→,如图所示. 3.文字叙述:如果把两个向量的起点放在一起,那么这两个向量的差是以减向量的终点为起 点,被减向量的终点为终点的向量. 思考 若 a,b 是不共线向量,|a+b|与|a-b|的几何意义分别是什么? 答案 如图所示,设OA→ =a,OB→ =b.根据向量加法的平行四边形法则和向量减法的几何意义, 有OC→ =a+b,BA→=a-b.因为四边形 OACB 是平行四边形,所以|a+b|=|OC→ |,|a-b|=|BA→|, 分别是以 OA,OB 为邻边的平行四边形的两条对角线的长. 1.相反向量就是方向相反的向量.( × ) 提示 相反向量的方向相反,大小相等;方向相反的向量只是方向相反,大小没有关系. 2.向量AB→与BA→是相反向量.( √ ) 提示 AB→与BA→大小相等、方向相反. 3.a-b=b-a.( × ) 提示 向量减法不满足交换律. 4.两个相等向量之差等于 0.( × ) 提示 两个相等向量之差等于 0. 一、向量的减法运算 例 1 如图,已知向量 a,b,c 不共线,求作向量 a+b-c. 解 方法一 如图①,在平面内任取一点 O,作OA→ =a,AB→=b,则OB→ =a+b,再作OC→ =c, 则CB→=a+b-c. 方法二 如图②,在平面内任取一点 O,作OA→ =a,AB→=b,则OB→ =a+b,再作CB→=c,连 接 OC,则OC→ =a+b-c. 反思感悟 求作两个向量的差向量的两种思路 (1)可以转化为向量的加法来进行,如 a-b,可以先作-b,然后作 a+(-b)即可. (2)可以直接用向量减法的三角形法则,即把两向量的起点重合,则差向量为连接两个向量 的终点,指向被减向量的终点的向量. 跟踪训练 1 如图所示,O 为△ABC 内一点,OA→ =a,OB→ =b,OC→ =c.求作:b+c-a. 解 方法一 以OB→ ,OC→ 为邻边作▱OBDC,连接 OD,AD, 则OD→ =OB→ +OC→ =b+c,AD→ =OD→ -OA→ =b+c-a. 方法二 作CD→ =OB→ =b, 连接 AD,则AC→=OC→ -OA→ =c-a, AD→ =AC→+CD→ =c-a+b=b+c-a. 二、向量减法法则的应用 例 2 (1)化简:(AD→ -BM→ )+(BC→-MC→ )=________. 答案 AD→ 解析 原式=AD→ +MB→ +BC→-MC→ =AD→ +MC→ -MC→ =AD→ . (2)如图,P,Q 是△ABC 的边 BC 上的两点,且BP→=QC→ ,则化简AB→+AC→-AP→-AQ→ 的结果 为( ) A.0 B.BP→ C.PQ→ D.PC→ 答案 A 解析 AB→+AC→-AP→-AQ→ =(AB→-AP→)+(AC→-AQ→ )=PB→+QC→ =QC→ -BP→=0. 反思感悟 (1)向量减法运算的常用方法 (2)向量加减法化简的两种形式 ①首尾相连且为和. ②起点相同且为差. 解题时要注意观察是否有这两种形式,同时注意逆向应用. 跟踪训练 2 如图,已知 O 为平行四边形 ABCD 内一点,OA→ =a,OB→ =b,OC→ =c,则OD→ = ________. 答案 a+c-b 解析 由已知AD→ =BC→, 则OD→ =OA→ +AD→ =OA→ +BC→=OA→ +OC→ -OB→ =a+c-b. 1.在△ABC 中,若BA→=a,BC→=b,则CA→等于( ) A.a B.a+b C.b-a D.a-b 答案 D 解析 CA→=BA→-BC→=a-b. 2.化简OP→ -QP→ +PS→+SP→等于( ) A.QP→ B.OQ→ C.SP→ D.SQ→ 答案 B 解析 原式=(OP→ +PQ→ )+(PS→+SP→)=OQ→ +0=OQ→ . 3.已知在四边形 ABCD 中,DB→ -DA→ =AC→-AD→ ,则四边形 ABCD 一定是( ) A.平行四边形 B.菱形 C.矩形 D.正方形 答案 A 解析 由DB→ -DA→ =AC→-AD→ ,可得AB→=DC→ , 所以四边形 ABCD 一定是平行四边形. 4.下列等式成立的个数是( ) ①a+b=b+a; ②a-b=b-a; ③0-a=-a; ④-(-a)=a; ⑤a+(-a)=0. A.5 B.4 C.3 D.2 答案 B 解析 由题意知,①③④⑤成立. 5.(多选)下列各向量运算的结果与AC→相等的有( ) A.AO→ +OC→ B.AO→ -OC→ C.OA→ -OC→ D.OC→ -OA→ 答案 AD 解析 由题意知,AD 正确. 1.知识清单: (1)向量的减法运算. (2)向量减法的几何意义. 2.方法归纳:数形结合. 3.常见误区:忽视向量共起点,才可用减法法则. 1.如图所示,在▱ABCD 中,AB→=a,AD→ =b,则用 a,b 表示向量AC→和BD→ 分别是( ) A.a+b 和 a-b B.a+b 和 b-a C.a-b 和 b-a D.b-a 和 b+a 答案 B 解析 由向量的加法、减法法则, 得AC→=AB→+AD→ =a+b, BD→ =AD→ -AB→=b-a. 2.AB→-CB→-DC→ +DE→ 等于( ) A.AB→ B.AE→ C.BE→ D.CD→ 答案 B 3.下列各式中,恒成立的是( ) A.AB→=BA→ B.a-a=0 C.AB→-AC→=BC→ D.AB→-CB→+CA→=0 答案 D 解析 选项 D 中,AB→-CB→+CA→=AB→+BC→+CA→=AC→+CA→=0. 4.(多选)下列四个式子中可以化简为AB→的是( ) A.AC→+CD→ -BD→ B.AC→-CB→ C.OA→ +OB→ D.OB→ -OA→ 答案 AD 5.如图,在四边形 ABCD 中,设AB→=a,AD→ =b,BC→=c,则DC→ 等于( ) A.a-b+c B.b-(a+c) C.a+b+c D.b-a+c 答案 A 解析 DC→ =AC→-AD→ =AB→+BC→-AD→ =a+c-b=a-b+c. 6.OB→ -OA→ -OC→ -CO→ =________. 答案 AB→ 解析 OB→ -OA→ -OC→ -CO→ =(OB→ -OA→ )-(OC→ +CO→ ) =AB→-0=AB→. 7.若菱形 ABCD 的边长为 2,则|AB→-CB→+CD→ |=________. 答案 2 解析 |AB→-CB→+CD→ |=|AB→+BC→+CD→ |=|AD→ |=2. 8.在边长为 1 的正三角形 ABC 中,|AB→-BC→|的值为________. 答案 3 解析 如图,作菱形 ABCD, 则|AB→-BC→|=|AB→-AD→ | =|DB→ |= 3. 9.如图,已知 a,b,求作 a-b. 解 如图,BA→即为所求作的 a-b. 10.如图所示,已知正方形 ABCD 的边长为 1,AB→=a,BC→=b,AC→=c,试求:|a-b+c|. 解 作BF→=AC→,连接 CF(图略),则DB→ +BF→=DF→ , 而DB→ =AB→-AD→ =AB→-BC→=a-b, ∴a-b+c=DB→ +BF→=DF→ 且|DF→ |=2. ∴|a-b+c|=2. 11.若|AB→|=5,|AC→|=8,则|BC→|的取值范围是( ) A.[3,8] B.(3,8) C.[3,13] D.(3,13) 答案 C 解析 ∵|BC→|=|AC→-AB→|且||AC→|-|AB→||≤|AC→-AB→|≤|AC→|+|AB→|, ∴3≤|AC→-AB→|≤13,∴3≤|BC→|≤13. 12.平面上有三点 A,B,C,设 m=AB→+BC→ ,n=AB→-BC→ ,若 m,n 的长度恰好相等,则 ( ) A.A,B,C 三点必在同一直线上 B.△ABC 必为等腰三角形且∠ABC 为顶角 C.△ABC 必为直角三角形且∠ABC=90° D.△ABC 必为等腰直角三角形 答案 C 解析 如图所示,作▱ABCD, 则AB→+BC→=AC→, AB→-BC→=AB→-AD→ =DB→ . ∵|m|=|n|,∴|AC→|=|DB→ |. ∴▱ABCD 为矩形, ∴△ABC 为直角三角形,∠ABC=90°. 13.已知OA→ =a,OB→ =b,若|OA→ |=12,|OB→ |=5,且∠AOB=90°,则|a-b|=________. 答案 13 解析 ∵|OA→ |=12,|OB→ |=5,∠AOB=90°, ∴|OA→ |2+|OB→ |2=|AB→|2,∴|AB→|=13. ∵OA→ =a,OB→ =b, ∴a-b=OA→ -OB→ =BA→,∴|a-b|=|BA→|=13. 14.如图所示,O 是平行四边形 ABCD 的对角线 AC,BD 的交点,设AB→=a,DA→ =b,OC→ =c. 证明:b+c-a=OA→ . 证明 b+c-a=DA→ +OC→ -AB→=CB→+OC→ -AB→=OB→ -AB→=OB→ +BA→=OA→ . 15.设点 M 是线段 BC 的中点,点 A 在直线 BC 外,且|BC→|=4,|AB→+AC→|=|AB→-AC→|,则|AM→ |= ________. 答案 2 解析 以 AB,AC 为邻边作平行四边形 ACDB, 由向量加减法的几何意义可知, AD→ =AB→+AC→,CB→=AB→-AC→, ∵|AB→+AC→|=|AB→-AC→|, ∴|AD→ |=|CB→|, 又|BC→|=4,M 是线段 BC 的中点, ∴|AM→ |=1 2|AD→ |=1 2|BC→|=2. 16.如图,在五边形 ABCDE 中,若四边形 ACDE 是平行四边形,且AB→=a,AC→=b,AE→=c, 试用 a,b,c 表示向量BD→ ,BC→,BE→,CD→ 及CE→. 解 ∵四边形 ACDE 是平行四边形, ∴CD→ =AE→=c, BC→=AC→-AB→=b-a, BE→=AE→-AB→=c-a, CE→=AE→-AC→=c-b, ∴BD→ =BC→+CD→ =b-a+c.查看更多