高中数学 1_2_2 基本初等函数的导数公式及导数运算法则1同步练习 新人教A版选修2-2

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高中数学 1_2_2 基本初等函数的导数公式及导数运算法则1同步练习 新人教A版选修2-2

选修2-2 ‎1.2.2‎ 第1课时 基本初等函数的导数公式及导数运算法则 一、选择题 ‎1.曲线y=x3-2在点处切线的倾斜角为(  )‎ A.30°         B.45°‎ C.135° D.60°‎ ‎[答案] B ‎[解析] y′|x=-1=1,∴倾斜角为45°.‎ ‎2.设f(x)=-,则f′(1)等于(  )‎ A.- B. C.- D. ‎[答案] B ‎3.若曲线y=x4的一条切线l与直线x+4y-8=0垂直,则l的方程为(  )‎ A.4x-y-3=0 B.x+4y-5=0‎ C.4x-y+3=0 D.x+4y+3=0‎ ‎[答案] A ‎[解析] ∵直线l的斜率为4,而y′=4x3,由y′=4得x=1而x=1时,y=x4=1,故直线l的方程为:y-1=4(x-1)即4x-y-3=0.‎ ‎4.已知f(x)=ax3+9x2+6x-7,若f′(-1)=4,则a的值等于(  )‎ A.    B.   ‎ C.    D. ‎[答案] B ‎[解析] ∵f′(x)=3ax2+18x+6,‎ ‎∴由f′(-1)=4得,‎3a-18+6=4,即a=.‎ ‎∴选B.‎ ‎5.已知物体的运动方程是s=t4-4t3+16t2(t表示时间,s表示位移),则瞬时速度为0的时刻是(  )‎ A.0秒、2秒或4秒 B.0秒、2秒或16秒 C.2秒、8秒或16秒 D.0秒、4秒或8秒 ‎[答案] D ‎[解析] 显然瞬时速度v=s′=t3-12t2+32t=t(t2-12t+32),令v=0可得t=0,4,8.故选D.‎ ‎6.(2010·新课标全国卷文,4)曲线y=x3-2x+1在点(1,0)处的切线方程为(  )‎ A.y=x-1 B.y=-x-1‎ C.y=2x-2 D.y=-2x-2‎ ‎[答案] A ‎[解析] 本题考查了导数的几何意义,切线方程的求法,在解题时应首先验证点是否在曲线上,然后通过求导得出切线的斜率,题目定位于简单题.‎ 由题可知,点(1,0)在曲线y=x3-2x+1上,求导可得y′=3x2-2,所以在点(1,0)处的切线的斜率k=1,切线过点(1,0),根据直线的点斜式可得过点(1,0)的曲线y=x3-2x+1的切线方程为y=x-1,故选A.‎ ‎7.若函数f(x)=exsinx,则此函数图象在点(4,f(4))处的切线的倾斜角为(  )‎ A. B.0 ‎ C.钝角 D.锐角 ‎[答案] C ‎[解析] y′|x=4=(exsinx+excosx)|x=4=e4(sin4+cos4)=e4sin(4+)<0,故倾斜角为钝角,选C.‎ ‎8.曲线y=xsinx在点处的切线与x轴、直线x=π所围成的三角形的面积为 ‎(  )‎ A. B.π2‎ C.2π2 D.(2+π)2‎ ‎[答案] A ‎[解析] 曲线y=xsinx在点处的切线方程为y=-x,所围成的三角形的面积为 .‎ ‎9.设f0(x)=sinx,f1(x)=f0′(x),f2(x)=f1′(x),…,fn+1(x)=fn′(x),n∈N,则f2011(x)等于(  )‎ A.sinx B.-sinx ‎ C.cosx D.-cosx ‎[答案] D ‎[解析] f0(x)=sinx,‎ f1(x)=f0′(x)=(sinx)′=cosx,‎ f2(x)=f1′(x)=(cosx)′=-sinx,‎ f3(x)=f2′(x)=(-sinx)′=-cosx,‎ f4(x)=f3′(x)=(-cosx)′=sinx,‎ ‎∴4为最小正周期,∴f2011(x)=f3(x)=-cosx.故选D.‎ ‎10.f(x)与g(x)是定义在R上的两个可导函数,若f(x)、g(x)满足f′(x)=g′(x),则f(x)与g(x)满足(  )‎ A.f(x)=g(x) B.f(x)-g(x)为常数 C.f(x)=g(x)=0 D.f(x)+g(x)为常数 ‎[答案] B ‎[解析] 令F(x)=f(x)-g(x),则F′(x)=f′(x)-g′(x)=0,∴F(x)为常数.‎ 二、填空题 ‎11.设f(x)=ax2-bsinx,且f′(0)=1,f′=,则a=________,b=________.‎ ‎[答案] 0 -1‎ ‎[解析] f′(x)=2ax-bcosx,由条件知 ,∴.‎ ‎12.设f(x)=x3-3x2-9x+1,则不等式f′(x)<0的解集为________.‎ ‎[答案] (-1,3)‎ ‎[解析] f′(x)=3x2-6x-9,由f′(x)<0得3x2-6x-9<0,∴x2-2x-3<0,∴-1<x<3.‎ ‎13.曲线y=cosx在点P处的切线的斜率为______.‎ ‎[答案] - ‎[解析] ∵y′=(cosx)′=-sinx,‎ ‎∴切线斜率k=y′|x==-sin=-.‎ ‎14.已知函数f(x)=ax+bex图象上在点P(-1,2)处的切线与直线y=-3x平行,则函数f(x)的解析式是____________.‎ ‎[答案] f(x)=-x-ex+1‎ ‎[解析] 由题意可知,f′(x)|x=-1=-3,‎ ‎∴a+be-1=-3,又f(-1)=2,‎ ‎∴-a+be-1=2,解之得a=-,b=-e,‎ 故f(x)=-x-ex+1.‎ 三、解答题 ‎15.求下列函数的导数:‎ ‎(1)y=x(x2++);(2)y=(+1)(-1);‎ ‎(3)y=sin4+cos4;(4)y=+ .‎ ‎[解析] (1)∵y=x=x3+1+,‎ ‎∴y′=3x2-;‎ ‎ (3)∵y=sin4+cos4 ‎=2-2sin2cos2 ‎=1-sin2=1-·=+cosx,‎ ‎∴y′=-sinx;‎ ‎(4)∵y=+=+ ‎==-2,‎ ‎∴y′=′==.‎ ‎16.已知两条曲线y=sinx、y=cosx,是否存在这两条曲线的一个公共点,使在这一点处,两条曲线的切线互相垂直?并说明理由.‎ ‎[解析] 由于y=sinx、y=cosx,设两条曲线的一个公共点为P(x0,y0),‎ ‎∴两条曲线在P(x0,y0)处的斜率分别为 若使两条切线互相垂直,必须cosx0·(-sinx0)=-1,‎ 即sinx0·cosx0=1,也就是sin2x0=2,这是不可能的,‎ ‎∴两条曲线不存在公共点,使在这一点处的两条切线互相垂直.‎ ‎17.已知曲线C1:y=x2与C2:y=-(x-2)2.直线l与C1、C2都相切,求直线l的方程.‎ ‎[解析] 设l与C1相切于点P(x1,x),与C2相切于点Q(x2,-(x2-2)2).‎ 对于C1:y′=2x,则与C1相切于点P的切线方程为y-x=2x1(x-x1),即y=2x1x-x.①‎ 对于C2:y′=-2(x-2),与C2相切于点Q的切线方程为y+(x2-2)2=-2(x2-2)(x-x2),‎ 即y=-2(x2-2)x+x-4. ②‎ ‎∵两切线重合,∴2x1=-2(x2-2)且-x=x-4,‎ 解得x1=0,x2=2或x1=2,x2=0.‎ ‎∴直线l的方程为y=0或y=4x-4.‎ ‎18.求满足下列条件的函数f(x):‎ ‎(1)f(x)是三次函数,且f(0)=3,f′(0)=0,f′(1)=-3,f′(2)=0;‎ ‎(2)f′(x)是一次函数,x‎2f′(x)-(2x-1)f(x)=1.‎ ‎[解析] (1)设f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)‎ 则f′(x)=3ax2+2bx+c 由f(0)=3,可知d=3,由f′(0)=0可知c=0,‎ 由f′(1)=-3,f′(2)=0‎ 可建立方程组,‎ 解得,‎ 所以f(x)=x3-3x2+3.‎ ‎(2)由f′(x)是一次函数可知f(x)是二次函数,‎ 则可设f(x)=ax2+bx+c(a≠0)‎ f′(x)=2ax+b,‎ 把f(x)和f′(x)代入方程,得 x2(2ax+b)-(2x-1)(ax2+bx+c)=1‎ 整理得(a-b)x2+(b-2c)x+c=1‎ 若想对任意x方程都成立,则需 解得,‎ 所以f(x)=2x2+2x+1.‎
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