高中数学人教a版选修4-5同步辅导与检测：1_2_3绝对值不等式的解法2

高中数学人教a版选修4-5同步辅导与检测：1_2_3绝对值不等式的解法2

1.2 　绝对值不等式 1.2.3 　绝对值不等式的解法 (2) 不等式和绝对值不等式 会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式： |x － c| ＋ |x － b|≥a.|x － c| ＋ |x － b|≤a. 1 ．求解不等式： |x － c| ＋ |x － b|≥a ， |x － c| ＋ |x － b|≤a. 的第一种方法分讨论去绝对值． 练习 1 ： 不等式 |x － 2| ＋ |x － 1|≥5 的解集为： ________ 2 ．求解不等式： |x － c| ＋ |x － b|≥a ， |x － c| ＋ |x － b|≤a. 的第二种方法用几何意义直接求边界值，再利用几何意义写出解集． 练习 2 ： 不等式 |x| ＋ |x ＋ 1| ＜ 2 的解集为： ________ 解不等式 |x ＋ 2| ＋ |x － 1|≤4. 分析： 可用三种方法求解 . 数轴上与－ 2 、 1 对应的点把数轴分成了三部分，在每部分里分别讨论不等式的解，然后把它们综合在一起就得到不等式的解集 . （ 2) 此不等式也可利用绝对值的几何意义来解 . （ 3 ）从函数的观点，利用函数图象求不等式的解集 . 解法二（几何法） x 为不等式 | x +2|+| x -1|≤4 的解 x 是与数轴上的点 A （ -2 ）及 B （ 1 ）两点距离之和小于等于 4 的点 . A ， B 两点的距离为 3 ，因此线段 AB 上任何一点到 A ， B 距离之和都等于 3 ，因此都是原不等式的解 . 但我们需要找到原不等式解的全体，于是关键在于找到 A ， B 距离之和为 4 的点 .  解关于 x 的不等式 |log a ax 2 | ＜ |log a x| ＋ 2. 分析： 换元求解，令 log a x ＝ t. 解析： 原不等式化为 |1 ＋ 2log a x| ＜ |log a x| ＋ 2 ， 令 t ＝ log a x ，所以 |2t ＋ 1| ＜ |t| ＋ 2 ， 两边平方得： 4t 2 ＋ 4t ＋ 1 ＜ t 2 ＋ 4|t| ＋ 4 ⇒ 3t 2 ＋ 4t － 4|t| － 3 ＜ 0 ， 当 t ≥ 0 时， 3t 2 － 3 ＜ 0 ⇒ t 2 ＜ 1 ⇒ － 1 ＜ t ＜ 1 ， 所以 0 ≤ t ＜ 1 ； 当 t ＜ 0 时， 3t 2 ＋ 8t － 3 ＜ 0 ⇒ － 3 ＜ t ＜ ， 所以－ 3 ＜ t ＜ 0 ； 综上所述－ 3 ＜ t ＜ 1. 因为 t ＝ log a x ，所以－ 3 ＜ log a x ＜ 1. 当 0 ＜ a ＜ 1 时， a ＜ x ＜ a － 3 ， 当 a ＞ 1 时， a － 3 ＜ x ＜ a ， 所以原不等式的解集为： 当 0 ＜ a ＜ 1 时 {x|a ＜ x ＜ a － 3 } ， 当 a ＞ 1 时， {x|a － 3 ＜ x ＜ a} ． 设函数 f(x) ＝ |2x ＋ 1| － |x － 4|. (1) 解不等式 f(x) ＞ 2 ； (2) 求函数 y ＝ f(x) 的最小值． 点评： 本小题主要考查绝对值不等式的解法以及函数最值的求法，考查综合运用数学知识解决问题的能力． 一层练习 2 ．不等式 |x － 1| ＋ |x － 2|≤3 的最小整数解是 ( 　 　 ) A ． 0 B ．－ 1 C ． 1 D ． 2 B A 4 ． | x ＋ log 3 x | ＜ | x | ＋ |log 3 x | 的解集为 ( 　 　 ) A ． (0,1) B ． (1 ，＋∞ ) C ． (0 ，＋∞ ) D ． ( －∞，＋∞ ) C A 5 ．对任意实数 x ，若不等式 | x ＋ 1| － | x － 2| ＞ k 恒成立，则 k 的取值范围是 ( 　 　 ) A ． k ＜ 3 B ． k ＜－ 3 C ． k ≤3 D ． k ≤ － 3 B 二层练习 7 ． (2012 年江西卷 ) 在实数范围内，不等式 |2 x － 1| ＋ |2 x ＋ 1| ≤6 的解集为 ______________ ． 6. 已知关于 x 的不等式 | x +2|+| x -3|< a 的解集是非空集合，则实数 a 的取值范围是 _________. 答案： { a | a >5} 8 ．解不等式 (1)|x 2 － 2x ＋ 3| ＜ |3x － 1| ， (2)|x ＋ 7| － |x － 2|≤3. 解析： (1) 原不等式 ⇔ (x 2 － 2x ＋ 3) 2 ＜ (3x － 1) 2 ⇔ [(x 2 － 2x ＋ 3) ＋ (3x － 1)][(x 2 － 2x ＋ 3) － (3x － 1)] ＜ 0 ⇔ (x 2 ＋ x ＋ 2)(x 2 － 5x ＋ 4) ＜ 0 ⇔ x 2 － 5x ＋ 4 ＜ 0( 因为 x 2 ＋ x ＋ 2 恒大于 0) ⇔ 1 ＜ x ＜ 4. 所以原不等式的解集是 {x|1 ＜ x ＜ 4} ． 9 ．在 [ － 2,2] 上作函数 y ＝ 2| x ＋ 1| ＋ | x | ＋ | x － 1| 的图象，并解不等式 2| x ＋ 1| ＋ | x | ＋ | x － 1| ＞ 5. 三层练习 10 ． ( 2011 年江苏卷 ) 解不等式 x ＋ |2x － 1| ＜ 3. 11 ．解不等式 |log 2 x | ＋ |log 2 (2 － x )|≥1. 解析： 因为两对数 log 2 x ， log 2 (2 － x ) 有意义， 故 0 ＜ x ＜ 2. 令 log 2 x ＝ 0 ， log 2 (2 － x ) ＝ 0 ⇒ x ＝ 1. 当 0 ＜ x ＜ 1 时，原不等式等价于 － log 2 x ＋ log 2 (2 － x ) ≥ 1 12 ．已知不等式 | x ＋ 2| － | x ＋ 3| ＞ m . (1) 若不等式有解； (2) 若不等式解集为 R . 分别求 m 的取值范围． 分析： 求出 | x ＋ 2| － | x ＋ 3| 的取值范围即可． 解析： 利用绝对值不等式性质 | | x ＋ 2| － | x ＋ 3||≤| x ＋ 3 － 2 － x | ＝ 1 ， ∴－ 1≤| x ＋ 2| － | x ＋ 3|≤1. (1) 若不等式有解， m 只要比 | x ＋ 2| － | x ＋ 3| 的最大值小即可，即 m ＜ 1 ； (2) 若不等式的解集为 R ，即不等式恒成立． m 只要比 | x ＋ 2| － | x ＋ 3| 的最小值还小，即 m ＜－ 1. 13 ．解不等式 |2 x ＋ 1| － 2| x － 1|>0. 1 ．本小节讲述了 |x － a| ＋ |x － b|≥c 、 |x － a| ＋ |x － b|≤c 型不等式的三种解法：分区间 ( 分类 ) 讨论法、图象法和几何法．分区间讨论的方法具有普遍性，但较麻烦；几何法和图象法直观，但只适用于数据较简单的情况． 2 ．分区间讨论的关键在于对绝对值代数意义的理解，即 也即 x∈ R ， x 为非负数时， |x| 为 x ； x 为负数时， |x| 为－ x ，即 x 的相反数．利用这一性质，在解 |x － a| ＋ |x － b|≥c 、 |x － a| ＋ |x － b|≤c(c ＞ 0) 时，不妨设 a ＜ b ，则是在 ( －∞， a] ， (a ， b) ， [b ，＋∞ ) 上得到 |x － a| ＋ |x － b| 的不同的解析表达式，将问题转化为解三个不等式组 原不等式的解集为以上三个不等式组解集的并集． |x-a|+|x-b|≥c 型不等式可类似处理 . 3 ． |x － a| ＋ |x － b|≥c 、 |x － a| ＋ |x － b|≤c 型不等式的图象解法和画出函数的图象是密切相关的，其图象是折线，正确地画出其图象的关键是写出 f(x) 的分段解析表达式，不妨设 a ＜ b ，于是 f(x) ＝ |x － a| ＋ |x － b| － c 这种解法体现了函数与方程结合、数形结合的思想． 祝 您 学业有成