2020年四川省遂宁市中考数学试卷(含解析）

2020年四川省遂宁市中考数学试卷(含解析）

‎2020年四川省遂宁市中考数学试卷 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分，在每个小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求．）‎ ‎1．（4分）﹣5的相反数是（　　）‎ A．5 B．﹣5 C．‎1‎‎5‎ D．‎‎-‎‎1‎‎5‎ ‎2．（4分）已知某种新型感冒病毒的直径为0.000000823米，将0.000000823用科学记数法表示为（　　）‎ A．8.23×10﹣6 B．8.23×10﹣7 C．8.23×106 D．8.23×107‎ ‎3．（4分）下列计算正确的是（　　）‎ A．7ab﹣5a＝2b B．（a‎+‎‎1‎a）2＝a2‎+‎‎1‎a‎2‎ ‎ C．（﹣3a2b）2＝6a4b2 D．3a2b÷b＝3a2‎ ‎4．（4分）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）‎ A．等边三角形 B．平行四边形 C．矩形 D．正五边形 ‎5．（4分）函数y‎=‎x+2‎x-1‎中，自变量x的取值范围是（　　）‎ A．x＞﹣2 B．x≥﹣2 C．x＞﹣2且x≠1 D．x≥﹣2且x≠1‎ ‎6．（4分）关于x的分式方程mx-2‎‎-‎3‎‎2-x=‎1有增根，则m的值（　　）‎ A．m＝2 B．m＝1 C．m＝3 D．m＝﹣3‎ ‎7．（4分）如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AC于点E，交AD于点F，交CD的延长线于点G，若AF＝2FD，则BEEG的值为（　　）‎ A．‎1‎‎2‎ B．‎1‎‎3‎ C．‎2‎‎3‎ D．‎‎3‎‎4‎ ‎8．（4分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴为直线x＝﹣1，下列结论不正确的是（　　）‎ 第27页（共27页）‎ A．b2＞4ac ‎ B．abc＞0 ‎ C．a﹣c＜0 ‎ D．am2+bm≥a﹣b（m为任意实数）‎ ‎9．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，点O在AB上，经过点A的⊙O与BC相切于点D，交AB于点E，若CD‎=‎‎2‎，则图中阴影部分面积为（　　）‎ A．4‎-‎π‎2‎ B．2‎-‎π‎2‎ C．2﹣π D．1‎‎-‎π‎4‎ ‎10．（4分）如图，在正方形ABCD中，点E是边BC的中点，连接AE、DE，分别交BD、AC于点P、Q，过点P作PF⊥AE交CB的延长线于F，下列结论：‎ ‎①∠AED+∠EAC+∠EDB＝90°，‎ ‎②AP＝FP，‎ ‎③AE‎=‎‎10‎‎2‎AO，‎ ‎④若四边形OPEQ的面积为4，则该正方形ABCD的面积为36，‎ ‎⑤CE•EF＝EQ•DE．‎ 其中正确的结论有（　　）‎ 第27页（共27页）‎ A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）‎ ‎11．（4分）下列各数3.1415926，‎9‎，1.212212221…，‎1‎‎7‎，2﹣π，﹣2020，‎3‎‎4‎中，无理数的个数有　 　个．‎ ‎12．（4分）一列数4、5、4、6、x、5、7、3中，其中众数是4，则x的值是　 　．‎ ‎13．（4分）已知一个正多边形的内角和为1440°，则它的一个外角的度数为　 　度．‎ ‎14．（4分）若关于x的不等式组x-2‎‎4‎‎＜‎x-1‎‎3‎‎2x-m≤2-x有且只有三个整数解，则m的取值范围是　 　．‎ ‎15．（4分）如图所示，将形状大小完全相同的“▱”按照一定规律摆成下列图形，第1幅图中“▱”的个数为a1，第2幅图中“▱”的个数为a2，第3幅图中“▱”的个数为a3，…，以此类推，若‎2‎a‎1‎‎+‎2‎a‎2‎+‎2‎a‎3‎+⋯+‎2‎an=‎n‎2020‎．（n为正整数），则n的值为　 　．‎ 三、计算或解答题（本大题共10小题，共90分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎16．（7分）计算：‎8‎‎-‎2sin30°﹣|1‎-‎‎2‎|+（‎1‎‎2‎）﹣2﹣（π﹣2020）0．‎ ‎17．（7分）先化简，（x‎2‎‎+4x+4‎x‎2‎‎-4‎‎-‎x﹣2）‎÷‎x+2‎x-2‎，然后从﹣2≤x≤2范围内选取一个合适的整数作为x的值代入求值．‎ ‎18．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E分别是线段BC、AD的中点，过点A 第27页（共27页）‎ 作BC的平行线交BE的延长线于点F，连接CF．‎ ‎（1）求证：△BDE≌△FAE；‎ ‎（2）求证：四边形ADCF为矩形．‎ ‎19．（8分）在数学实践与综合课上，某兴趣小组同学用航拍无人机对某居民小区的1、2号楼进行测高实践，如图为实践时绘制的截面图．无人机从地面点B垂直起飞到达点A处，测得1号楼顶部E的俯角为67°，测得2号楼顶部F的俯角为40°，此时航拍无人机的高度为60米，已知1号楼的高度为20米，且EC和FD分别垂直地面于点C和D，点B为CD的中点，求2号楼的高度．（结果精确到0.1）‎ ‎（参考数据sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84，sin67°≈0.92，cos67°≈0.39，tan67°≈2.36）‎ ‎20．（9分）新学期开始时，某校九年级一班的同学为了增添教室绿色文化，打造温馨舒适的学习环境，准备到一家植物种植基地购买A、B两种花苗．据了解，购买A种花苗3盆，B种花苗5盆，则需210元；购买A种花苗4盆，B种花苗10盆，则需380元．‎ ‎（1）求A、B两种花苗的单价分别是多少元？‎ ‎（2）经九年级一班班委会商定，决定购买A、B两种花苗共12盆进行搭配装扮教室．种植基地销售人员为了支持本次活动，为该班同学提供以下优惠：购买几盆B种花苗，B种花苗每盆就降价几元，请你为九年级一班的同学预算一下，本次购买至少准备多少钱？最多准备多少钱？‎ 第27页（共27页）‎ ‎21．（9分）阅读以下材料，并解决相应问题：‎ 小明在课外学习时遇到这样一个问题：‎ 定义：如果二次函数y＝a1x2+b1x+c1（a1≠0，a1、b1、c1是常数）与y＝a2x2+b2x+c2（a2≠0，a2、b2、c2是常数）满足a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，则这两个函数互为“旋转函数”．求函数y＝2x2﹣3x+1的旋转函数，小明是这样思考的，由函数y＝2x2﹣3x+1可知，a1＝2，b1＝﹣3，c1＝1，根据a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，求出a2，b2，c2就能确定这个函数的旋转函数．‎ 请思考小明的方法解决下面问题：‎ ‎（1）写出函数y＝x2﹣4x+3的旋转函数．‎ ‎（2）若函数y＝5x2+（m﹣1）x+n与y＝﹣5x2﹣nx﹣3互为旋转函数，求（m+n）2020的值．‎ ‎（3）已知函数y＝2（x﹣1）（x+3）的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点A、B、C关于原点的对称点分别是A1、B1、C1，试求证：经过点A1、B1、C1的二次函数与y＝2（x﹣1）（x+3）互为“旋转函数”．‎ ‎22．（10分）端午节是中国的传统节日．今年端午节前夕，遂宁市某食品厂抽样调查了河东某居民区市民对A、B、C、D四种不同口味粽子样品的喜爱情况，并将调查情况绘制成如图两幅不完整统计图：‎ ‎（1）本次参加抽样调查的居民有　 　人．‎ ‎（2）喜欢C种口味粽子的人数所占圆心角为　 　度．根据题中信息补全条形统计图．‎ ‎（3）若该居民小区有6000人，请你估计爱吃D种粽子的有　 　人．‎ ‎（4）若有外型完全相同的A、B、C、D棕子各一个，煮熟后，小李吃了两个，请用列表或画树状图的方法求他第二个吃的粽子恰好是A种粽子的概率．‎ ‎23．（10分）如图，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为（0，2），点B的坐标为（1，‎ 第27页（共27页）‎ ‎0），连结AB，以AB为边在第一象限内作正方形ABCD，直线BD交双曲线y═kx（k≠0）于D、E两点，连结CE，交x轴于点F．‎ ‎（1）求双曲线y‎=‎kx（k≠0）和直线DE的解析式．‎ ‎（2）求△DEC的面积．‎ ‎24．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB边上的一点，以AD为直径的⊙O交BC于点E，交AC于点F，过点C作CG⊥AB交AB于点G，交AE于点H，过点E的弦EP交AB于点Q（EP不是直径），点Q为弦EP的中点，连结BP，BP恰好为⊙O的切线．‎ ‎（1）求证：BC是⊙O的切线．‎ ‎（2）求证：EF‎=‎ED．‎ ‎（3）若sin∠ABC═‎3‎‎5‎，AC＝15，求四边形CHQE的面积．‎ ‎25．（12分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过A（1，0），B（3，0），C（0，6）三点．‎ ‎（1）求抛物线的解析式．‎ ‎（2）抛物线的顶点M与对称轴l上的点N关于x轴对称，直线AN交抛物线于点D 第27页（共27页）‎ ‎，直线BE交AD于点E，若直线BE将△ABD的面积分为1：2两部分，求点E的坐标．‎ ‎（3）P为抛物线上的一动点，Q为对称轴上动点，抛物线上是否存在一点P，使A、D、P、Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．‎ 第27页（共27页）‎ ‎2020年四川省遂宁市中考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分，在每个小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求．）‎ ‎1．（4分）﹣5的相反数是（　　）‎ A．5 B．﹣5 C．‎1‎‎5‎ D．‎‎-‎‎1‎‎5‎ ‎【解答】解：﹣5的相反数是5，‎ 故选：A．‎ ‎2．（4分）已知某种新型感冒病毒的直径为0.000000823米，将0.000000823用科学记数法表示为（　　）‎ A．8.23×10﹣6 B．8.23×10﹣7 C．8.23×106 D．8.23×107‎ ‎【解答】解：0.000000823＝8.23×10﹣7．‎ 故选：B．‎ ‎3．（4分）下列计算正确的是（　　）‎ A．7ab﹣5a＝2b B．（a‎+‎‎1‎a）2＝a2‎+‎‎1‎a‎2‎ ‎ C．（﹣3a2b）2＝6a4b2 D．3a2b÷b＝3a2‎ ‎【解答】解：7ab与﹣5a不是同类项，不能合并，因此选项A不正确；‎ 根据完全平方公式可得（a‎+‎‎1‎a）2＝a2‎+‎1‎a‎2‎+‎2，因此选项B不正确；‎ ‎（﹣3a2b）2＝9a4b2，因此选项C不正确；‎ ‎3a2b÷b＝3a2，因此选项D正确；‎ 故选：D．‎ ‎4．（4分）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）‎ A．等边三角形 B．平行四边形 C．矩形 D．正五边形 ‎【解答】解：A、等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形．故本选项不合题意；‎ B、平行四边形是中心对称图形，不是轴对称图形．故本选项不合题意；‎ C、矩形既是轴对称图形，又是中心对称图形．故本选项符合题意；‎ D、正五边形是轴对称图形，不是中心对称图形．故本选项不合题意．‎ 故选：C．‎ 第27页（共27页）‎ ‎5．（4分）函数y‎=‎x+2‎x-1‎中，自变量x的取值范围是（　　）‎ A．x＞﹣2 B．x≥﹣2 C．x＞﹣2且x≠1 D．x≥﹣2且x≠1‎ ‎【解答】解：根据题意得：‎x+2≥0‎x-1≠0‎ 解得：x≥﹣2且x≠1．‎ 故选：D．‎ ‎6．（4分）关于x的分式方程mx-2‎‎-‎3‎‎2-x=‎1有增根，则m的值（　　）‎ A．m＝2 B．m＝1 C．m＝3 D．m＝﹣3‎ ‎【解答】解：去分母得：m+3＝x﹣2，‎ 由分式方程有增根，得到x﹣2＝0，即x＝2，‎ 把x＝2代入整式方程得：m+3＝0，‎ 解得：m＝﹣3，‎ 故选：D．‎ ‎7．（4分）如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AC于点E，交AD于点F，交CD的延长线于点G，若AF＝2FD，则BEEG的值为（　　）‎ A．‎1‎‎2‎ B．‎1‎‎3‎ C．‎2‎‎3‎ D．‎‎3‎‎4‎ ‎【解答】解：由AF＝2DF，可以假设DF＝k，则AF＝2k，AD＝3k，‎ ‎∵四边形ABCD是平行四边形，‎ ‎∴AD∥BC，AB∥CD，AB＝CD，‎ ‎∴∠AFB＝∠FBC＝∠DFG，∠ABF＝∠G，‎ ‎∵BE平分∠ABC，‎ ‎∴∠ABF＝∠CBG，‎ ‎∴∠ABF＝∠AFB＝∠DFG＝∠G，‎ ‎∴AB＝CD＝2k，DF＝DG＝k，‎ 第27页（共27页）‎ ‎∴CG＝CD+DG＝3k，‎ ‎∵AB∥DG，‎ ‎∴△ABE∽△CGE，‎ ‎∴BEEG‎=ABCG=‎2k‎3k=‎‎2‎‎3‎，‎ 故选：C．‎ ‎8．（4分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴为直线x＝﹣1，下列结论不正确的是（　　）‎ A．b2＞4ac ‎ B．abc＞0 ‎ C．a﹣c＜0 ‎ D．am2+bm≥a﹣b（m为任意实数）‎ ‎【解答】解：由图象可得：a＞0，c＞0，△＝b2﹣4ac＞0，‎-b‎2a=-‎1，‎ ‎∴b＝2a＞0，b2＞4ac，故A选项不合题意，‎ ‎∴abc＞0，故B选项不合题意，‎ 当x＝﹣1时，y＜0，‎ ‎∴a﹣b+c＜0，‎ ‎∴﹣a+c＜0，即a﹣c＞0，故C选项符合题意，‎ 当x＝m时，y＝am2+bm+c，‎ 当x＝﹣1时，y有最小值为a﹣b+c，‎ ‎∴am2+bm+c≥a﹣b+c，‎ ‎∴am2+bm≥a﹣b，故D选项不合题意，‎ 故选：C．‎ ‎9．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，点O在AB上，经过点A的⊙O与BC相切于点D，交AB于点E，若CD‎=‎‎2‎，则图中阴影部分面积为（　　）‎ 第27页（共27页）‎ A．4‎-‎π‎2‎ B．2‎-‎π‎2‎ C．2﹣π D．1‎‎-‎π‎4‎ ‎【解答】解：连接OD，过O作OH⊥AC于H，如图，‎ ‎∵∠C＝90°，AC＝BC，‎ ‎∴∠B＝∠CAB＝45°，‎ ‎∵⊙O与BC相切于点D，‎ ‎∴OD⊥BC，‎ ‎∴四边形ODCH为矩形，‎ ‎∴OH＝CD‎=‎‎2‎，‎ 在Rt△OAH中，∠OAH＝45°，‎ ‎∴OA‎=‎‎2‎OH＝2，‎ 在Rt△OBD中，∵∠B＝45°，‎ ‎∴∠BOD＝45°，BD＝OD＝2，‎ ‎∴图中阴影部分面积＝S△OBD﹣S扇形DOE ‎=‎1‎‎2‎×‎‎2×2‎-‎‎45×π×2‎‎180‎ ‎ ‎＝2‎-‎‎1‎‎2‎π．‎ 故选：B．‎ ‎10．（4分）如图，在正方形ABCD中，点E是边BC的中点，连接AE、DE，分别交BD、AC于点P、Q，过点P作PF⊥AE交CB的延长线于F，下列结论：‎ 第27页（共27页）‎ ‎①∠AED+∠EAC+∠EDB＝90°，‎ ‎②AP＝FP，‎ ‎③AE‎=‎‎10‎‎2‎AO，‎ ‎④若四边形OPEQ的面积为4，则该正方形ABCD的面积为36，‎ ‎⑤CE•EF＝EQ•DE．‎ 其中正确的结论有（　　）‎ A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 ‎【解答】解：如图，连接OE．‎ ‎∵四边形ABCD是正方形，‎ ‎∴AC⊥BD，OA＝OC＝OB＝OD，‎ ‎∴∠BOC＝90°，‎ ‎∵BE＝EC，‎ ‎∴∠EOB＝∠EOC＝45°，‎ ‎∵∠EOB＝∠EDB+∠OED，∠EOC＝∠EAC+∠AEO，‎ ‎∴∠AED+∠EAC+∠EDO＝∠EAC+∠AEO+∠OED+∠EDB＝90°，故①正确，‎ 连接AF．‎ ‎∵PF⊥AE，‎ ‎∴∠APF＝∠ABF＝90°，‎ ‎∴A，P，B，F四点共圆，‎ ‎∴∠AFP＝∠ABP＝45°，‎ ‎∴∠PAF＝∠PFA＝45°，‎ ‎∴PA＝PF，故②正确，‎ 设BE＝EC＝a，则AE‎=‎‎5‎a，OA＝OC＝OB＝OD‎=‎‎2‎a，‎ 第27页（共27页）‎ ‎∴AEAO‎=‎5‎a‎2‎a=‎‎10‎‎2‎，即AE‎=‎‎10‎‎2‎AO，故③正确，‎ 根据对称性可知，△OPE≌△OQE，‎ ‎∴S△OEQ‎=‎‎1‎‎2‎S四边形OPEQ＝2，‎ ‎∵OB＝OD，BE＝EC，‎ ‎∴CD＝2OE，OE⊥CD，‎ ‎∴EQDQ‎=OECD=‎‎1‎‎2‎，△OEQ∽△CDQ，‎ ‎∴S△ODQ＝4，S△CDQ＝8，‎ ‎∴S△CDO＝12，‎ ‎∴S正方形ABCD＝48，故④错误，‎ ‎∵∠EPF＝∠DCE＝90°，∠PEF＝∠DEC，‎ ‎∴△EPF∽△ECD，‎ ‎∴EFED‎=‎PEEC，‎ ‎∴EQ＝PE，‎ ‎∴CE•EF＝EQ•DE，故⑤正确，‎ 故选：B．‎ 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）‎ ‎11．（4分）下列各数3.1415926，‎9‎，1.212212221…，‎1‎‎7‎，2﹣π，﹣2020，‎3‎‎4‎中，无理数的个数有　3　个．‎ ‎【解答】解：在所列实数中，无理数有1.212212221…，2﹣π，‎3‎‎4‎这3个，‎ 故答案为：3．‎ ‎12．（4分）一列数4、5、4、6、x、5、7、3中，其中众数是4，则x的值是　4　．‎ ‎【解答】解：根据众数定义就可以得到：x＝4．‎ 故答案为：4．‎ 第27页（共27页）‎ ‎13．（4分）已知一个正多边形的内角和为1440°，则它的一个外角的度数为　36　度．‎ ‎【解答】解：设此多边形为n边形，‎ 根据题意得：180（n﹣2）＝1440，‎ 解得：n＝10，‎ ‎∴这个正多边形的每一个外角等于：360°÷10＝36°．‎ 故答案为：36．‎ ‎14．（4分）若关于x的不等式组x-2‎‎4‎‎＜‎x-1‎‎3‎‎2x-m≤2-x有且只有三个整数解，则m的取值范围是　1≤m＜4　．‎ ‎【解答】解：解不等式x-2‎‎4‎‎＜‎x-1‎‎3‎，得：x＞﹣2，‎ 解不等式2x﹣m≤2﹣x，得：x‎≤‎m+2‎‎3‎，‎ 则不等式组的解集为﹣2＜x‎≤‎m+2‎‎3‎，‎ ‎∵不等式组有且只有三个整数解，‎ ‎∴1‎≤m+2‎‎3‎＜‎2，‎ 解得1≤m＜4，‎ 故答案为：1≤m＜4．‎ ‎15．（4分）如图所示，将形状大小完全相同的“▱”按照一定规律摆成下列图形，第1幅图中“▱”的个数为a1，第2幅图中“▱”的个数为a2，第3幅图中“▱”的个数为a3，…，以此类推，若‎2‎a‎1‎‎+‎2‎a‎2‎+‎2‎a‎3‎+⋯+‎2‎an=‎n‎2020‎．（n为正整数），则n的值为　4039　．‎ ‎【解答】解：由图形知a1＝1×2，a2＝2×3，a3＝3×4，‎ ‎∴an＝n（n+1），‎ ‎∵‎2‎a‎1‎‎+‎2‎a‎2‎+‎2‎a‎3‎+⋯+‎2‎an=‎n‎2020‎，‎ 第27页（共27页）‎ ‎∴‎2‎‎1×2‎‎+‎2‎‎2×3‎+‎2‎‎3×4‎+⋯+‎2‎n(n+1)‎=‎n‎2020‎，‎ ‎∴2×（1‎-‎1‎‎2‎+‎1‎‎2‎-‎1‎‎3‎+‎1‎‎3‎-‎1‎‎4‎+⋯⋯+‎1‎n-‎‎1‎n+1‎）‎=‎n‎2020‎，‎ ‎∴2×（1‎-‎‎1‎n+1‎）‎=‎n‎2020‎，‎ ‎1‎-‎1‎n+1‎=‎n‎4040‎，‎ 解得n＝4039，‎ 经检验：n＝4039是分式方程的解，‎ 故答案为：4039．‎ 三、计算或解答题（本大题共10小题，共90分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎16．（7分）计算：‎8‎‎-‎2sin30°﹣|1‎-‎‎2‎|+（‎1‎‎2‎）﹣2﹣（π﹣2020）0．‎ ‎【解答】解：原式＝2‎2‎‎-‎2‎×‎1‎‎2‎-‎（‎2‎‎-‎1）+4﹣1‎ ‎＝2‎2‎‎-‎1‎-‎2‎+‎1+4﹣1‎ ‎=‎2‎+‎‎3．‎ ‎17．（7分）先化简，（x‎2‎‎+4x+4‎x‎2‎‎-4‎‎-‎x﹣2）‎÷‎x+2‎x-2‎，然后从﹣2≤x≤2范围内选取一个合适的整数作为x的值代入求值．‎ ‎【解答】解：原式＝[‎(x+2‎‎)‎‎2‎‎(x+2)(x-2)‎‎-‎（x+2）]•‎x-2‎x+2‎ ‎＝（x+2‎x-2‎‎-‎x‎2‎‎-4‎x-2‎）•‎x-2‎x+2‎ ‎=‎‎-x‎2‎+x+6‎x-2‎‎•x-2‎x+2‎ ‎ ‎=-‎‎(x+2)(x-3)‎x-2‎‎•x-2‎x+2‎ ‎ ‎＝﹣（x﹣3）‎ ‎＝﹣x+3，‎ ‎∵x≠±2，‎ ‎∴可取x＝1，‎ 则原式＝﹣1+3＝2．‎ ‎18．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E分别是线段BC、AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，连接CF．‎ 第27页（共27页）‎ ‎（1）求证：△BDE≌△FAE；‎ ‎（2）求证：四边形ADCF为矩形．‎ ‎【解答】证明：（1）∵AF∥BC，‎ ‎∴∠AFE＝∠DBE，‎ ‎∵E是线段AD的中点，‎ ‎∴AE＝DE，‎ ‎∵∠AEF＝∠DEB，‎ ‎∴△BDE≌△FAE（AAS）；‎ ‎（2）∵△BDE≌△FAE，‎ ‎∴AF＝BD，‎ ‎∵D是线段BC的中点，‎ ‎∴BD＝CD，‎ ‎∴AF＝CD，‎ ‎∵AF∥CD，‎ ‎∴四边形ADCF是平行四边形，‎ ‎∵AB＝AC，‎ ‎∴AD⊥BC，‎ ‎∴∠ADC＝90°，‎ ‎∴四边形ADCF为矩形．‎ ‎19．（8分）在数学实践与综合课上，某兴趣小组同学用航拍无人机对某居民小区的1、2号楼进行测高实践，如图为实践时绘制的截面图．无人机从地面点B垂直起飞到达点A处，测得1号楼顶部E的俯角为67°，测得2号楼顶部F的俯角为40°，此时航拍无人机的高度为60米，已知1号楼的高度为20米，且EC和FD分别垂直地面于点C和D，点B为CD的中点，求2号楼的高度．（结果精确到0.1）‎ ‎（参考数据sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84，sin67°≈0.92，cos67°≈‎ 第27页（共27页）‎ ‎0.39，tan67°≈2.36）‎ ‎【解答】解：过点E、F分别作EM⊥AB，FN⊥AB，垂足分别为M、N，‎ 由题意得，EC＝20，∠AEM＝67°，∠AFN＝40°，CB＝DB＝EM＝FN，AB＝60，‎ ‎∴AM＝AB﹣MB＝60﹣20＝40，‎ 在Rt△AEM中，‎ ‎∵tan∠AEM‎=‎AMEM，‎ ‎∴EM‎=AMtan∠AEM=‎40‎tan67°‎≈‎16.9，‎ 在Rt△AFN中，‎ ‎∵tan∠AFN‎=‎ANFN，‎ ‎∴AN＝tan40°×16.9≈14.2，‎ ‎∴FD＝NB＝AB﹣AN＝60﹣14.2＝45.8，‎ 答：2号楼的高度约为45.8米．‎ ‎20．（9分）新学期开始时，某校九年级一班的同学为了增添教室绿色文化，打造温馨舒适的学习环境，准备到一家植物种植基地购买A、B两种花苗．据了解，购买A种花苗3盆，B种花苗5盆，则需210元；购买A种花苗4盆，B种花苗10盆，则需380元．‎ 第27页（共27页）‎ ‎（1）求A、B两种花苗的单价分别是多少元？‎ ‎（2）经九年级一班班委会商定，决定购买A、B两种花苗共12盆进行搭配装扮教室．种植基地销售人员为了支持本次活动，为该班同学提供以下优惠：购买几盆B种花苗，B种花苗每盆就降价几元，请你为九年级一班的同学预算一下，本次购买至少准备多少钱？最多准备多少钱？‎ ‎【解答】解：（1）设A、B两种花苗的单价分别是x元和y元，则‎3x+5y=210‎‎4x+10y=380‎，解得x=20‎y=30‎，‎ 答：A、B两种花苗的单价分别是20元和30元；‎ ‎（2）设购买B花苗x盆，则购买A花苗为（12﹣x）盆，设总费用为w元，‎ 由题意得：w＝20（12﹣x）+（30﹣x）x＝﹣x2+10x+240（0≤x≤12），‎ ‎∵﹣1＜0．故w有最大值，当x＝5时，w的最大值为265，当x＝12时，w的最小值为216，‎ 故本次购买至少准备216元，最多准备265元．‎ ‎21．（9分）阅读以下材料，并解决相应问题：‎ 小明在课外学习时遇到这样一个问题：‎ 定义：如果二次函数y＝a1x2+b1x+c1（a1≠0，a1、b1、c1是常数）与y＝a2x2+b2x+c2（a2≠0，a2、b2、c2是常数）满足a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，则这两个函数互为“旋转函数”．求函数y＝2x2﹣3x+1的旋转函数，小明是这样思考的，由函数y＝2x2﹣3x+1可知，a1＝2，b1＝﹣3，c1＝1，根据a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，求出a2，b2，c2就能确定这个函数的旋转函数．‎ 请思考小明的方法解决下面问题：‎ ‎（1）写出函数y＝x2﹣4x+3的旋转函数．‎ ‎（2）若函数y＝5x2+（m﹣1）x+n与y＝﹣5x2﹣nx﹣3互为旋转函数，求（m+n）2020的值．‎ ‎（3）已知函数y＝2（x﹣1）（x+3）的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点A、B、C关于原点的对称点分别是A1、B1、C1，试求证：经过点A1、B1、C1的二次函数与y＝2（x﹣1）（x+3）互为“旋转函数”．‎ ‎【解答】解：（1）由y＝x2﹣4x+3函数可知，a1＝1，b1＝﹣4，c1＝3，‎ 第27页（共27页）‎ ‎∵a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，‎ ‎∴a2＝﹣1，b2＝﹣4，c2＝﹣3，‎ ‎∴函数y＝x2﹣4x+3的“旋转函数”为y＝﹣x2﹣4x﹣3；‎ ‎（2）∵y＝5x2+（m﹣1）x+n与y＝﹣5x2﹣nx﹣3互为“旋转函数”，‎ ‎∴m-1=-nn-3=0‎，‎ 解得：m=-2‎n=3‎，‎ ‎∴（m+n）2020＝（﹣2+3）2020＝1．‎ ‎（3）证明：当x＝0时，y＝2（x﹣1）（x+3））＝﹣6，‎ ‎∴点C的坐标为（0，﹣6）．‎ 当y＝0时，2（x﹣1）（x+3）＝0，‎ 解得：x1＝1，x2＝﹣3，‎ ‎∴点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（﹣3，0）．‎ ‎∵点A，B，C关于原点的对称点分别是A1，B1，C1，‎ ‎∴A1（﹣1，0），B1（3，0），C1（0，6）．‎ 设过点A1，B1，C1的二次函数解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），‎ 将C1（0，6）代入y＝a（x+1）（x﹣3），得：6＝﹣3a，‎ 解得：a＝﹣2，‎ 过点A1，B1，C1的二次函数解析式为y＝﹣2（x+1）（x﹣3），即y＝﹣2x2+4x+6．‎ ‎∵y＝2（x﹣1）（x+3）＝2x2+4x﹣6，‎ ‎∴a1＝2，b1＝4，c1＝﹣6，a2＝﹣2，b2＝4，c2＝6，‎ ‎∴a1+a2＝2+（﹣2）＝0，b1＝b2＝4，c1+c2＝6+（﹣6）＝0，‎ ‎∴经过点A1，B1，C1的二次函数与函数y＝2（x﹣1）（x+3）互为“旋转函数”．‎ ‎22．（10分）端午节是中国的传统节日．今年端午节前夕，遂宁市某食品厂抽样调查了河东某居民区市民对A、B、C、D四种不同口味粽子样品的喜爱情况，并将调查情况绘制成如图两幅不完整统计图：‎ 第27页（共27页）‎ ‎（1）本次参加抽样调查的居民有　600　人．‎ ‎（2）喜欢C种口味粽子的人数所占圆心角为　72　度．根据题中信息补全条形统计图．‎ ‎（3）若该居民小区有6000人，请你估计爱吃D种粽子的有　2400　人．‎ ‎（4）若有外型完全相同的A、B、C、D棕子各一个，煮熟后，小李吃了两个，请用列表或画树状图的方法求他第二个吃的粽子恰好是A种粽子的概率．‎ ‎【解答】解：（1）240÷40%＝600（人），‎ 所以本次参加抽样调查的居民有60人；‎ ‎（2）喜欢B种口味粽子的人数为600×10%＝60（人），‎ 喜欢C种口味粽子的人数为600﹣180﹣60﹣240＝120（人），‎ 所以喜欢C种口味粽子的人数所占圆心角的度数为360°‎×‎120‎‎600‎=‎72°；‎ 补全条形统计图为：‎ ‎（3）6000×40%＝2400，‎ 所以估计爱吃D种粽子的有2400人；‎ 故答案为600；72；2400；‎ ‎（4）画树状图为：‎ 第27页（共27页）‎ 共有12种等可能的结果数，其中他第二个吃的粽子恰好是A种粽子的结果数为3，‎ 所以他第二个吃的粽子恰好是A种粽子的概率‎=‎3‎‎12‎=‎‎1‎‎4‎．‎ ‎23．（10分）如图，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为（0，2），点B的坐标为（1，0），连结AB，以AB为边在第一象限内作正方形ABCD，直线BD交双曲线y═kx（k≠0）于D、E两点，连结CE，交x轴于点F．‎ ‎（1）求双曲线y‎=‎kx（k≠0）和直线DE的解析式．‎ ‎（2）求△DEC的面积．‎ ‎【解答】解：∵点A的坐标为（0，2），点B的坐标为（1，0），‎ ‎∴OA＝2，OB＝1，‎ 作DM⊥y轴于M，‎ ‎∵四边形ABCD是正方形，‎ ‎∴∠BAD＝90°，AB＝AD，‎ ‎∴∠OAB+∠DAM＝90°，‎ ‎∵∠OAB+∠ABO＝90°，‎ ‎∴∠DAM＝∠ABO，‎ 在△AOB和△DMA中 ‎∠ABO=∠DAM‎∠AOB=∠DMA=90°‎AB=DA‎，‎ ‎∴△AOB≌△DMA（AAS），‎ 第27页（共27页）‎ ‎∴AM＝OB＝1，DM＝OA＝2，‎ ‎∴D（2，3），‎ ‎∵双曲线y═kx（k≠0）经过D点，‎ ‎∴k＝2×3＝6，‎ ‎∴双曲线为y‎=‎‎6‎x，‎ 设直线DE的解析式为y＝mx+n，‎ 把B（1，0），D（2，3）代入得m+n=0‎‎2m+n=3‎，解得m=3‎n=-3‎，‎ ‎∴直线DE的解析式为y＝3x﹣3；‎ ‎（2）连接AC，交BD于N，‎ ‎∵四边形ABCD是正方形，‎ ‎∴BD垂直平分AC，AC＝BD，‎ 解y=3x-3‎y=‎‎6‎x得x=2‎y=3‎或x=-1‎y=-6‎，‎ ‎∴E（﹣1，﹣6），‎ ‎∵B（1，0），D（2，3），‎ ‎∴DE‎=‎(2+1‎)‎‎2‎+(3+6‎‎)‎‎2‎=‎3‎10‎，DB‎=‎(2-1‎)‎‎2‎+‎‎3‎‎2‎=‎‎10‎，‎ ‎∴CN‎=‎‎1‎‎2‎BD‎=‎‎10‎‎2‎，‎ ‎∴S△DEC‎=‎‎1‎‎2‎DE•CN‎=‎1‎‎2‎×3‎10‎×‎10‎‎2‎=‎‎15‎‎2‎．‎ ‎24．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB边上的一点，以AD为直径的⊙O交BC于点E，交AC于点F，过点C作CG⊥AB交AB于点G，交AE于点H，过点E的弦EP交AB于点Q（EP不是直径），点Q为弦EP的中点，连结BP，BP恰好为⊙O 第27页（共27页）‎ 的切线．‎ ‎（1）求证：BC是⊙O的切线．‎ ‎（2）求证：EF‎=‎ED．‎ ‎（3）若sin∠ABC═‎3‎‎5‎，AC＝15，求四边形CHQE的面积．‎ ‎【解答】（1）证明：连接OE，OP，‎ ‎∵PE⊥AB，点Q为弦EP的中点，‎ ‎∴AB垂直平分EP，‎ ‎∴PB＝BE，‎ ‎∵OE＝OP，OB＝OB，‎ ‎∴△BEO≌△BPO（SSS），‎ ‎∴∠BEO＝∠BPO，‎ ‎∵BP为⊙O的切线，‎ ‎∴∠BPO＝90°，‎ ‎∴∠BEO＝90°，‎ ‎∴OE⊥BC，‎ ‎∴BC是⊙O的切线．‎ ‎（2）解：∵∠BEO＝∠ACB＝90°，‎ ‎∴AC∥OE，‎ ‎∴∠CAE＝∠OEA，‎ ‎∵OA＝OE，‎ ‎∴∠EAO＝∠AEO，‎ ‎∴∠CAE＝∠EAO，‎ ‎∴EF‎=‎ED．‎ 第27页（共27页）‎ ‎（3）解：∵AD为的⊙O直径，点Q为弦EP的中点，‎ ‎∴EP⊥AB，‎ ‎∵CG⊥AB，‎ ‎∴CG∥EP，‎ ‎∵∠ACB＝∠BEO＝90°，‎ ‎∴AC∥OE，‎ ‎∴∠CAE＝∠AEO，‎ ‎∵OA＝OE，‎ ‎∴∠EAQ＝∠AEO，‎ ‎∴∠CAE＝∠EAO，‎ ‎∵∠ACE＝∠AQE＝90°，AE＝AE，‎ ‎∴△ACE≌△AQE（AAS），‎ ‎∴CE＝QE，‎ ‎∵∠AEC+∠CAE＝∠EAQ+∠AHG＝90°，‎ ‎∴∠CEH＝∠AHG，‎ ‎∵∠AHG＝∠CHE，‎ ‎∴∠CHE＝∠CEH，‎ ‎∴CH＝CE，‎ ‎∴CH＝EQ，‎ ‎∴四边形CHQE是平行四边形，‎ ‎∵CH＝CE，‎ ‎∴四边形CHQE是菱形，‎ ‎∵sin∠ABC═sin∠ACG═AGAC‎=‎‎3‎‎5‎，‎ ‎∵AC＝15，‎ ‎∴AG＝9，‎ ‎∴CG‎=AC‎2‎-AG‎2‎=‎12，‎ ‎∵△ACE≌△AQE，‎ ‎∴AQ＝AC＝15，‎ ‎∴QG＝6，‎ 第27页（共27页）‎ ‎∵HQ2＝HG2+QG2，‎ ‎∴HQ2＝（12﹣HQ）2+62，‎ 解得：HQ‎=‎‎15‎‎2‎，‎ ‎∴CH＝HQ‎=‎‎15‎‎2‎，‎ ‎∴四边形CHQE的面积＝CH•GQ‎=‎15‎‎2‎×‎6＝45．‎ ‎25．（12分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过A（1，0），B（3，0），C（0，6）三点．‎ ‎（1）求抛物线的解析式．‎ ‎（2）抛物线的顶点M与对称轴l上的点N关于x轴对称，直线AN交抛物线于点D，直线BE交AD于点E，若直线BE将△ABD的面积分为1：2两部分，求点E的坐标．‎ ‎（3）P为抛物线上的一动点，Q为对称轴上动点，抛物线上是否存在一点P，使A、D、P、Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过A（1，0），B（3，0），‎ ‎∴设抛物线解析式为：y＝a（x﹣1）（x﹣3），‎ 第27页（共27页）‎ ‎∵抛物线y＝a（x﹣1）（x﹣3）（a≠0）的图象经过点C（0，6），‎ ‎∴6＝a（0﹣1）（0﹣3），‎ ‎∴a＝2，‎ ‎∴抛物线解析式为：y＝2（x﹣1）（x﹣3）＝2x2﹣8x+6；‎ ‎（2）∵y＝2x2﹣8x+6＝2（x﹣2）2﹣2，‎ ‎∴顶点M的坐标为（2，﹣2），‎ ‎∵抛物线的顶点M与对称轴l上的点N关于x轴对称，‎ ‎∴点N（2，2），‎ 设直线AN解析式为：y＝kx+b，‎ 由题意可得：‎0=k+b‎2=2k+b，‎ 解得：k=2‎b=-2‎，‎ ‎∴直线AN解析式为：y＝2x﹣2，‎ 联立方程组得：y=2x-2‎y=2x‎2‎-8x+6‎，‎ 解得：x‎1‎=1‎y‎1‎=0‎，x‎2‎=4‎y‎2‎=6‎，‎ ‎∴点D（4，6），‎ ‎∴S△ABD‎=‎1‎‎2‎×‎2×6＝6，‎ 设点E（m，2m﹣2），‎ ‎∵直线BE将△ABD的面积分为1：2两部分，‎ ‎∴S△ABE‎=‎‎1‎‎3‎S△ABD＝2或S△ABE‎=‎‎2‎‎3‎S△ABD＝4，‎ ‎∴‎1‎‎2‎‎×‎2×（2m﹣2）＝2或‎1‎‎2‎‎×‎2×（2m﹣2）＝4，‎ ‎∴m＝2或3，‎ ‎∴点E（2，2）或（3，4）；‎ ‎（3）若AD为平行四边形的边，‎ ‎∵以A、D、P、Q为顶点的四边形为平行四边形，‎ ‎∴AD＝PQ，‎ ‎∴xD﹣xA＝xP﹣xQ或xD﹣xA＝xQ﹣xP，‎ ‎∴xP＝4﹣1+2＝5或xP＝2﹣4+1＝﹣1，‎ 第27页（共27页）‎ ‎∴点P坐标为（5，16）或（﹣1，16）；‎ 若AD为平行四边形的对角线，‎ ‎∵以A、D、P、Q为顶点的四边形为平行四边形，‎ ‎∴AD与PQ互相平分，‎ ‎∴xA+xD‎2‎‎=‎xP+xQ‎2‎，‎ ‎∴xP＝3，‎ ‎∴点P坐标为（3，0），‎ 综上所述：当点P坐标为（5，16）或（﹣1，16）或（3，0）时，使A、D、P、Q为顶点的四边形为平行四边形．‎ 第27页（共27页）‎