2020年四川省遂宁市中考数学试卷(含解析)

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2020年四川省遂宁市中考数学试卷(含解析)

‎2020年四川省遂宁市中考数学试卷 一、选择题(本大题共10个小题,每小题4分,共40分,在每个小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求.)‎ ‎1.(4分)﹣5的相反数是(  )‎ A.5 B.﹣5 C.‎1‎‎5‎ D.‎‎-‎‎1‎‎5‎ ‎2.(4分)已知某种新型感冒病毒的直径为0.000000823米,将0.000000823用科学记数法表示为(  )‎ A.8.23×10﹣6 B.8.23×10﹣7 C.8.23×106 D.8.23×107‎ ‎3.(4分)下列计算正确的是(  )‎ A.7ab﹣5a=2b B.(a‎+‎‎1‎a)2=a2‎+‎‎1‎a‎2‎ ‎ C.(﹣3a2b)2=6a4b2 D.3a2b÷b=3a2‎ ‎4.(4分)下列图形中,既是轴对称图形,又是中心对称图形的是(  )‎ A.等边三角形 B.平行四边形 C.矩形 D.正五边形 ‎5.(4分)函数y‎=‎x+2‎x-1‎中,自变量x的取值范围是(  )‎ A.x>﹣2 B.x≥﹣2 C.x>﹣2且x≠1 D.x≥﹣2且x≠1‎ ‎6.(4分)关于x的分式方程mx-2‎‎-‎3‎‎2-x=‎1有增根,则m的值(  )‎ A.m=2 B.m=1 C.m=3 D.m=﹣3‎ ‎7.(4分)如图,在平行四边形ABCD中,∠ABC的平分线交AC于点E,交AD于点F,交CD的延长线于点G,若AF=2FD,则BEEG的值为(  )‎ A.‎1‎‎2‎ B.‎1‎‎3‎ C.‎2‎‎3‎ D.‎‎3‎‎4‎ ‎8.(4分)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,对称轴为直线x=﹣1,下列结论不正确的是(  )‎ 第27页(共27页)‎ A.b2>4ac ‎ B.abc>0 ‎ C.a﹣c<0 ‎ D.am2+bm≥a﹣b(m为任意实数)‎ ‎9.(4分)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=BC,点O在AB上,经过点A的⊙O与BC相切于点D,交AB于点E,若CD‎=‎‎2‎,则图中阴影部分面积为(  )‎ A.4‎-‎π‎2‎ B.2‎-‎π‎2‎ C.2﹣π D.1‎‎-‎π‎4‎ ‎10.(4分)如图,在正方形ABCD中,点E是边BC的中点,连接AE、DE,分别交BD、AC于点P、Q,过点P作PF⊥AE交CB的延长线于F,下列结论:‎ ‎①∠AED+∠EAC+∠EDB=90°,‎ ‎②AP=FP,‎ ‎③AE‎=‎‎10‎‎2‎AO,‎ ‎④若四边形OPEQ的面积为4,则该正方形ABCD的面积为36,‎ ‎⑤CE•EF=EQ•DE.‎ 其中正确的结论有(  )‎ 第27页(共27页)‎ A.5个 B.4个 C.3个 D.2个 二、填空题(本大题共5个小题,每小题4分,共20分)‎ ‎11.(4分)下列各数3.1415926,‎9‎,1.212212221…,‎1‎‎7‎,2﹣π,﹣2020,‎3‎‎4‎中,无理数的个数有   个.‎ ‎12.(4分)一列数4、5、4、6、x、5、7、3中,其中众数是4,则x的值是   .‎ ‎13.(4分)已知一个正多边形的内角和为1440°,则它的一个外角的度数为   度.‎ ‎14.(4分)若关于x的不等式组x-2‎‎4‎‎<‎x-1‎‎3‎‎2x-m≤2-x有且只有三个整数解,则m的取值范围是   .‎ ‎15.(4分)如图所示,将形状大小完全相同的“▱”按照一定规律摆成下列图形,第1幅图中“▱”的个数为a1,第2幅图中“▱”的个数为a2,第3幅图中“▱”的个数为a3,…,以此类推,若‎2‎a‎1‎‎+‎2‎a‎2‎+‎2‎a‎3‎+⋯+‎2‎an=‎n‎2020‎.(n为正整数),则n的值为   .‎ 三、计算或解答题(本大题共10小题,共90分,解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)‎ ‎16.(7分)计算:‎8‎‎-‎2sin30°﹣|1‎-‎‎2‎|+(‎1‎‎2‎)﹣2﹣(π﹣2020)0.‎ ‎17.(7分)先化简,(x‎2‎‎+4x+4‎x‎2‎‎-4‎‎-‎x﹣2)‎÷‎x+2‎x-2‎,然后从﹣2≤x≤2范围内选取一个合适的整数作为x的值代入求值.‎ ‎18.(8分)如图,在△ABC中,AB=AC,点D、E分别是线段BC、AD的中点,过点A 第27页(共27页)‎ 作BC的平行线交BE的延长线于点F,连接CF.‎ ‎(1)求证:△BDE≌△FAE;‎ ‎(2)求证:四边形ADCF为矩形.‎ ‎19.(8分)在数学实践与综合课上,某兴趣小组同学用航拍无人机对某居民小区的1、2号楼进行测高实践,如图为实践时绘制的截面图.无人机从地面点B垂直起飞到达点A处,测得1号楼顶部E的俯角为67°,测得2号楼顶部F的俯角为40°,此时航拍无人机的高度为60米,已知1号楼的高度为20米,且EC和FD分别垂直地面于点C和D,点B为CD的中点,求2号楼的高度.(结果精确到0.1)‎ ‎(参考数据sin40°≈0.64,cos40°≈0.77,tan40°≈0.84,sin67°≈0.92,cos67°≈0.39,tan67°≈2.36)‎ ‎20.(9分)新学期开始时,某校九年级一班的同学为了增添教室绿色文化,打造温馨舒适的学习环境,准备到一家植物种植基地购买A、B两种花苗.据了解,购买A种花苗3盆,B种花苗5盆,则需210元;购买A种花苗4盆,B种花苗10盆,则需380元.‎ ‎(1)求A、B两种花苗的单价分别是多少元?‎ ‎(2)经九年级一班班委会商定,决定购买A、B两种花苗共12盆进行搭配装扮教室.种植基地销售人员为了支持本次活动,为该班同学提供以下优惠:购买几盆B种花苗,B种花苗每盆就降价几元,请你为九年级一班的同学预算一下,本次购买至少准备多少钱?最多准备多少钱?‎ 第27页(共27页)‎ ‎21.(9分)阅读以下材料,并解决相应问题:‎ 小明在课外学习时遇到这样一个问题:‎ 定义:如果二次函数y=a1x2+b1x+c1(a1≠0,a1、b1、c1是常数)与y=a2x2+b2x+c2(a2≠0,a2、b2、c2是常数)满足a1+a2=0,b1=b2,c1+c2=0,则这两个函数互为“旋转函数”.求函数y=2x2﹣3x+1的旋转函数,小明是这样思考的,由函数y=2x2﹣3x+1可知,a1=2,b1=﹣3,c1=1,根据a1+a2=0,b1=b2,c1+c2=0,求出a2,b2,c2就能确定这个函数的旋转函数.‎ 请思考小明的方法解决下面问题:‎ ‎(1)写出函数y=x2﹣4x+3的旋转函数.‎ ‎(2)若函数y=5x2+(m﹣1)x+n与y=﹣5x2﹣nx﹣3互为旋转函数,求(m+n)2020的值.‎ ‎(3)已知函数y=2(x﹣1)(x+3)的图象与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,点A、B、C关于原点的对称点分别是A1、B1、C1,试求证:经过点A1、B1、C1的二次函数与y=2(x﹣1)(x+3)互为“旋转函数”.‎ ‎22.(10分)端午节是中国的传统节日.今年端午节前夕,遂宁市某食品厂抽样调查了河东某居民区市民对A、B、C、D四种不同口味粽子样品的喜爱情况,并将调查情况绘制成如图两幅不完整统计图:‎ ‎(1)本次参加抽样调查的居民有   人.‎ ‎(2)喜欢C种口味粽子的人数所占圆心角为   度.根据题中信息补全条形统计图.‎ ‎(3)若该居民小区有6000人,请你估计爱吃D种粽子的有   人.‎ ‎(4)若有外型完全相同的A、B、C、D棕子各一个,煮熟后,小李吃了两个,请用列表或画树状图的方法求他第二个吃的粽子恰好是A种粽子的概率.‎ ‎23.(10分)如图,在平面直角坐标系中,已知点A的坐标为(0,2),点B的坐标为(1,‎ 第27页(共27页)‎ ‎0),连结AB,以AB为边在第一象限内作正方形ABCD,直线BD交双曲线y═kx(k≠0)于D、E两点,连结CE,交x轴于点F.‎ ‎(1)求双曲线y‎=‎kx(k≠0)和直线DE的解析式.‎ ‎(2)求△DEC的面积.‎ ‎24.(10分)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,D为AB边上的一点,以AD为直径的⊙O交BC于点E,交AC于点F,过点C作CG⊥AB交AB于点G,交AE于点H,过点E的弦EP交AB于点Q(EP不是直径),点Q为弦EP的中点,连结BP,BP恰好为⊙O的切线.‎ ‎(1)求证:BC是⊙O的切线.‎ ‎(2)求证:EF‎=‎ED.‎ ‎(3)若sin∠ABC═‎3‎‎5‎,AC=15,求四边形CHQE的面积.‎ ‎25.(12分)如图,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过A(1,0),B(3,0),C(0,6)三点.‎ ‎(1)求抛物线的解析式.‎ ‎(2)抛物线的顶点M与对称轴l上的点N关于x轴对称,直线AN交抛物线于点D 第27页(共27页)‎ ‎,直线BE交AD于点E,若直线BE将△ABD的面积分为1:2两部分,求点E的坐标.‎ ‎(3)P为抛物线上的一动点,Q为对称轴上动点,抛物线上是否存在一点P,使A、D、P、Q为顶点的四边形为平行四边形?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.‎ 第27页(共27页)‎ ‎2020年四川省遂宁市中考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题(本大题共10个小题,每小题4分,共40分,在每个小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求.)‎ ‎1.(4分)﹣5的相反数是(  )‎ A.5 B.﹣5 C.‎1‎‎5‎ D.‎‎-‎‎1‎‎5‎ ‎【解答】解:﹣5的相反数是5,‎ 故选:A.‎ ‎2.(4分)已知某种新型感冒病毒的直径为0.000000823米,将0.000000823用科学记数法表示为(  )‎ A.8.23×10﹣6 B.8.23×10﹣7 C.8.23×106 D.8.23×107‎ ‎【解答】解:0.000000823=8.23×10﹣7.‎ 故选:B.‎ ‎3.(4分)下列计算正确的是(  )‎ A.7ab﹣5a=2b B.(a‎+‎‎1‎a)2=a2‎+‎‎1‎a‎2‎ ‎ C.(﹣3a2b)2=6a4b2 D.3a2b÷b=3a2‎ ‎【解答】解:7ab与﹣5a不是同类项,不能合并,因此选项A不正确;‎ 根据完全平方公式可得(a‎+‎‎1‎a)2=a2‎+‎1‎a‎2‎+‎2,因此选项B不正确;‎ ‎(﹣3a2b)2=9a4b2,因此选项C不正确;‎ ‎3a2b÷b=3a2,因此选项D正确;‎ 故选:D.‎ ‎4.(4分)下列图形中,既是轴对称图形,又是中心对称图形的是(  )‎ A.等边三角形 B.平行四边形 C.矩形 D.正五边形 ‎【解答】解:A、等边三角形是轴对称图形,不是中心对称图形.故本选项不合题意;‎ B、平行四边形是中心对称图形,不是轴对称图形.故本选项不合题意;‎ C、矩形既是轴对称图形,又是中心对称图形.故本选项符合题意;‎ D、正五边形是轴对称图形,不是中心对称图形.故本选项不合题意.‎ 故选:C.‎ 第27页(共27页)‎ ‎5.(4分)函数y‎=‎x+2‎x-1‎中,自变量x的取值范围是(  )‎ A.x>﹣2 B.x≥﹣2 C.x>﹣2且x≠1 D.x≥﹣2且x≠1‎ ‎【解答】解:根据题意得:‎x+2≥0‎x-1≠0‎ 解得:x≥﹣2且x≠1.‎ 故选:D.‎ ‎6.(4分)关于x的分式方程mx-2‎‎-‎3‎‎2-x=‎1有增根,则m的值(  )‎ A.m=2 B.m=1 C.m=3 D.m=﹣3‎ ‎【解答】解:去分母得:m+3=x﹣2,‎ 由分式方程有增根,得到x﹣2=0,即x=2,‎ 把x=2代入整式方程得:m+3=0,‎ 解得:m=﹣3,‎ 故选:D.‎ ‎7.(4分)如图,在平行四边形ABCD中,∠ABC的平分线交AC于点E,交AD于点F,交CD的延长线于点G,若AF=2FD,则BEEG的值为(  )‎ A.‎1‎‎2‎ B.‎1‎‎3‎ C.‎2‎‎3‎ D.‎‎3‎‎4‎ ‎【解答】解:由AF=2DF,可以假设DF=k,则AF=2k,AD=3k,‎ ‎∵四边形ABCD是平行四边形,‎ ‎∴AD∥BC,AB∥CD,AB=CD,‎ ‎∴∠AFB=∠FBC=∠DFG,∠ABF=∠G,‎ ‎∵BE平分∠ABC,‎ ‎∴∠ABF=∠CBG,‎ ‎∴∠ABF=∠AFB=∠DFG=∠G,‎ ‎∴AB=CD=2k,DF=DG=k,‎ 第27页(共27页)‎ ‎∴CG=CD+DG=3k,‎ ‎∵AB∥DG,‎ ‎∴△ABE∽△CGE,‎ ‎∴BEEG‎=ABCG=‎2k‎3k=‎‎2‎‎3‎,‎ 故选:C.‎ ‎8.(4分)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,对称轴为直线x=﹣1,下列结论不正确的是(  )‎ A.b2>4ac ‎ B.abc>0 ‎ C.a﹣c<0 ‎ D.am2+bm≥a﹣b(m为任意实数)‎ ‎【解答】解:由图象可得:a>0,c>0,△=b2﹣4ac>0,‎-b‎2a=-‎1,‎ ‎∴b=2a>0,b2>4ac,故A选项不合题意,‎ ‎∴abc>0,故B选项不合题意,‎ 当x=﹣1时,y<0,‎ ‎∴a﹣b+c<0,‎ ‎∴﹣a+c<0,即a﹣c>0,故C选项符合题意,‎ 当x=m时,y=am2+bm+c,‎ 当x=﹣1时,y有最小值为a﹣b+c,‎ ‎∴am2+bm+c≥a﹣b+c,‎ ‎∴am2+bm≥a﹣b,故D选项不合题意,‎ 故选:C.‎ ‎9.(4分)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=BC,点O在AB上,经过点A的⊙O与BC相切于点D,交AB于点E,若CD‎=‎‎2‎,则图中阴影部分面积为(  )‎ 第27页(共27页)‎ A.4‎-‎π‎2‎ B.2‎-‎π‎2‎ C.2﹣π D.1‎‎-‎π‎4‎ ‎【解答】解:连接OD,过O作OH⊥AC于H,如图,‎ ‎∵∠C=90°,AC=BC,‎ ‎∴∠B=∠CAB=45°,‎ ‎∵⊙O与BC相切于点D,‎ ‎∴OD⊥BC,‎ ‎∴四边形ODCH为矩形,‎ ‎∴OH=CD‎=‎‎2‎,‎ 在Rt△OAH中,∠OAH=45°,‎ ‎∴OA‎=‎‎2‎OH=2,‎ 在Rt△OBD中,∵∠B=45°,‎ ‎∴∠BOD=45°,BD=OD=2,‎ ‎∴图中阴影部分面积=S△OBD﹣S扇形DOE ‎=‎1‎‎2‎×‎‎2×2‎-‎‎45×π×2‎‎180‎ ‎ ‎=2‎-‎‎1‎‎2‎π.‎ 故选:B.‎ ‎10.(4分)如图,在正方形ABCD中,点E是边BC的中点,连接AE、DE,分别交BD、AC于点P、Q,过点P作PF⊥AE交CB的延长线于F,下列结论:‎ 第27页(共27页)‎ ‎①∠AED+∠EAC+∠EDB=90°,‎ ‎②AP=FP,‎ ‎③AE‎=‎‎10‎‎2‎AO,‎ ‎④若四边形OPEQ的面积为4,则该正方形ABCD的面积为36,‎ ‎⑤CE•EF=EQ•DE.‎ 其中正确的结论有(  )‎ A.5个 B.4个 C.3个 D.2个 ‎【解答】解:如图,连接OE.‎ ‎∵四边形ABCD是正方形,‎ ‎∴AC⊥BD,OA=OC=OB=OD,‎ ‎∴∠BOC=90°,‎ ‎∵BE=EC,‎ ‎∴∠EOB=∠EOC=45°,‎ ‎∵∠EOB=∠EDB+∠OED,∠EOC=∠EAC+∠AEO,‎ ‎∴∠AED+∠EAC+∠EDO=∠EAC+∠AEO+∠OED+∠EDB=90°,故①正确,‎ 连接AF.‎ ‎∵PF⊥AE,‎ ‎∴∠APF=∠ABF=90°,‎ ‎∴A,P,B,F四点共圆,‎ ‎∴∠AFP=∠ABP=45°,‎ ‎∴∠PAF=∠PFA=45°,‎ ‎∴PA=PF,故②正确,‎ 设BE=EC=a,则AE‎=‎‎5‎a,OA=OC=OB=OD‎=‎‎2‎a,‎ 第27页(共27页)‎ ‎∴AEAO‎=‎5‎a‎2‎a=‎‎10‎‎2‎,即AE‎=‎‎10‎‎2‎AO,故③正确,‎ 根据对称性可知,△OPE≌△OQE,‎ ‎∴S△OEQ‎=‎‎1‎‎2‎S四边形OPEQ=2,‎ ‎∵OB=OD,BE=EC,‎ ‎∴CD=2OE,OE⊥CD,‎ ‎∴EQDQ‎=OECD=‎‎1‎‎2‎,△OEQ∽△CDQ,‎ ‎∴S△ODQ=4,S△CDQ=8,‎ ‎∴S△CDO=12,‎ ‎∴S正方形ABCD=48,故④错误,‎ ‎∵∠EPF=∠DCE=90°,∠PEF=∠DEC,‎ ‎∴△EPF∽△ECD,‎ ‎∴EFED‎=‎PEEC,‎ ‎∴EQ=PE,‎ ‎∴CE•EF=EQ•DE,故⑤正确,‎ 故选:B.‎ 二、填空题(本大题共5个小题,每小题4分,共20分)‎ ‎11.(4分)下列各数3.1415926,‎9‎,1.212212221…,‎1‎‎7‎,2﹣π,﹣2020,‎3‎‎4‎中,无理数的个数有 3 个.‎ ‎【解答】解:在所列实数中,无理数有1.212212221…,2﹣π,‎3‎‎4‎这3个,‎ 故答案为:3.‎ ‎12.(4分)一列数4、5、4、6、x、5、7、3中,其中众数是4,则x的值是 4 .‎ ‎【解答】解:根据众数定义就可以得到:x=4.‎ 故答案为:4.‎ 第27页(共27页)‎ ‎13.(4分)已知一个正多边形的内角和为1440°,则它的一个外角的度数为 36 度.‎ ‎【解答】解:设此多边形为n边形,‎ 根据题意得:180(n﹣2)=1440,‎ 解得:n=10,‎ ‎∴这个正多边形的每一个外角等于:360°÷10=36°.‎ 故答案为:36.‎ ‎14.(4分)若关于x的不等式组x-2‎‎4‎‎<‎x-1‎‎3‎‎2x-m≤2-x有且只有三个整数解,则m的取值范围是 1≤m<4 .‎ ‎【解答】解:解不等式x-2‎‎4‎‎<‎x-1‎‎3‎,得:x>﹣2,‎ 解不等式2x﹣m≤2﹣x,得:x‎≤‎m+2‎‎3‎,‎ 则不等式组的解集为﹣2<x‎≤‎m+2‎‎3‎,‎ ‎∵不等式组有且只有三个整数解,‎ ‎∴1‎≤m+2‎‎3‎<‎2,‎ 解得1≤m<4,‎ 故答案为:1≤m<4.‎ ‎15.(4分)如图所示,将形状大小完全相同的“▱”按照一定规律摆成下列图形,第1幅图中“▱”的个数为a1,第2幅图中“▱”的个数为a2,第3幅图中“▱”的个数为a3,…,以此类推,若‎2‎a‎1‎‎+‎2‎a‎2‎+‎2‎a‎3‎+⋯+‎2‎an=‎n‎2020‎.(n为正整数),则n的值为 4039 .‎ ‎【解答】解:由图形知a1=1×2,a2=2×3,a3=3×4,‎ ‎∴an=n(n+1),‎ ‎∵‎2‎a‎1‎‎+‎2‎a‎2‎+‎2‎a‎3‎+⋯+‎2‎an=‎n‎2020‎,‎ 第27页(共27页)‎ ‎∴‎2‎‎1×2‎‎+‎2‎‎2×3‎+‎2‎‎3×4‎+⋯+‎2‎n(n+1)‎=‎n‎2020‎,‎ ‎∴2×(1‎-‎1‎‎2‎+‎1‎‎2‎-‎1‎‎3‎+‎1‎‎3‎-‎1‎‎4‎+⋯⋯+‎1‎n-‎‎1‎n+1‎)‎=‎n‎2020‎,‎ ‎∴2×(1‎-‎‎1‎n+1‎)‎=‎n‎2020‎,‎ ‎1‎-‎1‎n+1‎=‎n‎4040‎,‎ 解得n=4039,‎ 经检验:n=4039是分式方程的解,‎ 故答案为:4039.‎ 三、计算或解答题(本大题共10小题,共90分,解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)‎ ‎16.(7分)计算:‎8‎‎-‎2sin30°﹣|1‎-‎‎2‎|+(‎1‎‎2‎)﹣2﹣(π﹣2020)0.‎ ‎【解答】解:原式=2‎2‎‎-‎2‎×‎1‎‎2‎-‎(‎2‎‎-‎1)+4﹣1‎ ‎=2‎2‎‎-‎1‎-‎2‎+‎1+4﹣1‎ ‎=‎2‎+‎‎3.‎ ‎17.(7分)先化简,(x‎2‎‎+4x+4‎x‎2‎‎-4‎‎-‎x﹣2)‎÷‎x+2‎x-2‎,然后从﹣2≤x≤2范围内选取一个合适的整数作为x的值代入求值.‎ ‎【解答】解:原式=[‎(x+2‎‎)‎‎2‎‎(x+2)(x-2)‎‎-‎(x+2)]•‎x-2‎x+2‎ ‎=(x+2‎x-2‎‎-‎x‎2‎‎-4‎x-2‎)•‎x-2‎x+2‎ ‎=‎‎-x‎2‎+x+6‎x-2‎‎•x-2‎x+2‎ ‎ ‎=-‎‎(x+2)(x-3)‎x-2‎‎•x-2‎x+2‎ ‎ ‎=﹣(x﹣3)‎ ‎=﹣x+3,‎ ‎∵x≠±2,‎ ‎∴可取x=1,‎ 则原式=﹣1+3=2.‎ ‎18.(8分)如图,在△ABC中,AB=AC,点D、E分别是线段BC、AD的中点,过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F,连接CF.‎ 第27页(共27页)‎ ‎(1)求证:△BDE≌△FAE;‎ ‎(2)求证:四边形ADCF为矩形.‎ ‎【解答】证明:(1)∵AF∥BC,‎ ‎∴∠AFE=∠DBE,‎ ‎∵E是线段AD的中点,‎ ‎∴AE=DE,‎ ‎∵∠AEF=∠DEB,‎ ‎∴△BDE≌△FAE(AAS);‎ ‎(2)∵△BDE≌△FAE,‎ ‎∴AF=BD,‎ ‎∵D是线段BC的中点,‎ ‎∴BD=CD,‎ ‎∴AF=CD,‎ ‎∵AF∥CD,‎ ‎∴四边形ADCF是平行四边形,‎ ‎∵AB=AC,‎ ‎∴AD⊥BC,‎ ‎∴∠ADC=90°,‎ ‎∴四边形ADCF为矩形.‎ ‎19.(8分)在数学实践与综合课上,某兴趣小组同学用航拍无人机对某居民小区的1、2号楼进行测高实践,如图为实践时绘制的截面图.无人机从地面点B垂直起飞到达点A处,测得1号楼顶部E的俯角为67°,测得2号楼顶部F的俯角为40°,此时航拍无人机的高度为60米,已知1号楼的高度为20米,且EC和FD分别垂直地面于点C和D,点B为CD的中点,求2号楼的高度.(结果精确到0.1)‎ ‎(参考数据sin40°≈0.64,cos40°≈0.77,tan40°≈0.84,sin67°≈0.92,cos67°≈‎ 第27页(共27页)‎ ‎0.39,tan67°≈2.36)‎ ‎【解答】解:过点E、F分别作EM⊥AB,FN⊥AB,垂足分别为M、N,‎ 由题意得,EC=20,∠AEM=67°,∠AFN=40°,CB=DB=EM=FN,AB=60,‎ ‎∴AM=AB﹣MB=60﹣20=40,‎ 在Rt△AEM中,‎ ‎∵tan∠AEM‎=‎AMEM,‎ ‎∴EM‎=AMtan∠AEM=‎40‎tan67°‎≈‎16.9,‎ 在Rt△AFN中,‎ ‎∵tan∠AFN‎=‎ANFN,‎ ‎∴AN=tan40°×16.9≈14.2,‎ ‎∴FD=NB=AB﹣AN=60﹣14.2=45.8,‎ 答:2号楼的高度约为45.8米.‎ ‎20.(9分)新学期开始时,某校九年级一班的同学为了增添教室绿色文化,打造温馨舒适的学习环境,准备到一家植物种植基地购买A、B两种花苗.据了解,购买A种花苗3盆,B种花苗5盆,则需210元;购买A种花苗4盆,B种花苗10盆,则需380元.‎ 第27页(共27页)‎ ‎(1)求A、B两种花苗的单价分别是多少元?‎ ‎(2)经九年级一班班委会商定,决定购买A、B两种花苗共12盆进行搭配装扮教室.种植基地销售人员为了支持本次活动,为该班同学提供以下优惠:购买几盆B种花苗,B种花苗每盆就降价几元,请你为九年级一班的同学预算一下,本次购买至少准备多少钱?最多准备多少钱?‎ ‎【解答】解:(1)设A、B两种花苗的单价分别是x元和y元,则‎3x+5y=210‎‎4x+10y=380‎,解得x=20‎y=30‎,‎ 答:A、B两种花苗的单价分别是20元和30元;‎ ‎(2)设购买B花苗x盆,则购买A花苗为(12﹣x)盆,设总费用为w元,‎ 由题意得:w=20(12﹣x)+(30﹣x)x=﹣x2+10x+240(0≤x≤12),‎ ‎∵﹣1<0.故w有最大值,当x=5时,w的最大值为265,当x=12时,w的最小值为216,‎ 故本次购买至少准备216元,最多准备265元.‎ ‎21.(9分)阅读以下材料,并解决相应问题:‎ 小明在课外学习时遇到这样一个问题:‎ 定义:如果二次函数y=a1x2+b1x+c1(a1≠0,a1、b1、c1是常数)与y=a2x2+b2x+c2(a2≠0,a2、b2、c2是常数)满足a1+a2=0,b1=b2,c1+c2=0,则这两个函数互为“旋转函数”.求函数y=2x2﹣3x+1的旋转函数,小明是这样思考的,由函数y=2x2﹣3x+1可知,a1=2,b1=﹣3,c1=1,根据a1+a2=0,b1=b2,c1+c2=0,求出a2,b2,c2就能确定这个函数的旋转函数.‎ 请思考小明的方法解决下面问题:‎ ‎(1)写出函数y=x2﹣4x+3的旋转函数.‎ ‎(2)若函数y=5x2+(m﹣1)x+n与y=﹣5x2﹣nx﹣3互为旋转函数,求(m+n)2020的值.‎ ‎(3)已知函数y=2(x﹣1)(x+3)的图象与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,点A、B、C关于原点的对称点分别是A1、B1、C1,试求证:经过点A1、B1、C1的二次函数与y=2(x﹣1)(x+3)互为“旋转函数”.‎ ‎【解答】解:(1)由y=x2﹣4x+3函数可知,a1=1,b1=﹣4,c1=3,‎ 第27页(共27页)‎ ‎∵a1+a2=0,b1=b2,c1+c2=0,‎ ‎∴a2=﹣1,b2=﹣4,c2=﹣3,‎ ‎∴函数y=x2﹣4x+3的“旋转函数”为y=﹣x2﹣4x﹣3;‎ ‎(2)∵y=5x2+(m﹣1)x+n与y=﹣5x2﹣nx﹣3互为“旋转函数”,‎ ‎∴m-1=-nn-3=0‎,‎ 解得:m=-2‎n=3‎,‎ ‎∴(m+n)2020=(﹣2+3)2020=1.‎ ‎(3)证明:当x=0时,y=2(x﹣1)(x+3))=﹣6,‎ ‎∴点C的坐标为(0,﹣6).‎ 当y=0时,2(x﹣1)(x+3)=0,‎ 解得:x1=1,x2=﹣3,‎ ‎∴点A的坐标为(1,0),点B的坐标为(﹣3,0).‎ ‎∵点A,B,C关于原点的对称点分别是A1,B1,C1,‎ ‎∴A1(﹣1,0),B1(3,0),C1(0,6).‎ 设过点A1,B1,C1的二次函数解析式为y=a(x+1)(x﹣3),‎ 将C1(0,6)代入y=a(x+1)(x﹣3),得:6=﹣3a,‎ 解得:a=﹣2,‎ 过点A1,B1,C1的二次函数解析式为y=﹣2(x+1)(x﹣3),即y=﹣2x2+4x+6.‎ ‎∵y=2(x﹣1)(x+3)=2x2+4x﹣6,‎ ‎∴a1=2,b1=4,c1=﹣6,a2=﹣2,b2=4,c2=6,‎ ‎∴a1+a2=2+(﹣2)=0,b1=b2=4,c1+c2=6+(﹣6)=0,‎ ‎∴经过点A1,B1,C1的二次函数与函数y=2(x﹣1)(x+3)互为“旋转函数”.‎ ‎22.(10分)端午节是中国的传统节日.今年端午节前夕,遂宁市某食品厂抽样调查了河东某居民区市民对A、B、C、D四种不同口味粽子样品的喜爱情况,并将调查情况绘制成如图两幅不完整统计图:‎ 第27页(共27页)‎ ‎(1)本次参加抽样调查的居民有 600 人.‎ ‎(2)喜欢C种口味粽子的人数所占圆心角为 72 度.根据题中信息补全条形统计图.‎ ‎(3)若该居民小区有6000人,请你估计爱吃D种粽子的有 2400 人.‎ ‎(4)若有外型完全相同的A、B、C、D棕子各一个,煮熟后,小李吃了两个,请用列表或画树状图的方法求他第二个吃的粽子恰好是A种粽子的概率.‎ ‎【解答】解:(1)240÷40%=600(人),‎ 所以本次参加抽样调查的居民有60人;‎ ‎(2)喜欢B种口味粽子的人数为600×10%=60(人),‎ 喜欢C种口味粽子的人数为600﹣180﹣60﹣240=120(人),‎ 所以喜欢C种口味粽子的人数所占圆心角的度数为360°‎×‎120‎‎600‎=‎72°;‎ 补全条形统计图为:‎ ‎(3)6000×40%=2400,‎ 所以估计爱吃D种粽子的有2400人;‎ 故答案为600;72;2400;‎ ‎(4)画树状图为:‎ 第27页(共27页)‎ 共有12种等可能的结果数,其中他第二个吃的粽子恰好是A种粽子的结果数为3,‎ 所以他第二个吃的粽子恰好是A种粽子的概率‎=‎3‎‎12‎=‎‎1‎‎4‎.‎ ‎23.(10分)如图,在平面直角坐标系中,已知点A的坐标为(0,2),点B的坐标为(1,0),连结AB,以AB为边在第一象限内作正方形ABCD,直线BD交双曲线y═kx(k≠0)于D、E两点,连结CE,交x轴于点F.‎ ‎(1)求双曲线y‎=‎kx(k≠0)和直线DE的解析式.‎ ‎(2)求△DEC的面积.‎ ‎【解答】解:∵点A的坐标为(0,2),点B的坐标为(1,0),‎ ‎∴OA=2,OB=1,‎ 作DM⊥y轴于M,‎ ‎∵四边形ABCD是正方形,‎ ‎∴∠BAD=90°,AB=AD,‎ ‎∴∠OAB+∠DAM=90°,‎ ‎∵∠OAB+∠ABO=90°,‎ ‎∴∠DAM=∠ABO,‎ 在△AOB和△DMA中 ‎∠ABO=∠DAM‎∠AOB=∠DMA=90°‎AB=DA‎,‎ ‎∴△AOB≌△DMA(AAS),‎ 第27页(共27页)‎ ‎∴AM=OB=1,DM=OA=2,‎ ‎∴D(2,3),‎ ‎∵双曲线y═kx(k≠0)经过D点,‎ ‎∴k=2×3=6,‎ ‎∴双曲线为y‎=‎‎6‎x,‎ 设直线DE的解析式为y=mx+n,‎ 把B(1,0),D(2,3)代入得m+n=0‎‎2m+n=3‎,解得m=3‎n=-3‎,‎ ‎∴直线DE的解析式为y=3x﹣3;‎ ‎(2)连接AC,交BD于N,‎ ‎∵四边形ABCD是正方形,‎ ‎∴BD垂直平分AC,AC=BD,‎ 解y=3x-3‎y=‎‎6‎x得x=2‎y=3‎或x=-1‎y=-6‎,‎ ‎∴E(﹣1,﹣6),‎ ‎∵B(1,0),D(2,3),‎ ‎∴DE‎=‎(2+1‎)‎‎2‎+(3+6‎‎)‎‎2‎=‎3‎10‎,DB‎=‎(2-1‎)‎‎2‎+‎‎3‎‎2‎=‎‎10‎,‎ ‎∴CN‎=‎‎1‎‎2‎BD‎=‎‎10‎‎2‎,‎ ‎∴S△DEC‎=‎‎1‎‎2‎DE•CN‎=‎1‎‎2‎×3‎10‎×‎10‎‎2‎=‎‎15‎‎2‎.‎ ‎24.(10分)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,D为AB边上的一点,以AD为直径的⊙O交BC于点E,交AC于点F,过点C作CG⊥AB交AB于点G,交AE于点H,过点E的弦EP交AB于点Q(EP不是直径),点Q为弦EP的中点,连结BP,BP恰好为⊙O 第27页(共27页)‎ 的切线.‎ ‎(1)求证:BC是⊙O的切线.‎ ‎(2)求证:EF‎=‎ED.‎ ‎(3)若sin∠ABC═‎3‎‎5‎,AC=15,求四边形CHQE的面积.‎ ‎【解答】(1)证明:连接OE,OP,‎ ‎∵PE⊥AB,点Q为弦EP的中点,‎ ‎∴AB垂直平分EP,‎ ‎∴PB=BE,‎ ‎∵OE=OP,OB=OB,‎ ‎∴△BEO≌△BPO(SSS),‎ ‎∴∠BEO=∠BPO,‎ ‎∵BP为⊙O的切线,‎ ‎∴∠BPO=90°,‎ ‎∴∠BEO=90°,‎ ‎∴OE⊥BC,‎ ‎∴BC是⊙O的切线.‎ ‎(2)解:∵∠BEO=∠ACB=90°,‎ ‎∴AC∥OE,‎ ‎∴∠CAE=∠OEA,‎ ‎∵OA=OE,‎ ‎∴∠EAO=∠AEO,‎ ‎∴∠CAE=∠EAO,‎ ‎∴EF‎=‎ED.‎ 第27页(共27页)‎ ‎(3)解:∵AD为的⊙O直径,点Q为弦EP的中点,‎ ‎∴EP⊥AB,‎ ‎∵CG⊥AB,‎ ‎∴CG∥EP,‎ ‎∵∠ACB=∠BEO=90°,‎ ‎∴AC∥OE,‎ ‎∴∠CAE=∠AEO,‎ ‎∵OA=OE,‎ ‎∴∠EAQ=∠AEO,‎ ‎∴∠CAE=∠EAO,‎ ‎∵∠ACE=∠AQE=90°,AE=AE,‎ ‎∴△ACE≌△AQE(AAS),‎ ‎∴CE=QE,‎ ‎∵∠AEC+∠CAE=∠EAQ+∠AHG=90°,‎ ‎∴∠CEH=∠AHG,‎ ‎∵∠AHG=∠CHE,‎ ‎∴∠CHE=∠CEH,‎ ‎∴CH=CE,‎ ‎∴CH=EQ,‎ ‎∴四边形CHQE是平行四边形,‎ ‎∵CH=CE,‎ ‎∴四边形CHQE是菱形,‎ ‎∵sin∠ABC═sin∠ACG═AGAC‎=‎‎3‎‎5‎,‎ ‎∵AC=15,‎ ‎∴AG=9,‎ ‎∴CG‎=AC‎2‎-AG‎2‎=‎12,‎ ‎∵△ACE≌△AQE,‎ ‎∴AQ=AC=15,‎ ‎∴QG=6,‎ 第27页(共27页)‎ ‎∵HQ2=HG2+QG2,‎ ‎∴HQ2=(12﹣HQ)2+62,‎ 解得:HQ‎=‎‎15‎‎2‎,‎ ‎∴CH=HQ‎=‎‎15‎‎2‎,‎ ‎∴四边形CHQE的面积=CH•GQ‎=‎15‎‎2‎×‎6=45.‎ ‎25.(12分)如图,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过A(1,0),B(3,0),C(0,6)三点.‎ ‎(1)求抛物线的解析式.‎ ‎(2)抛物线的顶点M与对称轴l上的点N关于x轴对称,直线AN交抛物线于点D,直线BE交AD于点E,若直线BE将△ABD的面积分为1:2两部分,求点E的坐标.‎ ‎(3)P为抛物线上的一动点,Q为对称轴上动点,抛物线上是否存在一点P,使A、D、P、Q为顶点的四边形为平行四边形?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.‎ ‎【解答】解:(1)∵抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过A(1,0),B(3,0),‎ ‎∴设抛物线解析式为:y=a(x﹣1)(x﹣3),‎ 第27页(共27页)‎ ‎∵抛物线y=a(x﹣1)(x﹣3)(a≠0)的图象经过点C(0,6),‎ ‎∴6=a(0﹣1)(0﹣3),‎ ‎∴a=2,‎ ‎∴抛物线解析式为:y=2(x﹣1)(x﹣3)=2x2﹣8x+6;‎ ‎(2)∵y=2x2﹣8x+6=2(x﹣2)2﹣2,‎ ‎∴顶点M的坐标为(2,﹣2),‎ ‎∵抛物线的顶点M与对称轴l上的点N关于x轴对称,‎ ‎∴点N(2,2),‎ 设直线AN解析式为:y=kx+b,‎ 由题意可得:‎0=k+b‎2=2k+b,‎ 解得:k=2‎b=-2‎,‎ ‎∴直线AN解析式为:y=2x﹣2,‎ 联立方程组得:y=2x-2‎y=2x‎2‎-8x+6‎,‎ 解得:x‎1‎=1‎y‎1‎=0‎,x‎2‎=4‎y‎2‎=6‎,‎ ‎∴点D(4,6),‎ ‎∴S△ABD‎=‎1‎‎2‎×‎2×6=6,‎ 设点E(m,2m﹣2),‎ ‎∵直线BE将△ABD的面积分为1:2两部分,‎ ‎∴S△ABE‎=‎‎1‎‎3‎S△ABD=2或S△ABE‎=‎‎2‎‎3‎S△ABD=4,‎ ‎∴‎1‎‎2‎‎×‎2×(2m﹣2)=2或‎1‎‎2‎‎×‎2×(2m﹣2)=4,‎ ‎∴m=2或3,‎ ‎∴点E(2,2)或(3,4);‎ ‎(3)若AD为平行四边形的边,‎ ‎∵以A、D、P、Q为顶点的四边形为平行四边形,‎ ‎∴AD=PQ,‎ ‎∴xD﹣xA=xP﹣xQ或xD﹣xA=xQ﹣xP,‎ ‎∴xP=4﹣1+2=5或xP=2﹣4+1=﹣1,‎ 第27页(共27页)‎ ‎∴点P坐标为(5,16)或(﹣1,16);‎ 若AD为平行四边形的对角线,‎ ‎∵以A、D、P、Q为顶点的四边形为平行四边形,‎ ‎∴AD与PQ互相平分,‎ ‎∴xA+xD‎2‎‎=‎xP+xQ‎2‎,‎ ‎∴xP=3,‎ ‎∴点P坐标为(3,0),‎ 综上所述:当点P坐标为(5,16)或(﹣1,16)或(3,0)时,使A、D、P、Q为顶点的四边形为平行四边形.‎ 第27页(共27页)‎
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