高考专题解析几何常规题型及方法

高考专题解析几何常规题型及方法

高考专题：解析几何常规题型及方法 一、高考风向分析：‎ 高考解析几何试题一般共有3--4题(1--2个选择题, 0--1个填空题, 1个解答题), 共计20多分, 考查的知识点约为20个左右，其命题一般紧扣课本, 突出重点, 全面考查。选择题和填空题考查直线, 圆, 圆锥曲线中的基础知识，大多概念性较强，小巧灵活，思维多于计算；而解答题重点考查圆锥曲线中的重要知识点及其综合运用,重在考察直线与圆锥曲线的位置关系、轨迹方程，以向量为载体，立意新颖，要求学生综合运用所学代数、三角、几何的知识分析问题，解决问题。‎ 二、本章节处理方法建议：‎ ‎ 纵观历年全国各省市文、理高考试卷，普遍有一个规律：占解几分值接近一 半的填空、选择题难度不大，中等及偏上的学生能将对应分数收入囊中；而占解几分值一 半偏上的解答题得分很不理想，其原因主要体现在以下几个方面：（1）解析几何是代数与 几何的完美结合，解析几何的问题可以涉及函数、方程、不等式、三角、几何、数列、向 量等知识，形成了轨迹、最值、对称、范围、参系数等多种问题，因而成为高中数学综合 能力要求最高的内容之一（2）解析几何的计算量相对偏大（3）在大家的“拿可拿之分”‎ 的理念下，大题的前三道成了兵家必争之地，而排放位置比较尴尬的第21题或22题（有 时20题）就成了很多人遗忘的角落，加之时间的限制，此题留白的现象比较普遍。‎ ‎ 鉴于解几的特点，建议在复习中做好以下几个方面．1．由于高考中解几内容弹性很 大。有容易题，有中难题。因此在复习中基调为狠抓基础。不能因为高考中的解几解答题 较难，就拼命地去搞难题，套新题，这样往往得不偿失；端正心态：不指望将所有的题攻 下，将时间用在巩固基础、对付“跳一跳便可够得到”的常规题上，这样复习，高考时就 能保证首先将选择、填空题拿下，然后对于大题的第一个小问争取得分，第二小题能拿几 分算几分。‎ 三、高考核心考点 ‎1、准确理解基本概念（如直线的倾斜角、斜率、距离、截距等）‎ ‎2、熟练掌握基本公式（如两点间距离公式、点到直线的距离公式、斜率公式、定比分点的坐标公式、到角公式、夹角公式等）‎ ‎3、熟练掌握求直线方程的方法（如根据条件灵活选用各种形式、讨论斜率存在和不存在的各种情况、截距是否为0等等）‎ ‎4、在解决直线与圆的位置关系问题中，要善于运用圆的几何性质以减少运算 ‎5、了解线性规划的意义及简单应用 ‎6、熟悉圆锥曲线中基本量的计算 ‎7、掌握与圆锥曲线有关的轨迹方程的求解方法（如：定义法、直接法、相关点法、参数法、交轨法、几何法、待定系数法等）‎ ‎8、掌握直线与圆锥曲线的位置关系的常见判定方法，能应用直线与圆锥曲线的位置关系解决一些常见问题 四、常规题型及解题的技巧方法 A:常规题型方面 ‎（1）中点弦问题 ‎ 具有斜率的弦中点问题，常用设而不求法（点差法）：设曲线上两点为，，代入方程，然后两方程相减，再应用中点关系及斜率公式，消去四个参数。‎ ‎ 典型例题 给定双曲线。过A（2，1）的直线与双曲线交于两点 及，求线段的中点P的轨迹方程。‎ ‎ 分析：设，代入方程得，。‎ ‎ 两式相减得 ‎ 。‎ ‎ 又设中点P（x,y），将，代入，当时得 ‎ 。‎ ‎ 又，‎ ‎ 代入得。‎ 当弦斜率不存在时，其中点P（2，0）的坐标也满足上述方程。‎ 因此所求轨迹方程是 ‎ 说明：本题要注意思维的严密性，必须单独考虑斜率不存在时的情况。‎ 变式练习：‎ 给定双曲线2x2 - y2 = 2 ，过点B(1,1)能否作直线L,使L与所给双曲线交于两点Q1、Q2 两点，且点B是线段Q1Q2的中点？如果直线L存在，求出它的方程;如果不存在,说明理由.‎ ‎（2）焦点三角形问题 ‎ 椭圆或双曲线上一点P，与两个焦点、构成的三角形问题，常用正、余弦定理搭桥。 ‎ ‎ 典型例题 设P(x,y)为椭圆上任一点，，为焦点，，。‎ ‎ （1）求证离心率；‎ ‎ （2）求的最值。‎ ‎ 分析：（1）设，，由正弦定理得。‎ ‎ 得 ，‎ ‎ ‎ ‎ （2）。‎ ‎ 当时，最小值是；‎ ‎ 当时，最大值是。‎ 变式练习：‎ 设、分别是双曲线（a>0,b>0）的左、右两个焦点，P是双曲线上的一点，若∠P=θ,求证：S△=bcot ‎ ‎（3）直线与圆锥曲线位置关系问题 ‎ 直线与圆锥曲线的位置关系的基本方法是解方程组，进而转化为一元二次方程后利用判别式，应特别注意数形结合的办法 典型例题 ‎ ‎ （1）求证：直线与抛物线总有两个不同交点 ‎ （2）设直线与抛物线的交点为A、B，且OA⊥OB，求p关于t的函数f(t)的表达式。‎ ‎（1）证明：抛物线的准线为 ‎ 由直线x+y=t与x轴的交点（t，0）在准线右边，得 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 故直线与抛物线总有两个交点。‎ ‎ （2）解：设点A(x1，y1)，点B(x2，y2)‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 变式练习：‎ 直线y=ax+1与双曲线3x2－y2=1交于两点A、B两点 ‎(1)若A、B都位于双曲线的左支上，求a的取值范围 ‎(2)当a为何值时，以AB为直径的圆经过坐标原点？‎ ‎（4）圆锥曲线的有关最值（范围）问题 圆锥曲线中的有关最值（范围）问题，常用代数法和几何法解决。‎ ‎ <1>若命题的条件和结论具有明显的几何意义，一般可用图形性质来解决。‎ ‎ <2>若命题的条件和结论体现明确的函数关系式，则可建立目标函数（通常利用二次函数，三角函数，均值不等式）求最值。‎ 典型例题 已知抛物线y2=2px(p>0)，过M（a,0）且斜率为1的直线L与抛物线交于不同的两点A、B，|AB|≤2p ‎（1）求a的取值范围；（2）若线段AB的垂直平分线交x轴于点N，求△NAB面积的最大值。‎ 分析：这是一道直线与圆锥曲线位置关系的问题，对于（1），可以设法得到关于a的不等式，通过解不等式求出a的范围，即：“求范围，找不等式”。或者将a表示为另一个变量的函数，利用求函数的值域求出a的范围；对于（2）首先要把△NAB的面积表示为一个变量的函数，然后再求它的最大值,即：“最值问题，函数思想”。‎ 解：(1)直线L的方程为：y=x-a,将y=x-a 代入抛物线方程y2=2px,得：设直线L与抛物线两交点的坐标分别为A（x1,y1）,B(x2,y2)，则,又y1=x1-a,y2=x2-a,‎ ‎ ‎ ‎ 解得:‎ ‎(2)设AB的垂直平分线交AB与点Q，令其坐标为（x3,y3），则由中点坐标公式得：‎ ‎, ‎ 所以|QM|2=(a+p-a)2+(p-0)2=2p2.又△MNQ为等腰直角三角形，所以|QM|=|QN|=，所以 S△NAB=,即△NAB面积的最大值为2。‎ 变式练习：‎ 双曲线（a>0,b>0）的两条准线间的距离为3，右焦点到直线x+y-1=0的距离为 ‎ ‎（1）求双曲线的方程 ‎（2）设直线y=kx+m(k且m)与双曲线交于两个不同的点C、D，若A(0,-1)且=，求实数m的取值范围 ‎（5）求曲线的方程问题 ‎1．曲线的形状已知--------这类问题一般可用待定系数法解决。‎ 典型例题 已知直线L过原点，抛物线C 的顶点在原点，焦点在x轴正半轴上。若点A（-1，0）和点B（0，8）关于L的对称点都在C上，求直线L和抛物线C的方程。‎ 分析：曲线的形状已知，可以用待定系数法。‎ 设出它们的方程，L：y=kx(k≠0),C:y2=2px(p>0)‎ 设A、B关于L的对称点分别为A/、B/，则利用对称性可求得它们的坐标分别为：‎ A/（），B（）。因为A、B均在抛物线上，代入，消去p，得：k2-k-1=0.解得：k=,p=.‎ 所以直线L的方程为：y=x,抛物线C的方程为y2=x.‎ 变式练习：‎ 在面积为1的△PMN中，tanM=,tanN=-2,建立适当的坐标系，求出以M、N为焦点且过点P的椭圆方程。‎ ‎2．曲线的形状未知-----求轨迹方程 典型例题 M N Q O 已知直角坐标平面上点Q（2，0）和圆C：x2+y2=1, ‎ 动点M到圆C的切线长与|MQ|的比等于常数（>0）,求动点M的轨迹方程，并说明它是什么曲线。‎ 分析：如图，设MN切圆C于点N，则动点M组成的集合是：P={M||MN|=|MQ|}，由平面几何知识可知：|MN|2=|MO|2-|ON|2=|MO|2-1，将M点坐标代入，可得：(2-1)(x2+y2)-42x+(1+42)=0.‎ 当=1时它表示一条直线；当≠1时，它表示圆。这种方法叫做直接法。‎ 变式练习：‎ 过抛物线y=4x的焦点F作斜率为k的弦AB，且≤8，此外，直线AB和椭圆3x+2y=2交于不同的两点。‎ ‎（1）求直线AB的斜率k的取值范围 ‎（2）设直线AB与椭圆相交于C、D两点，求CD中点M的轨迹方程 ‎（6） 存在两点关于直线对称问题 ‎ 在曲线上两点关于某直线对称问题，可以按如下方式分三步解决：求两点所在的直线，求这两直线的交点，使这交点在圆锥曲线形内。（当然也可以利用韦达定理并结合判别式来解决）‎ 典型例题 已知椭圆C的方程，试确定m的取值范围，使得对于直线，椭圆C上有不同两点关于直线对称。‎ ‎ 分析：椭圆上两点，，代入方程，相减得 ‎。‎ ‎ 又，，，代入得。‎ ‎ 又由解得交点。‎ ‎ 交点在椭圆内，则有，得。‎ 变式练习：‎ 为了使抛物线上存在两点关于直线对称，求m的取值范围。‎ ‎（7）两线段垂直问题 ‎ 圆锥曲线两焦半径互相垂直问题，常用来处理或用向量的坐标运算来处理。‎ 典型例题 已知直线的斜率为，且过点，抛物线，直线与抛物线C有两个不同的交点（如图）。‎ ‎ （1）求的取值范围；‎ ‎（2）直线的倾斜角为何值时，A、B与抛物线C的焦点连线互相垂直。‎ 分析：（1）直线代入抛物线方程得，‎ ‎ 由，得。‎ ‎ （2）由上面方程得，‎ ‎ ，焦点为。‎ 由，得，或 变式练习：‎ 经过坐标原点的直线与椭圆相交于A、B两点，若以AB为直径的圆恰好通过椭圆左焦点F，求直线的倾斜角。‎ B:解题的技巧方面 ‎ 在教学中，学生普遍觉得解析几何问题的计算量较大。事实上，如果我们能够充分利用几何图形、韦达定理、曲线系方程，以及运用“设而不求”的策略，往往能够减少计算量。下面举例说明：‎ ‎（1）充分利用几何图形 ‎ 解析几何的研究对象就是几何图形及其性质，所以在处理解析几何问题时，除了运用代数方程外，充分挖掘几何条件，并结合平面几何知识，这往往能减少计算量。‎ ‎ 典型例题 设直线与圆相交于P、Q两点，O为坐标原点，若，求的值。‎ ‎ 解： 圆过原点，并且，‎ ‎ 是圆的直径，圆心的坐标为 ‎ 又在直线上，‎ ‎ 即为所求。‎ ‎ 评注：此题若不充分利用一系列几何条件：该圆过原点并且，PQ是圆的直径，圆心在直线上，而是设再由和韦达定理求，将会增大运算量。‎ 变式练习：‎ 已知点P（5，0）和圆O：，过P作直线与圆O交于A、B两点，求弦AB中点M的轨迹方程。‎ ‎ 评注：此题若不能挖掘利用几何条件，点M是在以OP为直径的圆周上，而利用参数方程等方法，计算量将很大，并且比较麻烦。‎ 二. 充分利用韦达定理及“设而不求”的策略 我们经常设出弦的端点坐标而不求它，而是结合韦达定理求解，这种方法在有关斜率、中点等问题中常常用到。‎ 典型例题 已知中心在原点O，焦点在轴上的椭圆与直线相交于P、Q两点，且，，求此椭圆方程。‎ ‎ 解：设椭圆方程为，直线与椭圆相交于P、两点。‎ ‎ 由方程组消去后得 ‎ ‎ ‎ 由，得 （1）‎ ‎ 又P、Q在直线上，‎ ‎ ‎ ‎ 把（1）代入，得，‎ ‎ 即 ‎ 化简后，得 ‎ （4）‎ ‎ 由，得 ‎ ‎ ‎ 把（2）代入，得，解得或 ‎ 代入（4）后，解得或 ‎ 由，得。‎ ‎ 所求椭圆方程为 ‎ 评注：此题充分利用了韦达定理及“设而不求”的策略，简化了计算。‎ 变式练习：‎ 若双曲线方程为，AB为不平行于对称轴且不过原点的弦，M为AB中点，设AB、OM的斜率分别为，则 ‎ 三. 充分利用曲线系方程 利用曲线系方程可以避免求曲线的交点，因此也可以减少计算。‎ 典型例题 求经过两已知圆和0的交点，且圆心在直线：上的圆的方程。‎ 解：设所求圆的方程为：‎ ‎ 即，‎ ‎ 其圆心为C（）‎ ‎ 又C在直线上，，解得，代入所设圆的方程得为所求。‎ ‎ 评注：此题因利用曲线系方程而避免求曲线的交点，故简化了计算。‎ 变式练习：‎ 某直线l过直线L1：４x-３y-12=0和L2：7x-y+28=0的交点，且倾斜角为直线L1的倾斜角的一半，求此直线l的方程 四、充分利用椭圆的参数方程 椭圆的参数方程涉及到正、余弦，利用正、余弦的有界性，可以解决相关的求最值的问题．这也是我们常说的三角代换法。‎ 典型例题 P为椭圆上一动点，A为长轴的右端点，B为短轴的上端点，求四边形OAPB面积的最大值及此时点P的坐标。‎ 变式练习：‎ 已知P(x，y)是椭圆x2＋4y2=1上任一点，试求P到直线x + y – 2 = 0的最小值及此时P的坐标。‎ 五、线段长的几种简便计算方法 ‎① 充分利用现成结果，减少运算过程 ‎ 一般地，求直线与圆锥曲线相交的弦AB长的方法是：把直线方程代入圆锥曲线方程中，得到型如的方程，方程的两根设为，，判别式为△，则，若直接用结论，能减少配方、开方等运算过程。‎ ‎ 例 求直线被椭圆所截得的线段AB的长。‎ ‎② 结合图形的特殊位置关系，减少运算 在求过圆锥曲线焦点的弦长时，由于圆锥曲线的定义都涉及焦点，结合图形运用圆锥曲线的定义，可回避复杂运算。‎ ‎ 例 、是椭圆的两个焦点，AB是经过的弦，若，求值 ‎③ 利用圆锥曲线的定义，把到焦点的距离转化为到准线的距离 ‎ 例 点A（3，2）为定点，点F是抛物线的焦点，点P在抛物线上移动，若取得最小值，求点P的坐标。‎ 五、高考试题选编 ‎1. 过抛物线的焦点F，作弦轴于A、B两点，则弦长等于（ ）‎ ‎ A. 6 B. 18 C. D. 36‎ ‎2. 若直线与焦点在x轴上的椭圆总有公共点，则实数m的取值范围是（ ）‎ ‎ A. （0，5） B. （1，5） C. D. ‎ ‎3. 直线被椭圆所截得的弦的中点坐标是（ ）‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎4. 过点A引抛物线的一条弦，使该弦被A点平分，则该弦所在直线方程为（ ）‎ ‎ A. B. ‎ ‎ C. D. ‎ ‎5. 设且，则的最大值与最小值分别是（ ）‎ ‎ A. B. C. 4，3 D. 8，6‎ ‎6. P是抛物线上的点，F是抛物线的焦点，则点P到F与P到A的距离之和的最小值是（ ）‎ ‎ A. 3 B. C. 4 D. ‎ ‎7.已知圆的弦长为时，则a=（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎8．(03全国)已知双曲线中心在原点且一个焦点M、N两点，MN中点的横坐标为则此双曲线的方程是（ ）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎9．(03江苏)已知长方形四个顶点A（0，0），B（2，0），C（2，1）和D（0，1），一质点从AB的中点P0沿与AB夹角为θ的方向射到BC上的点P1后，依次反射到CD、DA和AB上的点P2、P3和P4（入射角等于反射角）.设P4的坐标为（x4，0）.若1< x4<2，则tanθ的取值范围是 （ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎10．(03广东)（双曲线虚轴的一个端点为M，两个焦点为，则双曲线的离心率为（ ）‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎11. 直线与抛物线只有一个公共点，则k的值为________。‎ ‎12. 曲线C：关于直线对称的曲线的方程_________。‎ ‎13．(03年上海) 给出问题：是双曲线的焦点，点P在双曲线上。若点P到焦点F1的距离等于9，求点P到焦点F2的距离。‎ 某学生的解答如下：双曲线的实轴长为8，由，即，得或17。‎ ‎ 该学生的解答是否正确？若正确，请将他的解题依据填在上面空格内；若不正确，将正确结果填在上面空格内。‎ ‎14. (03年上海)在以O为原点的直角坐标系中，点为的直角顶点，已知，且点B的纵坐标大于零。‎ ‎（1）求向量的坐标。‎ ‎（2）求圆关于直线OB对称的圆的方程。‎ ‎（3）是否存在实数，使抛物线上总有关于直线OB对称的两个点？若不存在，说明理由；若存在，求的取值范围。‎ ‎ 15. 已知抛物线C：‎ ‎ （1）求证：抛物线C与x轴交于一定点M；‎ ‎ （2）若抛物线与x轴正半轴交于N，与y轴交于P，求证：PN的斜率是一个定值；‎ ‎ （3）当m为何值时，三角形PMN的面积最小，并求此最小值。‎