2021届江西省鹰潭市高三第二次模拟考理科数学试题及答案解析

2021届江西省鹰潭市高三第二次模拟考理科数学试题及答案解析

2021 届江西省鹰潭市高三第二次模拟考理科数学试题 一、单选题 1．中国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道算术题：今有物不知其数，三三数之余二，五五 数之余三，问物几何？”人们把此类题目称为“中国剩余定理”，若正整数 N 除以正整数m后的余数 为 n，则记为 n NMODm ，例如 2 11 3MOD ．现将该问题以程序框图的算法给出，执行该程 序框图，则输出的 n等于（ ） A．39 B．38 C．37 D．36 2．设 ,x R 则"1 2x  " 是"  22 1x   " 的（ ） A．既不充分也不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．充分而不必要条件 3．设双曲线 M： 2 2 2 2 y x a b   1（a＞0，b＞0）的上顶点为 A，直线 y 2 2a b  与 M交于 B，C两 点，过 B，C分别作 AC，AB的垂线交于点 D若 D到点（0，2 2 2a b ）的距离不超过 8 2 2a b  7a， 则 M的离心率的取值范围是（ ） A．[ 7  1，+∞） B．[ 7  1，+∞） C．（1， 7  1] D．（1， 7  1] 4．在平行四边形 ABCD中，点M 为 BC的中点，设 AC a   ， BD b   ，则 AM   （ ） A． 1 3 4 4 a b   B． 1 3 4 4 a b   C． 3 1 4 4 a b   D． 3 1 4 4 a b   5．某几何体的三视图如图所示(俯视图中的虚线为半圆)，则该几何体的体积为 A．8 2 B． 8 2  C． 8 3  D． 8 2 3  6．已知复数 ，函数 믈ڀ뿰 ɹ 栘sin믈iڀ 뿰 䁕图象的一个对称中 心是（ ） A．（ ） B．（ ） C．（ ） D．（ ） 7．从数学内部看，推动几何学发展的矛盾有很多，比如“直与曲的矛盾”，随着几何学的发展，人 们逐渐探究曲与直的相互转化，比如：“化圆为方”解决了曲、直两个图形可以等积的问题．如图， 在等腰直角三角形 ABC中， AB BC ， 90ABC  ，以 AC为直径作半圆，再以 AB为直径 作半圆 AMB，那么可以探究月牙形面积（图中黑色阴影部分）与 AOB 面积（图中灰色阴影部 分）之间的关系，在这种关系下，若向整个几何图形中随机投掷一点，那么该点落在图中阴影部分 的概率为（ ） A． 4 1  B． 1 1  C． 3 2 1  D． 2 1  8．若函数 ( ) 2cos 2 1 3 f x x        在[0, ]m 上的最小值小于零，则m的取值范围为（ ） A． 2 4, 3 3       B． 2 , 3      C． 2, 3 3       D． , 3      9．已知  1A x x  ， 21( ) 0 2 B x x       ，则 RA C B I （ ） A．  1,1 B． C． 1 11, ,1 2 2           D．  1,1 10．已知数列 na 的前 4项为： 1 2  ， 3 4 ， 5 8  ， 7 16 ，则数列 na 的通项公式是（ ） A． 2 1 2n n na   B．    1 2 1 2 n n n n a     C． 2 1 2n n na   D．    1 2 1 2 n n n n a     11．与函数     2 sin 2x x f x x   的部分图象最符合的是（ ） A． B． C． D． 12．已知抛物线的参数方程为ڀ ɹ 䁕栘 ɹ 䁕，若斜率为 的直线经过抛物线的焦点，且与抛物线相交于 㐠两点，则线段 AB的长为（ ） A．栘 栘 B．䁕 栘 C． D．䁕 二、填空题 13．设变量 ,x y满足约束条件： 2 2 2 y x x y x        ，则 3z x y  的最小值为__________. 14． na 是无穷数列，若 na 是二项式    *1 2 nx n N  展开式各项系数和，则 1 2 1 1 1lim + x na a a         … _______________． 15．已知 ABC 为等腰直角三角形， 2 A   ， 2 2AB  ，D为 BC中点，现将 ABC 沿 AD翻 折，使得二面角 B AD C  为 3  ，则三棱锥 A BCD 的外接球的表面积为__________． 16．某书店有 11种杂志，2元 1本的 8种，1元 1本的 3种，小张用 10元钱买杂志（每种至多买 一本，10元钱刚好用完），则不同买法的种数是 （用数字作答）． 三、解答题 17．已知函数   2f x x x  ，   1 4g x k x   ， 0k＞ . （1）当 1k  时，求不等式    f x g x＞ 的解集； （2）若正数 , ,a b c满足 a b c k   ，且     14g x g x  ≥ ，证明：       6f a f b f c  ≥ . 18．在平面直角坐标系 xOy中，曲线 1 2 cos : 6 sin x C y       （为参数），以坐标原点O为极点，以 x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 2C 的极坐标方程为 sin 4 4        . （1）求曲线 2C 的直角坐标方程； （2）若点 P是曲线 1C 上的点，点Q是曲线 2C 上的点，求 | |PQ 的最小值. 19．已知 ABC 的面积为9 3，且   18AC AB CB      ，向量  tan tan ,sin 2m A B C   和  1,cos cosn A B  是共线向量 （1）求角 C的大小： （2）求 ABC 的三边长 20．已知正方体 1 1 1 1ABCD ABC D 中， E为棱 1CC 上的动点． （1）求证： 1AE BD ； （2）若平面 1A BD 平面 EBD，试确定 E点的位置． 21．2019年《主持人大赛》火爆荧屏，某高校为此举办了一场主题为“练口才，展才能”的主持人风 采大赛，从参赛的全体学生中抽出 80人的成绩作为样本进行统计，并按  40,50 ， 50,60 ， 60,70 ，  70,80 ，  80,90 ， 90,100 分组，得到如图所示的频率分布直方图. （1）若同一组数据用该组区间的中点值表示，估计参加这次大赛的学生平均成绩； （2）若规定 80分以上（含 80分）为优秀，用频率估计概率，从全体参赛学生中随机抽取 4名， 记其中成绩优秀的人数为 ，求 的分布列及期望. 22．已知函数 ( ) ( 1) lnf x x a x   ， a R . （1）当 1a  时，求曲线 ( )y f x 在点 (1, (1))f 处的切线方程； （2）令 ( ) ( ) ag x f x x   ，讨论 ( )g x 的单调性. （3）当 2a e 时， ( ) 0xxe m f x   恒成立，求实数m的取值范围.（ e 为自然对数的底数， 2.71828e  …）. 23．．本小题满分 15分） 如图，已知椭圆 E： 2 2 2 2 1x y a b   ( 0)a b  ，焦点为 1F 、 2F ，双曲线 :G 2 2x y m  ( 0)m  的 顶点是该椭圆的焦点，设 P是双曲线G上异于顶点的任一点，直线 1PF 、 2PF 与椭圆的交点分别 为 A B、和C D、 ，已知三角形 2ABF 的周长等于8 2，椭圆四个顶点组成的菱形的面积为8 2 . （1）求椭圆 E与双曲线G的方程； （2）设直线 1PF 、 2PF 的斜率分别为 1k 和 1k ，探求 1k 和 1k 的关系； （3）是否存在常数 ，使得 AB CD AB CD   恒成立？ 若存在，试求出 的值；若不存在， 请说明理由． 【答案与解析】 1．B 该程序框图的作用是求被3和5除后的余数分别为 2与 3的数，根据所给的选项即可得出结果. 由程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出同时满足条件：①被 3除余 2，②被 5 除余 3，由已知中四个答案中的数据可得，输出的n为 38. 故选：B 本题考查利用直到型循环结构计算并输出变量的值；考查运算求解能力和识图能力；熟练掌握循环 结构的执行过程是求解本题的关键；属于中档题. 2．D 由二次不等式的解法，由  2x 2 1  得出 x 的取值范围，再与1 2x  进行比较，得解. 解：解不等式 2( 2) 1x   ，得：1 3x  ， 又“1 2x  ”是“1 3x  ”的充分不必要条件， 即“1 2x  ”是“ 2( 2) 1x   ”的充分不必要条件， 故选 D． 本题考查了二次不等式的解法及充分必要条件，属简单题 3．D 求出双曲线的渐近线方程，令 x c ，求得 B，C的坐标，由双曲线的对称性知D在 x轴上，设 (0, )D t ， 则 2 2 1 0 0 c t c a b b a a         ，利用D到直线 BC的距离不超过 2 28 7a b a  ，建立不等式关系，结合 双曲线离心率的定义，即可得出结论 解：记 2 2c a b  ，由题意可得 2 (bB a ， )c ， 2 ( bC a  ， )c ， 由双曲线的对称性可知D点在 y轴上，设 (0, )D t ， 则 2 2 1 0 0 c t c a b b a a         ， 则 4 2 2 2 ( ) ( ) ( ) b c a c at c c a c a a        ， 2 2 2 2 ( ) ( )2 [ ] 8 7 8 7c a c ac c a b a c a a         „ ，  2 2 ( ) ( ) 7( )c a c a c a a   „ ， 2 2 22 7c ac a a   „ ， 即 2 2 6 0e e  „ ， 解得 1 7 1 7e   „ „ ， 1e Q ， (1e  ， 7 1] ， 故选：D． 本题考查双曲线的方程和性质，考查三角形的垂心的概念，以及两直线垂直的条件：斜率之积为 1 ， 考查运算能力，属于中档题． 4．D 利用平面向量的基本定理求解. 如图所示： 因为 1 1 2 2 AB DC a b       ， 1 1 2 2 BC b a     ， 所以 1 1 1 2 4 4 BM BC b a       ， 所以 AM AB BM     ， 1 1 1 1 2 2 4 4 a b b a        ， 3 1 4 4 a b    . 故选：D. 本题主要考查平面向量的基本定理以及基本运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 5．C 由三视图知该几何体为四棱锥，中间挖去一个半圆锥，画出空间结构体，结合图中数据即可计算该 几何体的体积． 由三视图知该几何体为四棱锥，中间挖去一个半圆锥，其空间结构体如图所示； 所以该几何体的体积为 21 1 1- = 2 2 2- 1 2 3 2 3 V V V       四棱锥 半圆锥 8-= 3  所以选 C 本题考查了立体几何中三视图的应用，画出空间解构体是解决此类问题的关键，属于中档题． 6．D 试题分析：因为 ，所以 i 䁕ܾ ɹ 栘䁕ܾ ܾ ɹ 믈栘䁕ܾ뿰믈ܾ뿰 믈ܾ뿰믈ܾ뿰 ɹ ܾ，所以 i ɹ 䁕 ɹ 所以 믈ڀ뿰 ɹ 栘sin믈ڀ 뿰 ，令 ڀ ɹ ڀ ɹ ，令 ɹ ڀ ɹ ，所 以 믈ڀ뿰 ɹ 栘sin믈ڀ 뿰 的一个对称中心为（ ），故选 D． 考点：1．复数的运算；2．三角函数的性质． 7．D 月牙形面积等于半圆 AMB面积减去弓形部分的面积，从而确定月牙形 AMB面积和 AOBS 面积的 关系，而 AOBS 面积可求，从而求出阴影部分的面积，再求出整个图形的面积，由几何概型的概率 计算公式求解即可. 不妨设 2AB a ，则 2 2AC a ，则如图，月牙形的面积 2 21 1 ( 2 ) 2 4AMB AOB AOBS a a S S              ，所以月牙形的面积和三角形的面积相等， 而  2 21 2 2AOBS a a   . 整个图形的面积   22 21 2 ( 1) 2 S a a a       . 阴影部分的面积为 2 22AOBS a ， 由几何概型的概率计算公式得：所求概率为 2 1  . 故选：D. 本题考查几何概型的概率公式，考查几何图形面积的求法，属于基础题. 8．D 利用换元法，即可由函数单调性求得参数范围. 因为 [0, ]x m ，所以 2 ,2 3 3 3 x m         . 令 2 3 t x    ，即 , 2 3 3 t m       ， 又   2 1f t cost  在 , 0 3     单调递增，在 0, 单调递减，且 0 3 f       ， 故要满足题意，只需 2 3 3 m     ，解得 3 m   . 故选：D. 本题考查由函数的最值求参数范围，涉及余弦函数的单调性，属基础题. 9．C 先求出集合 A， B，再根据交集和补集的定义求解即可． 解：∵  1A x x  ， 21( ) 0 2 B x x       ， ∴  1,1A   ， 1 2 B       ， ∴ RA C B I 1 11, ,1 2 2           ， 故选：C． 本题主要考查集合的交集和补集，属于基础题． 10．B 根据前四项的特点即可归纳出数列的通项公式. 观察数列 na 的前 4项，可知分母为 2n ，分子是奇数，为 2 1n ， 同时符号是正负相间，为  1 n ， 所以    1 2 1 2 n n n n a     . 故选 B. 本题主要考查数列通项公式的求解，根据条件观察数列项和项数之间的关系是解决本题的关键． 11．B 分析出函数  y f x 的定义域、奇偶性、在  0,  上的函数值符号，由此可得出合适的选项. 函数     2 sin 2x x f x x   的定义域为 0x x  ，排除 A选项；          2 2 sin 2 sin 2x x x x f x f x xx           ，函数  y f x 为奇函数，排除 C选项； 令    sin 2g x x x  ，当0 1x  时，0 2 2x  ，  sin 2 0x  ，则    sin 2 0g x x x   ， 当 1x  时，      sin 2 1 sin 2 0g x x x x     ， 由上可知，当 0x  时，     2 0 g x f x x   ，排除 D选项. 故选：B. 本题考查利用函数解析式选择函数图象，一般分析函数的定义域、奇偶性、单调性、零点以及函数 值符号，结合排除法求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题. 12．C 解析：由抛物线的参数方程为ڀ ɹ 䁕栘 ɹ 䁕可得栘 ɹ 䁕ڀ，其焦点坐标为 믈뿰，则过焦点的直线为 ɹ ڀ ，代入抛物线方程可得ڀ栘 ڀ ɹ ，设㐠的坐标分别为믈ڀ뿰㐠믈ڀ栘栘뿰，则ڀ 栘ڀ ɹ ， 所以由抛物线的定义可得 㐠 ɹ ڀ 栘ڀ ɹ ，应选答案 C。 点睛：本题重在考查直线与抛物线的位置关系及运用所学知识去分析问题解决问题的能力。求解时 借助题设条件求出过焦点的直线为 ɹ ڀ ，然后再联立方程组消去未知数 ，得到关于的一元 二次方程ڀ栘 ڀ ɹ ，然后巧妙地运用抛物线的定义将所求弦长转化为 㐠两点的横坐标的和 的问题，由根与系数之间的关系可得ڀ 栘ڀ ɹ ，进而求得 㐠 ɹ ڀ 栘ڀ ɹ ，使 得问题巧妙获解。 13． 8 先画出线性约束条件可行域，再将 3z x y  表示成关于 y的表达式，分析截距与 z值的基本关系 即可求解 如图：线性约束条件可行域为阴影部分面积，由 3 3 3 x zz x y y     ，要求 z的最小值，即求 3 z  的最大值，当图像过  2,2 时，满足条件，将  2,2 代入 3z x y  可得 8z   故答案为： 8 本题考查由线性约束条件求目标函数最值，正确画图是关键，属于基础题 14． 1 2 令 1n  可得二项式    *1 2 nx n N  展开式各项系数和 3nna  . 再代入 1 2 1 1 1lim + x na a a        … 求解即可. 令 1n  可得二项式    *1 2 nx n N  展开式各项系数和 3nna  , 故 1 2 1 1 1 1 13lim + 1 21 3 x na a a           … . 故答案为： 1 2 本题主要考查了二项式定理中系数之和与无穷等比数列的求和,属于基础题型. 15． 28 3  根据题意， 2 2AB AC  ， 2AD BD CD   ，由于二面角B CD C  为 3  ，所以 3 BDC    ， 将三棱锥的外接球转化为直三棱柱的外接球，通过正弦定理求得 1 2 3 2 3sin 3 BDCP π   ，进而可 求出外接球的半径，根据球的表面积公式求得三棱锥 A BCD 的外接球的表面积. 解：由题可得， 2 2AB AC  ， 2AD BD CD   ， 因为二面角 B AD C  为 3  ，所以 3 BDC    ， 所以 BCD 为正三角形，将三棱锥补成如图所示的三棱柱， 则易知外接球的球心为上下底面正三角形中心连线的中点O， 设 P为 BCD 的中心， 由正弦定理得： 2 sin 3 BD CPπ  ， 1 1 2 2 3 2 2 33sin 3 2 BDCP π     ， 2 2 2 2 2 2 211 3 3 R OP CP             ， 则三棱锥 A BCD 的外接球的表面积为： 2 3 4 28S R   ． 故答案为： 28 3  . 本题考查三棱锥的外接球的表面积，以及二面角和正弦定理的应用，考查计算能力. 16．266 由题知，按钱数分 10元钱，可有两大类，第一类是买 2本 1元，4本 2元的共 C32C84种方法；第 二类是买 5本 2元的书，共 C85种方法． ∴共有 C32C84＋C85＝266(种)． 17．（1）    , 3 5,   ；（2）证明见解析 （1）分 1x   和 1x   两种情况讨论去绝对值，解不等式；（2）首先由含绝对值三角不等式得到    g x g x  的最小值，并求得 3k  ，，并利用基本不等式化简为      f a f b f c   3 3a b c    ，结合条件得到证明. （1）由题意得，原不等式等价于 2 1 4x x x    ， 当 1x   时，原不等式可化为 2 1 4x x x     ，即 2 2 3 0x x  ＞ ， 解得 1x  或 3x   ，故 3x   ； 当 1x   时，原不等式可化为 2 1 4x x x    ，即 2 5x  ， 解得 5x  或 5x   ，故 5x  ； 综上所述不等式    f x g x 的解集为    , 3 5,   . （2）因为      1 1 8g x g x k x x        1 1 8 2 8k x x k     ≥ ， 当   1 1 0x x   时等号成立， 由题意     14g x g x  ≥ ，可得 3k≥ ，       2 2 2f a f b f c a a b b c c               2 2 21 1 1 3a b c a b c          又因为 2 1 2a a ≥ ， 2 1 2b b ≥ ， 2 1 2c c ≥ ， 故        3 3 3 3 6f a f b f c a b c k     ≥ = ≥ . 本题考查含绝对值不等式的解法，以及不等式的证明，重点考查了转化与化归的思想，计算能力， 属于基础题型. 18．（1） 4 2x y  （2）2. （1）根据极坐标方程与直角坐标方程的互化，即可得出结果； （2）先由题意设 ( 2 cos , 6 sin ) P ，根据点到直线距离公式得到点 P到直线 4 2x y  的 距离为： | 2 cos 6 sin 4 2 | 2    d ，再由 | |PQ d ，即可求出结果. 解：（1）由 sin 4 4        得： sin cos 4 2     ， 将 cos sin x y        ，代入得曲线 2C ，的直角坐标方程为： 4 2x y  （2）由题意，可设 ( 2 cos , 6 sin ) P ，由点到直线的距离公式可得： 点 P到直线 4 2x y  的距离为： | 2 cos 6 sin 4 2 | 2    d 由题意可得： | |PQ d ，即 2 2 sin 4 2 6| 2 cos 6 sin 4 2 || | 2 2 2 PQ             所以， | |PQ 的最小值为 2. 本题主要考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，以及参数的方法求出距离最值的问题，熟记极坐 标与直角坐标的互化公式，以及曲线的参数方程即可，属于常考题型. 19．（1） 3 C   ；（2） 3 2AC  ， 6 2BC  ， 3 3AB  （1）由向量共线及切化弦思想和两角和的正弦公式可得  sin 2sin cos 0A B C C   ，结合三角 形内角的特征可得 1cos 2 C  ，进而可求得C的值； （2）由   18AC AB CB      可得 3 2AC  ，由 ABC 的面积为9 3可得 6 2CB  ，最后由 余弦定理可求出 3 6AB  . （1）因为  tan tan ,sin 2m A B C   和  1,cos cosn A B  是共线向量， 所以  tan tan cos cos sin 2 0A B A B C   ， 即 sin sin cos cos sin 2 0 cos cos A B A B C A B        ， 即 sin cos cos sin 2sin cos 0A B A B C C   ， 即  sin 2sin cos 0A B C C   . 又 A B C    ，所以  sin 2sin cos 0C C C    ， 即  sin 1 2cos 0C C  . 因为0 C   ，所以 sin 0C  ，从而 1cos 2 C  ， 故 3 C   . （2）因为   18AC AB CB      ，所以 2 18AC   ，所以 3 2AC  . 因为 ABC 的面积为9 3，所以 19 3 sin 2 CA CB C  ， 即 19 3 3 2 sin 2 3 CB     ，解得 6 2CB  . 在 ABC 中，由余弦定理得 2 2 2 2 cosAB CA CB CA CB C       2 2 13 2 6 2 2 3 2 6 2 54 2        ， 所以 3 6AB  . 本题主要考查向量关系，向量数量积以及余弦定理的应用，综合考查三角函数和向量的关系，考查 学生的计算能力，属于中档题. 20．（1）详见解析；（2）当 E为 1CC 的中点时，平面 1A BD 平面 EBD . （1）以D为坐标原点，以DA、DC、 1DD 所在直线分别为 x轴、 y轴、 z轴建立空间直角坐标 系．设正方体棱长为 a，设点   0, , 0E a e e a  ，计算出向量 1  AE和 BD  的坐标，由 1 0AE BD    来证明出 1AE BD ； （2）求出平面 1ABD、平面 EBD的法向量 1n ur 、 2n uur 的坐标，由平面 1A BD 平面 EBD，得出 1 2 0n n    ，求出 e的值，即可确定出点 E的位置. （1）以D为坐标原点，以DA、DC、 1DD 所在直线分别为 x轴、 y轴、 z轴建立空间直角坐标 系．设正方体棱长为 a，则  ,0,0A a ，  , ,0B a a ，  0, ,0C a ，  1 ,0,A a a ，  1 0, ,C a a . 设   0, , 0E a e e a  ，则  1 , ,A E a a e a    ，  , ,0BD a a    ，  2 2 1 0 0A E BD a a e a         ， 1AE BD    ，即 1AE BD ； （2）设平面 1ABD、平面EBD的一个法向量分别为  1 1 1 1, ,n x y z  ，  2 2 2 2, ,n x y z  .  , ,0DB a a   ，  1 ,0,DA a a  ，  0, ,DE a e  ， 1 0n DB    ， 1 1 0n DA    ， 2 0n DB    ， 2 0n DE    ， 1 1 1 1 0 0 ax ay ax az      ， 2 2 2 2 0 0 ax ay ay ez      . 取 1 2 1x x  ，得  1 1, 1, 1n     ， 2 1, 1, an e        ， 由平面 1A BD 平面 EBD，得 1 2n n   ， 2 0a e    ，即 2 ae  . 当 E为 1CC 的中点时，平面 1A BD 平面 EBD . 本题考查利用空间向量处理空间中的线线垂直以及面面垂直中的动点问题，将线线垂直与面面垂直 转化为向量的位置关系来处理是解题的关键，考查推理能力与计算能力，属于中等题. 21．（1）70.5；（2）分布列见解析，1. （1）根据频率分布直方图，由每组的中点值乘以该组的频率，再求和，即可得出结果； （2）先由题意得到 1~ 4, 4 B       ，根据二项分布的概率计算公式，得出概率，求出分布列，进而 可得出期望. （1）设样本数据的平均数为 x ，则由频率分布直方图可得： 45 0.1 55 0.1 65 0.25 75 0.3 85 0.2 95 0.05 70.5x              . （2）由频率分布直方图可得，样本中 80分以上（含 80分）的频率为   10.02 0.005 10 4    ，用 频率估计概率，易得 1~ 4, 4 B       则   41 811 4 56 0 2 P          ，   3 1 4 1 1 271 4 4 6 1 4 P C           ，   2 2 2 4 1 1 271 4 4 12 2 8 P C                 ，   3 3 4 1 1 31 4 4 64 3P C                 ，   41 6 4 1 4 25 P         ， 因此 的分布列为：  0 1 2 3 4 P 81 256 27 64 27 128 3 64 1 256 ∴数学期望为：   14 1 4 E     . 本题考查由频率分布直方图求平均值，考查二项分布的期望与分布列，属于常考题型. 22．（1） 2 0x y   （2）详见解析（3）[ 1, )e   （1）当 1a  时，先对函数求导，求得斜率，结合切点坐标，利用点斜式得到切线方程.（2）求出  g x 的表达式，对  g x 求得，然后将 a分成 0,0 1, 1, 1a a a a     四类，讨论函数的单调区间.（3） 将  f x 表达式代入原不等式并化简，构造函数设    2 1 lnxh x xe m x e x     利用导数求得 函数的最小值，令这个最小值大于零，求得m的取值范围. 解：（1）   21f x x    ，  1 1f    ，  1 1f  ， 所以曲线  y f x 在点   1, 1f 处的切线方程为 2 0x y   . （2）    1 ln ag x x a x x     ，定义域为  0, ，   2 11 a ag x x x         2 1x x a x    ， ①当 0a  时，当 1x  时，   0g x  ，  g x 在  1, 单调递增；当0 1x  时，   0g x  ，  g x 在  0,1 单调递减； ②当0 1a  时，当0 x a  或 1x  时，   0g x  ，  g x 在  0,a ，  1, 上单调递增；当 1a x  时，   0g x  ，  g x 在  ,1a 单调递减； ③当 1a  时，  g x 在  0, 单调递增； ④当 1a  时，当0 1x  或 x a 时，   0g x  ，  g x 在  0,1 ， ,a  上单调递增；当1 x a  时，   0g x  ，  g x 在  1,a 单调递减. 综上，当 0a  时，  g x 在  1, 单调递增，在  0,1 单调递减；当0 1a  时，  g x 在  0,a ，  1, 上单调递增，在  ,1a 单调递减；当 1a  时，  g x 在  0, 单调递增；当 1a  时，  g x 在  0,1 ，  ,a  上单调递增，在  1,a 单调递减. （3）当 2a e 时，   0xxe m f x   ，即  2 1 ln 0xxe m x e x     恒成立， 设    2 1 lnxh x xe m x e x     ，   2 11x x eh x xe e x      ， 显然  h x 在  0, 上单调递增，且  1 0h  ，所以当  0,1x 时，   0h x  ；当  1,x  时，   0h x  .即  h x 在  0,1 上单调递减，在  1, 上单调递增.    min 1 1 0h x h e m     ， 所以 1m e   ， 所以m的取值范围为 1,e   . 本小题主要考查利用导数求函数图像的切线方程，考查利用导数求解不等式恒成立有关的问题.属 于中档题.在求切线方程的过程中，关键点是：切点坐标和斜率，对于已知函数解析式的题目，可 直接利用切点的横坐标，分别代入原函数和导函数，求得切点的坐标和斜率. 23．（1）椭圆的标准方程为 2 2 1 8 4 x y   ，双曲线的标准方程为 2 2 1 4 4 x y   ；（2） 1 2 1k k  ；（3） 3 2 8   （1）根据题意，得到椭圆的 ,a b，从而得到椭圆方程，根据双曲线与椭圆的关系，得到双曲线的 方程；（2）设点  ,P x y ，表示出 1 2,k k ，得到 1 2k k 的值；（3）直线 ,AB CD分别与椭圆联立，利 用弦长公式，得到弦长，代入到 | | | | | | |AB CD AB CD  中，得到 的值. （1）由题意知，椭圆中 4 8 2, 2 2,a a  2 8 2, 2ab b  所以椭圆的标准方程为 2 2 1 8 4 x y   又顶点与焦点重合， 所以 2 2 2 4m c a b    ； 所以该双曲线的标准方程为 2 2 1 4 4 x y   . （2）设点  ,P x y ， 2x   1 2 yk x   ， 2 2 yk x   ， 2 1 2 2 4 yk k x    P在双曲线上，所以 2 2 1 4 4 x y   即 2 2 4y x  所以 1 2 1k k  . （3）设直线 :AB 1( 2)y k x  1 0k  由方程组 1 2 2 ( 2) 1 8 4 y k x x y       得  2 2 2 2 1 1 12 1 8 8 8 0k x k x k     设    1 1 2 2, , ,A x y B x y 所以 2 1 1 2 2 1 8 2 1 kx x k     ， 2 1 1 2 2 1 8 8 2 1 kx x k    由弦长公式    22 12 1 1 2 1 2 2 1 4 2 1 | | 1 4 2 1 k AB k x x x x k        同理    22 22 2 1 2 1 2 2 2 4 2 1 | | 1 4 2 1 k CD k x x x x k        由 1 2 1k k  得 2 1 1k k  代入得  21 2 1 4 2 1 | | 2 k CD k    | | | | | | |AB CD AB CD  1 1 3 2 | | | | 8AB CD     所以存在 3 2 8   使得 | | | | | | |AB CD AB CD  成立. 本题考查求椭圆和双曲线方程，直线与椭圆的位置关系，弦长公式等，属于难题.