高考数学复习 17-18版 附加题部分 第6章 第72课 曲线的极坐标方程

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高考数学复习 17-18版 附加题部分 第6章 第72课 曲线的极坐标方程

第六章 坐标系与参数方程 第72课 曲线的极坐标方程 ‎[最新考纲]‎ 内容 要求 A B C 坐标系的有关概念 ‎√‎ 简单图形的极坐标方程 ‎√‎ 极坐标方程与直角坐标方程的互化 ‎√‎ ‎1.平面直角坐标系中的坐标伸缩变换 设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换φ:的作用下,点P(x,y)对应到点P′(x′,y′),称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换.‎ ‎2.极坐标系与点的极坐标 ‎(1)极坐标系:如图721所示,在平面内取一个定点O(极点),自极点O引一条射线Ox(极轴);再选定一个长度单位,一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系.‎ 图721‎ ‎(2)极坐标:平面上任一点M的位置可以由线段OM的长度ρ和从Ox到OM的角度θ来刻画,这两个数组成的有序数对(ρ,θ)称为点M的极坐标.其中ρ 称为点M的极径,θ称为点M的极角.‎ ‎3.极坐标与直角坐标的互化 点M 直角坐标(x,y)‎ 极坐标(ρ,θ)‎ 互化 公式 ρ2=x2+y2 ‎ tan θ=(x≠0)‎ ‎4.圆的极坐标方程 曲线 图形 极坐标方程 圆心在极点,半径为r的圆 ρ=r(0≤θ<2π)‎ 圆心为(r,0),半径为r的圆 ρ=2rcos_θ 圆心为,半径为r的圆 ρ=2rsin_θ ‎(0≤0<π)‎ ‎5.直线的极坐标方程 ‎(1)直线l过极点,且极轴到此直线的角为α,则直线l的极坐标方程是θ=α(ρ∈R).‎ ‎(2)直线l过点M(a,0)且垂直于极轴,则直线l的极坐标方程为ρcos θ=a.‎ ‎(3)直线过M且平行于极轴,则直线l的极坐标方程为ρsin_θ=b(0<θ<π).‎ ‎1.(思考辨析)判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)‎ ‎(1)平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应关系,在极坐标系中点与坐标也是一一对应关系.(  )‎ ‎(2)若点P的直角坐标为(1,-),则点P的一个极坐标是.(  )‎ ‎(3)在极坐标系中,曲线的极坐标方程不是唯一的.(  )‎ ‎(4)极坐标方程θ=π(ρ≥0)表示的曲线是一条直线.(  )‎ ‎[答案] (1)× (2)√ (3)√ (4)×‎ ‎2.(教材改编)若以直角坐标系的原点为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,则线段y=1-x(0≤x≤1)的极坐标方程为________.‎ ρ= ‎[∵y=1-x(0≤x≤1),‎ ‎∴ρsin θ=1-ρcos θ(0≤ρcos θ≤1),‎ ‎∴ρ=.]‎ ‎3.(教材改编)在直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.若曲线C的极坐标方程为ρ=2sin θ,则曲线C的直角坐标方程为________.‎ x2+y2-2y=0 [由ρ=2sin θ,得ρ2=2ρsin θ.‎ 所以曲线C的直角坐标方程为x2+y2-2y=0.]‎ ‎4.已知直线l的极坐标方程为2ρsin=,点A的极坐标为A,则点A到直线l的距离为________.‎  [由2ρsin=,得2ρ=,‎ ‎∴y-x=1.‎ 由A,得点A的直角坐标为(2,-2).‎ ‎∴点A到直线l的距离d==.]‎ ‎5.(2015·江苏高考)已知圆C的极坐标方程为ρ2+2ρsin-4=0,求圆C的半径.‎ ‎[解] 以极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点O,以极轴为x轴的正半轴,建立直角坐标系xOy 圆C的极坐标方程可化为ρ2+2ρ-4=0,‎ 化简,得ρ2+2ρsin θ-2ρcos θ-4=0.‎ 则圆C的直角坐标方程为x2+y2-2x+2y-4=0,‎ 即(x-1)2+(y+1)2=6,‎ 所以圆C的半径为.‎ 平面直角坐标系中的伸缩变换 ‎ 将圆x2+y2=1上每一点的横坐标保持不变,纵坐标变为原来的2倍,得曲线C.‎ ‎(1)求曲线C的方程;‎ ‎(2)设直线l:2x+y-2=0与C的交点为P1,P2,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程. 【导学号:62172374】‎ ‎[解] (1)设(x1,y1)为圆上的点,在已知变换下变为曲线C上的点(x,y),依题意,得 由x+y=1得x2+2=1,‎ 故曲线C的方程为x2+=1.‎ ‎(2)由解得或 不妨设P1(1,0),P2(0,2),则线段P1P2的中点坐标为,所求直线斜率为k=,‎ 于是所求直线方程为y-1=,‎ 化为极坐标方程,并整理得2ρcos θ-4ρsin θ=-3,‎ 故所求直线的极坐标方程为ρ=.‎ ‎[规律方法] 1.解答该类问题应明确两点:一是根据平面直角坐标系中的伸缩变换公式的意义与作用;二是明确变换前的点P(x,y)与变换后的点P′(x′,‎ y′)的坐标关系,利用方程思想求解.‎ ‎2.求交点坐标,得直线方程,最后化为极坐标方程,其实质是将x=ρcos θ,y=ρsin θ代入转化.‎ ‎[变式训练1] 在平面直角坐标系中,已知伸缩变换φ: ‎(1)求点A经过φ变换所得点A′的坐标;‎ ‎(2)求直线l:y=6x经过φ变换后所得直线l′的方程.‎ ‎[解] (1)设点A′(x′,y′),由伸缩变换 φ:得 ‎∴x′=×3=1,y′==-1.‎ ‎∴点A′的坐标为(1,-1).‎ ‎(2)设P′(x′,y′)是直线l′上任意一点.‎ 由伸缩变换φ:得 代入y=6x,得2y′=6·=2x′,‎ ‎∴y′=x′为所求直线l′的方程.‎ 极坐标与直角坐标的互化 ‎ 在直角坐标系xOy中,直线C1:x=-2,圆C2:(x-1)2+(y-2)2=1,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.‎ ‎(1)求C1,C2的极坐标方程;‎ ‎(2)若直线C3的极坐标方程为θ=(ρ∈R),设C2与C3的交点为M,N,求△C2MN的面积. 【导学号:62172375】‎ ‎[解] (1)因为x=ρcos θ,y=ρsin θ,所以C1的极坐标方程为ρcos θ=-2,C2的极坐标方程为ρ2-2ρcos θ-4ρsin θ+4=0.‎ ‎(2)将θ=代入ρ2-2ρcos θ-4ρsin θ+4=0,得 ρ2-3ρ+4=0,解得ρ1=2,ρ2=.‎ 故ρ1-ρ2=,即MN=.‎ 由于C2的半径为1,所以△C2MN的面积为.‎ ‎[迁移探究1] 若本例条件不变,求直线C1与C2的交点的极坐标.‎ ‎[解] 联立方程 解得θ=且ρ=-2.‎ 所以交点的极坐标为.‎ ‎[迁移探究2] 本例条件不变,求圆C2关于极点的对称圆的方程.‎ ‎[解] 因为点(ρ,θ)与点(-ρ,θ)关于极点对称,‎ 设点(ρ,θ)为对称圆上任意一点,则(-ρ,θ)在圆C2上,‎ 所以(-ρ)2+2ρcos θ+4ρsin θ+4=0.‎ 故所求圆C2关于极点的对称圆的方程为x2+y2+2x+4y+4=0.‎ ‎[规律方法] 1.进行极坐标方程与直角坐标方程互化的关键是灵活应用互化公式:x=ρcos θ,y=ρsin θ,ρ2=x2+y2,tan θ=(x≠0).‎ ‎2.进行极坐标方程与直角坐标方程互化时,要注意ρ,θ的取值范围及其影响;要善于对方程进行合理变形,并重视公式的逆向与变形使用;要灵活运用代入法和平方法等方法.‎ ‎[变式训练2] 在极坐标系中,已知极坐标方程C1:ρcos θ-ρsin θ-1=0,C2:ρ=2cos θ.‎ ‎(1)求曲线C1,C2的直角坐标方程,并判断两曲线的形状;‎ ‎(2)若曲线C1,C2交于A,B两点,求两交点间的距离.‎ ‎[解] (1)由C1:ρcos θ-ρsin θ-1=0,‎ ‎∴x-y-1=0,表示一条直线.‎ 由C2:ρ=2cos θ,得ρ2=2ρcos θ,‎ ‎∴x2+y2=2x,则(x-1)2+y2=1.‎ ‎∴C2是圆心为(1,0),半径r=1的圆.‎ ‎(2)由(1)知点(1,0)在直线x-y-1=0上,‎ 因此直线C1过圆C2的圆心.‎ ‎∴两交点A,B的连线段是圆C2的直径.‎ 因此两交点A,B间的距离AB=2r=2.‎ 直线与圆的极坐标方程的应用 ‎ (2016·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(t为参数,a>0).在以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2:ρ=4cos θ.‎ ‎(1)说明C1是哪一种曲线,并将C1的方程化为极坐标方程;‎ ‎(2)直线C3的极坐标方程为θ=α0,其中α0满足tan α0=2,若曲线C1与C2的公共点都在C3上,求a.‎ ‎[解] (1)消去参数t得到C1的普通方程为x2+(y-1)2=a2,则C1是以(0,1)为圆心,a为半径的圆.‎ 将x=ρcos θ,y=ρsin θ代入C1的普通方程中,得到C1的极坐标方程为ρ2-2ρsin θ+1-a2=0.‎ ‎(2)曲线C1,C2的公共点的极坐标满足方程组 若ρ≠0,由方程组得16cos2θ-8sin θcos θ+1-a2=0,‎ 由已知tan θ=2,得16cos2θ-8sin θcos θ=0,‎ 从而1-a2=0,解得a=-1(舍去)或a=1.‎ 当a=1时,极点也为C1,C2的公共点,且在C3上.‎ 所以a=1.‎ ‎[规律方法] 1.第(1)问将曲线C1的参数方程先化为普通方程,再化为极坐标方程,考查学生的化归与转化能力.第(2)问中关键是理解极坐标方程,有意识地将问题简单化,进而求解.‎ ‎2.由极坐标方程求曲线交点、距离等几何问题时,如果不能直接用极坐标方程解决,可先转化为直角坐标方程,然后求解.‎ ‎[变式训练3] (2017·苏北四市期末)在极坐标系中,圆C的极坐标方程为ρ2-8ρsin+13=0,已知A,B,P为圆C上一点,求△PAB面积的最小值.‎ ‎[解] 圆C的直角坐标方程为x2+y2+4x-4y+13=0,即(x+2)2+(y-2)2=3.‎ 又A(0,-1),B(0,-3),所以AB=2.‎ P到直线AB距离的最小值为2-=,‎ 所以△PAB面积的最小值为×2×=.‎ ‎[思想与方法]‎ ‎1.曲线的极坐标方程与直角坐标方程互化:对于简单的我们可以直接代入公式ρcosθ=x,ρsinθ=y,ρ2=x2+y2,但有时需要作适当的变化,如将式子的两边同时平方,两边同时乘以ρ等.‎ ‎2.确定极坐标方程的四要素:‎ 极点、极轴、长度单位、角度单位及其正方向,四者缺一不可.‎ ‎[易错与防范]‎ ‎1.平面上点的直角坐标的表示形式是唯一的,但点的极坐标的表示形式不唯一.极坐标与P点之间不是一一对应的,所以我们又规定ρ≥0,0≤θ<2π,来使平面上的点与它的极坐标之间是一一对应的,但仍然不包括极点.‎ ‎2.进行极坐标方程与直角坐标方程互化时,应注意两点:‎ ‎(1)注意ρ,θ的取值范围及其影响.‎ ‎(2)重视方程的变形及公式的正用、逆用、变形使用.‎ 课时分层训练(十六)‎ A组 基础达标 ‎(建议用时:30分钟)‎ ‎1.(2017·镇江模拟)在极坐标系中,求圆ρ=2cos θ的圆心到直线2ρsin=1的距离. 【导学号:62172376】‎ ‎[解] 将圆ρ=2cos θ化为普通方程为x2+y2-2x=0,‎ 圆心为(1,0),‎ 又2ρsin=1,即2ρ=1,‎ 所以直线的普通方程为x+y-1=0,‎ 故所求的圆心到直线的距离d=.‎ ‎2.(2017·南通调研一)在极坐标系中,已知点A,圆C的方程为ρ=4sin θ(圆心为点C),求直线AC的极坐标方程.‎ ‎[解] 以极点为原点,极轴所在直线为x轴建立平面直角坐标系xOy.‎ 圆C的平面直角坐标方程为x2+y2=4y,即x2+(y-2)2=8,圆心C(0,2).‎ A的直角坐标为(,).‎ 直线AC的斜率kAC==-1‎ 所以,直线AC的直角坐标方程为y=-x+2,极坐标方程为ρ(cos θ+sin θ)=2,即ρsin(θ+)=2.‎ ‎3.(1)曲线C的直角坐标方程为x2+y2-2x=0,以原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,求曲线C的极坐标方程.‎ ‎(2)求在极坐标系中,圆ρ=2cos θ垂直于极轴的两条切线方程. ‎ ‎【导学号:62172377】‎ ‎[解] (1)将x2+y2=ρ2,x=ρcos θ代入x2+y2-2x=0,得ρ2-2ρcos θ=0,整理得ρ=2cos θ.‎ ‎(2)由ρ=2cos θ,得ρ2=2ρcos θ,化为直角坐标方程为x2+y2-2x=0,即(x-1)2+y2=1,其垂直于x轴的两条切线方程为x=0和x ‎=2,相应的极坐标方程为θ=(ρ∈R)和ρcos θ=2.‎ ‎4.在极坐标系中,已知圆C经过点P,圆心为直线ρsin=-与极轴的交点,求圆C的极坐标方程.‎ ‎[解] 在ρsin=-中,令θ=0,得ρ=1,所以圆C的圆心坐标为(1,0).如图所示,因为圆C经过点P,所以圆C的半径 PC==1,于是圆C过极点,所以圆C的极坐标方程为ρ=2cos θ.‎ B组 能力提升 ‎(建议用时:15分钟)‎ ‎1.在极坐标系下,已知圆O:ρ=cos θ+sin θ和直线l:ρsin=.‎ ‎(1)求圆O和直线l的直角坐标方程;‎ ‎(2)当θ∈(0,π)时,求直线l与圆O公共点的一个极坐标.‎ ‎[解] (1)圆O:ρ=cos θ+sin θ,即ρ2=ρcos θ+ρsin θ,‎ 圆O的直角坐标方程为x2+y2=x+y,‎ 即x2+y2-x-y=0,‎ 直线l:ρsin=,即ρsin θ-ρcos θ=1,‎ 则直线l的直角坐标方程为y-x=1,即x-y+1=0.‎ ‎(2)由得 故直线l与圆O公共点的一个极坐标为.‎ ‎2.在极坐标系中,已知直线l的极坐标方程为ρsin=1,圆C的圆心的极坐标是C,圆的半径为1.‎ ‎(1)求圆C的极坐标方程;‎ ‎(2)求直线l被圆C所截得的弦长.‎ ‎[解] (1)设O为极点,OD为圆C的直径,A(ρ,θ)为圆C上的一个动点,则∠AOD=-θ或∠AOD=θ-,‎ OA=ODcos或OA=ODcos,‎ ‎∴圆C的极坐标方程为ρ=2cos.‎ ‎(2)由ρsin=1,得ρ(sin θ+cos θ)=1,‎ ‎∴直线l的直角坐标方程为x+y-=0,‎ 又圆心C的直角坐标为,满足直线l的方程,‎ ‎∴直线l过圆C的圆心,‎ 故直线被圆所截得的弦长为直径2.‎ ‎3.在极坐标系中,P是曲线C1:ρ=12sin θ上的动点,Q是曲线C2:ρ=12cos上的动点,求PQ的最大值.‎ ‎[解] 对曲线C1的极坐标方程进行转化:‎ ‎∵ρ=12sin θ,∴ρ2=12ρsin θ,∴x2+y2-12y=0,‎ 即x2+(y-6)2=36.‎ 对曲线C2的极坐标方程进行转化:‎ ‎∵ρ=12cos,‎ ‎∴ρ2=12ρ ‎∴x2+y2-6x-6y=0,‎ ‎∴(x-3)2+(y-3)2=36,‎ ‎∴PQmax=6+6++32=18.‎ ‎4.在直角坐标系xOy中,以O 为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系.曲线C的极坐标方程为ρcos=1,M,N分别为C与x轴、y 轴的交点.‎ ‎(1)写出C的直角坐标方程,并求M、N的极坐标;‎ ‎(2)设MN的中点为P,求直线OP的极坐标方程.‎ ‎[解] (1)由ρcos=1 ‎ 得ρ=1.‎ 从而C的直角坐标方程为x+y=1,即x+y=2.‎ 当θ=0时,ρ=2,所以M(2,0).‎ 当θ=时,ρ=,‎ 所以N.‎ ‎(2)M点的直角坐标为(2,0).‎ N点的直角坐标为.‎ 所以P点的直角坐标为.‎ 则P点的极坐标为 所以直线OP的极坐标方程为θ=(ρ∈R).‎
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