2020九年级数学下册 第二十八章应用举例

2020九年级数学下册 第二十八章应用举例

课时作业(二十一)‎ ‎[28.2.2　第2课时　仰角、俯角与解直角三角形]　　　　　　　　　 　　　　　　　 　‎ ‎ 一、选择题 ‎1．2018·长春如图K－21－1，某地修建高速公路，要从A地向B地修一条隧道(点A，B在同一水平面上)．为了测量A，B两地之间的距离，一架直升机从A地出发，垂直上升‎800米到达C处，在C处观察B地的俯角为α，则A，B两地之间的距离为(　　)‎ 图K－21－1‎ A．800sinα米 B．800tanα米 C.米 D.米 ‎2．聊城“水城之眼”摩天轮是亚洲三大摩天轮之一，也是全球首座建筑与摩天轮相结合的城市地标．如图K－21－2，点O是摩天轮的圆心，长为‎110米的AB是其垂直地面的直径，小莹在地面上的点C处利用测角仪测得摩天轮的最高点A的仰角为33°，测得圆心O的仰角为21°，则小莹所在点C到直径AB所在直线的距离约为(tan33°≈0.65，tan21°≈0.38)(　　)‎ 图K－21－2‎ A．‎169米 B．‎204米 C．‎240米 D．‎‎407米 8‎ ‎3．如图K－21－3，在一个‎20米高的楼顶上有一信号塔DC，某同学为了测量信号塔的高度，在地面的A处测得信号塔下端D的仰角为30°，然后他正对塔的方向前进了‎8米到达B处，又测得信号塔顶端C的仰角为45°，CD⊥AB于点E，点E，B，A在一条直线上，则信号塔CD的高度为(　　)‎ 图K－21－3‎ A．‎20 ‎米 B．(20 －8)米 C．(20 －28)米 D．(20 －20)米 ‎4．如图K－21－4，在湖边高出水面‎50 m的山顶A处看见一艘飞艇停留在湖面上空某处，观察到飞艇底部标志P处的仰角为45°，又观察到其在湖中的像P′的俯角为60°，则飞艇距离湖面的高度为(　　)‎ 图K－21－4‎ A．(25 ＋75)m ‎ B．(50 ＋50)m C．(75 ＋75)m ‎ D．(50 ＋100)m 二、填空题 ‎5．2017·山西如图K－21－5，创新小组要测量公园内一棵树的高度AB，其中一名小组成员站在距离树‎10 m的点E处，测得树顶A的仰角为54°.已知测角仪的架高CE＝‎1.5 m，则这棵树的高度为________m．(结果保留小数点后一位．参考数据：sin54°≈0.8090，cos54°≈0.5878，tan54°≈1.3764)‎ 图K－21－5‎ ‎6．如图K－21－6所示，李敏同学在学校某建筑物的点C处测得旗杆顶部点A的仰角为30°，旗杆底部点B的俯角为45°.若旗杆底部点B到建筑物的水平距离BE＝‎9米，旗杆台阶高‎1米，则旗杆顶点A离地面的高度为________米(结果保留根号)．‎ 8‎ 图K－21－6‎ 三、解答题 ‎7．2017·潍坊如图K－21－7，某数学兴趣小组要测量一栋五层居民楼CD的高度．该楼底层为车库，高‎2.5 m；上面五层居住，每层高度相等．测角仪支架离地‎1.5 m，在A处测得五楼顶部点D的仰角为60°，在B处测得四楼顶部点E的仰角为30°，AB＝‎14 m．求该居民楼的高度(精确到‎0.1 m，参考数据：≈1.73)．‎ 图K－21－7‎ ‎8．如图K－21－8，某无人机于空中A处探测到目标B，D的俯角分别是30°，60°，此时无人机的飞行高度AC为‎60 m，随后无人机从A处继续水平飞行‎30 ‎ m到达A′处．‎ ‎(1)求A，B之间的距离；‎ ‎(2)求无人机在A′处看目标D的俯角的正切值．‎ 图K－21－8‎ ‎9．2017·荆门金桥学校“科技体艺节”期间，八年级数学活动小组的任务是测量学校旗杆AB的高．如图K－21－9，他们在旗杆正前方台阶上的点C处，测得旗杆顶端A的仰角为45°，朝着旗杆的方向走到台阶下的点F处，测得旗杆顶端A的仰角为60°.已知升旗台的高度BE为‎1米，点C距地面的高度CD为‎3米，台阶的坡角为30°，且点E，F，D在同一直线上．求旗杆AB的高．(计算结果精确到‎0.1米，参考数据：≈1.41，≈1.73)‎ 8‎ 图K－21－9‎ ‎10．如图K－21－10，一架飞机由A向B沿水平直线方向飞行，在航线AB的正下方有两个山头C，D.飞机在A处时，测得山头C，D在飞机的前方，俯角分别为60°和30°.飞机飞行了‎6 km到B处时，往后测得山头C的俯角为30°，而山头D恰好在飞机的正下方．求山头C，D之间的距离．‎ 图K－21－10‎ ‎ 转化思想如图K－21－11，大楼AB右侧有一障碍物，在障碍物的旁边有一幢小楼DE，在小楼的顶端D处测得障碍物边缘点C的俯角为30°，测得大楼顶端A的仰角为45°(点B，C，E在同一水平直线上)，已知AB＝‎80 m，DE＝‎10 m，求障碍物B，C两点间的距离(结果精确到‎0.1 m，参考数据：≈1.414，≈1.732)．‎ 8‎ 图K－21－11‎ 8‎ 详解详析 ‎[课堂达标]‎ ‎1．[解析] D　在Rt△ABC中，∵∠CAB＝90°，∠ABC＝α，AC＝‎800米，‎ ‎∴tanα＝，‎ ‎∴AB＝＝米．‎ 故选D.‎ ‎2．[解析] B　如图，过点C作CD⊥AB交AB的延长线于点D.‎ 在Rt△ACD中，AD＝CD·tan∠ACD＝CD·tan33°，‎ 在Rt△DCO中，OD＝CD·tan∠DCO＝CD·tan21°.‎ ‎∵AB＝110米，∴AO＝55米，∴AO＝AD－OD＝CD·tan33°－CD·tan21°＝55米，‎ ‎∴CD＝≈≈204(米)．‎ 故小莹所在点C到直径AB所在直线的距离约为204米．‎ ‎3．[解析] C　根据题意，得AB＝‎8米，DE＝‎20米，∠A＝30°，∠EBC＝45°.‎ 在Rt△ADE中，AE＝DE＝20 米，‎ ‎∴BE＝AE－AB＝(20 －8)米．‎ 在Rt△BCE中，CE＝BE·tan45°＝(20 －8)×1＝(20 －8)米．‎ ‎∴CD＝CE－DE＝20 －8－20＝(20 －28)米．‎ ‎4．[解析] D　设AE＝x m．在Rt△AEP中，∠PAE＝45°，则∠P＝45°，∴PE＝AE＝x m.‎ ‎∵山顶A处高出水面50 m，∴OE＝50 m，‎ ‎∴OP′＝OP＝PE＋OE＝(x＋50)m.‎ ‎∵∠P′AE＝60°，‎ ‎∴P′E＝tan60°·AE＝x m，‎ ‎∴OP′＝P′E－OE＝(x－50)m.‎ ‎∴x＋50＝x－50，‎ 解得x＝50(＋1)，‎ ‎∴OP＝PE＋OE＝50(＋1)＋50＝(50 ＋100)m.‎ ‎5．[答案] 15.3‎ ‎[解析] 过点C作CD⊥AB，垂足为D，则四边形CEBD是矩形，BD＝CE＝‎1.5 m.‎ 在Rt△ACD中，CD＝EB＝10 m，∠ACD＝54°.‎ ‎∵tan∠ACD＝，‎ ‎∴AD＝CD·tan∠ACD≈10×1.3764＝13.764(m)，‎ ‎∴AB＝AD＋BD≈13.764＋1.5≈15.3(m)．‎ ‎6. ‎7．[解析] 设每层高度为x m，则可表示出EC′与DC′的长，然后通过解Rt△DC′A′与Rt△EC′B′，用含x的式子表示出C′B′与C′A′的长，其差即为AB的长‎14米，由此构建方程求解．‎ 解：设每层高度为x m，由题意，得MC′＝MC－CC′＝2.5－1.5＝1(m)，‎ 则DC′＝(5x＋1)m，EC′＝(4x＋1)m.‎ 在Rt△DC′A′中，∠DA′C′＝60°，‎ 8‎ ‎∴C′A′＝＝(5x＋1)m.‎ 在Rt△EC′B′中，∠EB′C′＝30°，‎ ‎∴C′B′＝＝(4x＋1)m.‎ ‎∵C′B′－C′A′＝A′B′＝AB，AB＝14 m，‎ ‎∴(4x＋1)－(5x＋1)＝14，‎ 解得x≈3.18.‎ ‎∴该居民楼的高度约为5×3.18＋2.5＝18.4(米)．‎ ‎8．解：(1)∵∠BAC＝90°－30°＝60°，AC＝‎60 m，‎ ‎∴在Rt△ABC中，AB＝＝＝120(m)．‎ 即A，B之间的距离为120 m.‎ ‎(2)如图，过点D作DE⊥AA′ 于点E，连接A′D.‎ ‎∵∠DAC＝90°－60°＝30°，AC＝60 m，‎ ‎∴在Rt△ADC中，CD＝AC·tan∠DAC＝60×tan30°＝20 (m)．‎ ‎∵∠AED＝∠EAC＝∠C＝90°，‎ ‎∴四边形ACDE是矩形．‎ ‎∵ED＝AC＝60 m，EA＝CD＝20 m，‎ ‎∴在Rt△A′ED中，tan∠EA′D＝＝＝＝.‎ 即无人机在A′处看目标D的俯角的正切值为.‎ ‎9．解：过点C作CM⊥AB于点M，则四边形CMED是矩形，且△AMC是等腰直角三角形．‎ 设AM＝x米，则ED＝MC＝x米，AE＝AM＋ME＝AM＋CD＝(x＋3)米．‎ 在Rt△AEF中，EF＝＝米．‎ 在Rt△CFD中，FD＝＝3 米．‎ ‎∵ED＝MC，∴x＝＋3 ，‎ 解得x＝6 ＋6.‎ ‎∴AB＝AM＋ME－BE＝6＋6＋3－1＝6 ＋8≈6×1.73＋8≈18.4(米)．‎ 答：旗杆AB的高约为18.4米．‎ ‎10．解：如图，过点D作DE⊥BC于点E.‎ ‎∵∠BAC＝60°，∠ABC＝30°，∴∠ACB＝90°.‎ 在Rt△ABC中，‎ ‎∵AB＝6 km，‎ ‎∴AC＝3 km，BC＝3 km.‎ 在Rt△ABD中，‎ ‎∵AB＝6 km，∠BAD＝30°，‎ ‎∴BD＝AB·tan30°＝2 km.‎ 8‎ ‎∵∠DBE＝∠ABD－∠ABC＝60°，∠DEB＝90°，‎ ‎∴BE＝ km，DE＝3 km，‎ ‎∴CE＝BC－BE＝2 km.‎ 在Rt△CDE中，CD＝＝ km.‎ 答：山头C，D之间的距离是 km.‎ ‎[素养提升]‎ 解： 如图，过点D作DF⊥AB于点F，过点C作CH⊥DF于点H.‎ 则DE＝BF＝CH＝10 m.‎ 在Rt△ADF中，‎ ‎∵AF＝AB－BF＝80－10＝70(m)，‎ ‎∠ADF＝45°，∴DF＝AF＝70 m.‎ 在Rt△CDE中，‎ ‎∵DE＝10 m，∠DCE＝30°，‎ ‎∴CE＝＝＝10 (m)，‎ ‎∴BC＝BE－CE＝DF－CE＝70－10 ≈70－17.32≈52.7(m)．‎ 答：障碍物B，C两点间的距离约为52.7 m.‎ 8‎