浙江省杭州市2010年中考数学试卷及答案

浙江省杭州市2010年中考数学试卷及答案

‎2010年杭州市各类高中招生文化考试 数 学 考生须知:‎ 1. 本试卷满分120分, 考试时间100分钟.‎ 2. 答题前, 在答题纸上写姓名和准考证号.‎ 3. 必须在答题纸的对应答题位置上答题，写在其他地方无效. 答题方式详见答题纸上的说明.‎ 4. 考试结束后, 试题卷和答题纸一并上交.‎ 试题卷 一. 仔细选一选 (本题有10个小题, 每小题3分, 共30分) ‎ ‎ 下面每小题给出的四个选项中, 只有一个是正确的. 注意可以用多种不同的方法来选取正确答案.‎ ‎1. 计算 (– 1)2 + (– 1)3 = ‎ ‎ A.– 2 B. – ‎1 C. 0 D. 2 ‎ ‎2. 4的平方根是 ‎ ‎ A. 2 B. ± ‎2 ‎‎ C. 16 D. ±16 ‎ ‎3. 方程 x2 + x – 1 = 0的一个根是 ‎ ‎ A. 1 – B. C. –1+ D. ‎ ‎4. “是实数, ”这一事件是 ‎ ‎ A. 必然事件 B. 不确定事件 C. 不可能事件 D. 随机事件 ‎5. 若一个所有棱长相等的三棱柱，它的主视图和俯视图分别是正方形和正三角形，则左视图是 ‎ A. 矩形 B. 正方形 C. 菱形 D. 正三角形 ‎6. 16位参加百米半决赛同学的成绩各不相同, 按成绩取前8位进入决赛. 如果小刘知道了自己 的成绩后, 要判断能否进入决赛，其他15位同学成绩的下列数据中，能使他得出结论的是 ‎ ‎ (第7题)‎ A. 平均数 B. 极差 C. 中位数 D. 方差 ‎ ‎7. 如图，5个圆的圆心在同一条直线上, 且互相相切，若大圆直径是12，4个 ‎ 小圆大小相等，则这5个圆的周长的和为 ‎ A. 48 B. 24 ‎ ‎ C. 12 D. 6‎ ‎(第8题)‎ ‎8. 如图，在△中, . 在同一平面内, 将△绕点旋 ‎ ‎ 转到△的位置, 使得, 则 ‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎9. 已知a，b为实数，则解可以为 – 2 < x < 2的不等式组是 ‎ A. B. C. D. ‎ ‎10. 定义[]为函数的特征数, 下面给出特征数为 [‎2m，1 – m , –1– m] ‎ 的函数的一些结论： ‎ ‎ ① 当m = – 3时，函数图象的顶点坐标是(，)； ‎ ‎ ② 当m > 0时，函数图象截x轴所得的线段长度大于； ‎ ‎ ③ 当m < 0时，函数在x >时，y随x的增大而减小；‎ ‎ ④ 当m ¹ 0时，函数图象经过同一个点.‎ ‎ 其中正确的结论有 ‎ A. ①②③④ B. ①②④ C. ①③④ D. ②④‎ 二. 认真填一填 (本题有6个小题, 每小题4分, 共24分)‎ ‎ (第13题)‎ ‎ 要注意认真看清题目的条件和要填写的内容, 尽量完整地填写答案.‎ ‎11. 至2009年末，杭州市参加基本养老保险约有3422000人，用科学记数 法表示应为 人. ‎ ‎12. 分解因式 m3 – ‎4m = .‎ ‎13. 如图, 已知∠1 =∠2 =∠3 = 62°，则 . ‎ ‎14.一个密码箱的密码, 每个数位上的数都是从0到9的自然数, 若要使不知道密码的人一次 就拨对密码的概率小于, 则密码的位数至少需要 位. ‎ ‎ (第16题)‎ ‎15. 先化简, 再求得它的近似值为 .(精确到0.01，≈1.414，≈1.732)‎ ‎16. 如图, 已知△,，．是的中点，‎ ‎ ⊙与AC，BC分别相切于点与点．点F是⊙与的一 个交点，连并延长交的延长线于点. 则 . ‎ 三. 全面答一答 (本题有8个小题, 共66分) ‎ 解答应写出文字说明, 证明过程或推演步骤. 如果觉得有的题目有点困难, 那么把自己 能写出的解答写出一部分也可以.‎ ‎(第17题)‎ ‎17．(本小题满分6分) ‎ 常用的确定物体位置的方法有两种. ‎ 如图，在4×4个边长为1的正方形组成的方格中，标有A，B两点. 请你用 两种不同方法表述点B相对点A的位置.‎ ‎18. (本小题满分6分) ‎ ‎.‎ ‎(第18题)‎ ‎ 如图, 在平面直角坐标系中, 点(0,8), 点(6 , 8 ).‎ ‎(1) 只用直尺(没有刻度)和圆规, 求作一个点，使点同时满足下 列两个条件(要求保留作图痕迹, 不必写出作法)： ‎ ‎1）点P到，两点的距离相等；‎ ‎2）点P到的两边的距离相等. ‎ ‎(2) 在(1)作出点后, 写出点的坐标.‎ ‎19. (本小题满分6分) ‎ 给出下列命题：‎ 命题1. 点(1,1)是直线y = x与双曲线y = 的一个交点;‎ 命题2. 点(2,4)是直线y = 2x与双曲线y = 的一个交点;‎ 命题3. 点(3,9)是直线y = 3x与双曲线y = 的一个交点;‎ ‎ … … .‎ ‎（1）请观察上面命题，猜想出命题(是正整数);‎ ‎（2）证明你猜想的命题n是正确的.‎ ‎20. (本小题满分8分) ‎ 统计2010年上海世博会前20天日参观人数，得到如下频数分布表和频 数分布 直方图（部分未完成）:‎ 上海世博会前20天日参观人数的频数分布直方图 上海世博会前20天日参观人数的频数分布表 ‎ ‎ 组别（万人）‎ 组中值(万人)‎ 频数 频率 ‎7.5～14.5‎ ‎11‎ ‎5‎ ‎0.25‎ ‎14.5～21.5‎ ‎6‎ ‎0.30‎ ‎21.5～28.5‎ ‎25‎ ‎0.30‎ ‎28.5～35.5‎ ‎32‎ ‎3‎ ‎（1）请补全频数分布表和频数分布直方图；‎ ‎（2）求出日参观人数不低于22万的天数和所占的百分比；‎ ‎（3）利用以上信息，试估计上海世博会（会期184天）的参观总人数.‎ ‎21. (本小题满分8分) ‎ 已知直四棱柱的底面是边长为a的正方形， 高为, 体积为V, 表面积等于S.‎ ‎(1) 当a = 2, h = 3时，分别求V和S；‎ ‎(2) 当V = 12，S = 32时，求的值. ‎ ‎(第22题)‎ ‎22. (本小题满分10分) ‎ 如图，AB = ‎3AC，BD = 3AE，又BD∥AC，点B，A，E在同一条直线上. ‎ ‎(1) 求证：△ABD∽△CAE；‎ ‎(2) 如果AC =BD，AD =BD，设BD = a，求BC的长. ‎ ‎（第23题）‎ ‎23. (本小题满分10分) ‎ 如图，台风中心位于点P，并沿东北方向PQ移动，已知台风移 动的速度为‎30千米/时，受影响区域的半径为‎200千米，B市位 于点P的北偏东75°方向上，距离点P ‎320千米处. ‎ ‎(1) 说明本次台风会影响B市；‎ ‎（2）求这次台风影响B市的时间.‎ ‎24. (本小题满分12分) ‎ ‎（第24题）‎ 在平面直角坐标系xOy中，抛物线的解析式是y =+1，‎ 点C的坐标为(–4，0)，平行四边形OABC的顶点A，B在抛物 线上，AB与y轴交于点M，已知点Q(x，y)在抛物线上，点 P(t，0)在x轴上. ‎ ‎ (1) 写出点M的坐标； ‎ ‎ (2) 当四边形CMQP是以MQ，PC为腰的梯形时.‎ ‎① 求t关于x的函数解析式和自变量x的取值范围；‎ ‎② 当梯形CMQP的两底的长度之比为1：2时，求t的值.‎ ‎2010年杭州市各类高中招生文化考试 数学评分标准 一. 仔细选一选 (本题有10个小题, 每小题3分, 共30分) ‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ 答案 C B D A A C B C ‎ D B 二. 认真填一填 (本题有6个小题, 每小题4分, 共24分)‎ ‎11. 3.422´106 12. m(m +2)(m – 2) 13. 118° ‎ ‎14. 4 ‎15. 5.20‎ 16. ‎ 三. 全面答一答 (本题有8个小题, 共66分) ‎ ‎17．(本小题满分6分) ‎ 方法1．用有序实数对(a，b)表示. ‎ 比如：以点A为原点，水平方向为x轴，建立直角坐标系，则B(3，3). --- 3分 方法2. 用方向和距离表示. ‎ 比如: B点位于A点的东北方向（北偏东45°等均可），距离Ａ点3处． --- 3分 ‎（第18题）‎ ‎18. (本小题满分6分) ‎ ‎(1) 作图如右, 点即为所求作的点; --- 图形2分, 痕迹2分 ‎(2) 设AB的中垂线交AB于E，交x轴于F，‎ 由作图可得, , 轴, 且OF =3, ‎ ‎∵OP是坐标轴的角平分线，‎ ‎∴(3，3). --- 2分 ‎19. (本小题满分6分) ‎ ‎(1)命题n: 点(n , n2) 是直线y = nx与双曲线y =的一个交点(是正整数). --- 3分 ‎ (2)把 代入y = nx，左边= n2，右边= n·n = n2，‎ ‎∵左边 =右边， ∴点(n，n2)在直线上. --- 2分 同理可证：点(n，n2)在双曲线上，‎ ‎∴点(n，n2)是直线y = nx与双曲线y = 的一个交点，命题正确. --- 1分 ‎20. (本小题满分8分) ‎ 上海世博会前20天日参观人数的频数分布直方图 ‎（1）‎ 上海世博会前20天日参观人数的频数分布表 ‎ ‎ 组别（万人）‎ 组中值(万人)‎ 频数 频率 ‎7.5～14.5‎ ‎11‎ ‎5‎ ‎0.25‎ ‎14.5～21.5‎ ‎18‎ ‎6‎ ‎0.30‎ ‎21.5～28.5‎ ‎25‎ ‎6‎ ‎0.30‎ ‎28.5～35.5‎ ‎32‎ ‎3‎ ‎0.15‎ 填 频数分布表 --- 2分 频数分布直方图 --- 2分 ‎（2）日参观人数不低于22万有9天, --- 1分 所占百分比为45％. --- 1分 ‎（3）世博会前20天的平均每天参观人数约为 ‎＝20.45（万人） ---1分 ‎20.45×184＝3762.8（万人）‎ ‎∴ 估计上海世博会参观的总人数约为3762.8万人. --- 1分 ‎ ‎ ‎21. (本小题满分8分) ‎ ‎(1) 当a = 2, h = 3时，‎ V = a2h= 12 ; ‎ S = ‎2a2+ 4ah =32 . --- 4分 ‎(2) ∵a2h= 12, ‎2a(a + 2h) =32，‎ ‎ ∴ , (a + 2h) =,‎ ‎∴===. --- 4分 ‎22. (本小题满分10分) ‎ ‎(1) ∵ BD∥AC，点B，A，E在同一条直线上， ∴ ÐDBA = ÐCAE,‎ 又∵ , ∴ △ABD∽△CAE. --- 4分 ‎(2) ∵AB = ‎3AC = 3BD，AD =2BD ，‎ ‎(第22题)‎ ‎ ∴ AD2 + BD2 = 8BD2 + BD2 = 9BD2 =AB2， ‎ ‎∴ÐD =90°, ‎ 由（1）得 ÐE =ÐD = 90°, ‎ ‎∵ AE=BD , EC =AD = BD , AB = 3BD ，‎ ‎∴在Rt△BCE中，BC2 = (AB + AE )2 + EC2 ‎ ‎= (3BD +BD )2 + (BD)2 = BD2 = ‎12a2 ,‎ ‎（第23题）‎ ‎ ∴ BC =a . --- 6分 ‎23. (本小题满分10分)‎ ‎(1) 作BH⊥PQ于点H, 在Rt△BHP中,‎ 由条件知, PB = 320, ÐBPQ = 30°, 得 BH = 320sin30° = 160 < 200,‎ ‎∴ 本次台风会影响B市. ---4分 ‎(2) 如图, 若台风中心移动到P1时, 台风开始影响B市, 台风中心移动到P2时, 台风影响结束.‎ 由（1）得BH = 160, 由条件得BP1=BP2 = 200, ‎ ‎∴所以P1P2 = 2=240, --- 4分 ‎∴台风影响的时间t = = 8(小时). --- 2分 ‎24. (本小题满分12分)‎ ‎（第24题）‎ ‎(1) ∵OABC是平行四边形，∴AB∥OC，且AB = OC = 4，‎ ‎∵A，B在抛物线上，y轴是抛物线的对称轴，‎ ‎∴ A，B的横坐标分别是2和– 2， ‎ 代入y =+1得， A(2, 2 )，B(– 2，2)，‎ ‎∴M (0，2)， ---2分 ‎ (2) ① 过点Q作QH ^ x轴，设垂足为H， 则HQ = y ，HP = x–t ，‎ 由△HQP∽△OMC，得：, 即： t = x – 2y ,‎ ‎ ∵ Q(x,y) 在y = +1上， ∴ t = –+ x –2. ---2分 当点P与点C重合时，梯形不存在，此时，t = – 4，解得x = 1±,‎ 当Q与B或A重合时，四边形为平行四边形，此时，x = ± 2‎ ‎∴x的取值范围是x ¹ 1±, 且x¹± 2的所有实数. ---2分 ‎② 分两种情况讨论： ‎ ‎1）当CM > PQ时，则点P在线段OC上， ‎ ‎ ∵ CM∥PQ，CM = 2PQ ，‎ ‎∴点M纵坐标为点Q纵坐标的2倍，即2 = 2(+1)，解得x = 0 ，‎ ‎∴t = –+ 0 –2 = –2 . --- 2分 ‎2）当CM < PQ时，则点P在OC的延长线上，‎ ‎ ∵CM∥PQ，CM = PQ，‎ ‎∴点Q纵坐标为点M纵坐标的2倍，即+1=2´2，解得： x = ±. ---2分 ‎ 当x = –时，得t = –––2 = –8 –, ‎ 当x =时， 得t =–8. ---2分 ‎