中考卷-2020中考数学试题（解析版） (103)

中考卷-2020中考数学试题（解析版） (103)

湖南省邵阳市 2020 年中考数学试题 一、选择题（本大题有 10 个小题，每小题 3 分，共 30 分，在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的） 1.2020 的倒数是（ ） A. 2020 B. 2020 C. 1 2020 D. 1 2020  【答案】C 【解析】 【分析】 根据倒数的定义解答. 【详解】2020 的倒数是 1 2020 ， 故选：C. 【点睛】此题考查倒数的定义，熟记倒数的定义是解题的关键. 2.下列四个立体图形中，它们各自的三视图都相同的是( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 根据主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形解答即可． 【详解】A、球的三视图都是圆，故本选项正确； B、圆锥的主视图和左视图是三角形，俯视图是带有圆心的圆，故本选项错误； C、圆柱的主视图和左视图是矩形，俯视图是圆，故本选项错误； D、三棱柱的主视图和左视图是矩形，俯视图是三角形，故本选项错误． 故选 A． 【点睛】本题考查的是几何体的三视图，理解主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看 所得到的图形是解题的关键． 3.2020 年 6 月 23 日，中国第 55 颗北斗号航卫星成功发射，标志着拥有全部知识产权的北斗导航系统全面 建成．据统计：2019 年，我国北斗卫星导航与位置服务产业总体产值达 3450 亿元，较 2018 年增长 14.4%．其 中，3450 亿元用科学记数法表示为（ ） A. 103.45 10 元 B. 93.45 10 元 C. 83.45 10 元 D. 113.45 10 元 【答案】D 【解析】 【分析】 根据科学计数法的表示形式为 10 na  ，其中1 10a ＜ ，n 为整数，即可做出选择． 【 详 解 】 解 ： 根 据 科 学 计 数 法 的 表 示 形 式 为 10 na  ， 其 中 1 10a ＜ ， n 为 整 数 ， 则 3450 亿 =345000000000=3.45×1011 元． 故选：D 【点睛】本题主要考查利用科学计数法表示较大的数的方法，掌握科学计数法的表示方法是解答本题的关 键，这里还需要注意 n 的取值． 4.设方程 2 3 2 0x x   的两根分别是 1 2,x x ，则 1 2x x 的值为（ ） A. 3 B. 3 2  C. 3 2 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】 本题可利用韦达定理，求出该一元二次方程的二次项系数以及一次项系数的值，代入公式求解即可． 【详解】由 2 3 2 0x x   可知，其二次项系数 1a  ，一次项系数 3b   ， 由韦达定理： 1 2x x ( 3) 31 b a      ， 故选：A． 【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，求解时可利用常规思路求解一元二次方程，也可以通过 韦达定理提升解题效率． 5.已知正比例函数 ( 0)y kx k  的图象过点 2,3 ，把正比例函数 ( 0)y kx k  的图象平移，使它过点  1, 1 ，则平移后的函数图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 先求出正比例函数解析式，再根据平移和经过点 1, 1 求出一次函数解析式，即可求解． 【详解】解：把点 2,3 代入 ( 0)y kx k  得 2 3k  解得 3 2k = ， ∴正比例函数解析式为 3 2y x ， 设正比例函数平移后函数解析式为 3 2y x b  ， 把点 1, 1 代入 3 2y x b  得 3 = 12 b  ， ∴ 5= 2b  ， ∴平移后函数解析式为 3 5 2 2y x  ， 故函数图象大致 ． 故选：D 【点睛】本题考查了求正比例函数，一次函数解析式，一次函数图象与性质，根据正比例函数求出平移后 一次函数解析式是解题关键． 6.下列计算正确的是（ ） A. 5 3 18 8 3  B.  32 2 32 6a b a b   C. 2 2 2( )a b a b   D. 2 4 22 a a b aa b a      【答案】D 【解析】 【分析】 分别运用二次根式、整式的运算、分式的运算法则逐项排除即可． 【详解】解：A. 5 3 18 3 25 3   ，故 A 选项错误； B.      3 332 2 3 6 32 2 8a b a b a b     ，故 B 选项错误； C. 2 2 2( ) 2a b a ab b    ，故 C 选项错误； D.   2 2 24 22 2 a aa a b a b aa b a a b a            ，故 D 选项正确． 故答案为 D． 【点睛】本题考查了二次根式、整式的运算、分式的运算，掌握相关运算法则是解答本题的关键． 7.如图，四边形 ABCD 是平行四边形，点 E，B，D，F 在同一条直线上，请添加一个条件使得 ABE CDF△ ≌△ ，下列不正确．．．的是（ ） A. AE CF B. AEB CFD   C. EAB FCD   D. BE DF 【答案】A 【解析】 【分析】 根据平行四边形的性质结合全等三角形的判定，逐项进行判断即可. 【详解】解：∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AB=CD，AB∥CD， ∴∠ABD=∠BDC， ∵∠ABE+∠ABD=∠BDC+∠CDF， ∴∠ABE=∠CDF， A.若添加 AE CF ，则无法证明 ABE CDF△ ≌△ ，故 A 错误； B.若添加 AEB CFD   ，运用 AAS 可以证明 ABE CDF△ ≌△ ，故选项 B 正确； C.若添加 EAB FCD   ，运用 ASA 可以证明 ABE CDF△ ≌△ ，故选项 C 正确； D.若添加 BE DF ，运用 SAS 可以证明 ABE CDF△ ≌△ ，故选项 D 正确． 故选：A． 【点睛】本题考查平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是准确寻找全等三角 形解决问题，属于中考常考题型． 8.已知 0, 0a b ab   ，则在如图所示的平面直角坐标系中，小手盖住的点的坐标可能是（ ） A.  ,a b B.  ,a b C.  ,a b  D.  ,a b 【答案】B 【解析】 【分析】 根据 0, 0a b ab   ，得出 0, 0a b  ，判断选项中的点所在的象限，即可得出答案． 【详解】∵ 0, 0a b ab   ∴ 0, 0a b  选项Ａ： ,a b 在第一象限 选项Ｂ： ,a b 在第二象限 选项Ｃ： ,a b  在第三象限 选项Ｄ：  ,a b 在第四象限 小手盖住的点位于第二象限 故选：B 【点睛】本题考查了点的象限的判断，熟练进行 ,a b 正负的判断是解题的关键． 9.如图①所示，平整的地面上有一个不规则图案（图中阴影部分），小明想了解该图案的面积是多少，他采 取了以下办法：用一个长为5m ，宽为 4m 的长方形，将不规则图案围起来，然后在适当位置随机地朝长方 形区域扔小球，并记录小球落在不规则图案上的次数（球扔在界线上或长方形区域外不计实验结果），他将 若干次有效实验的结果绘制成了②所示的折线统计图，由此他估计不规则图案的面积大约为（ ） A. 26m B. 27m C. 28m D. 29m 【答案】B 【解析】 【分析】 本题分两部分求解，首先假设不规则图案面积为 x，根据几何概率知识求解不规则图案占长方形的面积大小； 继而根据折线图用频率估计概率，综合以上列方程求解． 【详解】假设不规则图案面积为 x， 由已知得：长方形面积为 20， 根据几何概率公式小球落在不规则图案的概率为： 20 x ， 当事件 A 实验次数足够多，即样本足够大时，其频率可作为事件 A 发生的概率估计值，故由折线图可知， 小球落在不规则图案的概率大约为 0.35， 综上有： 0.3520 x  ，解得 7x  ． 故选：B． 【点睛】本题考查几何概率以及用频率估计概率，并在此基础上进行了题目创新，解题关键在于清晰理解 题意，能从复杂的题目背景当中找到考点化繁为简，创新题目对基础知识要求极高． 10.将一张矩形纸片 ABCD 按如图所示操作： （1）将 DA 沿 DP 向内折叠，使点 A 落在点 1A 处， （2）将 DP 沿 1DA 向内继续折叠，使点 P 落在点 1P 处，折痕与边 AB 交于点 M． 若 1PM AB ，则 1DPM 的大小是（ ） A. 135° B. 120° C. 112.5° D. 115° 【答案】C 【解析】 【分析】 由折叠前后对应角相等且 1 90  PMA 可先求出 1 45∠    DMP DMA ，进一步求出 45ADM   ，再 由折叠可求出 1 22.5      MDP ADP PDM ，最后在 1DPM 中由三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：∵折叠，且 1 90  PMA ， ∴ 1 45∠    DMP DMA ，即 45ADM   ， ∵折叠， ∴ 1 1 22.52         MDP ADP PDM ADM ， ∴在 1DPM 中， 1 =180 45 22.5 112.5      DPM ， 故选：C． 【点睛】本题借助矩形的性质考查了折叠问题、三角形内角和定理等，记牢折叠问题的特点：折叠前后对 应边相等，对应角相等即可解题． 二、填空题（本大题有 8 个小题，每小题 3 分，共 24 分） 11.因式分解： 22 18x  =______． 【答案】2（x+3）（x﹣3）． 【解析】 试题分析：先提公因式 2 后，再利用平方差公式分解即可，即 22 18x  =2（x2-9）=2（x+3）（x-3）. 考点：因式分解. 12.如图，已知点 A 在反比例函数 ( 0)ky k x   的图象上，过点 A 作 AB y 轴于点 B， OAB 的面积是 2．则 k 的值是_________． 【答案】4 【解析】 【分析】 根据△OAB 的面积等于 2 即可得到线段 OB 与线段 AB 的乘积，进而得到 A 点横坐标与纵坐标的乘积，进 而求出 k 值． 【详解】解：设点 A 的坐标为( ,A Ax y )， AB y ， 由题意可知： 1 1= = 22 2   OAB A AS OB AB y x ， ∴ 4 A Ay x ， 又点 A 在反比例函数图像上， 故有 4  A Ak x y ． 故答案为： 4 ． 【点睛】本题考查了反比例函数系数 k 的几何意义，三角形的面积公式等，熟练掌握反比例函数的图形和 性质是解决此类题的关键． 13.据统计：2019 年，邵阳市在教育扶贫方面，共资助学生 91.3 万人次，全市没有一名学生因贫失学，其中， 某校老师承担了对甲，乙两名学生每周“送教上门”的任务，以下是甲、乙两名学生某十周每周接受“送教上 门”的时间（单位：小时）： 甲：7，8，8，9，7，8，8，9，7，9； 乙：6，8，7，7，8，9，10，7，9，9． 从接受“送教上门”的时间波动大小来看，___________学生每周接受送教的时间更稳定．（填“甲”或“乙”） 【答案】甲 【解析】 【分析】 先算出甲、乙送教上门时间的平均数，进而求出方差，方差越小，则接受送教的时间更稳定． 【详解】解：甲的“送教上门”时间的平均数为： 7 8 8 9 7 8 8 9 7 9 =810          ， 乙的“送教上门”时间的平均数为： 6 8 7 7 8 9 10 7 9 9 =810          ， 甲的方差：      2 2 2 2 3 7 8 4 8 8 3 9 8 3= =10 5S         甲 ， 乙的方差：          2 2 2 2 2 2 6 8 3 7 8 2 8 8 3 9 8 10 8 7= =10 5S             乙 ， 3 7 5 5  ， 所以甲的方差小，故甲学生每周接受送教的时间更稳定． 故答案为：甲． 【点睛】本题主要考查方差，熟练掌握方差的意义：方差越小，数据的密集度越高，波动幅度越小是解题 的关键． 14.如图，线段 10cmAB  ，用尺规作图法按如下步骤作图． （1）过点 B 作 AB 的垂线，并在垂线上取 1 2BC AB ； （2）连接 AC ，以点 C 为圆心， CB 为半径画弧，交 AC 于点 E； （3）以点 A 为圆心， AE 为半径画弧，交 AB 于点 D．即点 D 为线段 AB 的黄金分割点． 则线段 AD 的长度约为___________cm （结果保留两位小数，参考数据： 2 1.414, 3 1.732, 5 2.236   ） 【答案】6.18 【解析】 【分析】 根据作图得△ABC 为直角三角形， 1 5cm2CE BC AB   ，AE=AD, 根据勾股定理求出 AC，再求出 AE，即可求出 AD． 【详解】解：由作图得△ABC 为直角三角形， 1 5cm2CE BC AB   ，AE=AD, ∴ 2 2 2 210 5 5 5AC AB BC     cm， ∴  5 5 5 5 5 1AE AC CE      cm， ∴  5 5 1 6.18AD AE    cm． 故答案为：6.18 【点睛】本题考查了尺规作图，勾股定理等知识，根据作图步骤得到相关已知条件是解题关键． 15.在如图方格中，若要使横、竖、斜对角的 3 个实数相乘都得到同样的结果，则 2 个空格的实数之积为 ________． 3 2 2 3 1 6 3 2 【答案】 6 2 【解析】 【分析】 先将表格中最上一行的 3 个数相乘得到 6 6 ，然后中间一行的三个数相乘以及最后一行的三个数相等都是 6 6 ，即可求解． 【详解】解：由题意可知，第一行三个数的乘积为：3 2 2 3 6 6   ， 设第二行中间数为 x，则1 6 6 6  x ，解得 6x  ， 设第三行第一个数为 y，则 3 2 6 6  y ，解得 2 3y  ， ∴2 个空格的实数之积为 2 18 6 2xy   ． 故答案为： 6 2 ． 【点睛】本题考查了二次根数的乘法运算法则，熟练掌握二次根式的加减乘除运算法则是解决此类题的关 键． 16.中国古代数学家杨辉的《田亩比数乘除减法》中记载：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步， 问阔及长各几步？翻译成数学问题是：一块矩形田地的面积为 864 平方步，它的宽比长少 12 步，问它的长 与宽各多少步？利用方程思想，设宽为 x 步，则依题意列方程为____________． 【答案】x(x+12)=864 【解析】 【分析】 本题理清题意后，可利用矩形面积公式，根据假设未知数表示长与宽，按要求列方程即可． 【详解】因为宽为 x，且宽比长少 12，所以长为 x+12， 故根据矩形面积公式列方程：x(x+12)=864， 故答案：x(x+12)=864． 【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用，此类型题目去除复杂题目背景后，按照常规公式，假设未知 数，列方程求解即可． 17.如图①是山东舰航徽的构图，采用航母 45 度破浪而出的角度，展现山东舰作为中国首艘国产舰母橫空出 世的气势，将舰徽中第一条波浪抽象成几何图形，则是一条长为10 的弧，若该弧所在的扇形是高为 12 的 圆锥侧面展开图（如图②），则该圆锥的母线长 AB 为____________． 【答案】13. 【解析】 【分析】 由扇形弧长求出底面半径，由勾股定理即可求出母线 AB 的长． 【详解】解：∵圆锥底面周长=侧面展开后扇形的弧长=10 ∴OB=10 52    ， 在Rt△AOB 中，AB= 2 2 2 212 5 13AO BO    ， 所以，该圆锥的母线长 AB 为 13. 故答案为：13． 【点睛】本题考查圆锥弧长公式的应用，解题的关键是牢记有关的公式． 18.如图，在 Rt ABC 中， 90ACB   ，斜边 2AB  ，过点 C 作 //CF AB ，以 AB 为边作菱形 ABEF ， 若 30F   ，则 Rt ABC 的面积为________． 【答案】 1 2 【解析】 【分析】 如下图，先利用直角三角形中 30°角的性质求出 HE 的长度，然后利用平行线间的距离处处相等，可得 CG 的长度，即可求出直角三角形 ABC 面积． 【详解】 如图，分别过点 E、C 作 EH、CG 垂直 AB，垂足为点 H、G， ∵根据题意四边形 ABEF 为菱形， ∴AB=BE= 2 ， 又∵∠ABE=30° ∴在 RT△BHE 中，EH= 2 2 ， 根据题意，AB∥CF， 根据平行线间的距离处处相等， ∴HE=CG= 2 2 ， ∴ Rt ABC 的面积为 1 2 12 =2 2 2   ． 【点睛】本题的辅助线是解答本题的关键，通过辅助线，利用直角三角形中的 30°角所对直角边是斜边一半 的性质，求出 HE，再利用平行线间的距离处处相等这一知识点得到 HE=CG，最终求出直角三角形面积． 三、解答题（本大题有 8 个小题，第 19~25 题每题 8 分，第 26 是 10 分，共 66 分．解答应写 出必要的文字说明，演算步骤或证明过程） 19.计算： 1 2020 1( 1) | 1 3 | 2sin602           ． 【答案】2 【解析】 【分析】 分别利用零指数幂、负指数幂的性质，绝对值的性质和特殊角的三角函数值分别化简即可． 【详解】解：原式＝   31 2 3 1 2 2      ＝1 2 3 1 3    ＝2 【点睛】此题主要考查了根式运算，指数计算，绝对值，三角函数值等知识点，正确应用记住它们的化简 规则是解题关键． 20.已知：| 1| 2 0m n    ， （1）求 m，n 的值； （2）先化简，再求值： 2 2( 3 ) ( 2 ) 4m m n m n n    ． 【答案】（1） 1, 2m n   ；（2） 22m mn ，0 【解析】 【分析】 （1）分别根据绝对值的非负数、二次根式的非负数列出 m、n 的方程，解之即可求出 m、n 的值； （2）先利用整式的运算法则化简，再代入 m、n 值计算即可求解． 【详解】（1）根据非负数得：m-1=0 且 n+2=0， 解得： 1, 2m n   ， （2）原式= 2 2 2 23 4 4 4m mn m mn n n     = 22m mn ， 当 1, 2m n   ，原式= 2 1 1 ( 2) 0     ． 【点睛】本题考查了绝对值与二次根式的非负性、整式的化简求值，还涉及去括号法则、完全平方公式、 合并同类项法则等知识，熟练掌握非负数的性质以及运算法则是解答的关键． 21.如图，在等腰 ABC 中， AB AC ，点 D 是 BC 上一点，以 BD 为直径的 O 过点 A，连接 AD ， CAD C   ． （1）求证： AC 是 O 的切线； （2）若 4, 2AC CD  ，求 O 的半径． 【答案】（1）证明见解析；（2）试题错误． 【解析】 【分析】 （1）连接 OA，由圆的性质可得 OA=OB，即∠OBA=∠OAB；再由 AB=AC，即∠OBA=∠C，再结合 CAD C   ，可得∠OAB=∠CAD,然后由∠BAD=90°说明∠OAC=90°即可完成证明； （2）试题错误． 【详解】（1）证明：如图：连接 OA ∵OA=OB ∴∠OBA=∠OAB ∵AB=AC ∴∠OBA=∠C ∴∠OAB=∠C ∵ CAD C   ∴∠OAB=∠CAD ∵BD 是直径 ∴∠BAD=90° ∵∠OAC=∠BAD-∠OAB+∠CAD=90° ∴ AC 是 O 的切线； （2）试题错误． 【点睛】本题考查了圆的切线的判定，证得∠OAC=90°是解答本题的关键． 22.2019 年 12 月 23 日，湖南省政府批准，全国“十三五”规划重大水利工程一邵阳资水犬木塘水库，将于 2020 年开工建设施工测绘中，饮水干渠需经过一座险峻的石山，如图所示， ,AB BC 表示需铺设的干渠引水管道， 经测量，A，B，C 所处位置的海拔 1 1 1, ,AA BB CC 分别为 62m ，100m ， 200m ．若管道 AB 与水平线 2AA 的夹角为 30°，管道 BC 与水平线 2BB 夹角为 45°，求管道 AB 和 BC 的总长度（结果保留根号）． 【答案】 (76 100 2)m ． 【解析】 【分析】 先根据题意得到 BO，CB2的长，在 Rt△ABO 中，由三角函数可得 AB 的长度，在 Rt△BCB2 中，由三角函 数可得 BC 的长度，再相加即可得到答案． 【详解】解：根据题意知，四边形 1 1AA B O 和四边形 1 1 2BB C B 均为矩形， 1 1 62mOB AA   ， 2 1 1 100mB C BB  ， 1 1 100 62 38mBO BB OB      ， 2 1 2 1 200 100 100mCB CC B C     ， 在 Rt AOB  中， 90AOB   ， 30BAO   ， 38mBO  ， 2 2 38 76mAB BO     ； 在 2Rt CBB 中， 2 90CB B   ， 2 54CBB   ， 2 100mCB  ， 22CB 100 2mBC   ， (76 100 2)mAB BC    ， 即管道 AB 和 BC 的总长度为： (76 100 2)m ． 【点睛】考查了解直角三角形的应用，关键是根据三角函数得到 AB 和 BC 的长度． 23.“新冠病毒”疫情防控期间，我市积极开展“停课不停学”网络教学活动，为了了解和指导学生有效进行网 络学习，某校对学生每天在家网络学习时间进行了随机问卷调查（问卷调查表如图所示），并用调查结果绘 制了图①，图②两幅统计图（均不完整），请根据统计图解答以下问题： XX 学校“停课不停学”网络学习时间 调查表 亲爱的同学，你好！ 为了了解和更好地指导你进行“停课不停学”网络学习，请在表格中选择一项符合你学习时间的选项，在其后 的空格内打“√”． 平均每天利用网络学习时间问卷调查表 选项 学习时间（小时） A 0 1t  B 1 3t  C 3 5t  D 5t  （1）本次接受问卷调查的学生共有___________人； （2）请补全图①中的条形统计图； （3）图②中，D 选项所对应的扇形圆心角为_________度； （4）若该校共有 1500 名学生，请你估计该校学生“停课不停学”期间平均每天利用网络学习时间在 C 选项 的有多少人？ 【答案】（1）100 （2）见详解 （3）18 o （4）600 【解析】 【分析】 根据扇形图和条形图 A 选项的联系可以算出来总人数，进而求出 B 选项的人数，D 选项圆心角和 1500 人中 C 选项的人数． 【详解】（1）15÷15%=100（人） （2）如图选 B 的人数：100-40-15-5=40（人） （3）360 o × 5 100 =18 o （4）1500 × 40 100 =600（人） 【点睛】本题主要考察了，条形统计图，扇形统计图等知识点，准确的找出它们的联系是解题关键． 24.2020 年 5 月，全国“两会”召开以后，应势复苏的“地摊经济”带来了市场新活力，小丹准备购进 A、B 两 种类型的便携式风扇到地摊一条街出售．已知 2 台 A 型风扇和 5 台 B 型风扇进价共 100 元，3 台 A 型风扇 和 2 台 B 型风扇进价共 62 元． （1）求 A 型风扇、B 型风扇进货的单价各是多少元？ （2）小丹准备购进这两种风扇共 100 台，根据市场调查发现，A 型风扇销售情况比 B 型风扇好，小丹准备 多购进 A 型风扇，但数量不超过 B 型风扇数量的 3 倍，购进 A、B 两种风扇的总金额不超过 1170 元．根据 以上信息，小丹共有哪些进货方案？ 【答案】（1）A 型风扇、B 型风扇进货的单价各是 10 元和 16 元；（2）丹 4 种进货方案分别是：①进 A 型 风扇 72 台，B 型风扇 28 台；②进 A 型风扇 73 台，B 型风扇 27 台；③进 A 型风扇 74 台，B 型风扇 26 台； ①进 A 型风扇 75 台，B 型风扇 24 台． 【解析】 【分析】 （1）设 A 型风扇、B 型风扇进货的单价各是 x 元和 y 元，再根据“2 台 A 型风扇和 5 台 B 型风扇进价共 100 元”和“ 3 台 A 型风扇和 2 台 B 型风扇进价共 62 元”两个等量关系列二元一次方程组解答即可； （2）设购进 A 型风扇 a 台、则 B 型风扇购进（100-a）台，再根据 “购进 A、B 两种风扇的总金额不超 过 1170 元”和“A 型风扇不超过 B 型风扇数量的 3 倍”两个不等关系列不等式组求出 a 的整数解的个数即可． 【详解】解：（1）设 A 型风扇、B 型风扇进货的单价各是 x 元和 y 元 由题意得： 2 5 100 3 2 62 x y x y      ，解得 10 16 x y    答：A 型风扇、B 型风扇进货的单价各是 10 元和 16 元； （2）设购进 A 型风扇 a 台、则 B 型风扇购进（100-a）台 有题意得     3 100 10 16 100 1170 a a a a       ，解得： 271 753 a  ∴a 可以取 72、73、74、75 ∴小丹 4 种进货方案分别是：①进 A 型风扇 72 台，B 型风扇 28 台；②进 A 型风扇 73 台，B 型风扇 27 台； ③进 A 型风扇 74 台，B 型风扇 26 台；①进 A 型风扇 75 台，B 型风扇 24 台． 【点睛】本题考查了二元一次方程组和一元一次不等式组的应用，根据题意确定等量关系和不等关系是解 答本题的关键． 25.已知：如图①，将一块 45°角的直角三角板 DEF 与正方形 ABCD 的一角重合，连接 ,AF CE ，点 M 是CE 的中点，连接 DM ． （1）请你猜想 AF 与 DM 的数量关系是__________． （2）如图②，把正方形 ABCD 绕着点 D 顺时针旋转 角（ 0 90a    ）． ① AF 与 DM 的数量关系是否仍成立，若成立，请证明；若不成立，请说明理由；（温馨提示：延长 DM 到 点 N，使 MN DM ，连接 CN ） ②求证： AF DM ； ③若旋转角 45  ，且 2EDM MDC   ，求 AD ED 的值．（可不写过程，直接写出结果） 【答案】（1）AF=2DM（2）①成立，理由见解析②见解析③ 6 2 2  【解析】 【分析】 （1）根据题意合理猜想即可； （2）①延长 DM 到点 N，使 MN DM ，连接 CN ，先证明△MNC≌△MDE，再证明△ADF≌△DCN， 得到 AF=DN，故可得到 AF=2DM； ②根据全等三角形的性质和直角的换算即可求解； ③依题意可得∠AFD=∠EDM=30°，可设 AG=k,得到 DG,AD,FG,ED 的长，故可求解． 【详解】（1）猜想 AF 与 DM 的数量关系是 AF=2DM， 故答案为：AF=2DM； （2）①AF=2DM 仍然成立， 理由如下：延长 DM 到点 N，使 MN DM ，连接 CN ， ∵M 是 CE 中点， ∴CM=EM 又∠CMN=∠EMD， ∴△MNC≌△MDE ∴CN=DE=DF,∠MNC=∠MDE ∴CN∥DE， 又 AD∥BC ∴∠NCB=∠EDA ∴△ADF≌△DCN ∴AF=DN ∴AF=2DM ②∵△ADF≌△DCN ∴∠NDC=∠FAD， ∵∠CDA=90°， ∴∠NDC+∠NDA=90° ∴∠FAD+∠NDA=90° ∴AF⊥DM ③∵ 45  ， ∴∠EDC=90°-45°=45° ∵ 2EDM MDC   ， ∴∠EDM= 2 3 ∠EDC=30°， ∴∠AFD=30° 过 A 点作 AG⊥FD 的延长线于 G 点，∴∠ADG=90°-45°=45° ∴△ADG 是等腰直角三角形， 设 AG=k,则 DG=k，AD=AG÷sin45°= 2 k， FG=AG÷tan30°= 3 k， ∴FD=ED= 3 k-k 故 AD ED = 2 6 2 23 k k k   ． 【点睛】此题主要考查四边形综合，解题的关键是熟知正方形的性质、旋转的特点、全等三角形的判定与 性质及三角函数的运用． 26.如图，在平面直角坐标系中，矩形 ABCD 的边 BC 与 x 轴、y 轴的交点分别为    8,0 , 0,6 , 5C B CD  ， 抛物线 2 15 ( 0)4y ax x c a    过 B，C 两点，动点 M 从点 D 开始以每秒 5 个单位长度的速度沿 D A B C   的方向运动到达 C 点后停止运动．动点 N 从点 O 以每秒 4 个单位长度的速度沿OC 方 向运动，到达 C 点后，立即返回，向 CO 方向运动，到达 O 点后，又立即返回，依此在线段OC 上反复运 动，当点 M 停止运动时，点 N 也停止运动，设运动时间为 t ． （1）求抛物线的解析式； （2）求点 D 的坐标； （3）当点 M，N 同时开始运动时，若以点 M，D，C 为顶点的三角形与以点 B，O，N 为顶点的三角形相似， 求 t 的值； （4）过点 D 与 x 轴平行的直线，交抛物线的对称轴于点 Q，将线段 BA 沿过点 B 的直线翻折，点 A 的对称 点为 A ，求 A Q QN DN   的最小值． 【答案】（1） 23 15 68 4y x x   ；（2） (11,4)D ；（3） 6 2t  或 23 5t  ；（4） 29 5 ． 【解析】 【分析】 （1）将    8,0 , 0,6C B 代入 2 15 4y ax x c   计算即可； （2）作 DE x 于点 E，证明 BOC CED△ △ ，可得 CE，DE 长度，进而得到点 D 的坐标； （3）分为点Ｍ在AD，BC上两种情况讨论，当点M在AD上时，分为 BON CDM△ △ 和 BON MDC△ △ 两种情况讨论；当点 M 在 BC 上时，分为 BON MCD△ △ 和 BON DCM△ △ 两种情况讨论； （4）作点 D 关于 x 轴的对称 F，连接 QF，可得QN DN 的最小值；连接 BQ 减去 BA 可得 A Q 的最小值， 综上可得 A Q QN DN   的最小值． 【详解】（1）将    8,0 , 0,6C B 代入 2 15 4y ax x c   得 1564 8 04 6 a c c        ，解得 3 8 6 a c     ∴抛物线的解析式为： 23 15 68 4y x x   （2）作 DE x 于点 E ∵    8,0 , 0,6C B ∴ 8, 6OC OB  ∴ 10BC  ∵ BOC BCD DEC     ∴ BOC CED△ △ ∴ BC BO OC CD CE DE   ∴ 3, 4CE DE  ∴ 11OE OC CE   ∴ (11,4)D （3）若点 M 在 DA 上运动时， 5 , 4DM t ON t  当 BON CDM△ △ ，则 BO ON CD DM  ，即 6 4 5 5 t t  不成立，舍去 当 BON MDC△ △ ，则 BO ON MD DC  ，即 6 4 5 5 t t  ，解得： 6 2t  若点 M 在 BC 上运动时， 25 5CM t  当 BON MCD△ △ ，则 BO ON MC CD  ，即 6 25 5 5 ON t  ∴ 6 5ON t   当3 4t  时， 16 4ON t  ∴ 6 16 45 tt   ，解得 9 7 2t  （舍去） 当 4 5t  时， 4 16ON t  ∴ 6 4 165 tt   ，无解； 当 BON DCM△ △ ，则 BO ON DC CM  ，即 6 5 25 5 ON t   ∴ 30 6ON t  当3 4t  时， 16 4ON t  ∴30 6 16 4t t   ，解得 7t  （舍去） 当 4 5t  时， 4 16ON t  ∴30 6 4 16t t   ，解得 23 5t  综上所示：当 6 2t  时， BON MDC△ △ ； 23 5t  时 BON DCM△ △ （4）作点 D 关于 x 轴的对称点 F，连接 QF 交 x 轴于点 N ∵点 D (11,4) ， ∴点 (11, 4)F  由 23 15 68 4y x x   得对称轴为 5x  ∴点 (5,4)Q ∴ 2 2(5 11) (4 4) 10QF      2 2(0 5) (6 4) 29BQ      ∴ 29 5 10 29 5A Q QN DN BQ BA QF           故 A Q QN DN   的最小值为 29 5 ． 【点睛】本题考查了二次函数与几何图形的综合，涉及相似三角形的性质与判定，最短路径问题的计算， 熟知以上知识的应用是解题的关键． 本试卷的题干、答案和解析均由组卷网（http://zujuan.xkw.com）专业教师团队编校出品。 登录组卷网可对本试卷进行单题组卷、细目表分析、布置作业、举一反三等操作。 试卷地址：在组卷网浏览本卷 组卷网是学科网旗下的在线题库平台，覆盖小初高全学段全学科、超过 900 万精品解析试题。 关注组卷网服务号，可使用移动教学助手功能（布置作业、线上考试、加入错题本、错题训练）。 学科网长期征集全国最新统考试卷、名校试卷、原创题，赢取丰厚稿酬，欢迎合作。 钱老师 QQ：537008204 曹老师 QQ：713000635