2008年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷） 数学

2008年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷） 数学

‎2008年普通高校招生统一考试江苏卷(数学)‎ ‎1. 的最小正周期为，其中，则 ▲ 。‎ ‎【解析】本小题考查三角函数的周期公式。。‎ 答案10‎ ‎2.一个骰子连续投2次，点数和为4的概率为 ▲ 。‎ ‎【解析】本小题考查古典概型。基本事件共个，点数和为4的有、、共3个，故。‎ 答案 ‎3.表示为，则= ▲ 。‎ ‎【解析】本小题考查复数的除法运算， ，因此=1。‎ 答案1‎ ‎4. 则的元素个数为 ▲ 。‎ ‎【解析】本小题考查集合的运算和解一元二次不等式。由得 因为，所以，因此，元素的个数为0。‎ 答案0‎ ‎5.的夹角为，，则 ▲ 。‎ ‎【解析】本小题考查向量的线形运算。‎ 因为 ，所以=49。‎ 因此7。‎ 答案7‎ ‎6.在平面直角坐标系中，设D是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成的区域，E是到原点的距离不大于1的点构成的区域，向D中随意投一点，则落入E中的概率为 ▲ 。‎ ‎【解析】本小题考查古典概型。如图：区域D表示边长为4的正方形ABCD的内部（含边界），区域E表示单位圆及其内部，因此。‎ ‎ 答案 ‎ ‎7.某地区为了解70~80岁老人的日平均睡眠时间（单位：h），随机选择了50位老人进行调查。下表是这50位老人日睡眠时间的频率分布表。‎ 序号 ‎（i）‎ 分组 ‎（睡眠时间）‎ 组中值（）‎ 频数 ‎（人数）‎ 频率 ‎（）‎ ‎1‎ ‎[4,5)‎ ‎4.5‎ ‎6‎ ‎0.12‎ ‎ 2‎ ‎[5,6)‎ ‎5.5‎ ‎10‎ ‎0.20‎ ‎3‎ ‎[6,7)‎ ‎6.5‎ ‎20‎ ‎0.40‎ ‎4‎ ‎[7,8)‎ ‎7.5‎ ‎10‎ ‎0.20‎ ‎5‎ ‎[8,9)‎ ‎8.5‎ ‎4‎ ‎0.08‎ 在上述统计数据的分析中，一部分计算算法流程图，则输出的S的值是 ▲ 。‎ ‎【解析】本小题考查统计与算法知识。‎ 答案6.42‎ ‎8.直线是曲线的一条切线，则实数 ▲ 。‎ ‎【解析】本小题考查导数的几何意义、切线的求法。，令得，故切点为，代入直线方程，得，所以。‎ 答案 ‎9.在平面直角坐标系中，设三角形ABC的顶点坐标分别为，点在线段OA上（异于端点），设均为非零实数，直线分别交于点E，F，一同学已正确算出的方程：，请你求OF的方程： ▲ 。‎ ‎【解析】本小题考查直线方程的求法。画草图，由对称性可猜想。‎ 事实上，由截距式可得直线，直线，两式相减得，显然直线AB与CP的交点F满足此方程，又原点O也满足此方程，故为所求的直线OF的方程。‎ 答案。‎ ‎10.将全体正整数排成一个三角形数阵：‎ ‎ ‎ 按照以上排列的规律，第行从左向右的第3个数为 ▲ 。‎ ‎【解析】本小题考查归纳推理和等差数列求和公式。前行共用了 个数，因此第行从左向右的第3个数是全体正整数中的第个，即为。‎ 答案 ‎11.的最小值为 ▲ 。‎ ‎【解析】本小题考查二元基本不等式的运用。由得，代入得，当且仅当时取“=”。‎ 答案3。‎ ‎12.在平面直角坐标系中，椭圆的焦距为2，以O为圆心，为半径的圆，过点作圆的两切线互相垂直，则离心率= 　▲　　 。‎ ‎【解析】本小题考查椭圆的基本量和直线与圆相切的位置关系。如图，切线互相垂直，又，所以是等腰直角三角形，故，解得。 ‎ 答案 ‎13.若，则的最大值 ▲ 。‎ ‎【解析】本小题考查三角形面积公式及函数思想。‎ 因为AB=2（定长），可以以AB所在的直线为轴，其中垂线为轴建立直角坐标系，则，设，由可得，化简得，即C在以（3，0）为圆心，为半径的圆上运动。又。‎ 答案 ‎14.对于总有成立，则= 　▲ 。‎ ‎【解析】本小题考查函数单调性及恒成立问题的综合运用,体现了分类讨论的数学思想。‎ 要使恒成立，只要在上恒成立。‎ ‎ 当时，，所以，不符合题意，舍去。‎ 当时，即单调递减，，舍去。‎ 当时 ① 若时在和 上单调递增，‎ 在上单调递减。‎ 所以 ② 当时在上单调递减，‎ ‎，不符合题意，舍去。综上可知a=4.‎ 答案4。‎ ‎15.如图，在平面直角坐标系中，以轴为始边做两个锐角，它们的终边分别与单位圆相交于A，B两点，已知A，B的横坐标分别为。‎ （1） 求的值； （2） 求的值。‎ ‎【解析】本小题考查三角函数的定义、两角和的正切、二倍角的正切公式。由条件得， 为锐角，‎ 故。同理可得，‎ 因此。‎ ‎（1）。‎ ‎（2），‎ ‎，从而。‎ ‎16．在四面体ABCD中，CB=CD，，且E，F分别是AB，BD的中点，‎ 求证（I）直线；‎ ‎ （II）。‎ 证明：（I）E，F分别为AB，BD的中点 ‎。‎ ‎（II）又，‎ 所以 ‎17．某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD的顶点A，B，及CD的中点P处，已知km, ,为了处理三家工厂的污水，现要在矩形ABCD的区域上（含边界），且A，B与等距离的一点O处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道AO，BO，OP，设排污管道的总长为ykm。‎ ‎（I）按下列要求写出函数关系式：‎ ① 设，将表示成的函数关系式；‎ ② 设，将表示成的函数关系式。‎ ‎（II）请你选用（I）中的一个函数关系式，确定污水处理厂的位置，使三条排水管道总长度最短。‎ ‎【解析】本小题考查函数最值的应用。‎ ‎（I）①由条件可知PQ垂直平分AB，，则 故，又，所以 ‎。‎ ‎②，则，所以，‎ 所以所求的函数关系式为。‎ （II） 选择函数模型①。‎ ‎。‎ 令得，又，所以。‎ 当时，，是的减函数；时，，是的增函数。‎ 所以当时。当P位于线段AB的中垂线上且距离AB边处。‎ ‎18.设平面直角坐标系中，设二次函数的图象与坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为C。‎ （1） 求实数的取值范围；‎ （2） 求圆的方程；‎ （3） 问圆是否经过某定点（其坐标与无关）？请证明你的结论。‎ ‎【解析】本小题考查二次函数图象与性质、圆的方程的求法。‎ ‎（1）‎ （1） 设所求圆的方程为。‎ 令得 又时，从而。‎ 所以圆的方程为。‎ ‎（3）整理为，过曲线 与的交点，即过定点与。‎ ‎19.（I）设是各项均不为零的等差数列，且公差，若将此数列删去某一项得到的数列（按原来的顺序）是等比数列：‎ ① 当时，求的数值；②求的所有可能值；‎ ‎（II）求证：对于一个给定的正整数，存在一个各项及公差都不为零的等差数列，其中任意三项（按原来的顺序）都不能组成等比数列。‎ ‎【解析】本小题考查等差数列与等比数列的综合运用。‎ ‎（I）①当时， 中不可能删去首项或末项，否则等差数列中连续三项成等比数列，则。‎ 若删去，则有，即，化简得；‎ 若删去，则有，即，化简得。‎ 综上可知。‎ ② 当时， 中同样不可能删去首项或末项。‎ 若删去，则有，即，化简得；‎ 若删去，则有，即，化简得，舍去；‎ 若删去，则有，即，化简得。‎ 当时，不存在这样的等差数列。事实上，在数列中，由于不能删去首项和末项，若删去，则必有，这与矛盾；同样若删去，也有，这与矛盾；若删去中的任意一个，则必有，这与矛盾。综上可知。‎ （1） 略 ‎20.若为常数，且 (I) 求对所有的实数成立的充要条件（用表示）；‎ (II) 设为两实数，且，若，求证：在区间上的单调增区间的长度和为（闭区间的长度定义为）。‎ ‎【解析】本小题考查充要条件、指数函数与绝对值、不等式的综合运用。‎ ‎（I）恒成立 若，则，显然成立；若，记 当时，，‎ 所以，故只需；‎ 当时，，‎ 所以，故只需。‎ ‎（II）如果，则的图象关于直线对称，‎ 因为，所以区间关于直线对称。‎ 因为减区间为，增区间为，所以单调增区间的长度和为。‎ 如果，结论的直观性很强。‎