2005年湖南省高考数学试卷（理科）【附答案、word版本，可再编辑；B4纸型两栏】
2005年湖南省高考数学试卷（理科）
一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）
1. 复数z=i+i2+i3+i4的值是（ ）
A.-1 B.0 C.1 D.i
2. 函数f(x)=1-2008x的定义域是（ ）
A.(-∞, 0] B.[0, +∞) C.(-∞, 0) D.(-∞, +∞)
3. 已知数列{log2(an-1)}(n∈N*)为等差数列，且a1=3，a2=5，则limn→∞(1a2-a1+1a3-a2+...+1an+1-an)=( )
A.2 B.32 C.1 D.12
4. 已知x、y满足约束条件x-2≤0y-1≤0x+2y-2≥0，则z=x-y的取值范围为（ ）
A.(-2, 1) B.(-1, 2] C.[-1, 2] D.[-2, 1]
5. 如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，O是底面A1B1C1D1的中心，则O到平面ABC1D1的距离为（ ）
A.12 B.24 C.22 D.32
6. 设f0(x)=sinx，f1(x)=f0'(x)，f2(x)=f1'(x)，…，fn+1(x)=fn'(x)，n∈N，则f2005(x)=( )
A.sinx B.-sinx C.cosx D.-cosx
7. 已知双曲线x2a2-y2b2=1(a>0, b>0)的右焦点为F，右准线与一条渐近线交于点A，△OAF的面积为a22（O为原点），则两条渐近线的夹角为（ ）
A.30∘ B.45∘ C.60∘ D.90∘
8. 集合A={x|x-1x+1≤0}，B={x||x-b|<1}，若“a=1”是“A∩B≠⌀”的充分条件，则b的取值范围是（ ）
A.-2≤b<0 B.0
b>0)的左．右焦点为F1、F2，离心率为e．直线l:y=ex+a与x轴．y轴分别交于点A、B，M是直线l与椭圆C的一个公共点，P是点F1关于直线l的对称点，设AM→=λAB→．
（1）证明：λ=1-e2；
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（2）确定λ的值，使得△PF1F2是等腰三角形．
20. 自然状态下的鱼类是一种可再生资源，为持续利用这一资源，需从宏观上考察其再生能力及捕捞强度对鱼群总量的影响．用xn表示某鱼群在第n年年初的总量，n∈N*，且x1>0．不考虑其它因素，设在第n年内鱼群的繁殖量及捕捞量都与xn成正比，死亡量与xn2成正比，这些比例系数依次为正常数a，b，c．
（1）求xn+1与xn的关系式；
（2）猜测：当且仅当x1，a，b，c满足什么条件时，每年年初鱼群的总量保持不变？（不要求证明）
（3）设a=2，c=1，为保证对任意x1∈(0, 2)，都有xn>0，n∈N*，则捕捞强度b的
最大允许值是多少？证明你的结论．
21. 已知函数f(x)=lnx，g(x)=12ax2+bx，a≠0．
(Ⅰ)若b=2，且h(x)=f(x)-g(x)存在单调递减区间，求a的取值范围；
(Ⅱ)设函数f(x)的图象C1与函数g(x)图象C2交于点P、Q，过线段PQ的中点作x轴的垂线分别交C1，C2于点M、N，证明C1在点M处的切线与C2在点N处的切线不平行．
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参考答案与试题解析
2005年湖南省高考数学试卷（理科）
一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）
1.B
2.A
3.C
4.C
5.B
6.C
7.D
8.D
9.B
10.A
二、填空题（共5小题，每小题4分，满分20分）
11.5600
12.35
13.12
14.-2
15.43，π+23
三、解答题（共6小题，16、17题每题12分，18~21每题14分，满分80分）
16.∵ 由sinA(sinB+cosB)-sinC＝0
∴ sinAsinB+sinAcosB-sin(A+B)＝0．
∴ sinAsinB+sinAcosB-sinAcosB-cosAsinB＝0．
∴ sinB(sinA-cosA)＝0．
因为B∈(0, π)，所以sinB≠0，从而cosA＝sinA．
由A∈(0, π)，知A=π4从而B+C=34π．
由sinB+cos2C＝0得sinB+cos2(34π-B)＝0．
即sinB-sin2B＝0．亦即sinB-2sinBcosB＝0．
由此得cosB=12，
∴ B=π3，C=5π12．
17.(1)证明：由题设知OA⊥OO1，OB⊥OO1．
∴ ∠AOB是所折成的直二面角的平面角，即OA⊥OB，
故可以O为原点，OA，OB，OO1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，
如图所示：
则相关各点的坐标是A(3, 0, 0)，B(0, 3, 0)，C(0, 1, 3)，O1(0, 0, 3)，
∴ AC→=(-3, 1, 3)，BO1→=(0, -3, 3)，AC→⋅BO1→=-3+3⋅3=0．
∴ AC⊥BO1．
(2)解：∵ BO1→⋅OC→=-3+3⋅3=0，
∴ BO1⊥OC，
由(1)知AC⊥BO1，则BO1⊥平面OAC，BO1→是平面OAC的一个法向量．
设n→=(x, y, z)是平面O1AC的一个法向量，
由n→⋅AC→=0n→⋅O1C→=0⇒-3x+y+3z=0y=0，取z=3，得n→=(1, 0, 3)．
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设二面角O-AC-O1的大小为θ，由n→、BO1→的方向知，
cosθ=cos=n→⋅BO1→|n→|⋅|BO1→|=34，
即二面角O-AC-O1的大小是arccos34．
18.解：（1）分别记“客人游览甲景点”，“客人游览乙景点”，“客人游览丙景点”
为事件A1，A2，A3．由已知A1，A2，A3相互独立，P(A1)=0.4，P(A2)=0.5，
P(A3)=0.6．
客人游览的景点数的可能取值为0，1，2，3．
客人没有游览的景点数的可能取值为3，2，1，0，
∴ ξ的可能取值为1，3．
P(ξ=3)=P(A1⋅A2⋅A3)+P(A1¯⋅A2¯⋅A3¯)
=P(A1)P(A2)P(A3)+P(A1¯)P(A2¯)P(A3¯)
=2×0.4×0.5×0.6=0.24，
P(ξ=1)=1-0.24=0.76．
∴ ξ的分布列为
∴ Eξ=1×0.76+3×0.24=1.48．
（2）∵ f(x)=(x-32ξ)2+1-94ξ2，
∴ 函数f(x)=x2-3ξx+1在区间[32ξ, +∞]上单调递增，
要使f(x)在[2, +∞)上单调递增，
当且仅当32ξ≤2，即ξ≤43．
从而P(A)=P(ξ≤43)=P(ξ=1)=0.76．
19.解：（1）因为A、B分别是直线l:y=ex+a与x轴、y轴的交点，所以A、B的坐标分别是(-ae, 0)(0, a)．
由y=ex+ax2a2+y2b2=1得x=-cy=b2a．这里c=a2+b2．
所以点M的坐标是(-c, b2a)．由AM→=λAB→得(-c+ae, b2a)=λ(ae, a)．
即ae-c=λaeb2a=λa．解得λ=1-e2．
（2）因为PF1⊥l，所以∠PF1F2=90∘+∠BAF1为钝角，
要使△PF1F2为等腰三角形，必有|PF1|=|F1F2|，即12|PF1|=c．
设点F1到l的距离为d，
由12|PF1|=d=|e(-c)+0+a|1+e2=|a-ec|1+e2=c，
得1-e21+e2=e．
所以e2=13，于是λ=1-e2=23．
即当λ=23时，△PF1F2为等腰三角形．
20.解：（1）从第n年初到第n+1年初，鱼群的繁殖量为axn，被捕捞量为bxn，死亡量为cxn2，
因此xn+1-xn=axn-bxn-cxn2，n∈N*．(*)
即xn+1=xn(a-b+1-cxn)，n∈N*．(**)
（2）若每年年初鱼群总量保持不变，则xn恒等于x1，n∈N*，
从而由(*)式得xn(a-b-cxn)恒等于0，n∈N*，
所以a-b-x1=0．即x1=a-bc．
因为x1>0，所以a>b．
猜测：当且仅当a>b，且x1=a-bc．每年年初鱼群的总量保持不变．
（3）若b的值使得xn>0，n∈N*
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由xn+1=xn(3-b-xn)，n∈N*，知
00．
又因为xk+1=xk(2-xk)=-(xk-1)2+1≤1<2，
所以xk+1∈(0, 2)，故当n=k+1时结论也成立．
由①、②可知，对于任意的n∈N*，都有xn∈(0, 2)．
综上所述，为保证对任意x1∈(0, 2)，都有xn>0，n∈N*，则捕捞强度b的最大允许值是1．
21.(Ⅰ)b=2时，h(x)=lnx-12ax2-2x，
则h'(x)=1x-ax-2=-ax2+2x-1x．
因为函数h(x)存在单调递减区间，所以h'(x)<0有解．
又因为x>0时，则ax2+2x-1>0有x>0的解．
①当a>0时，y=ax2+2x-1为开口向上的抛物线，ax2+2x-1>0总有x>0的解；
②当a<0时，y=ax2+2x-1为开口向下的抛物线，而ax2+2x-1>0总有x>0的解；
则△=4+4a≥0，且方程ax2+2x-1=0至少有一正根．此时，-11①
令r(t)=lnt-2(t-1)1+t，t>1．则r'(t)=1t-4(t+1)2=(t-1)2t(t+1)2．
因为t>1时，r'(t)>0，所以r(t)在[1, +∞)上单调递增．故r(t)>r(1)=0．
则lnt>2(t-1)1+t．这与①矛盾，假设不成立．
故C1在点M处的切线与C2在点N处的切线不平行．
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