考点22 等差数列与等比数列-2018版典型高考数学试题解读与变式

考点22 等差数列与等比数列-2018版典型高考数学试题解读与变式

典型高考数学试题解读与变式2018版 考点22 等差数列、等比数列 ‎【考纲要求】‎ ‎1．掌握等差数列、等比数列的定义与性质、通项公式、前n项和公式等．‎ ‎2．掌握等差数列、等比数列的判断方法，求和的方法．‎ ‎【命题规律】‎ ‎ 等差数列、等比数列的性质与运用是高考必考的，一般是在选择题或填空题、解答题中考查.‎ ‎【典型高考试题变式】‎ ‎（一）基本量的计算 例1.【2015新课标1】已知是公差为1的等差数列，为的前项和，若，则（ ）‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】B ‎【名师点睛】解等差数列问题关键在于熟记等差数列定义、性质、通项公式、前n项和公式，利用方程思想和公式列出关于首项与公差的方程，解出首项与公差，利用等差数列性质可以简化计算.‎ ‎【变式1】【改变结论】已知是公差为1的等差数列，为的前项和，若，则 ‎ .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】因为公差，，所以，解得=，‎ 所以.‎ ‎【变式2】【改变结论】已知是公差为1的等差数列，为的前项和，若，则 ‎ .‎ ‎【答案】50‎ ‎【解析】因为公差，，所以，解得=，‎ 所以.‎ ‎（二）求项数 例2.【2015新课标1】数列中为的前n项和，若，则 .‎ ‎【答案】6‎ ‎【名师点睛】解等差数列问题关键在于熟记等比数列定义、性质、通项公式、前n项和公式，利用方程思想和公式列出关于首项与公比的方程，解出首项与公比，利用等比数列性质可以简化计算.‎ ‎【变式1】【改变条件】设为等差数列的前项和，若，公差，，则(　　)‎ A．8 B．7 C．6 D．5‎ ‎【答案】D ‎【解析】，解得.‎ ‎【变式2】【改变条件】数列中，，若，则 .‎ ‎【答案】10‎ ‎【解析】因为，所以数列是首项为2，公比为4的等比数列，‎ 所以，因为，所以，所以，解得.‎ ‎（三）数列中的最值问题 例3.【2016新课标卷】设等比数列满足a1+a3=10,a2+a4=5,则的最大值为 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设等比数列的公比为,由得,, 解得.‎ 所以,‎ 于是当或时,取得最大值.‎ ‎【名师点睛】高考中数列客观题大多具有小、巧、活的特点,在解答时要注意方程思想及数列相关性质的应用,尽量避免小题大做. ‎ ‎【变式1】【改变条件】设递减等比数列满足,,则的最大值为 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】依题意，把、看作方程的二根，解得，，‎ 因为为递减等比数列，所以，，设等比数列的公比为，‎ 所以，易得，即，‎ 所以,‎ 于是当或时,取得最大值.‎ ‎ 【变式2】【改变结论】设递减等比数列满足,,则的最大值为 ．‎ ‎【答案】2‎ ‎（四）等差数列、等比数列的判断 例4. 【2017新课标1】记Sn为等比数列的前n项和，已知S2=2，S3=-6．‎ ‎（1）求的通项公式；‎ ‎（2）求Sn，并判断Sn+1，Sn，Sn+2是否成等差数列．‎ ‎【名师点睛】等差、等比数列的性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用．但在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形． 在解决等差、等比数列的运算问题时，经常采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法．‎ ‎【变式1】【2014新课标Ⅰ】已知数列的前项和为，，，，其中为常数，‎ ‎（1）证明：；‎ ‎（2）是否存在，使得为等差数列？并说明理由.‎ ‎【解析】（1）由题设，，．两式相减得，．‎ 由于，所以．‎ ‎（2）由题设，，，可得，由（I）知，．‎ 令，解得．‎ 故，由此可得，是首项为1，公差为4的等差数列，；‎ 是首项为3，公差为4的等差数列，．‎ 所以，．‎ 因此存在，使得为等差数列．‎ ‎【变式2】已知等比数列是递增数列，，数列满足，且（），证明：数列是等差数列.‎ ‎【数学思想】‎ ①分类讨论思想:对分奇数、偶数进行讨论．‎ ②转化与化归思想.‎ ‎【温馨提示】‎ ①要注意概念中的“从第2项起”．如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或第4项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列．‎ ②注意区分等差数列定义中同一个常数与常数的区别．‎ ③由于等比数列的每一项都可能作分母，故每一项均不为0，因此q也不能为0，但q可为正数，也可为负数．‎ ④由an＋1＝qan，q≠0，并不能立即断言{an}为等比数列，还要验证a1≠0.‎ ⑤在运用等比数列的前n项和公式时，必须注意对q＝1与q≠1分类讨论，防止因忽略q＝1这一特殊情形而导致解题失误．‎ ‎【典例试题演练】‎ ‎1.已知为等差数列，为其前项和，若，，则（ ）‎ A. 4 B. 6 C. 15 D. 24‎ ‎【答案】B ‎【解析】因为是等差数列，所以，，，，‎ 所以，故选B．‎ ‎2．【2018届河南省许平汝联考】在等差数列中，，则的前13项和为（ ）‎ A. 91 B. 156 C. 182 D. 246‎ ‎【答案】C ‎3．已知等差数列的公差为2，且，则（ ）‎ A. 12 B. 13 C. 14 D. 15‎ ‎【答案】C ‎ ‎【解析】由等差数列的通项公式可知 ，结合题意可得 ，‎ 解得 .故选C.‎ ‎4.【2018届辽宁省鞍山市第一中学模拟】设是首项为，公差为的等差数列， 为其前项和，若成等比数列，则（ ）‎ A. 8 B. C. 1 D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】因为成等比数列，所以，即，解得，‎ 故选D.‎ ‎5.【2018届辽宁省凌源二中联考】已知数列为等比数列，且，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】由等比数列的性质可得：，‎ ‎，结合可得：，‎ 结合等比数列的性质可得：，‎ 即 .故选B.‎ ‎6.【百校联盟2018届高三开学摸底联考】我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤，问次一尺各重几何？”意思是：“现有一根金杖，长5尺，一头粗，一头细，在粗的一端截下1尺，重4斤；在细的一端截下1尺，重2斤；问依次每一尺各重多少斤？”设该金杖由粗到细是均匀变化的，其重量为，现将该金杖截成长度相等的10段，记第段的重量为，且 ‎，若，则（ ）‎ A. 4 B. 5 C. 6 D. 7‎ ‎【答案】C ‎7.【百校联盟2018届高三开学摸底联考】等差数列的公差，且，若是与的等比中项，则（ ）‎ A. 5 B. 6 C. 9 D. 11‎ ‎【答案】C ‎【解析】等差数列的公差，由得,可得，‎ 则，若是与的等比中项，则有，‎ 即为，由不为，可得，解得舍去），故选C.‎ ‎8. 【河南省郑州一中2017-2018测试】设等差数列的前项和为，已知， ，则下列结论正确的是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎9．已知各项不为零的等差数列满足，数列是等比数列，且，则为( )‎ A. 4 B. 8 C. 16 D. 64‎ ‎【答案】C ‎【解析】因为，所以，‎ 又因为，， . 故选C.‎ ‎10.【2018届浙江省温州市测试】已知数列是公差不为0的等差数列，，数列的前项，前项，前项的和分别为，，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】因为是公差不为0的等差数列，所以是以公比不为1的等比数列，由等比数列的性质，可得，，成等比数列，所以可得，故选D.‎ ‎11．【2017广西南宁三中、柳铁一中、玉林高中联考】已知等差数列满足： ，求__________．‎ ‎【答案】21‎ ‎【解析】等差数列中， =2,则.‎ ‎12．【2018届江西省赣州市红色七校联考】已知等差数列的公差和首项都不等于0，且，，成等比数列，则等于__________．‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】由题意得，设等差数列的首项为，公差为，‎ 因为，，构成等比数列，所以，所以，‎ 解得，所以.‎ ‎13.【2018届湖南省益阳市、湘潭市调研】已知等比数列中， ，则的值为__________．‎ ‎【答案】25‎ ‎【解析】设等比数列的公比为，则.所以.‎ ‎.‎ ‎14.【2018届江苏省南京市调研】记等差数列{an}前n项和为Sn．若am＝10，S2m－1＝110， 则m的值为__________．‎ ‎【答案】6‎ ‎【解析】因为是等差数列，所以 ，可得.‎ ‎15.【2018届河南省漯河市高级中学模拟】已知等比数列的前项和为，且，．‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）若，数列的前项和为，证明: 数列是等差数列．‎ ‎ ‎