2015江苏高考数学试题详细解析

2015江苏高考数学试题详细解析

‎２０１５江苏高考数学试题详细解析（无图）‎ 一． 填空题：（70分）‎ 1. 已知集合，，则集合中元素个数为_____5______。‎ 因为，所以中元素个数为5个。‎ 2. 已知一组数据，那么这组数据的平均数是__6________。‎ 因为，所以平均数为6.‎ 3. 设复数z满足，（i是虚数单位），则z的模是_________。‎ 设，则，由解得，故 ‎ 4. 根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S为______7__________。‎ ‎ ‎ 5. 袋中有大小形状都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，从中随机摸出 ‎2只球，这2只球颜色不同的概率为________________。‎ 任取2只球颜色相同的概率为，则。‎ 6. 已知向量，，若，则的值为__________。‎ 因为，所以 7. 不等式的解集为_______________。‎ 由于 单调递增，所以原不等式等价于 8. 已知，，则的值为_________3_________。‎ ‎ ‎ 9. 现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2，高为8的圆柱各一个，‎ 若将它们制作成总体积和高均保持不变，但底面半径相同的新圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为____________________。‎ 设底面半径为，则有，解得 1. 在平面直角坐标系中，以点（1,0）为圆心且与直线 相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为_________________。‎ ‎ ，即，所以所求的圆标准方程为：‎ 2. 数列满足，且，则数列的前10项和为_________。‎ ‎ ，所以 ‎ 。故 3. 在平面直角坐标系中，P为双曲线右支上的一个动点，若P到直线的距离大于c恒成立，则c的最大值为___ __________。‎ 由于直线的斜率与双曲线的渐近线相同，所以右支上的点到直线的距离恒大于直线到渐近线的距离。即。‎ 4. 已知函数，，则方程的实根个数为_____4__________。‎ 由 得到： ‎ ‎，由于：‎ 时，单调递减，且取值范围在，故在该区域有1根； ‎ 时，单调递减，且取值范围在，故该区域有1根；‎ 时，单调递增，且取值范围在，故该区域有2根。‎ 综上，的实根个数为4。‎ 1. 设向量 ，则的值为____________。‎ ‎ ，可见 以上函数的周期为6，所以。‎ 一． 解答题：（90分）‎ ‎15．在中，已知，，。‎ ‎ （1）求的长；‎ ‎ （2）求的值。‎ 解：（1），所以 ‎ .‎ ‎ （2）根据正弦定理，，又因为，所以，‎ ‎ 故C为锐角，所以。所以：‎ ‎ ‎ ‎16．如图，在直三棱柱中，已知，。设的中点为D，‎ ‎ 。求证：‎ ‎ （1），‎ ‎ （2）。‎ ‎ 证明：（1）因为D为中点，E为中点，所以，又,‎ ‎ ，所以。‎ ‎ （2）直三棱柱中为正方形，又知道 ‎ ，而，所以 ‎ 。由，又，所以。证毕。‎ ‎17．某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路的山区边界的直线型公路。记两条相互垂直的公路为，山区边界为曲线C，计划修建的公路为，如图所示。为C的两个端点，测得M到的距离分别为5千米和40千米，点N到的距离分别为20千米和2.5千米，以所在的直线分别为轴，建立平面直角坐标系，假设曲线C符合函数 ‎（其中为常数）模型。‎ ‎ （1）求的值，‎ ‎ （2）设公路与与曲线C相切于P点，P点的横坐标为t，‎ ‎ ①请写出公路的长度的函数关系式，并写出其定义域，‎ ‎ ②当t为何值时，公路的长度最短？求出最短长度。‎ ‎ 解：（1），而在曲线上，所以有，故。‎ ‎ （2）①，则，又，所以直线的方程为：‎ ‎ ，故公路的长度，其中 ‎ 。‎ ‎ ②设，令，得 ‎ ，当时，；当时，。‎ ‎ 所以时。‎ ‎ 所以当时，公路长度最短，最短长度为千米。‎ ‎18．如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，且右焦点F到左准线的距离为3。‎ ‎ （1）求椭圆的标准方程，‎ ‎ （2）过F的直线分别交椭圆于两点，线段的垂直平分线交直线和于点，若，求直线的方程。‎ ‎ 解：（1），又，解得：，所以椭圆的标准方程为：。‎ ‎ （2）设的方程为，，则。‎ ‎ 其中满足方程，即。‎ ‎ 故，即。而，所以 ‎ 方程为：。故。‎ ‎ 根据题意，‎ ‎ ，‎ ‎ ‎ ‎ 所以，得到，所以。‎ ‎ 故直线的方程为或者。‎ ‎19．已知函数，‎ ‎ （1）试讨论的单调性，‎ ‎ （2）若（实数是与无关的常数），当函数有3个不同的零点时，的取值范围恰好是，求的值。‎ 解：（1）令得到，‎ ‎ ①当时，恒成立，在定义域内单调递增；‎ ‎ ②当时，时，时，，；‎ ‎ ③当时，时，时，‎ ‎ ，。‎ ‎ （2）有3个不同的实根，显然时不符。下面讨论的情况：‎ ‎ 当时，应有，即（a）‎ ‎ 当时，应有，即 （b）‎ ‎ 对于（a）：的取值范围应在内，根据题意，有，符合题意；‎ 对于（b）：,而时，，故，所以 符合题意。‎ 综上，符合题意的。‎ ‎20．设是各项为正数且公差为的等差数列，‎ ‎ （1）证明：依次构成等比数列；‎ ‎ （2）是否存在，使得依次构成等比数列？并说明理由；‎ ‎ （3）是否存在及正整数，使得依次构成等比数列？并说明理由。‎ ‎（1）证明：设，因为：‎ ‎ 因为，，所以 ‎ 依次构成等比数列。‎ ‎ 因为，，所以 ‎ 依次构成等比数列。‎ ‎ 所以依次构成等比数列。‎ ‎（2）假设依次构成等比数列，那么应该有：‎ ‎ ，因为 ‎ ，所以………(a)，考察(a)的解，‎ ‎ 故为的极大值，而，所以符合（a）的解。‎ ‎ 又，（因为数列各项为正数）。所以 ‎ ，解得 ，。‎ ‎ 所以，这与（a）矛盾。所以不存在这样的，使得依次构成等比数列。‎ ‎（3）假设存在及正整数，使得依次构成等比数列，那么：‎ ‎ ，而 ‎ …………(a)‎ ‎ …….(b)‎ ‎ 由于，而，（且各项不等）‎ ‎ 所以，所以。‎ ‎ 令，，则，同理，‎ ‎ 。代入(a),(b)得：‎ ‎ ，等式两边取对数变形得：‎ ‎ ‎ ‎ 由（e）（f）得到新函数:‎ ‎，求导得到：‎ ‎ ，令 ‎ ，求二阶导数得：‎ ‎ ，令 ‎ ，则，‎ ‎ 而，故单调递减，又，所以除了 ‎ 外无零点，而这与题目条件不符。‎ ‎ 所以：不存在及正整数，使得依次构成等比数列。‎ ‎ ‎