2015江苏高考数学试题详细解析

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2015江苏高考数学试题详细解析

‎2015江苏高考数学试题详细解析(无图)‎ 一. 填空题:(70分)‎ 1. 已知集合,,则集合中元素个数为_____5______。‎ 因为,所以中元素个数为5个。‎ 2. 已知一组数据,那么这组数据的平均数是__6________。‎ 因为,所以平均数为6.‎ 3. 设复数z满足,(i是虚数单位),则z的模是_________。‎ 设,则,由解得,故 ‎ 4. 根据如图所示的伪代码,可知输出的结果S为______7__________。‎ ‎ ‎ 5. 袋中有大小形状都相同的4只球,其中1只白球,1只红球,2只黄球,从中随机摸出 ‎2只球,这2只球颜色不同的概率为________________。‎ 任取2只球颜色相同的概率为,则。‎ 6. 已知向量,,若,则的值为__________。‎ 因为,所以 7. 不等式的解集为_______________。‎ 由于 单调递增,所以原不等式等价于 8. 已知,,则的值为_________3_________。‎ ‎ ‎ 9. 现有橡皮泥制作的底面半径为5,高为4的圆锥和底面半径为2,高为8的圆柱各一个,‎ 若将它们制作成总体积和高均保持不变,但底面半径相同的新圆锥和圆柱各一个,则新的底面半径为____________________。‎ 设底面半径为,则有,解得 1. 在平面直角坐标系中,以点(1,0)为圆心且与直线 相切的所有圆中,半径最大的圆的标准方程为_________________。‎ ‎ ,即,所以所求的圆标准方程为:‎ 2. 数列满足,且,则数列的前10项和为_________。‎ ‎ ,所以 ‎ 。故 3. 在平面直角坐标系中,P为双曲线右支上的一个动点,若P到直线的距离大于c恒成立,则c的最大值为___ __________。‎ 由于直线的斜率与双曲线的渐近线相同,所以右支上的点到直线的距离恒大于直线到渐近线的距离。即。‎ 4. 已知函数,,则方程的实根个数为_____4__________。‎ 由 得到: ‎ ‎,由于:‎ 时,单调递减,且取值范围在,故在该区域有1根; ‎ 时,单调递减,且取值范围在,故该区域有1根;‎ 时,单调递增,且取值范围在,故该区域有2根。‎ 综上,的实根个数为4。‎ 1. 设向量 ,则的值为____________。‎ ‎ ,可见 以上函数的周期为6,所以。‎ 一. 解答题:(90分)‎ ‎15.在中,已知,,。‎ ‎ (1)求的长;‎ ‎ (2)求的值。‎ 解:(1),所以 ‎ .‎ ‎ (2)根据正弦定理,,又因为,所以,‎ ‎ 故C为锐角,所以。所以:‎ ‎ ‎ ‎16.如图,在直三棱柱中,已知,。设的中点为D,‎ ‎ 。求证:‎ ‎ (1),‎ ‎ (2)。‎ ‎ 证明:(1)因为D为中点,E为中点,所以,又,‎ ‎ ,所以。‎ ‎ (2)直三棱柱中为正方形,又知道 ‎ ,而,所以 ‎ 。由,又,所以。证毕。‎ ‎17.某山区外围有两条相互垂直的直线型公路,为进一步改善山区的交通现状,计划修建一条连接两条公路的山区边界的直线型公路。记两条相互垂直的公路为,山区边界为曲线C,计划修建的公路为,如图所示。为C的两个端点,测得M到的距离分别为5千米和40千米,点N到的距离分别为20千米和2.5千米,以所在的直线分别为轴,建立平面直角坐标系,假设曲线C符合函数 ‎(其中为常数)模型。‎ ‎ (1)求的值,‎ ‎ (2)设公路与与曲线C相切于P点,P点的横坐标为t,‎ ‎ ①请写出公路的长度的函数关系式,并写出其定义域,‎ ‎ ②当t为何值时,公路的长度最短?求出最短长度。‎ ‎ 解:(1),而在曲线上,所以有,故。‎ ‎ (2)①,则,又,所以直线的方程为:‎ ‎ ,故公路的长度,其中 ‎ 。‎ ‎ ②设,令,得 ‎ ,当时,;当时,。‎ ‎ 所以时。‎ ‎ 所以当时,公路长度最短,最短长度为千米。‎ ‎18.如图,在平面直角坐标系中,已知椭圆的离心率为,且右焦点F到左准线的距离为3。‎ ‎ (1)求椭圆的标准方程,‎ ‎ (2)过F的直线分别交椭圆于两点,线段的垂直平分线交直线和于点,若,求直线的方程。‎ ‎ 解:(1),又,解得:,所以椭圆的标准方程为:。‎ ‎ (2)设的方程为,,则。‎ ‎ 其中满足方程,即。‎ ‎ 故,即。而,所以 ‎ 方程为:。故。‎ ‎ 根据题意,‎ ‎ ,‎ ‎ ‎ ‎ 所以,得到,所以。‎ ‎ 故直线的方程为或者。‎ ‎19.已知函数,‎ ‎ (1)试讨论的单调性,‎ ‎ (2)若(实数是与无关的常数),当函数有3个不同的零点时,的取值范围恰好是,求的值。‎ 解:(1)令得到,‎ ‎ ①当时,恒成立,在定义域内单调递增;‎ ‎ ②当时,时,时,,;‎ ‎ ③当时,时,时,‎ ‎ ,。‎ ‎ (2)有3个不同的实根,显然时不符。下面讨论的情况:‎ ‎ 当时,应有,即(a)‎ ‎ 当时,应有,即 (b)‎ ‎ 对于(a):的取值范围应在内,根据题意,有,符合题意;‎ 对于(b):,而时,,故,所以 符合题意。‎ 综上,符合题意的。‎ ‎20.设是各项为正数且公差为的等差数列,‎ ‎ (1)证明:依次构成等比数列;‎ ‎ (2)是否存在,使得依次构成等比数列?并说明理由;‎ ‎ (3)是否存在及正整数,使得依次构成等比数列?并说明理由。‎ ‎(1)证明:设,因为:‎ ‎ 因为,,所以 ‎ 依次构成等比数列。‎ ‎ 因为,,所以 ‎ 依次构成等比数列。‎ ‎ 所以依次构成等比数列。‎ ‎(2)假设依次构成等比数列,那么应该有:‎ ‎ ,因为 ‎ ,所以………(a),考察(a)的解,‎ ‎ 故为的极大值,而,所以符合(a)的解。‎ ‎ 又,(因为数列各项为正数)。所以 ‎ ,解得 ,。‎ ‎ 所以,这与(a)矛盾。所以不存在这样的,使得依次构成等比数列。‎ ‎(3)假设存在及正整数,使得依次构成等比数列,那么:‎ ‎ ,而 ‎ …………(a)‎ ‎ …….(b)‎ ‎ 由于,而,(且各项不等)‎ ‎ 所以,所以。‎ ‎ 令,,则,同理,‎ ‎ 。代入(a),(b)得:‎ ‎ ,等式两边取对数变形得:‎ ‎ ‎ ‎ 由(e)(f)得到新函数:‎ ‎,求导得到:‎ ‎ ,令 ‎ ,求二阶导数得:‎ ‎ ,令 ‎ ,则,‎ ‎ 而,故单调递减,又,所以除了 ‎ 外无零点,而这与题目条件不符。‎ ‎ 所以:不存在及正整数,使得依次构成等比数列。‎ ‎ ‎
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