武汉二中 2016—2017 学年度上学期期末考试 高二数学试卷

武汉二中 2016—2017 学年度上学期期末考试 高二数学试卷

武汉二中 2016—2017 学年度上学期期末考试 高二数学试卷 试卷满分：150 分 一、选择题（每小题 5 分，共 60 分） 1．在武汉二中选修乒乓球课程的学生中，高一年级有 30 名，高二年级有 40 名.现用分层抽样的方 法在这 70 名学生中抽取一个样本，已知在高一年级的学生中抽取了 6名，则在高二年级的学生中 应抽取的人数为（ ） A、6 B、8 C、10 D、12 2．已知 , ,a b c R ，命题“若 3a b c   ，则 2 2 2 3a b c   ”的否命题是( ) A、若 3a b c   ，则 2 2 2 3a b c   B、若 3a b c   ，则 2 2 2 3a b c   C、若 3a b c   ，则 2 2 2 3a b c   D、若 2 2 2 3a b c   ，则 3a b c   3．设 ( )f x 是区间 [ , ]a b 上的函数，如果对任意满足 a x y b   的 ,x y都有 ( ) ( )f x f y ，则称 ( )f x 是[ , ]a b 上的升函数，则 ( )f x 是[ , ]a b 上的非升函数应满足（ ）。 A、存在满足 x y 的 , [ , ]x y a b 使得 ( ) ( )f x f y B、不存在 , [ , ]x y a b 满足 x y 且 ( ) ( )f x f y C、对任意满足 x y 的 , [ , ]x y a b 都有 ( ) ( )f x f y D、存在满足 x y 的 , [ , ]x y a b 都有 ( ) ( )f x f y 4．阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出 i的值为（ ） A、3 B、4 C、5 D、6 5．已知集合 , ,A B C满足 { , , }A B a b c ，则满足条件的组合 ( , )A B 共有（ ）组。 A、4 B、8 C、9 D、27 6．设 nml ,, 表示三条不同的直线，  ,, 表示三个不同的平面，给出下列四个命题：①若   mlml ,, ，则   ；②若 m ， n 是 l 在  内的射影， nm  ，则 lm  ；③若   , ，则  // 其中真命题的个数为（ ） A、0 B、1 C、2 D、3 7．“ 2a   ”是“直线 ( 2) 3 1 0a x ay    与直线 ( 2) ( 2) 3 0a x a y     相互垂直”的 （ ）条件。 A、充要 B、充分非必要 C、必要非充分 D、既非充分也非必要 8．已知 ABC 中， 090C  ， 2AB AC ，在斜边 AB上任取一点 P，则满足 030ACP  的概 率为（ ） A、 1 2 B、 1 3 C、 1 4 D、 1 5 9．如图，一只蚂蚁从点 A出发沿着水平面的线条爬行到点C， 再由点C沿着置于水平面的长方体的棱爬行至顶点 B，则 它可以爬行的不同的最短路径有（ ）条。 A、40 B、60 C、80 D、120 10．已知椭圆 2 2 1 4 yx   和点 1 1, 2 2 A      、 1 ,1 2 B       ，若椭圆的某弦的中点在线段 AB上，且此弦所 在直线的斜率为 k，则 k的取值范围为( ) 。 A、[ 4, 2]  B、[ 2, 1]  C、[ 4, 1]  D、 11, 2      11．如图，在四棱锥 P ABCD 中，侧面 PAD是边长为 4 的正三角形， 底面 ABCD为正方形，侧面PAD⊥底面 ABCD，M 为底面 ABCD 内的一个动点，且满足 0MP MC    ，则点M 到直线 AB的最短距 离为( )。 A、 5 B、 4 5 C、3 5 D、 4 2 2 12．已知双曲线 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a b a b     的离心率为 2，过右焦点 F 作直线交该双曲线于 A、B两 点， P为 x轴上一点，且 | | | |PA PB ，若 | | 8AB  ，则 | |FP （ ）。 A、2 B、4 C、8 D、16 二、填空题（每小题 5 分，共 20 分） 13．将 4034 与 10085 的最大公约数化成五进制数，结果为 。 14．我校篮球队曾多次获得全国中学生篮球赛冠军！在一次比赛中，需把包括我校篮球队在内的 7 个篮球队随机地分成两个小组（一组 3 个队，一组 4 个队）进行小组预赛，则我校篮球队和另 6 个队中实力最强的队分在同一小组的概率为 。 15 ． 在四 棱 柱 1 1 1 1ABCD ABC D 中 ，底 面 ABCD 为 矩形 ， 13, 1, 2AB AD AA   ， 且 0 1 1 60BAA DAA    。则异面直线 AC与 1BD 所成角的余弦值为 。 16．如图， ,A B为抛物线 2 4y x 上的两点， F 为抛物线的焦点 且 FA FB ，C为直线 AB上一点且横坐标为 1 ，连结 FC。若 | | 3 | |BF AF ，则 tanC  。 三、解答题（第 17 题 10 分，其余每题 12 分，共计 70 分） 17．用数字 0、2、3、4、6按下列要求组数、计算： （1）能组成多少个没有重复数字的三位数？ （2）可以组成多少个可以被 3 整除的没有重复数字的三位数？ （3）求 2 3 4 6   即 144 的所有正约数的和。 （注：每小题结果都写成数据形式） 18．已知命题 p：不等式 2 8 0x ax   对任意实数 [2, 4]x 恒成立；命题 q：存在实数 满足 4 sin 2 1a    ；命题 r：不等式 2 2 1 0ax x   有解。（1）若 p q 为真命题，求 a的取值 范围．（2）若命题 p、 q r恰有两个是真命题，求实数 a的取值范围。 19．水是万物之本、生命之源，节约用水，从我做起。我国是世界上严重缺水的国家，某市政府为 了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准 x （吨）、一位居民的月用水量不超过 x的部分按平价收费，超出 x的部分按议价收费.为了了解 居民用水情况，通过抽样，获得了某年 100 位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按 照[0,0.5)，[0.5,1)，…，[4,4.5)分成 9 组，制成了如图所示的频率分布直方图。（1）求直 方图中 a 的值；（2）设该市有 30 万居民，估计全市居民中月均用水量不低于 3吨的人数，并 说明理由；（3）若该市政府希望使 85%的居民每月的用水量不超过标准 x（吨），估计 x的值， 并说明理由. 20．如图，在四棱锥 P ABCD 中，平面PAD平面 ABCD，PA PD ，PA PD ，AB AD ， 1AB  ， 2AD  ， 5AC CD  .（1）求证：PD PB ；（2）求直线PB与平面 PCD所成 角的正弦值；（3）在棱 PA上是否存在点M ，使得 / /BM 平面 PCD？若存在，求 AM AP 的值； 若不存在，说明理由。 21．甲乙两人下棋比赛，规定谁比对方先多胜两局谁就获胜，比赛立即结束；若比赛进行完 6 局还 没有分出胜负则判第一局获胜者为最终获胜且结束比赛。比赛过程中，每局比赛甲获胜的概率为 2 3 ，乙获胜的概率为 1 3 ，每局比赛相互独立。求：（1）比赛两局就结束且甲获胜的概率；（2）恰 好比赛四局结束的概率；（3）在整个比赛过程中，甲获胜的概率。 22．已知椭圆 C： 2 2 2 2 1  x y a b （ 0a b  ）的离心率为 3 2 ， ( ,0)A a ， (0, )B b ， (0,0)O ， OAB 的面积为 1。（1）求椭圆 C 的方程；（2）斜率为 2 的直线与椭圆交于 P、Q两点OP OQ ，求 直线 l的方程；（3）在 x上是否存在一点 E使得过 E的任一直线与椭圆若有两个交点M 、 N 则 都有 2 2 1 1 | | | |EM EN  为定值？若存在，求出点 E的坐标及相应的定值。 武汉二中 2016—2017 学年度上学期期末考试 高二数学参考答案 一、选择题 二、填空题 13、 (5)31032 14、 3 7 15、 2 5 16、 1 2 三、解答题 17、解：（1）百位数子只能是 2、3、4、6 中之一，百位数字确定后，十位和个位 数字的组成共有 2 4A 种方法，所以可以组成没有重复数字的三位数共有 1 2 1 4 4 48N C A  个 3 分 （2）由题意，能被 3整除的且没有重复数字的三位数只能是由 2、4、0或 2、4、3 或 2、4、 6 或 0、3、6组成。共有 1 2 3 1 2 2 2 2 3 2 22 20N C A A C A    个 7 分 （3） 4 2144 2 3  ， ∴ 144 的所有正约数的和为 2 3 4 2 3 (1 2 2 2 2 )(1 3 3 ) 403N         10 分 18、解：（1）若命题 p为真命题，则 8a x x   对任意实数 [2, 4]x 恒成立 ∴ min 8 2a x x         ，即 2a   。3 分 若命题 q为真命题，则  max 4 sin 2 1 1a      ， ∴ 4 31 0 3 1 1 1 a a a a            又∵ p q 为真命题， ∴ 3 2a    6 分 即 a的取值范围为[ 3, 2)  7 分 （2）若不等式 2 2 1 0ax x   有解，则 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B A A B D C B C B A C C 当 0a  时，显然有解；当 0a  时， 2 2 1 0ax x   有解； 当 0a  时，∵ 2 2 1 0ax x   有解， ∴ 4 4 0a    ， ∴ 1 0a   ， ∴ 不等式 2 2 1 0ax x   有解等价于 1a   ，10 分 ∴ 若命题 p、 q r恰有两个是真命题，则必有 3 2a    或 1 1a   即 a的取值范围为[ 3, 2) ( 1,1)   。12 分 19、解：（1）由概率统计相关知识，各组频率之和的值为1 ∵ 频率=(频率/组距) 组距 ∴  0.5 0.08 0.16 0.4 0.52 0.12 0.08 0.04 2 1a         ∴ 0.3a  4分 （2）由图，不低于3吨人数所占百分比为  0.5 0.12 0.08 0.04 =12%   ∴ 全市月均用水量不低于3吨的人数为： 30 12%=3.6 (万) 8分 （3）由图可知，月均用水量小于2.5吨的居民人数所占百分比为：  0.5 0.08 0.16 0.3 0.4 0.52 0.73      即 73%的居民月均用水量小于2.5吨, 同理，88%的居民月均用水量小于3吨，故 2.5 3x  假设月均用水量平均分布，则 85% 73%2.5 0.5 2.9 88% 73% x       （吨）. 注：本次估计默认组间是平均分布，与实际可能会产生一定误差。 12分 20、（1）证明：∵ 面 PAD 面 ABCD AD ， AB AD ， ∴ AB 面 PAD ∴ PD AB 又∵ PD PA ∴ PD 面 PAB ∴ PD PB 3 分 （2）取 AD中点为O，连结CO， PO， ∵ 5CD AC  ∴CO AD ∵ PA PD ∴ PO AD 以O为原点，如图建系，易知 (0,0,1)P ， (1,1,0)B ， (0, 1,0)D  ， (2,0,0)C ， 则 (1,1, 1)PB    ， (0, 1, 1)PD     ， (2,0, 1)PC    ， ( 2, 1,0)CD     。 设 0 0( , ,1)n x y  为面 PDC 的法向量，则 0 1 , 1,1 20 n PD n n PC                  ，则 PB与面 PCD夹角 有 1 1 1 32sin cos , 31 1 1 3 4 n PBn PB n PB                  7 分 （3）假设存在M 点使得 / /BM 面 PCD，设 AM AP  ，  0, ', 'M y z ，由（2）知  0,1,0A ，  0,0,1P ，  0, 1,1AP    ，  1,1,0B ，  0, ' 1, 'AM y z   ， ∴  0,1 ,AM AP M       ，  1, ,BM      ∵ / /BM 面 PCD， n  为 PCD的法向量， ∴ 0BM n    即 1 0 2      ∴ 1= 4  综上所述，存在M 点，即当 1 4 AM AP  时，M 点即为所求。 12 分 21、解：（1）由题意可知比赛两局就结束且甲获胜必须第一、第二局比赛都是甲获胜，概率为 2 2 4 3 3 9 P    ； 3 分 （2）由题意知前两局比赛为平手，第三、第四局比赛为同一个人胜，其概率为 2 2 1 2 2 1 2 1 20 3 3 3 3 81 P C                          ； 7 分 （3）由题意知在整个比赛过程中第一、第二局比赛两人为平手，第三、第四比赛两人也为平手， 第五、第六局都为甲获胜，或者在第一、第二局比赛两人为平手，第三、第四局比赛两人 也为平手，第五、第六局比赛为平手但第一局是甲获胜。其概率为 2 22 1 1 2 2 2 1 2 2 1 2 1 32 3 3 3 3 3 3 3 243 P C C                                          。12 分 22、解：（1）由已知， 3 1, 1 2 2 c ab a   ，又 2 2 2a b c  ，解得 2, 1, 3a b c   ， ∴ 椭圆的方程为 2 2 1 4 x y  。 3 分 （2）设直线 l的方程为 2y x t  ，则由 2 2 1 4 2 x y y x t        可得 22 2 2 4 x y xy t        ， 即 2 2 2(4 4) 16 ( 16) 0y yt t x x                ∵ OP OQ ∴ 2 2 2 16 1 4 2 4 4 t t t t          ∴ 直线 l的方程为 2 2y x  即 2 2 0x y   。7 分 （3）设 ( ,0)E m 、 1 1( , )M x y 、 2 2( , )N x y ，当直线 n不为 x轴时的方程为 x ty m  ， 联立椭圆方程得： 2 2 1 4 x ty m x y       2 2 2( 4) 2 ( 4) 0t y tmy m      2 1 2 1 22 2 2 4, 4 4 tm my y y y t t         8 分 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 ( ) 21 1 1 1 1 | | | | (1 ) (1 ) (1 ) y y y y EA EB t y t y t y y           2 2 2 2 2 2 1 (32 8 ) (2 8) 1 ( 4) m m t t m        10 分 ∴ 当且仅当 2 232 8 2 8m m   即 2 15 5 m   时 2 2 1 1 5 | | | |EA EB   （定值）。 即 在 x 轴上存在点 E 使得 2 2 1 1 | | | |EA EB  为定值 5，点 E 的坐标为 2 15 ,0 3        或 2 15 ,0 3        。 经检验，当直线 AB为 x轴时上面求出的点 E也符合题意。 12 分 （也可以通过特殊情形猜出定点坐标和定值然后再证明结论）