2012年普通高等学校招生全国统一考试 理数（北京卷）（含答案）

2012年普通高等学校招生全国统一考试 理数（北京卷）（含答案）

‎2012年普通高等学校招生全国统一考试 数学（理）（北京卷）‎ ‎ 本试卷共5页，150分．考试时长120分钟．考试生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作 答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．‎ 第一部分（选择题 共40分）‎ 一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．‎ ‎1．已知集合，，则（ ）‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎2．设不等式组表示的平面区域为．在区域内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是（ ）‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎3．设．“”是“复数是纯虚数”的（ ）‎ ‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎4．执行如图所示的程序框图，输出的值为（ ）‎ ‎ A．2‎ B．4‎ C．8‎ D．16‎ ‎5．如图，，于点，以为直径的圆与交于点，则（ ）‎ ‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ ‎6．从0，2中选一个数字，从1，3，5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为（ ）‎ ‎ A．24 B．‎18 ‎ C．12 D．6‎ ‎7．某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是（ ）‎ ‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ ‎8．某棵果树前前的总产量与之间的关系如图所示．从目前记录的结果看，前年的年平均产量最高，值为（ ）‎ ‎ A．5‎ B．7‎ C．9‎ D．11‎ 第二部分（非选择题 共110分）‎ 二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．‎ ‎9直线（为参数）与曲线（为参数）的交点个数为 ．‎ ‎10．已知为等差数列，为其前项和．若，，则 ．‎ ‎11．在中，若，，，则 ．‎ ‎12．在直角坐标系中，直线过抛物线的焦点，且与该抛物线相交于，两点，其中点 在轴上方，若直线的倾斜角为．则的面积为 ．‎ ‎13．已知正方形的边长为1，点是边上的动点，则的值为 ；‎ ‎ 的最大值为 ．‎ ‎14．已知，．若同时满足条件：‎ ‎ ①，或；‎ ‎②，‎ 则的取值范围是 ．‎ 三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．‎ ‎15．（本小题共13分）‎ ‎ 已知函数．‎ ‎（1）求的定义域及最小正周期；‎ ‎（2）求的单调递增区间．‎ ‎16．（本小题共14分）‎ ‎ 如图1，在中，，，．，分别是，上的点，且，，将沿折起到的位置，使，如图2. ‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）若是的中点，求与平面所成角的大小；‎ ‎（3）线段上是否存在点，使平面与平面垂直？说明理由．‎ ‎17．（本小题共13分）‎ ‎ 近年来，某市为促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱，为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计1000吨生活垃圾，数据统计如下（单位：吨）：‎ ‎“厨余垃圾”箱 ‎“可回收物”箱 ‎“其他垃圾”箱 厨余垃圾 ‎400‎ ‎100‎ ‎100‎ 可回收物 ‎30‎ ‎240‎ ‎30‎ 其他垃圾 ‎20‎ ‎20‎ ‎60‎ ‎（1）试估计厨余垃圾投放正确的概率；‎ ‎（2）试估计生活垃圾投放错误的概率；‎ ‎（3）假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分别为，其中，．当数据的方差最大时，写出的值（结论不要求证明），并求此时的值．‎ ‎（求：，其中为数据，，…，的平均数）‎ ‎18．（本小题共13分）‎ ‎ 已知函数，．‎ ‎（1）若曲线与曲线在它们的交点处具有公共切线，求，的值；‎ ‎（2）当时，求函数的单调区间，并求其在区间上的最大值．‎ ‎19．（本小题共14分）‎ 已知曲线 ‎（1）若曲线是焦点在轴上的椭圆，求的取值范围；‎ ‎（2）设，曲线与轴的交点为（点位于点的上方），直线 与曲线交于不同的两点，，直线与直线交于点．求证：三点共线．‎ ‎20．（本小题共13分）‎ 设是由个实数组成的行列的数表，满足：每个数的绝对值不大于1，且所有数的和为零．记为所有这样的数表构成的集合．‎ ‎ 对于，记为的第行各数之和，为的第列各数之和；记为，，…，，，，…，中的最小值．‎ ‎（1）对如下数表，求的值；‎ ‎ 1‎ ‎1‎ ‎（2）设数表形如 ‎1‎ ‎1‎ 求的最大值；‎ ‎（3）给定正整数，对于所有的，求的最大值．‎ 答案 一、选择题 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ 答案 D D B C A B B C 二、填空题 题号 ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ ‎13‎ ‎14‎ 答案 ‎2‎ ‎1；‎ ‎4‎ ‎1；1‎ 三、解答题 ‎15．‎ 解：‎ ‎（1）原函数的定义域为，最小正周期为．‎ ‎（2）原函数的单调递增区间为，‎ ‎16． ‎ 解：‎ ‎（1），‎ 平面，‎ 又平面，‎ 又，‎ 平面 ‎（2）如图建系，则，，，‎ ‎∴,‎ 设平面法向量为 则 ∴ ∴‎ ‎∴‎ 又∵‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴与平面所成角的大小 ‎（3）设线段上存在点，设点坐标为，则 则，‎ 设平面法向量为 则 ∴‎ ‎∴‎ 假设平面与平面垂直 则，‎ ‎∴，，‎ ‎∵‎ ‎∴不存在线段上存在点，使平面与平面垂直 ‎17．‎ ‎（1）由题意可知：‎ ‎（2）由题意可知：‎ ‎（3）由题意可知：，因此有当，，时，有．‎ ‎18．‎ 解：‎ ‎（1）由为公共切点可得：‎ ‎，则，，‎ ‎，则，，‎ ‎①‎ 又，，‎ ‎，即，代入①式可得：．‎ ‎（2），设 则，令，解得：，；‎ ‎，，‎ 原函数在单调递增，在单调递减，在上单调递增 ‎①若，即时，最大值为；‎ ‎②若，即时，最大值为 ‎③若时，即时，最大值为．‎ 综上所述：‎ 当时，最大值为；当时，最大值为．‎ ‎19．‎ ‎（1）原曲线方程可化简得：‎ 由题意可得：，解得：‎ ‎（2）由已知直线代入椭圆方程化简得：，‎ ‎，解得： 由韦达定理得：①，，②‎ 设，，‎ 方程为：，则，‎ ‎，，‎ 欲证三点共线，只需证，共线 即成立，化简得：‎ 将①②代入易知等式成立，则三点共线得证。‎ ‎20．‎ 解：‎ ‎（1）由题意可知，，，，‎ ‎∴‎ ‎（2）先用反证法证明：‎ 若 则，∴‎ 同理可知，∴‎ 由题目所有数和为 即 ‎∴‎ 与题目条件矛盾 ‎∴．‎ 易知当时，存在 ‎∴的最大值为1‎ ‎（3）的最大值为.‎ 首先构造满足的：‎ ‎，‎ ‎.‎ 经计算知，中每个元素的绝对值都小于1，所有元素之和为0，且 ‎，‎ ‎，‎ ‎.‎ 下面证明是最大值. 若不然，则存在一个数表，使得.‎ 由的定义知的每一列两个数之和的绝对值都不小于，而两个绝对值不超过1的数的和，其绝对值不超过2，故的每一列两个数之和的绝对值都在区间中. 由于，故的每一列两个数符号均与列和的符号相同，且绝对值均不小于.‎ 设中有列的列和为正，有列的列和为负，由对称性不妨设，则. 另外，由对称性不妨设的第一行行和为正，第二行行和为负.‎ 考虑的第一行，由前面结论知的第一行有不超过个正数和不少于 个负数，每个正数的绝对值不超过1（即每个正数均不超过1），每个负数的绝对值不小于（即每个负数均不超过）. 因此 ‎，‎ 故的第一行行和的绝对值小于，与假设矛盾. 因此的最大值为.‎