高考数学专题复习：课时达标检测（三十三） 不等式的性质及一元二次不等式
课时达标检测（三十三） 不等式的性质及一元二次不等式
[练基础小题——强化运算能力]
1．若a>b>0，则下列不等式不成立的是( )
A.< B．|a|>|b|
C．a＋b<2 D.a
b>0，∴<，且|a|>|b|，a＋b>2，又f(x)＝x是减函数，∴ay>z，x＋y＋z＝0，则下列不等式成立的是( )
A．xy>yz B．xz>yz
C．xy>xz D．x|y|>z|y|
解析：选C 因为x>y>z，x＋y＋z＝0，所以3x>x＋y＋z＝0，所以x>0，又y>z，所以xy>xz，故选C.
4．不等式组的解集是( )
A．(2,3) B.∪(2,3)
C.∪(3，＋∞) D．(－∞，1)∪(2，＋∞)
解析：选B ∵x2－4x＋3<0，∴10，∴(x－2)(2x－3)>0，∴x<或x>2，∴原不等式组的解集为∪(2,3)．
5．已知关于x的不等式ax2＋2x＋c>0的解集为－，，则不等式－cx2＋2x－a
>0的解集为________．
解析：依题意知，∴解得a＝－12，c＝2，∴不等式－cx2＋2x－a>0，即为－2x2＋2x＋12>0，即x2－x－6<0，解得－20得x>1，即B＝{x|x>1}，所以A∩B＝{x|1b⇒ac2>bc2 B.>⇒a>b
C.⇒> D.⇒>
解析：选C 当c＝0时，ac2＝0，bc2＝0，故由a>b不能得到ac2>bc2，故A错误；当c<0时，>⇒a0⇔或故选项D错误，C正确．故选C.
3．已知a>0，且a≠1，m＝aa2＋1，n＝aa＋1，则( )
A．m≥n B．m>n C．m0，n>0，两式作商，得＝a(a2＋1)－(a＋1)＝aa(a－1)，当a>1时，a(a－1)>0，所以aa(a－1)>a0＝1，即m>n；当0a0＝1，即m>n.综上，对任意的a>0，a≠1，都有m>n.
4．若不等式组的解集不是空集，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，－4] B．[－4，＋∞)
C．[－4,3] D．[－4,3)
解析：选B 不等式x2－2x－3≤0的解集为[－1,3]，假设的解集为空集，则不等式x2＋4x－(a＋1)≤0的解集为集合{x|x<－1或x>3}的子集，因为函数f(x)＝x2＋4x－(a＋1)的图象的对称轴方程为x＝－2，所以必有f(－1)＝－4－a>0，即a<－4，则使的解集不为空集的a的取值范围是a≥－4.
5．若不等式x2＋ax－2>0在区间[1,5]上有解，则a的取值范围是( )
A. B.
C．(1，＋∞) D.
解析：选A 由Δ＝a2＋8>0，知方程恒有两个不等实根，又知两根之积为负，所以方程必有一正根、一负根．于是不等式在区间[1,5]上有解的充要条件是f(5)＞0，解得a＞－，故a的取值范围为.
6．在R上定义运算：＝ad－bc，若不等式≥1对任意实数x恒成立，则实数a的最大值为( )
A．－ B．－ C. D.
解析：选D 由定义知，不等式≥1等价于x2－x－(a2－a－2)≥1，∴x2－x＋1≥a2－a对任意实数x恒成立．∵x2－x＋1＝2＋≥，∴a2－a≤，解得－≤a≤，则实数a的最大值为.
二、填空题
7．已知a，b，c∈R，有以下命题：
①若<，则<；②若<，则ab，则a·2c>b·2c.
其中正确的是__________(请把正确命题的序号都填上)．
解析：①若c≤0，则命题不成立．②由<得<0，于是a0知命题正确．
答案：②③
8．若00的解集是________．
解析：原不等式为(x－a)<0，由00，则－x<0，则f(－x)＝bx2＋3x.因为f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，即bx2＋3x＝－x2－ax，可得a＝－3，b＝－1，所以f(x)＝当x≥0时，由x2－3x＜4解得0≤x＜4；当x＜0时，由－x2－3x＜4解得x＜0，所以不等式f(x)＜4的解集为(－∞，4)．
答案：(－∞，4)
10．(2016·西安一模)若关于x的二次不等式x2＋mx＋1≥0的解集为R，则实数m的取值范围是________．
解析：不等式x2＋mx＋1≥0的解集为R，相当于二次函数y＝x2＋mx＋1的最小值非负，即方程x2＋mx＋1＝0最多有一个实根，故Δ＝m2－4≤0，解得－2≤m≤2.
答案：[－2,2]
三、解答题
11．已知f(x)＝－3x2＋a(6－a)x＋6.
(1)解关于a的不等式f(1)>0；
(2)若不等式f(x)>b的解集为(－1,3)，求实数a，b的值．
解：(1)∵f(x)＝－3x2＋a(6－a)x＋6，
∴f(1)＝－3＋a(6－a)＋6＝－a2＋6a＋3>0，
即a2－6a－3<0，解得3－2b的解集为(－1,3)，
∴方程－3x2＋a(6－a)x＋6－b＝0的两根为－1,3，
∴解得
故a的值为3＋或3－，b的值为－3.
12．已知函数f(x)＝x2－2ax－1＋a，a∈R.
(1)若a＝2，试求函数y＝(x>0)的最小值；
(2)对于任意的x∈[0,2]，不等式f(x)≤a成立，试求a的取值范围．
解：(1)依题意得y＝＝＝x＋－4.
因为x>0，所以x＋≥2.
当且仅当x＝时，
即x＝1时，等号成立．
所以y≥－2.
所以当x＝1时，y＝的最小值为－2.
(2)因为f(x)－a＝x2－2ax－1，
所以要使得“对任意的x∈[0,2]，不等式f(x)≤a成立”只要“x2－2ax－1≤0在[0,2]恒成立”．
不妨设g(x)＝x2－2ax－1，
则只要g(x)≤0在[0,2]上恒成立即可．
所以即
解得a≥.则a的取值范围为.
