高考数学专题复习练习：13-1 专项基础训练

高考数学专题复习练习：13-1 专项基础训练

‎ A组　专项基础训练 ‎(时间：35分钟)‎ ‎1．(2017·太原模拟)某单位安排甲、乙、丙三人在某月1日至12日值班，每人4天．‎ 甲说：我在1日和3日都有值班；‎ 乙说：我在8日和9日都有值班；‎ 丙说：我们三人各自值班的日期之和相等．‎ 据此可判断丙必定值班的日期是(　　)‎ A．2日和5日　　　　　　　　B．5日和6日 C．6日和11日 D．2日和11日 ‎【解析】 这12天的日期之和S12＝(1＋12)＝78，甲、乙、丙各自的日期之和是26.对于甲，剩余2天日期之和22，因此这两天是10日和12日，故甲在1日，3日，10日，12日有值班；对于乙，剩余2天日期之和是9，可能是2日，7日，也可能是4日，5日，因此丙必定值班的日期是6日和11日．‎ ‎【答案】 C ‎2．正弦函数是奇函数，f(x)＝sin(x2＋1)是正弦函数，因此f(x)＝sin(x2＋1)是奇函数，以上推理(　　)‎ A．结论正确 B．大前提不正确 C．小前提不正确 D．全不正确 ‎【解析】 f(x)＝sin(x2＋1)不是正弦函数，所以小前提错误．‎ ‎【答案】 C ‎3．(2017·重庆模拟)某种树的分枝生长规律如图所示，第1年到第5年的分枝数分别为1，1，2，3，5，则预计第10年树的分枝数为(　　)‎ A．21 B．34‎ C．52 D．55‎ ‎【解析】 因为2＝1＋1，3＝2＋1，5＝3＋2，即从第三项起每一项都等于前两项的和，所以第10年树的分枝数为21＋34＝55.‎ ‎【答案】 D ‎4．给出下列三个类比结论：‎ ‎①(ab)n＝anbn与(a＋b)n类比，则有(a＋b)n＝an＋bn；‎ ‎②loga(xy)＝logax＋logay与sin(α＋β)类比，则有sin(α＋β)＝sin αsin β；‎ ‎③(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2与(a＋b)2类比，则有(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2.‎ 其中正确结论的个数是(　　)‎ A．0 B．1‎ C．2 D．3‎ ‎【解析】 (a＋b)n≠an＋bn(n≠1，a·b≠0)，故①错误．‎ sin(α＋β)＝sin αsin β不恒成立．‎ 如α＝30°，β＝60°，sin 90°＝1，sin 30°·sin 60°＝，故②错误．‎ 由向量的运算公式知③正确．‎ ‎【答案】 B ‎5．若数列{an}是等差数列，则数列{bn}也为等差数列．类比这一性质可知，若正项数列{cn}是等比数列，且{dn}也是等比数列，则dn的表达式应为(　　)‎ A．dn＝ B．dn＝ C．dn＝ D．dn＝ ‎【解析】 若{an}是等差数列，‎ 则a1＋a2＋…＋an＝na1＋d，‎ ‎∴bn＝a1＋d＝n＋a1－，‎ 即{bn}为等差数列；‎ 若{cn}是等比数列，则 c1·c2·…·cn＝c·q1＋2＋…＋(n－1)＝c·q，‎ ‎∴dn＝＝c1·q，‎ 即{dn}为等比数列，故选D.‎ ‎【答案】 D ‎6．(2017·烟台模拟)观察下列不等式：‎ ‎1＋<，‎ ‎1＋＋<，‎ ‎1＋＋＋<，‎ ‎……‎ 照此规律，第五个不等式为______________．‎ ‎【解析】 观察每行不等式的特点，每行不等式左端最后一个分数的分母的开方与右端值的分母相等，且每行右端分数的分子构成等差数列．‎ 故第五个不等式为1＋＋＋＋＋<.‎ ‎【答案】 1＋＋＋＋＋< ‎7．(2017·山东威海第一次模拟)对大于1的自然数m的三次幂可用奇数进行以下方式的“分裂”：23＝，33＝，43＝，…仿此，若m3的“分裂”数中有一个是73，则m的值为________．‎ ‎【解析】 由题意可得，m3的“分裂”数为m个连续奇数，设m3的“分裂”数中第一个数为am，则由题意可得a3－a2＝7－3＝4＝2×2，a4－a3＝13－7＝6＝2×3，…，am－am－1＝2(m－1)，以上m－2个式子相加可得am－a2＝＝(m＋1)(m－2)，∴am＝a2＋(m＋1)(m－2)＝m2－m＋1，‎ ‎∴当m＝9时，am＝73，即73是93的“分裂”数中的第一个，故答案为9.‎ ‎【答案】 9‎ ‎8．(2017·厦门模拟)已知等差数列{an}中，有＝，则在等比数列{bn}中，会有类似的结论：___________________________________.‎ ‎【解析】 由等比数列的性质可知 b1b30＝b2b29＝…＝b11b20，‎ ‎∴＝.‎ ‎【答案】 ＝ ‎9．设f(x)＝，先分别求f(0)＋f(1)，f(－1)＋f(2)，f(－2)＋f(3)，然后归纳猜想一般性结论，并给出证明．‎ ‎【解析】 f(0)＋f(1)＝＋ ‎＝＋＝＋＝，‎ 同理可得：f(－1)＋f(2)＝，‎ f(－2)＋f(3)＝，并注意到在这三个特殊式子中，自变量之和均等于1.‎ 归纳猜想得：当x1＋x2＝1时，‎ 均有f(x1)＋f(x2)＝.‎ 证明：设x1＋x2＝1，‎ f(x1)＋f(x2)＝＋ ‎＝＝ ‎＝＝＝.‎ ‎10．在Rt△ABC中，AB⊥AC，AD⊥BC于D，求证：＝＋，那么在四面体ABCD中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想，并说明理由．‎ ‎【解析】 如图所示，由射影定理得 AD2＝BD·DC，AB2＝BD·BC，‎ AC2＝BC·DC，‎ ‎∴＝ ‎＝＝.‎ 又BC2＝AB2＋AC2，‎ ‎∴＝＝＋.‎ 猜想，四面体ABCD中，AB、AC、AD两两垂直，AE⊥平面BCD，‎ 则＝＋＋.‎ 证明：如图，连接BE并延长交CD于F，连接AF.‎ ‎∵AB⊥AC，AB⊥AD，AC∩AD＝D，‎ AC⊂平面ACD，AD⊂平面ACD，‎ ‎∴AB⊥平面ACD.‎ ‎∵AF⊂平面ACD，∴AB⊥AF.‎ 在Rt△ABF中，AE⊥BF，‎ ‎∴＝＋.‎ 在Rt△ACD中，AF⊥CD，∴＝＋，‎ ‎∴＝＋＋.‎ B组　专项能力提升 ‎(时间：30分钟)‎ ‎11．(2017·陕西商洛期中)对于任意的两个实数对(a，b)和(c，d)，规定：(a，b)＝(c，d)，当且仅当a＝c，b＝d；运算“⊗”为：(a，b)⊗(c，d)＝(ac－bd，bc＋ad)；运算“⊕”为：(a，b)⊕(c，d)＝(a＋c，b＋d)，设p，q∈R，若(1，2)⊗(p，q)＝(5，0)，则(1，2)⊕(p，q)＝(　　)‎ A．(4，0) B．(2，0)‎ C．(0，2) D．(0，－4)‎ ‎【解析】 由(1，2)⊗(p，q)＝(5，0)得 ⇒ 所以(1，2)⊕(p，q)＝(1，2)⊕(1，－2)＝(2，0)．‎ ‎【答案】 B ‎12．(2016·北京卷)袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半．甲、乙、丙是三个空盒．每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个球放入乙盒，否则就放入丙盒．重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则(　　)‎ A．乙盒中黑球不多于丙盒中黑球 B．乙盒中红球与丙盒中黑球一样多 C．乙盒中红球不多于丙盒中红球 D．乙盒中黑球与丙盒中红球一样多 ‎【解析】 若袋中有两个球，则红球、黑球各一个，若红球放在甲盒，则黑球放在乙盒，丙盒中没有球，此时乙盒中黑球多于丙盒中黑球，乙盒中黑球比丙盒中红球多，故可排除A、D；若袋中有四个球，则红球、黑球各两个，若取出两个红球，则红球一个放在甲盒，余下一个放在乙盒，再取出余下的两个黑球，一个放在甲盒，则余下一个放在丙盒，所以甲盒中一红一黑，乙盒中一个红球，丙盒中一个黑球，此时乙盒中红球比丙盒中红球多，排除 C；故选B.‎ ‎【答案】 B ‎13．(2017·河南八市重点高中联考)观察下列等式：‎ ‎24＝7＋9‎ ‎34＝25＋27＋29‎ ‎44＝61＋63＋65＋67‎ ‎……‎ 照此规律，第4个等式可为________．‎ ‎【解析】 观察可知每一行的数字都是连续的奇数，且奇数的个数等于所在的行数，设行数为n，用an1表示每行的第一个数，则an1＝(n＋1)3－n，因此第4行的第一个数为(4＋1)3－4＝121，则第4个等式为54＝121＋123＋125＋127＋129.‎ ‎【答案】 54＝121＋123＋125＋127＋129‎ ‎14．某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：‎ ‎①sin213°＋cos217°－sin 13°cos 17°；‎ ‎②sin215°＋cos215°－sin 15°cos 15°；‎ ‎③sin218°＋cos212°－sin 18°cos 12°；‎ ‎④sin2(－18°)＋cos248°－sin(－18°)cos 48°；‎ ‎⑤sin2(－25°)＋cos255°－sin(－25°)cos 55°.‎ ‎(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；‎ ‎(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．‎ ‎【解析】 (1)选择②式，计算如下：‎ sin215°＋cos215°－sin 15°cos 15°＝1－sin 30°‎ ‎＝1－＝.‎ ‎(2)三角恒等式为 sin2α＋cos2(30°－α)－sin α·cos(30°－α)＝.‎ 证明如下：‎ sin2α＋cos2(30°－α)－sin α·cos(30°－α)‎ ‎＝sin2α＋(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)2－sin α·(cos 30°·cos α＋sin 30°sin α)‎ ‎＝sin2α＋cos2α＋sin αcos α＋sin2α－sin αcos α－sin2α ‎＝sin2α＋cos2α－sin2α＝sin2α＋cos2α＝.‎ ‎15．(2016·汉中调研)对于三次函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)，给出定义：设f′(x)是函数y＝f(x)的导数，f″(x)是f′(x)的导数，若方程f″(x)＝0有实数解x0，则称点(x0，f(x0))为函数y＝f(x)的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．若f(x)＝x3－x2＋3x－，请你根据这一发现，‎ ‎(1)求函数f(x)的对称中心；‎ ‎(2)计算f＋f＋f＋f＋…＋f.‎ ‎【解析】 (1)f′(x)＝x2－x＋3，f″(x)＝2x－1，‎ 由f″(x)＝0，即2x－1＝0，解得x＝.‎ f＝×－×＋3×－＝1.‎ 由题中给出的结论，可知函数f(x)＝x3－x2＋3x－的对称中心为.‎ ‎(2)由(1)，知函数f(x)＝x3－x2＋3x－的对称中心为，‎ 所以f＋f＝2，‎ 即f(x)＋f(1－x)＝2.‎ 故f＋f＝2，‎ f＋f＝2，‎ f＋f＝2，‎ ‎…‎ f＋f＝2.‎ 所以f＋f＋f＋f＋…＋f＝×2×2 016＝2 016.‎