重庆市巴蜀中学初中部数学教研组整理：八年级数学上（RJ）14

重庆市巴蜀中学初中部数学教研组整理：八年级数学上（RJ）14

14.1.4 整式的乘法 第十四章 整式的乘法与因式分解 导入新课 讲授新课 当堂练习 课堂小结 第 3 课时 整式的除法 八年级数学上（RJ） 教学课件 学习目标 1. 理解掌握同底数幂的除法法则 . （重点） 2. 探索整式 除法 的三个运算法则，能够运用其 进行计算 . （难点） 导入新课 情境引入 问题 木星的质量约是 1.9×10 24 吨 , 地球的质量约是 5.98 ×10 21 吨 , 你知道木星的质量约为地球质量的多少倍吗 ? 木星的质量约为地球质量的 (1.90×10 24 )÷(5.98×10 21 ) 倍 . 想一想： 上面的式子该如何计算 ? 地球 木星 讲授新课 同底数幂的除法 一 探究发现 1. 计算： （ 1 ） 2 5 ×2 3 = ？ （ 2 ） x 6 · x 4 =? （ 3 ） 2 m ×2 n = ？ 2 8 x 10 2 m+n 2. 填空： （ 1 ）（ ） （ ） ×2 3 =2 8 （ 2 ） x 6 · （ ） （ ） = x 10 （ 3 ）（ ） （ ） ×2 n =2 m+n 2 5 x 4 2 m 本题 直接 利用同底数幂的乘法法则计算 本题 逆向 利用同底数幂的乘法法则计算 相当于求 2 8 ÷2 3 = ？ 相当于求 x 10 ÷ x 6 = ？ 相当于求 2 m+n ÷2 n = ？ 4. 试猜想： a m ÷ a n =? ( m,n 都是正整数 , 且 m > n ) 3. 观察下面的等式，你能发现什么规律？ （ 1 ） 2 8 ÷2 3 =2 5 （ 2 ） x 10 ÷ x 6 = x 4 (3) 2 m+n ÷2 n =2 m 同底数幂相除，底数不变，指数相减 a m ÷ a n = a m-n =2 8-3 = x 10-6 =2 ( m+n )- n 验证：因为 a m-n · a n = a m-n+n =a m , 所以 a m ÷a n =a m-n . 一般地，我们有 a m ÷a n =a m-n ( a ≠0, m,n 都是正整数，且 m>n ) 即 同底数幂相除，底数不变，指数相减 . 知识要点 同底数幂的除法 想一想： a m ÷a m =? ( a ≠0) 答： a m ÷a m =1 ， 根据同底数幂的除法法则可得 a m ÷ a m = a 0 . 规定 a 0 =1( a ≠0 ) 这就是说， 任何不等于 0 的数的 0 次幂都等于 1 . 典例精析 例 1 计算： （ 1 ） x 8 ÷ x 2 ; (2) ( ab ) 5 ÷( ab ) 2 . 解 ：（ 1 ） x 8 ÷ x 2 = x 8-2 = x 6 ; (2) ( ab ) 5 ÷( ab ) 2 =( ab ) 5-2 =( ab ) 3 = a 3 b 3 . 方法总结： 计算同底数幂的除法时，先判断底数是否相同或变形为相同，若底数为多项式，可将其看作一个整体，再根据法则计算． 计算： (1)( － xy ) 13 ÷( － xy ) 8 ； (2)( x － 2 y ) 3 ÷(2 y － x ) 2 ； (3)( a 2 ＋ 1) 6 ÷( a 2 ＋ 1) 4 ÷( a 2 ＋ 1) 2 . 针对训练 (3) 原式＝ ( a 2 ＋ 1) 6 － 4 － 2 ＝ ( a 2 ＋ 1) 0 ＝ 1. 解： (1) 原式＝ ( － xy ) 13 － 8 ＝ ( － xy ) 5 ＝－ x 5 y 5 ； (2) 原式 ＝ ( x － 2 y ) 3 ÷( x － 2 y ) 2 ＝ x － 2 y ； 例 2 已知 a m ＝ 12 ， a n ＝ 2 ， a ＝ 3 ，求 a m － n － 1 的值． 方法总结： 解此题的关键是逆用同底数幂的除法，对 a m － n － 1 进行变形，再代入数值进行计算． 解： ∵ a m ＝ 12 ， a n ＝ 2 ， a ＝ 3 ， ∴ a m － n － 1 ＝ a m ÷ a n ÷ a ＝ 12÷2÷3 ＝ 2. 单项式除以单项式 二 探究发现 （ 1 ） 计算： 4 a 2 x 3 · 3 ab 2 = ; （ 2 ） 计算： 12 a 3 b 2 x 3 ÷ 3 ab 2 = . 12 a 3 b 2 x 3 4 a 2 x 3 解法 2 ： 原式 =4 a 2 x 3 · 3 ab 2 ÷ 3 ab 2 =4 a 2 x 3 . 理解：上面的商式 4 a 2 x 3 的系数 4=12 ÷3 ； a 的指数 2=3-1 ， b 的指数 0=2-2 ，而 b 0 =1, x 的指数 3=3-0 . 解法 1 ： 12 a 3 b 2 x 3 ÷ 3 ab 2 相当于求 （ ） · 3 ab 2 =12 a 3 b 2 x 3 . 由（ 1 ）可知括号里应填 4 a 2 x 3 . 单项式相除 , 把系数、同底数的幂分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连它的指数一起作为商的一个因式 . 知识要点 单项式除以单项式的法则 理解 商式 ＝ 系数 • 同底的幂 • 被除式里单独有的幂 底数不变， 指数相减 . 保留在商里 作为因式 . 被除式的系数 除式的系数 典例精析 例 3 计算： （ 1 ） 28 x 4 y 2 ÷7 x 3 y ； （ 2 ） -5 a 5 b 3 c ÷15 a 4 b . =4 xy ； ( 2 ) 原式 =(-5÷15) a 5-4 b 3-1 c 解 :( 1) 原式 = （ 28 ÷7 ） x 4-3 y 2-1 = ab 2 c . 针对训练 计算 (1)(2 a 2 b 2 c ) 4 z ÷( － 2 ab 2 c 2 ) 2 ； (2)(3 x 3 y 3 z ) 4 ÷(3 x 3 y 2 z ) 2 ÷ x 2 y 6 z ． 解： (1) 原式＝ 16 a 8 b 8 c 4 z ÷4 a 2 b 4 c 4 ＝ 4 a 6 b 4 z ； (2) 原式＝ 81 x 12 y 12 z 4 ÷9 x 6 y 4 z 2 ÷ x 2 y 6 z ＝ 9 x 4 y 2 z . 方法总结： 掌握整式的除法的运算法则是解题的关键，注意在计算过程中，有乘方的先算乘方，再算乘除． 下列计算错在哪里？怎样改正？ （ 1 ） 4 a 8 ÷ 2 a 2 = 2 a 4 ( ) （ 2 ） 10 a 3 ÷ 5 a 2 =5 a ( ) （ 3 ） (-9x 5 ) ÷ (-3 x ) =-3 x 4 ( ) （ 4 ） 12 a 3 b ÷ 4 a 2 =3 a ( ) 2 a 6 2 a 3 x 4 7 ab × × × × 系数相除 同底数幂的除法，底数 不变 ，指数 相减 只在 一个被除式里含有的字母 ，要连同它的指数写在商里， 防止遗漏 . 求商的系数，应注意 符号 练一练 多项式除以单项式 三 问题 1 一幅长方形油画的长为 ( a + b ), 宽为 m , 求它的 面积 . 面积为 ( a + b ) m=ma+mb 问题 2 若已知油画的面积为 ( ma+mb ) , 宽为 m, 如何求它的长？ ( ma+mb ) ÷ m 问题 3 如何计算 （ am+bm ) ÷ m ? 计算 （ am+bm ) ÷ m 就是相当于求 （ ） · m=am+bm , 因此不难想到 括里应填 a+b . 又知 am ÷m+bm ÷m=a+b . 即 ( am+bm ) ÷ m =am ÷m+bm ÷m 知识要点 多项式除以单项式的法则 多项式除以单项式，就是用多项式的 除以这个 ，再把所得的商 . 单项式 每一项 相加 关键： 应用法则是把 多项式除以单项式 转化为 单项式除以单项式 . 典例精析 例 4 计算 (12 a 3 -6 a 2 +3 a ) ÷3 a . 解： (12 a 3 -6 a 2 +3 a ) ÷3 a =12 a 3 ÷3 a +(-6 a 2 ) ÷3 a +3 a ÷3 a =4 a 2 +(-2 a )+1 =4 a 2 -2 a +1. 方法总结： 多项式除以单项式，实质是利用乘法的分配律，将多项式除以单项式问题转化为单项式除以单项式问题来解决．计算过程中，要注意符号问题 . 计算：( 1 )(6 x 3 y 4 z －4 x 2 y 3 z ＋2 xy 3 )÷2 xy 3 ； (2)(72 x 3 y 4 － 36 x 2 y 3 ＋ 9 xy 2 )÷( － 9 xy 2 ) ． 针对训练 ( 2 ) 原式＝ 72 x 3 y 4 ÷( － 9 xy 2 ) ＋ ( － 36 x 2 y 3 )÷( － 9 xy 2 ) ＋ 9 xy 2 ÷( － 9 xy 2 ) ＝－ 8 x 2 y 2 ＋ 4 xy － 1. 解：( 1 )原式 = 6 x 3 y 4 z ÷2 xy 3 －4 x 2 y 3 z ÷2 xy 3 ＋2 xy 3 ÷2 xy 3 =3 x 2 yz － 2 xz ＋ 1 ； 例 5 先化简，后求值： [2 x ( x 2 y － xy 2 ) ＋ xy ( xy － x 2 )]÷ x 2 y ，其中 x ＝ 2015 ， y ＝ 2014. 解：原式＝ [2 x 3 y － 2 x 2 y 2 ＋ x 2 y 2 － x 3 y ]÷ x 2 y ， 原式＝ x － y ＝ 2015 － 2014 ＝ 1. ＝ x － y. 把 x ＝ 2015 ， y ＝ 2014 代入上式，得 当堂练习 2. 下列算式中，不正确的是 ( ) A ． ( － 12 a 5 b )÷( － 3 ab ) ＝ 4 a 4 B ． 9 x m y n － 1 ÷3 x m － 2 y n － 3 ＝ 3 x 2 y 2 C.4 a 2 b 3 ÷2 ab ＝ 2 ab 2 D ． x ( x － y ) 2 ÷( y － x ) ＝ x ( x － y ) 1 ．下列说法正确的是 ( ) A ． (π － 3.14) 0 没有意义 B ．任何数的 0 次幂都等于 1 C ． (8×10 6 )÷(2×10 9 ) ＝ 4×10 3 D ．若 ( x ＋ 4) 0 ＝ 1 ，则 x ≠ － 4 D D 5. 已知一多项式与单项式 -7 x 5 y 4 的积为 21 x 5 y 7 -28 x 6 y 5 ，则这个多项式是 . -3 y 3 +4 xy 4. 一个长方形的面积为 a 2 +2 a ，若一边长为 a ，则另一边长为 _____________. a +2 3. 已知28 a 3 b m ÷28 a n b 2 = b 2 ，那么 m ， n 的取值为（　　） A． m =4， n =3 B． m =4， n =1 C． m =1， n =3 D． m =2， n =3 A 6. 计算： （ 1 ） 6 a 3 ÷2 a 2 ； （ 2 ） 24 a 2 b 3 ÷3 ab ； （ 3 ） -21 a 2 b 3 c ÷3 ab ; （ 4 ） （14 m 3 -7 m 2 +14 m ）÷7 m. 解 ： （ 1 ） 6 a 3 ÷2 a 2 ＝（ 6÷2 ）（ a 3 ÷ a 2 ） =3 a . （ 2 ） 24 a 2 b 3 ÷3 ab =(24÷3) a 2-1 b 3-1 =8 ab 2 . （ 3 ） -21 a 2 b 3 c ÷3 ab =(-21÷3) a 2-1 b 3-1 c = -7 ab 2 c ; （ 4 ） （14 m 3 -7 m 2 +14 m ）÷7 m = 14 m 3 ÷7 m -7 m 2 ÷7 m +14 m ÷7 m = 2 m 2 - m +2 . 7. 先化简，再求值： ( x ＋ y )( x － y ) － (4 x 3 y － 8 xy 3 )÷2 xy ，其中 x ＝ 1 ， y ＝－ 3. 解：原式＝ x 2 － y 2 － 2 x 2 ＋ 4 y 2 原式＝－ 1 2 ＋ 3×( － 3) 2 ＝－ 1 ＋ 27 ＝ 26. 当 x ＝ 1 ， y ＝－ 3 时， ＝－ x 2 ＋ 3 y 2 . 8.( 1 ) 若3 2 •9 2 x +1 ÷27 x +1 =81，求 x 的值 ; 解： ( 1 ) 3 2 •3 4 x +2 ÷3 3 x +3 =81， 即 3 x +1 = 3 4 ， 解得 x =3； (3) 已知2 x -5 y -4=0，求4 x ÷32 y 的值． ( 3 ) ∵ 2 x -5 y -4=0，移项，得2 x -5 y =4． 4 x ÷32 y =2 2 x ÷2 5 y =2 2 x -5 y =2 4 =16． (2) 已知5 x =36，5 y =2，求5 x -2 y 的值 ; ( 2 ) 5 2 y =（5 y ） 2 = 4， 5 x -2 y =5 x ÷5 2 y =36÷4=9． 拓展提升 课堂小结 整式的除法 同底数幂的除法 单项式除以单项式 底数不变，指数相减 1. 系数相除； 2. 同底数的幂相除； 3. 只在被除式里的因式照搬作为商的一个因式 多项式除以单项式 转化为单项式除以单项式的问题